FUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x

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1 FUNÇÕES ) Se f() = 6, então f ( 5) f ( 5) é igul () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 ) (UNIFOR) O gráfico bio 0 () não represent um função. (b) represent um função bijetor. (c) represent um função não injetor. (d) é de um função crescente. (e) represent um função decrescente. 3) Pr função cujo gráfico é ddo seguir podemos dizer que () o domínio é R - {}. (b) imgem é R - {0}. (c) o domínio é R - {0}. (d) imgem é R - {b}. (e) o domínio é R. b O

2 4) Sejm s funções f, f e f 3, de em, representds seguir f f f 3 0 Considere s firmções (I) f dmite invers. (II) f é um função crescente. (III) f 3 é sobrejetor. Associe cd um dels o vlor-verdde V, se for verddeiro, e f, cso sej flso. () VVF (b) VFV (c) FVV (d) VVV (e) FFF 5) Sej f: RR função representd no gráfico. O conjunto dos reis tis que. f() 0 é () (- ; 0) u ( ; +) (b) ( ; +) (c) (0 ; ) (d) (- ; 0) (e)

3 6) (UFPI) f é função rel de vriável rel, representd pelo gráfico bio. 0 Anlisndo este gráfico, concluímos que imgem de f é () { R/ } (b) { R/ > 0} (c) { R/ 0} (d) { R/ 0 ou = ou } (e) { R/ 0 ou } 7) O gráfico representdo n figur é o de um função que ssoci, cd no t, o número de centens de peies em um crdume. Anlisndo o gráfico, podemos firmr que o crdume () teve um populção inicil de 00 peies. (b) está em etinção. 5 (c) no intervlo de tempo de 3 4 teve su 4 mior t de crescimento. 3 (d) no instnte t = 3 sofreu lgum lterção em seu ciclo evolutivo. (e) em pens um instnte contou com 50 peies. 3 4 t 8) Sej A o conjunto formdo por 5 irmãs, tods com iddes distints. Sej f: A A relção definid por f() é irmã com idde imeditmente superior. Então, f () é um função injetor. (b) é um função sobrejetor. (c) é um relção com domínio A. (d) é um função inversível. (e) não é um função. 3

4 9) (FUVEST) A figur bio represent o gráfico de um função d form f ( ), pr 3. b c /5 - -/ () - (b) - (c) 0 (d) (e) Pode-se concluir que o vlor de b é 0) (UFRGS) Sejm V = {(P,Q) / P e Q são vértices distintos de um heágono regulr} e f um função que ssoci cd pr (P,Q) V distânci de P Q. O número de elementos do conjunto imgem de f é () 3 (b) 4 (c) 5 (d) 5 (e) 30 ) (FGV) Considere seguinte função de vriável rel, se é rcionl f ( ) 0, se é irrcionl Podemos firmr que: () f(,3) = 0 (b) f(3,45) = 0 (c) f[f()] = 0 (d) 0 f() + f(b) + f(c) 3 (e) f(0) + f() = 4

5 ) (FUVEST) Qunts soluções tem equção = no intervlo [0,]? () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 3) (FUVEST) Ds lterntivs bio, que melhor corresponde o gráfico d função f() = - é () (d) (b) - (e) (c) 4) Sej f função que ssoci, cd número rel, o menor dos números +3 e +5. Assim, vlor máimo de f() é () (b) (c) 4 (d) 6 (e) 7 5

6 5) A equção = -3 +, com rel, () não tem solução. (b) tem um únic solução entre 0 e 3. (c) tem um únic solução entre e 0. 3 (d) tem dus soluções, sendo um positiv e outr negtiv. (e) tem mis de dus soluções. 6) Sej f: R R, um função tl que f( ) 4 8 = 0. Determinr f (0). 5 () 7 5 (b) 7 7 (c) 5 (d) 3 7 (e) 3 7 7) Sejm f e g funções tis que f() = e f(g()) = g(). Então, g() é () - (b) (c) (d) (e) 6

7 8) Sej f função que, cd 0, ssoci áre sombred sob o gráfico d função g, de 0, conforme figur. Se g() =, então f() é g() 0 () (b) (c) (d) (e) 9) Considere função f que, cd ltur, ssoci áre sombred d figur: A lterntiv que contém um possível gráfico pr f é () (b) (c) (d) (e) 7

8 0) Um mercdori, que à vist cust C reis, é comprd com um entrd de reis e mis 4 prestções iguis. Um possível gráfico d função, que cd entrd, ssoci o vlor d prestção, é () (b) (c) (d) (e) ) (PUC/SP) Representmos função f, de R em R, no gráfico seguir: É correto firmr que () Se -, então 0 f(). (b) f é crescente pr todo. (c) Se 0, então f() 0. (d) f é sobrejetor. (e) f é injetor. 8

9 ) (UFRGS) N figur bio estão representdos o círculo de equção + =, um ponto P qulquer pertencente o diâmetro AB e cord do círculo, qul contém P e é prlel o eio ds bscisss. B Considere função f que, à ordend do ponto P, fz corresponder o comprimento d cord cim citd. O P Dentre os gráficos bio, o que pode representr f é A () - (b) - (c) - (d) (e) - - 9

10 3) (FFFCMPA/006) Considere função f, definid por f ()= /, pr 0. Ddos os números reis, b, c não nulos, considere s sentençs bio. (I) f (+b) = f() + f(b) (II) f (b) = f(). f(b) (III) cf() = f(c) Quis são verddeirs? () Apens I (b) Apens II (c) Apens III (d) Apens I e II (e) Apens I e III 4) Considere função f, de domínio N, definid por f() = 4 e f( + ) = 3f() -. O vlor de f(0) é () 0 (b) (c) (d) 3 (e) 4 5) (PUC) Se R, então podemos epressr distânci de té o ponto 3 n ret rel trvés d função f, definid por () f() = - 3 (b) f() = + 3 (c) f() = + 3, se -3 (d) f() = - - 3, se <-3-3, se 0 (e) f() = 3 -, se <0 0

11 RESOLUÇÃO ) f ( 5) f ( 5) (6 5) (6 5) 6 ( 5) ) () é F: É função, pois rets verticis cortm o gráfico em um só ponto. (b) é F: Não é bijetor, pois não é injetor (ver justifictiv d (c)). (c) é V: Há rets horizontis que cortm curv em mis de um ponto. (d) é F: Há intervlos em que está decrescendo. (e) é F: Há intervlos em que está crescendo. 3) () é V: A projeção do gráfico sobre X é R-{}. b (b) é F: A projeção do gráfico sobre Y é (b, 0) (0, +). b (c) é F: o domínio é R-{}. (d) é F: imgem é (b, 0) (0, +). (e) é F: o domínio é é R-{}.

12 4) (I) é F: f não é injetor, pois há rets horizontis que cortm o gráfico em mis de um ponto. Logo não é bijetor. Só funções bijetors têm invers. (II) é V: Percorrendo o eio em seu sentido positivo, o gráfico está sempre em subid. (III) é V: A imgem (projeção do gráfico sobre Y) é todos os reis. Logo, imgem é igul o conjunto de chegd, sendo sobrejetor. 5) Queremos sber qundo. f() 0, ou sej, qundo e f() têm mesmo sinl. Quis os fstmentos em que ocorre: fstmento e ltur têm o mesmo sinl? P R Q Em P não corre: fstmento negtivo e ltur positiv. Em Q não ocorre: fstmento positivo e ltur negtiv. Em R ocorre: fstmento e ltur positivos. Assim,. f()0 ocorrerá pr fstmentos miores do que. 6) A projeção do gráfico sobre Y é formd pelos pontos tis que, = ou. Observe que imgem de todos os números que estão entre 0 e é. Assim, está n imgem, fzendo prte d respost. 0

13 7) () é F: Se =0, então =3. Logo, populção inicil é de 300 peies. (b) é F: Não está em etinção, pois função é crescente pr. (c) é F: De 3 4 cresceu centen, tendo um t de centen por no. De 3 cresceu 4 centens, tendo um t de 4 centens por no. Logo, de 3 4 não ocorreu mior t de crescimento. (d) é V: De 3 presentou um crescimento celerdo. De 3 4 presentou um crescimento descelerdo. Logo, no instnte t = 3 sofreu lgum lterção em seu ciclo evolutivo. (e) é F: No gráfico, há dois fstmentos (nos) com ltur,5 (,5 centens). 3,5 8) Sejm, b, c, d, e s irmãs com iddes,, 3, 4 e 5 nos. O digrm de f é o seguinte: b c d e A A b c d e A irmã mis velh (e) não tem imgem. Logo, f não é função. 9) O ponto (,0) está no gráfico. Em, substituindo por e por 0, temos: b c 0 0(b c) 0 b c Então, temos. b c O ponto (0,-) está no gráfico. Em, substituindo por 0 e por -, temos: b c 0 c b 0 c c Então, temos. b O ponto (3,/5) está no gráfico. Em,, substituindo por 3 e por /5, temos: b b b 3 b 5 3b 3

14 0) Sejm A, B, C, D, E, F os vértices do heágono. F A B C Só há três tipos de distâncis entre pres de vértices: ldo, digonl menor, digonl mior. E D V = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (A,F), (B,A),..., (E,F)} V (A,B) (A,C) (A,D) (A,E)... f R ldo digonl menor digonl mior Logo, imgem só tem três elementos. ) Um número é irrcionl qundo for infinito, sem periódic. Por eemplo,,3; 3,45; 0; são todos rcionis, pois são finitos. Conforme função, todos estes têm imgem. () é F: A imgem de,3 é. (b) é F: A imgem de 3,45 é. (c) é F: f() é 0 ou. Sej 0 ou sej, f() é rcionl. f(f()) é imgem de um rcionl, sendo, portnto,. (d) é V: f(), f(b), f(c) são iguis 0 ou. Se todos forem iguis 0, som dá 0. Se todos forem iguis, som dá 3. f()+f(b)+f(c) é no mínimo 0 e no máimo 3. (e) é F: f(0)+f()=+=. 4

15 ) Vmos proimr por 3.A equção fic = 3, ou sej, 5 = Vmos fzer os gráficos ds funções f() = 5 e g() = Os gráficos ds funções f e g se interceptm em um único ponto com bsciss entre 0 e. Logo há um únic riz em [0,]. 3) f() = - Vmos fzer um tbel: f() 0 0 ± /=0,5 ± 3/4=0,75 3/4 / ) Vmos construir um tbel: f() = menor vlor O mior vlor d imgem d f é

16 Outro modo: Sej g()=+3 e h()=-+5. g é identidde mis 3 e h é menos identidde mis 5. h 5 3 g 0 f ssoci, cd fstmento, menor ds lturs: g() ou h(). Até 0, menor ds lturs está no gráfico d g. Após 0, menor ds lturs está no gráfico d h. O mior vlor que est menor ds lturs ssume ocorre no ponto 0, ou sej, qundo g()=h(). g()=+3 Igulndo g() e h(): + 3 = = = h()=-+5. g() = h() = 4 5) Sej f()= e g()=-3 +. Os gráficos d f e g são: /3 Os gráficos interceptm-se em um único ponto, com bsciss entre 0 e /3. Logo, há um únic solução entre 0 e /3. 6) f( ) 4 8 = 0 f( ) = Pr se obter f(), substitui por : f ( ( ) ) 4( ) f ( ) ( ) f f (0)

17 7) A função d f é multiplicr por e subtrir. Assim, f(g())=g(). Ms como f(g())=g(), igulndo os segundos membros, temos: g() = g() g() g() = g() = 8) A áre do triângulo é clculd por bse ltur. g() g() 0 A bse é e ltur é g(). Assim, áre é g( ) 9) h A áre d região sombred ument medir que ument. Ms, prtir d ltur h, cresce menos. Cresce mis Cresce menos Áre h 7

18 0) Se entrd é, o vlor prcelr é C. C Cd prestção será de, ou sej, 4 (prestção) C 4 4 C 4 C (entrd) ) () Se -, então 0 f() : Verdde. Se -, então este será o domínio e o gráfico fic Projetndo-se em Y, obtemos imgem (0, ]. Assim, se -, então 0 f() - (b) f é crescente pr todo : Flso. No intervlo (0, ) função é decrescente. (c) Se 0, então f() 0: Flso. Se (, 3), então f()<0. Imgem (d) f é sobrejetor: Flso. Como função é de em, o conjunto de chegdo é. Projetndo-se o gráfico em Y, temos imgem [-,). Como o conjunto de chegd não coincide com imgem, função não é sobrejetor. - (e) f é injetor: Flso. Há rets horizontis que interceptm o gráfico em mis de um ponto. Logo, função não é injetor. 8

19 ) A cd ordend de P ssoci cord. f(ordend)=cord P ordend de P cord -/ - ordend: - cord: 0 ordend: -/ cord: ordend: 0 cord: / ordend - 0 -/ 0 / 0 cord ordend: / cord: ordend: cord: 0 - -/ / 9

20 3) (F) (I) f (+b) = f() + f(b) f ( b) b b f ( ) f ( b) b b Queremos sber se b b b b Pr =- e b=, temos: = +, que é flso. (V) (II) f (b) = f(). f(b) Queremos sber se b b b b É verdde, pois b = b. (F) (III) cf() = f(c) c Queremos sber se c c Pr c= e =, temos: =, que é flso. 4) f() = 4 e f( + ) = 3f() -. =0 f(0+) = 3f(0) f() = 3f(0) 4 = 3f(0) Logo, f(0) = (4 + )/3 =. 0

21 5) f() é distânci de té -3 d=f(-4)= d=f()= Se > -3, distânci d=f() é + 3. Por eemplo: se =-, d=f(-)=-+3= se =, d=f()=+3=4. Se < -3, distânci d=f() é Por eemplo: se =-4, d=f(-4)=-(-4)-3= Assim, f() = + 3, se , se <-3

22 RESPOSTAS ) D ) C 3) A 4) C 5) B 6) D 7) D 8) E 9) D 0) A ) D ) A 3) D 4) C 5) B 6) A 7) D 8) E 9) B 0) D ) A ) B 3) B 4) C 5) D