IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

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1 IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três primeirs coluns à qurt colun (Teorem de Jcobi), temos: det M = = =5 log ( n ) log (n + ) log (n ) log (n ) log ( n ) log (n + ) log (n ) 3log (n ) + log (n + ) Desenvolvendo gor qurt colun pelo Método de Lplce: det M = (3log (n ) + log (n + ))( ) + = 5 nde desenvolvendo temos: 3log (n ) + log (n + ) = 5 log (n )3 (n + ) = 5 (n )3 (n + ) = 3 (I) De (I), por inspeção, temos que n= 3 é riz (3. = 3). Assim, (n )3 (n + ) = 3 (n 3)(n3 + n + 3n + ) = E testndo s possíveis rízes rcionis de n3 + n + 3n + (que são d form ± / ± ), nenhum funcion, logo 3 é únic riz nturl.

2 Questão Considere o polinômio P(x) = x 3 + x + b de coeficientes reis, com b. Sbendo que sus rízes são reis, demonstre que <. Considerndo β um riz de P(x) =, então, P(β) =. Dividindo P(x) por x- β, temos: β b β β + β 3 +β+b = R(x) Desse lgoritmo obtemos equção x + βx+( β +) = que possui dus rízes reis. Assim, Δ= β ( β + ) 3β 3β + * Como β (pois b e R(x) = β 3 + β + b deve ser nulo), temos que < (c.q.d.). Questão 3 Considere um pirâmide regulr de ltur h, cuj bse é um hexágono ACDEF de ldo. Um plno perpendiculr à bse e contendo os pontos médios ds rests A e C divide pirâmide em dois poliedros. Clcule rzão entre os volumes destes dois poliedros. bserve os cortes d figur. G G G A M F P Q N C E D P h λ Q h C AC N x Q M A Neles temos: Q =, D semelhnç entre triângulos G e QP vem: 3 MQ = QN =,.. sen 3 A = = MN 6 PQ Q PQ h = = PQ = G h Sendo V o volume do tetredro NMQ, V o volume d pirâmide originl e V o do sólido com vértices nos pontos M, N, C, D, E, F, A, P e G, temos: 3 h V = 3 6 V V = V V V 6, e ind: V = V V = = = 6 = 5 3 V V V V V = 6 h 3

3 Questão Clcule sen (x + ) em função de e b, sbendo que o produto b, que senx + sen = e que cosx + cos = b. Trnsformndo s soms em produtos temos: E dividindo I por II temos: Dí, lembrndo que Temos: x+ x sen( x) + sen( ) = sen cos = ( I) x+ x cos( x) + cos( ) = cos cos = b ( II) x + tg = b x tg sen x = x + tg b sen( x + ) = b = + b + b Questão 5 Sej um função f : R {} > R, onde R represent o conjunto dos números reis, tl que f(/b) = f() f(b) pr e b pertencentes o domínio de f. Demonstre que f é um função pr. Pr que f sej pr devemos ter f() = f(-), ou ind f()-f(-)=. E pr função dd terímos: f()-f(-) = f(/-) = f(-)=, pr R {} (condição pr f pr). Clculndo f ( ) temos: f( ) = f(/-) = f() f( ) f( ) = f( /) = f( ) f() (i) (ii) E somndo (i) + (ii), temos: f( ) =, logo: f( ) =, e então, f() = f( ), ou sej, f(x) é pr (c.q.d.). Questão 6 Sendo, b e c números nturis em progressão ritmétic e z um número complexo de módulo unitário, determine um vlor pr cd um dos números, b, c e z de form que eles stisfçm iguldde: + + = Z b c Z Z Z

4 Tomndo w = /Z temos: Como (, b, c) é um P.A. vem: Em que r é rzão d P.A. b c w + w + w = w e w =. ( ) + r + r w w w w + + =, ( ) r r w w w + + = r r Fzendo w = e w = w e lembrndo que r é inteiro podemos tomr w = i e r = pr primeir equção e observndo segund temos i = i - - = k + = k, tomndo k = 3 vem =. Finlmente um solução poderi ser: =, b= 3, c =, w= i e z = = i. i Questão 7 Considere prábol P de equção = x, com > e um ponto A de coordends (x, ) stisfzendo < x. Sej S áre do triângulo ATT, onde T e T são os pontos de contto ds tngentes P pssndo por A. ) Clcule o vlor d áre S em função de, x e. b) Clcule equção do lugr geométrico do ponto A, dmitindo que áre S sej constnte. c) Identifique cônic representd pel equção obtid no item nterior. ) Fzendo intersecção entre ret tngente e prábol temos: = x = m( x x) =x Y T t: - = m(x-x ) De onde si, x mx + mx = ( I) E, fzendo Δ = : x ± 6 x 6 m mx m m x x ( ) = = = ± T A(x,) X (um vlor pr T e outro pr T ) Voltndo em (I) e fzendo x = k vem : x x k x k = ± = ( ± ) e portnto T x k x k e T x k x k ( +, ( + ) ) (, ( ) ) x S = x + k x + k x k x k ( ) ( ) ( ), 3 S = k x + k Que voltndo com o vlor de k nos dá: 3 ( x ) S =

5 b) Sendo S constnte temos: ( x ) S S = = x 3 3 c) A equção presentd no item nterior é de um prábol ns vriáveis x e, que é idêntic à originl qundo trnsldd em o longo do eixo. 3 S Questão 8 Demonstre que o número...5 ) ( n vezes nvezes é um qudrdo perfeito. Podemos escrever o número ddo (N) d form N = n lgrismos n+ lgrismos n 3 n Sej n = = = (I) n lgrismos n+ D mesm form sej n =... =. (II) n+ lgrismos Portnto, de (I) e (II), n n+ n n+ n n n ( ) + ( ) N = = = = 3 3 Logo, consideremos: (I) deix resto qundo dividido por 3, logo n tmbém deix resto qundo dividido por 3; (II) 5 deix resto qundo dividido por 3. De (I) e (II) vem que n +5 é divisível por 3, ou sej, n n + 5 Disso vem que é um qudrdo perfeito. 3 Questão Ao finl de um cmpeonto de futebol, somrm-se s pontuções ds equipes, obtendo-se um totl de 35 pontos. Cd equipe jogou com todos os outros dversários pens um vez. Determine quntos emptes houve no cmpeonto, sbendo que cd vitóri vli 3 pontos, cd empte vli ponto e que derrots não pontuvm. Sendo V quntidde de jogos que terminrm com um vencedor, E quntidde de jogos que terminrm emptdos e n o número de times prticipntes do torneio, temos: 3V + E = 35 nn ( ) V + E = Cn, = 3V + E = 35 V + E = n( n ) que nos dá: V = 35 n( n ) e 3 nn ( ) 7 E = Lembrndo que n, V e E são inteiros não negtivos vem: n = 6, V = 5 e E =.

6 Questão Um qudrilátero convexo ACD está inscrito em um círculo de diâmetro d. Sbe-se que A = C =, AD = d e CD = b, com, b e d diferentes de zero. ) Demonstre que d = bd +. b) Se, b e d são números inteiros e é diferente de b, mostre que d não pode ser primo. ) i) No triângulo AD (que é retângulo em ) temos: = d e cos α = d A λ α x d C b AC=x D= D ii) No triângulo CD: = + b bcos(8 α) = + b + bcos( α) De i e ii vem: d = + b + b d b + b+ d d =, Que é um equção de o gru em b, logo: 8 ±.. ( d d + d ) ± d d b= b= d d ( d ) ± ± b= d d b= d d ( d ) Como b > vem: d b= + d d bd = + d = + d bd b) Do item nterior temos: d = db+, ou d( d b) = E por bsurdo vmos supor d primo, i) d = b = e =, que é um bsurdo pois b. ii) se d é primo mior do que, então d primo de e portnto menor que ou igul, o que tmbém é um bsurdo pois d é hipotenus e cteto no ΔAD. De i e ii vem que d não é primo. (c.q.d)

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