GABARITO IME DISCURSIVAS 2017/2018 MATEMÁTICA

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1 GABARITO IME DISCURSIVAS 07/08 MATEMÁTICA

2 DISCURSIVAS /0/7 Questão 0 Sej o número complexo z que stisfz relção ( z i) 07 ( + i)( iz ) 07. Determine z, sbendo- -se que z. Gbrito: ( z i) ( + i) ( i z ) z i + i i z z i iz z i i z + i z + i z i z i z + i Se z + bi + bi i + bi + i + ( b ) + ( b + ) b b + b + b + b 0 Como z + b + 0 ± 9 Substituindo z + 0 i n equção originl, obtemos: ( + 0i i) ( + i) ( i ) 07 ( i) + i 07 ( i ) 07 ( i) i ( + i) 07 i 07 i + i 07 + i i i + + i

3 GABARITO IME MATEMÁTICA I) Se i + i i + i 07 + i i cis 00 ( cis 40 ) 07 cis40 07 cis 40 cis60 i II) Se i + i 07 (F) 07 + i i i i cis i ( cis 0 ) cis 07 0 cis 0 + cis 60 Logo z 07

4 DISCURSIVAS /0/7 Questão 0 Resolv inequção bixo, onde x é um vriável rel. x 6x + x + < 0 Gbrito: x 6 x + x + < 0 Sej t x t 6t + t + < 0 por inspeção é riz 6 0 (t ) (t t ) < 0 ( t ) + t t < t t < + ou < t < x < + ou < x < + + < x < x ou < < 4

5 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 0 Sbendo que x π e que x stisfz equção bixo 6 Determine os possíveis vlores de x. cosx( 4cosx + senx) 0sen x 8senxcosx Gbrito: cosx( 4 cosx + senx) 0 sen x 8 senx cosx 4 cos x senx cosx 5 sen x 4 senx cosx 4(sen x + cos x) sen x + senx cosx 0 sen x + senx cosx 0 (sen x + cos x) sen x + senx cosx 0 sen x + senx cosx cos x 0 sen x senx cosx + cos x 0 ( cos x) tg x tgx + 0 tgx x 45 (solução não é válid) tgx rctgx 5

6 DISCURSIVAS /0/7 Questão 04 Sejm, b, c e d números reis positivos diferentes de. Temos que d, b d e c d são termos consecutivos de um progressão geométric e que, b e c formm um progressão ritmétic em que < b < c. Sbendo-se que b b b, determine: ) Os vlores de, b e c; b) As rzões ds progressões ritmétic e geométric, r e q, respectivmente. Gbrito: b d ( ) ( d ) ( c d ) d d d b c b c ( ) b c b b bc b b b c b b b + c b c, b + c c + c c c b b b b ( ) 6

7 GABARITO IME MATEMÁTICA l ( ) og l og 4 t, 4 t t / t / 4 t b c r / 4 / / 4 / 4 q / / 4 7

8 DISCURSIVAS /0/7 Questão 05 Um ônibus escolr trnsport n crinçs. Sejm A o evento em que dentro do ônibus tenhm crinçs de mbos os sexos e B o evento em que há no máximo um menin dentro do ônibus. Determine o vlor de n pr que os eventos A e B sejm independentes. Gbrito: robbilidde de todos serem menins: robbilidde de todos serem meninos: Logo: (A) n n n n n r hver no máximo um menin no ônibus temos dois csos: o : Extmente um menin o : Nenhum menin n Logo: (B). n+ n+ n n n ( ) n n definir menin ( ) Vej que A B é o cso em que existe extmente um menin. Como os eventos são independentes: A ( B) (A) (B) n n n n ( + ) n n n+ n + n n+ n Est equção clrmente só possui solução n, já que o ldo direito cresce mis rápido que o esquerdo. 8

9 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 06 k Sej mtriz A, com k rel. 4 Determine fix de vlores de k pr que exist um mtriz de números reis tl que s condições bixo sejm tendids simultnemente: ) A T + A I em que A T é trnspost d mtriz A e I é mtriz identidde; b) sej simétric; c) p > 0, em que p é o elemento d linh e colun de ; e d) > 0, em que é o determinnte d mtriz. Gbrito: Solução b Sej b c mtriz simétric do enuncido, temos: k b b k k T 4 A+ A b c + b c ( + 4b) + ( k + ) b + 4c 4 + ( k + ) b + 4c ( b + c) k + 4b () T Como A+ A I: b + c ( ) + ( k + ) b + 4c 0 ( ) Fzendo ( ) ( ): + ( k + 8) b (): k + 8b Agor multiplicndo primeir por k, segund por e somndo: ( k 8 k ) b k b + + k 6 ( k )( k 6) ; k e k k k + k + Substituindo em ( ): c + b + ( k + )( k + 6) ( k + )( k + 6) k + k + Logo: c 4( k + )( k + 6) Substituindo em ( ): (k + )b + 4c 6 4 k k + k + k + 4 k ( k + )( k + 6) ( k + )( k + 6) ( k + )( k + 6) k + 6 ( k + )( k + 6) k + 6 Agor como p > 0 : > 0 ( k + )( k + 6) 9

10 DISCURSIVAS /0/ < k < 6 ou k > Além disso, > 0 c b > ( k 6)( k k ) ( k) 8( k + ) ( k + 6) 4( k + ) ( k + 6) > 0 Multiplicndo por 8(k + ) (k + 6), que é positivo: k + 0k + 77k + 8 > : (k + 6)(k + 4k + 5) > Como k + 4k + 5 > 0; k, devemos ter: k > 6 Fzendo interseção dos intervlos temos: k > ou sej k (, + ) Solução T A+ A I T ( A) + A I c A c Det A + c > 0 A 4 c A c c c 4 k k + 4c + ck c c k + k + 0

11 GABARITO IME MATEMÁTICA k + 4c + ck k + k + c c + k k + k + Simétric c + ck 7 ck ( + ) 7 c k + 4 k + 6 ( k + )( k + ) c + Det 4 Det A Det > 0 Det A> 0 k + > 0 k > 6 > 0 k > k > k > 6 (, + )

12 DISCURSIVAS /0/7 Questão 07 Determine todos os números primos p, q e r tis que 5p + pq + qr pqr. Gbrito: qr qr 5p+ pq + qr pqr 5 + q + qr qr 5 q, como o membro d direit é um p p som de inteiros e o membro d esquerd é inteir, e como p, q e r são primos, temos qutro csos considerr: p q, p q, p r e p r. o cso p q r qr 5 q ( q ) ( r ) 46 F S 0 Não há soluções (p, q, r) pr p, q e r primos. o cso p q r qr 5 q ( q + ) ( r ) 4 S (,, ) ;(, 7, );( 5, 55, );,, { ( )} o cso p r q qr 5 q q( r ) 5 S ( 9, 59, );( 5, 55, );( 7, 77, ); 7, 77, { ( )} 4 o cso p r q qr 5 q q( r 0) 5 S4 ( 7, 57, );(, 5, ); 5, 7, 5 { ( )} Tods s soluções (p, q, r) pertencem o conjunto S S S S S 4. Obs.: Se considerrmos como primos somente os números positivos de dois divisores positivos o conjunto 9, 59, ; 777,, solução será S {( ) ( )}

13 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 08 Considere elipse bixo, onde DD é um cord pssndo pelo seu centro, MM um cord focl e o eixo mior d elipse é. rove que: DD MM. D M C θ F θ D M Gbrito: Solução: Sem perd de generlidde considere elipse centrd n origem e F o foco de coordends (C, O). suur suu r Como DD' pss pel origem, DD' : y mx. suuu r suur suuur suuu r MM ' // DD' e F MM ' MM ' : y mx mc. Elipse: x y + b suur r chr D e D fremos DD' interseção com elipse. x mx b 4b + x DD m ( ') ( + ) b m + b m + b suuur r chr M e M fremos MM ' interseção com elipse: x mx mcx+ m c + b b + m x mcx mc b ( ) + 0.

14 DISCURSIVAS /0/7 Vej que x m e x m são rízes dess equção. ( ) + ( ) ( ) + ( ) Agor: MM ' x x y y x x mx mx m + x x M M' M M' M M' M M' M M' orém, num equção de o gru diferenç ds rízes é ( )( ) 4mc 4 b + m mc b ( ) mc b mc + b mc + bm 4b mc + m + b 4 b 4444 mb m + 4 ( ) Assim, b m + b MM ' m + ( m + ), donde: MM DD. m + b m + b Solução: Sbe-se que os comprimentos dos rios focis são ddos pels expressões p p b c FM e FM ' p e + e cos e cos,sen do oprâmetroe excentricidde, θ θ p ssim MM ' FM + FM ' e cos θ b e MM' c cos θ 4b c cos.( ) θ Sem perd de generlidde, se equção d elipse for ε x y +, com b + c e D ( x, y ), 0 0 b temosque : x0 y0 ( CD cos θ) CD ( CD cos θ) x0 CD cos θ, x0 + y0 CD e + ssim, + b b cos θ cos θ b b CD + CD. b b cos θ c cos θ DD' b CD DD 4 Como,. ( ) c cos θ Dsequções() e() vemosque DD' MM ' ( ) 4

15 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 09 Considere um triângulo ABC onde BC, AB c, AC b, c > b. O círculo inscrito esse triângulo tngenci BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A ret que tngenci o círculo e que pss por E intercept AB em e AC em Q. A ret AE intercept BC no ponto R. Determine os segmentos de ret EQ e DR em função dos ldos do triângulo:, b e c. Gbrito: A Q H r E E r C H D R B Sej H o pé d ltur de ABC, e AH h. or áres temos: S es h com + + b c r S Logo: r h e S el semelhnç ABC AQ temos: b c AH Q QA A AH' (I) Como AH h r e AH ' AH ( ) h ( ) S S r, h S ( ) b c Q QA A substituindo em (I): 5

16 DISCURSIVAS /0/7 Sendo E o ponto de tngênci temos: ( ) ( )( ) AE ( ) e E E AE A ( ) c c Logo QE Q E p p el semelhnç AE ARB: A E RB E c c c RB A p ( ) p p c p p b ( )( ) ( )( ) p p ( ) ( ) c c c ( ) Temos tmbém: BD b e DR DB RB b ( c) c b 6

17 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 0 Sej um cubo regulr, onde os centros de sus fces são vértices de um octedro. or su vez, os centros ds fces deste octedro formdo são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivmente octedros e cubos infinitmente, determine rzão d som do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicil. Gbrito: A B D O C H O O 5 O 4 O 6 M Q G E O F I - Cálculo do volume do o cubo inscrito Sej: - centro d fce O O O 6 do octedro; Q - centro d fce O O 6 O do octedro; e Q são bricentros ds sus respectivs fces O M onde M é ponto médio e O O 6 OQ QM M x x x Q x O Sej Q rest do o cubo inscrito Q M Q Q OO MO rest do o cubo inscrito é V c onde V 7 cj é o volume do vigésimo cubo inscrito. O II - Observe que o volume de cd octedro inscrito é j 6, onde j esse octedro é rest do cubo circunscrito 7

18 ( ) ( ) ( j ) V O ; VO V O V 6 ;... oj Voj 6 j Já o volume de cd cubo inscrito é (j) onde Vc Vc... V cj j DISCURSIVAS /0/7 V j j c III - Som do volume de todos os poliedros inscritos, inclusive do o octedro: Vtotl j + j j j volume dos cubos volume dos octedros 7 j j 6 7 j j 0 6 V V totl totl V cubo

19 GABARITO IME MATEMÁTICA Comentário: Trdicionlmente, prov de mtemátic do IME present elevdo gru de dificuldde, fzendo com que os lunos se deprem com um vestibulr cd vez mis trblhoso. Destcmos s questões, 6 e 7 como sendo s mis difíceis. Apesr dests, questões como bstnte cessíveis s de número e 0. rbenizmos bnc pel prov, que um vez mis privilegi e selecion os melhores lunos do Brsil. rofessores: Álvro de Jesus Anderson Izidoro Bruno edr Elism Êurope Gorito Genilson Jordn iv Mrcelo Xvier Rfel Sbino Sndro Dvison 9

20 0 DISCURSIVAS /0/7