PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA B DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 735) 1ª FASE 23 DE JUNHO 2015 GRUPO I

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1 Associção de Professores de Mtemátic Contctos: Ru Dr. João Couto, n.º 27-A Lisbo Tel.: / Fx: emil: PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA B DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 735) 1ª FASE 23 DE JUNHO 2015 GRUPO I 1. A função objetivo é o lucro e é dd por L(x, y) = 30x + 50y. Restrições: x 0 y 0 x 4 y 6 3x + 2y 18 Representção gráfic: x y L(x, y) = 30x + 50y O lucro máximo, de 360 euros, será obtido pr x = 2 e y = 6, isto é, com um investimento de 2 mil euros no produto X-fin e de 6 mil euros no produto Y-fin. APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

2 2. Considerndo n o número de meses que pssou depois do início d poupnç: N primeir hipótese: n.º meses n coloc no melheiro n + 2 poupnç Pr n 1, qunti que o Dinis coloc no melheiro está em progressão ritmétic com primeiro termo 3 e rzão 1. Ao fim de n meses, poupnç é 2 + Sn em que Sn é som dos n primeiros termos dess progressão ritmétic: Então, o fim n meses poupnç é de Pr ver qundo é que tinge os 500 euros, determinmos interseção dos gráficos ds seguintes funções n clculdor gráfic: Podemos concluir que o fim de 30 meses poupnç teri ultrpssdo os 500 euros. N segund hipótese: n.º meses n coloc no melheiro poupnç (n+1) A poupnç o fim de n meses é de 15n + 15 euros. APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

3 15n n 485 n 32, N segund hipótese poupnç só tingiri os 500 euros no 33º mês, pelo que é primeir hipótese que permite juntr mis rpidmente os 500 euros. 3. Designndo por c o cpitl inicil, o fim de um no o cpitl seri 100% + 1,50% = 101,5% do cpitl inicil. Assim o fim de um no c 1,015 o fim de dois nos c 1,015 1,015 = c 1,015 2 (...) o fim de seis nos c 1,015 6 Então c 1,015 6 = 1530,82 O Dinis recebeu 1400 euros qundo completou o ensino secundário. GRUPO II 1.1. Introduzindo n clculdor gráfic s funções obtemos o seguinte gráfico e Os pontos de interseção ssinldos nos gráficos informm-nos que Lur tingiu 30 kg os 8,4199 nos, e tingiu os 40 kg os 11,0352 nos. 11,0352 8,4199 = 2,6153 nos 0, = 7,3836 meses O peso d Lur esteve entre 30 e 40 quilogrms durnte cerc de 2 nos e 7 meses. APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

4 1.2. No di 1 de junho de 2012 Lur fez 14 nos ( ). Nesse di, o peso d Lur é ddo por P(14) 50,336 kg De cordo com o modelo, ltur d Lur er de 160 cm, ou sej 1,600 m. Portnto, O IMC d Lur no di 1 de junho de 2012 er proximdmente 19,7. 2. Introduzindo tbel dd n clculdor gráfic, respetivmente idde em L1 e ltur em L2, obtém-se Ln Reg y = + b ln x em que 140,125 e b 58,744 No di 1 de dezembro de 2014 o André tinh 16 nos e 6 meses, ou sej 198 meses: = 198 A ltur do André é dd por y 140, ,744 ln 198 y 170,5 A ltur do André no di 1 de dezembro de 2014 é de cerc de 170,5 cm. GRUPO III 1. No conjunto I todos os polígonos estão sombredos, por isso o contecimento "o polígono escolhido está sombredo" é o contecimento certo, o que contrri segund firmção do professor. No conjunto III há três triângulos e um qudrdo, pelo que probbilidde de escolher um triângulo é 3/4 e de escolher um qudrdo é 1/4, o que contrri primeir firmção do professor. No conjunto IV há dois qudrdos sombredos e nenhum triângulo sombredo, por isso probbilidde de escolher um qudrdo de entre os polígonos sombredos é 1 e não 1/2 como firmou o professor (3ª firmção). APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

5 2.1. Sej. De cordo com os ddos do problem, o qudrdo [OPQR] pode ser dividido em 9 qudrdos iguis de ldo e áre 2. Cd um dos triângulos isósceles tem de áre metde do qudrdo em que está inscrito, logo, e portnto, prte do qudrdo que está sombred tmbém tem mesm áre. Assim: A áre não sombred é formd por 2 qudrdos e dois triângulos: A áre sombred é formd por 5 qudrdos e dus metdes de qudrdo: A áre d região sombred é, portnto, o dobro d áre d região não sombred A ret OQ é bissetriz dos qudrntes ímpres (y = x) que contém um digonl do qudrdo [OPQR]. O simétrico do ponto P de coordends (3, 0) é o outro vértice do qudrdo, o ponto R de coordends (0, 3) Se,. Então B (2, 0) e C (3, 1). A ret BC é prlel à bissetriz y = x, por isso tem declive 1 e equção do tipo y = x + b. Como pss por B (2, 0), 0 = 2 + b b = 2 Portnto equção d ret BC é y = x minutos é medin d distribuição. Tendo em cont que nenhum luno demorou extmente 70 minutos relizr s tividdes, concluímos que metde dos lunos demorou menos de 70 minutos e outr metde demorou mis do que 70 minutos. Ou sej, 14 lunos demorrm mis do que 70 minutos terminr s tividdes. APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

6 GRUPO IV 1. A distânci solicitd é AP AE EP, onde AE corresponde o félio, isto é, à distânci de Sturno o Sol qundo mplitude do ângulo x é de 0 rdinos e EP corresponde o periélio, isto é, à distânci de Sturno o Sol qundo mplitude do ângulo x é de rdinos. Então, de cordo com o modelo presentdo, temos que: AP d 0 d 1513, , milhões de quilómetros. 2. A função y cos( x) é um função periódic, de periodo 2. Tmbém sbemos que cos x cos x Então temos que cos 2 x cos x cos x independentemente d mplitude do ângulo x. independentemente d mplitude do ângulo x, e portnto, em prticulr, se x pertence o intervlo 0,. Por ess rzão, no modelo presentdo, que pens vri com o vlor de que d 2 x d x pr qulquer vlor de x pertencente o intervlo cos x, tem-se 0,. 3. No contexto do problem, tx de vrição instntâne d função d, qundo 5 x, 16 presentr o vlor proximdo de 70,5, signific que, qundo Sturno se encontr num posição em que descreveu, desde o seu félio (ponto A), um ângulo correspondente 5 16 rdinos, su distânci o Sol está diminuir à rzão proximd de 70,5 milhões de quilómetros por rdino. FIM APM - Propost de resolução do Exme Finl do Ensino Secundário Prov de Mtemátic B

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