a, pois dois vértices desse triângulo são pontos

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1 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET Questão Um empres promoveu um concurso pr que fosse crido o seu logotipo, sendo que o vencedor foi o logotipo bio. Região Região Região seguir, presentmos um roteiro que descreve construção do logotipo: Constru um qudrdo de ldo. Trce segmentos de rets ligndo os pontos médios de ldos djcentes deste qudrdo. prtir de cd vértice do qudrdo originl, trce um rco de circunferênci (interno este), com centro no mesmo e pssndo pelos pontos médios dos ldos que se interceptm nesse vértice. Constru um circunferênci intern o qudrdo originl, com centro n interseção de sus digonis e tngente os rcos de circunferênci construídos n etp nterior. Determine: ) áre d região hchurd. Região é um triângulo retângulo, cujos ctetos medem, pois dois vértices desse triângulo são pontos médios do qudrdo originl. Logo áre d Região é uniddes de áre. 8

2 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET b) áre d região hchurd. áre d Região pode ser obtid clculndo-se áre d Região ( ). ssim, d áre do círculo ( C ) de rio R e subtrindo d C π 8 ( π ) π uniddes de áre Outr solução possível: áre d Região pode ser obtid clculndo-se áre do setor circulr de rio subtrindo d áre d Região ( ). ssim, Portnto, ( π ) π R α 360 uniddes de áre 6 π R e ângulo α 90 π 6 8 e

3 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET c) áre d região hchurd. Considere o qudrdo de ldo seguir, obtido prtir do logotipo cim. R Sej d digonl desse qudrdo. Pelo Teorem de Pitágors d + d d u.c. O rio r do círculo interno o qudrdo originl é ddo por áre d Região sendo Logo Q áre do qudrdo originl, ( ) r d R Q CM cm CM áre do círculo de rio π π,. R e cm áre do círculo de rio r. ( ) π π π π ( + ) π ( ) uniddes de áre. 6 6 Outr solução possível: Clcul-se digonl d do qudrdo de ldo e o rio r do círculo interno o qudrdo originl como n solução nterior. Sej Q o qudrdo interno formdo pelos segmentos de rets ligndo os pontos médios de ldos djcentes do qudrdo originl. Logo Q é um qudrdo de ldo d, cuj áre é Q 3

4 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET áre d Região é Q cm, sendo áre d região e cm áre do círculo de rio r. Logo ( π ) π π π 6 ( ) π π ( + ) π ( ) uniddes de áre. 6 6 Questão bio são presentdos os gráficos ds funções b, c, d, e R, d 0. f ( ) + b + c e g( ) d + e, com y y Determine: ) os vlores de d e e. Pelo gráfico d função g tem-se que o mesmo pss pelos pontos (,0 ) e ( 0, ). Logo ( ) e g ( 0), ou sej, E, segue que, d.+ ( ) 0, isto é, d. d.+ e 0 d.0 + e e g 0

5 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET b) bsciss do vértice d prábol. Pelo gráfico d função f tem-se que e 3 são rízes de f. Como bsciss do vértice d prábol + 3 v corresponde o ponto médio ds rízes, temos que v. Outr resolução: Pelo gráfico d função f tem-se que e 3 são rízes de f. Logo f ( ) 0 e ( ) b + c 0 b c b 8 b b + c 0 3b + c 9 Como b + c 0, segue que c b 3. f Portnto ( ) f 3 0, ou sej, bsciss do vértice d prábol é dd por Outr solução possível: v. função f ( ) + b + c pode ser reescrit como f ( ) ( )( ), onde e são s rízes de f. Pelo gráfico d função f tem-se que e 3. Logo, ( ) ( ( ))( 3)) 3 f + +. bsciss do vértice d prábol é dd por v, ou sej, v ( ). Outr solução possível: Pelo gráfico d função f tem-se que e 3 são s rízes dess função. Usndo s relções de Girrd tem-se: b. bsciss do vértice d prábol é dd por v, ou sej, v ( ). 5

6 UFJF MÓDULO DO PSM TRÊNO 0-0 REFERÊNC DE CORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTC PR O DESENVOLVMENTO E RESPOST DS QUESTÕES, SÓ SERÁ DMTDO USR CNET ESFEROGRÁFC ZUL OU PRET c) o conjunto solução d inequção f ( ) g( ) < 0. Pelos gráficos temos: f f ( ) < 0 pr < ou > 3 f ( ) 0 pr e 3 f ( ) > 0 pr < < 3 g g( ) < 0 pr < g( ) 0 pr g( ) > 0 pr > f g Logo S { R / ou 3} < < > é o conjunto solução d inequção f ( ) g( ) < 0. 6