Matemática B Extensivo V. 8
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- Aníbal Fidalgo Barbosa
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1 Mtemátic B Extensivo V. 8 Resolv Aul ) = ; b = c = + b c + 9 c = Distânci focl = c 0 9.0) x = 0 0 x = ; b = c = + b c = + c = Como o eixo rel está sobre o eixo e o centro é (0, 0), então F 1 (0, ) e F (0, ). Além disso: = b = Aul ) x 8 18 x 9 ; b = Como o eixo rel está sobre o eixo x, então: m = ou m =. Centro (0, 0) 0 = (x 0) ou 0 = (x 0) = x ou = x 0.0) F 1 (, 0); F (, 0) c = c = + b Como = b, então: = + = b x Aul ) ) V(1, 1) d V, d = d V, F 9 = Assim, p =. Equção: (x x 0 ) = p( 0 ) (x 1) ( 1) b) De cordo com A figur, p = e V(0, 0). ( 0 ) = p(x x 0 ) = 1x 1.0) F(, ) Diretriz: = d F V Com figur, concluímos que p e V(, ). (x x 0 ) = p( 0 ) (x ) = ( ) x Mtemátic B 1
2 Testes Aul ) = 7 = 7 c = 8 c = c = + b 1 = 7 + b b = b = 9.0) c = 0 c e = c = 1 = c = + b + b b = 9 = e b 8 9.0) P(, 1); F 1 (, ); F (, ) Num hipérbole, temos: d d = PF1 PF 9 1 = = = = c = d F, F 1 c = c = c = c = + b = + b 0 + b b b b = 0 Assim: ) = b) c = c) b = ) x 1 x = ; b = Eixo rel: = Eixo imginário: b = c = + b c = + c = 7 Como o centro é origem e o eixo rel está sobre o eixo x, então F 1 ( 7, 0) e F ( 7, 0). 9.0) ) A (, 0); B (0, ) = ; b = ; centro (0, 0) x 9 b) A 1 (0, ); B 1 (, 0) = ; b = Centro (0, 0) x 9.0) F 1 (0, ); F (0, ) c = b = 8 b = c = + b = + 1 = 0 = Como o centro é (0, 0) e o eixo rel está sobre o eixo, então x. 0 1 Excentricidde e = c = = 9.07) Centro (0, 0) c c = e = c = = =. c = + b 8 + b Mtemátic B
3 18 1 = b b = 1 = b x b x 9 x ) F 1 (, 0); F (, 0) c = e = c = = = c = + b = 9 + b b = x ) x x = ; b = c = + b c = + c = 9 10x 1 1 Focos: F 1 ( 9, 0); F ( 9, 0) Vértices: A 1 (, 0); A (, 0) Excentricidde: e = ) F 1 ( 1, 0); F ( 1, 0) c Como P(1, 0) é um ponto d hipérbole, então: d d = PF1 PF ( 1 1) ( 1 1) = 1 1 ( 1 1 ) = = c = + b 1 + b b x ) A 1 (, 0); A (, 0) = e = c = c = c = F 1 (, 0); F (, 0) 9.1) A 1 (, 0); A (, 0) = Equção: x 1 b Como P(8, ) pertence à hipérbole, então: 8 1 b b = b b = Logo: x 1 x 1 9.1) A 9.1) D x 1 x 1 ; b = c = + b c + c = e = c ) = ; b = c + 9 c = Mtemátic B
4 c 0 e = 9.1) OV 1 OF 1 = = c = c = + b + b b x 1 1 x 9.17) c = e = c = = = c = + b = 9 + b 9 =b = b Considerndo o centro (0, 0) e o eixo rel sobre o eixo x, obtemos: x 9 x ) x 9 = ; b = As rets que pssm pel origem têm equção = mx, em que m é o coeficiente ngulr, ou x = 0. Se m = tg =, ret = x contém digonl AC do retângulo ABCD e é chmd de ssíntot d hipérbole (ret que tngenci curv no infinito). Portnto, tod ret = mx com m não tngenci hipérbole. De form simétric, se m, tmbém obtemos o mesmo resultdo. Conclusão = mx, com m ou m ou x = ) E x ; b c + 1 c = c = = 8 Aul ) F 1 (8, 0); F ( 8, 0) c = 8 Como = b, então: 8 = + = = b = x 0.0) = 8 = b = x ) ) x 1 9 = ; b = ; centro (0, 0) Coeficiente ngulr: m x b) x 8 x Mtemátic B
5 ; b 8 Centro (0, 0) m 1 x ) x b Como s ssíntots são x,então b = b =. Como P(, ) pertence à hipérbole, temos: 1 b 1 ( ) = = b = c = + 1 c = e = = 0.0) E x 1 = ; b = 8 8 Coeficiente ngulr: m Assíntots: x 0.0) ( x ) 1 9 Centro (1, 0) = ; b = Coeficiente ngulres: m = Equções 0 = x 1 = x ) x 00 )x x b)c(0, 0) c) = ; b = c = + b c = + c = 9 c = 9 d) F 1 ( 9, 0); F ( 9, 0) e) 0 f) b = g) m = = x 0.08) 9x x = 0 9. (x x). ( + ) = 9. (x x + ). ( + + 9) + = 9. (x ). ( + ) = ( x ) ( ) 9 Centro (, ) = ; b = c = + 9 c F 1 ( + 1, ); F ( 1, ) 0.09) C(0, 0) 0 = F 1 ( 7, 0) c = 7 Excentricidde: e = 7 c = + b 9 = + b b = b = Assíntots m = = x Equção: x 0.10) x 0x 8 = 0. (x x). ( + ) =. (x x + ) 0. ( + + 1) + =. (x ). ( + 1) = 0 0 ( x ) ( 1) Mtemátic B
6 ) C(, 1) b) = = c) A 1 ( +, 1) = A 1 (, 1) A (, 1) = A (0, 1) d) b = b = e) c = + c = F 1 ( +, 1) = F 1 (, 1) F (, 1) = F ( 1, 1) f) m = = x 0.11) x 1 9 = ; b = c + 9 c = F 1 (, 0); F (, 0) B (0, ) 0.1) c 0 c = = b c = + b = = b = Supondo centro (0, 0), podemos obter: x x = ou x x = 0.1) D x 1 9 = ; b = m = Assíntots: = x 0.1) A (, 0) = Centro (0, 0) Hipérbole equilátero b = = Áre 0. Observção: Se B (0, ), o vlor continu sendo o mesmo. 0.1) = b = 8 = b = Supondo centro (0, 0), temos: x 1 1 Equção: x x = Assíntots m = x Excentricidde c = + = 8 c = e = e = Mtemátic B
7 Aul ) F(1, 0) Diretriz: x = 1 1.0) Vmos resolver o sistem: mx x x Substituindo n 1 equção, temos: = m. + m + = 0 Como ret cort prábol, equção tem solução. > 0 1. m. > 0 De cordo com desenho, V(0, 0) e p. ( 0 ) = p. (x x 0 ) = x 1.0) = 0x ( 0) = 0. (x 0) V(0, 0); p = 0 p 1 > m 1 > m 1.0) x + x = 0 (x + ) = 0 (x + ) + 8. ( + 1) = 0 (x + ) = 8. ( + 1) Vértice: V(, 1) p = 8 p = Foco: F(, ) Diretriz: 1.07) F(, ); V(1, ) Foco: F 1, 0 Diretriz: x = 1 1.0) V(0, 0) = px Pss por (, ). ( ) = p. p p = x 1.0) x = m (, ) pertence à prábol: 1 = m m = 8 x = 8; V(0, 0) p = 8 p = Foco: F(0, ) ( ) =. (x 1) ( ) (x 1) 1.08) C x + x + = 0. (x + x) + = 0. (x + 1) + = 0. (x + 1) +. ( ) = 0 (x + 1) = ( ) V( 1, ) Mtemátic B 7
8 1.09) A Pelos ddos do problem, prábol = x + bx + c pss pelos pontos (0, 0) e (, ). Logo: 0 =. 0 + b. 0 + c c = 0 = + b + 0 = + b Como ret = é tngente à prábol no ponto P(, ), obtemos: Pelo desenho, temos: x V = b = b = Substituindo em = + b, encontrmos: = = = 1; b = Logo, + b + c =. 1.10) B x + 1 x Elipse 1.11) B x 1 m( x1) x 1 = mx m x mx + m 1 = 0 Como ret tngenci prábol, equção cim tem rízes iguis. = 0 m. (m 1) = 0 m' = m m + = 0 m" = 1.1) Pelo desenho, s rízes são 1 e 1. =. (x + 1). (x 1) Como pss por (0, 18), obtemos: = 1 8 = 1 8. (x 1) Pr x = 8, temos: = 1 8. ( 1) = 1 8. ( 80) 0 1.1) V(1, 1); F(1, ) p (x 1). ( 1) Os pontos de intersecção são obtidos com resolução do sistem: ( x 1).( 1) (x 1) =. ( 1) (x 1) x 1 = x = ou x 1 = x = Pontos P(, ) e P(, ) 1.1) (x 1) + ( 1) Centro: C(1, 1) = (x 1) Vértice: A(, 1) (x 1) ( ) Centro: B(1, ) Elipse: centro C(1, 1) Vértices: A(, 1); B(1, ) = ; b = ( x 1) ( 1) 9 8 Mtemátic B
9 1.1) A x mx = x + mx + x + mx + = 0 Pr que ret não intercepte prábol, equção cim não deve ter rízes reis. < 0 m.. < 0 m 1 < 0 < m < 1.1) Ret que pss por C(, ): + = m. (x ) Como tngenci prábol, o sistem bixo tem únic solução. ( x ) m.( x ) (x ) + + = mx m x 8x = mx m x (8 + m)x + + m = 0 (*) Queremos então = 0. [ (8 + m)]. 1. ( + m) = 0 + 1m + m 88 1m = 0 m = 0 m' = ; m" = Substituindo m = n equção (*), encontrmos: x (8 + )x = 0 Como = 0, já podemos concluir que: x' = x" = 8 = + Substituindo m =, obtemos: x (8 ) + 8 = 0 Novmente, já sbemos que = 0. x' = x" = 8 = Qulquer um desses vlores, qundo substituídos em = (x ) + produzem: = ( + ) + = + = 8 Portnto os pontos de tngênci A e B são: A( +, 8) e B(, 8). Agor, é fácil vermos que distânci de C à ret que pss por A e B é 1. Aul.01) A sen x cos x = 0 sen x = cos x.0) x = x = + k ; k z. (1 + k); k z Em ABC, sen 0 o = BC = x BC. x x x o sen 0 Mtemátic B 9
10 .0) x CDB ~ CBA DC BC BC AC x x 0 x x x + 0 = x x + 10 = x 10 = x b sen = sen. x = x x + = x + x = x = x = ; = < m < 1 < m < 1 Menor vlor inteiro de m. m =.0) C = sen x Período: p = m =.07) D f(t) = t é um função crescente, logo f(x) = sen x ssume vlor máximo qundo o expoente sen x for máximo. Assim, x =..08) C cos x = cos x cos x = cos. cos x + sen. sen x cos x 1 senx cos x senx.0) R º R 0p tg x = Pr 0 < x <, x = ou x = 7 Comprimento R 0 R o o Ângulo 0 o o R = 88 m.0) B sen x = m 1 ; < x < Pr < x <, 1 < sen x < 0 1 < m 1 < 0 < m 1 < 0.09) C f(x) = x x tg Vlor mínimo v = = 1..( tg ) = 1 1.( 1 tg ) = 1 sec = cos cos ou cos = 1 10 Mtemátic B
11 .10) A Como 0 < <, então: = ou = [0, ] cos + sen 1 = 0 1 sen + sen 1 = 0.( 1) sen sen = 0 sen. (sen 1) = 0 sen = 0 = 0 = = ou sen = soluções.11) tg x + cotg x =.1) senx cos x + cos x senx = sen x cos x = senx.cosx 1 = sen x. cos x sen x. cos x x() sen x. cos x = sen x = (1 ) = + x 0x. 0 = + x 1 x 0 = x 1 x = 0 =. x = 1 1 Só fz sentido se: x.( )..1) B x k x x + (x + k) = x + x + xk + k = x + kx + k = 0 Ess equção deve ter dus rízes distints pr que ret intercepte circunferênci em dois pontos distintos. > 0 k.. (k ) > 0 k 8k + 1 > 0 k k + > 0 k + > 0 < k <.1) A(, ); B(0, ) )Ponto médio: M(1, 1) Como ret = kx + k pss por M, temos: 1 = k + k 1 = k k b)p(0, 0) r: = x + 1 Lei dos senos o sen sen Lei dos cossenos + x. 1. x. cos o o x 1 x + 1 = 0 d P,r = x b c = b = = 1 = = 1. = Mtemátic B 11
12 .1) A 1 ) C(0, ); R = (x 0) + ( ) = x + + = x + = )C(, 0); R = (I) (x ) + ( 0) = x x + + = x + = x (II) Pr obter os pontos de encontro, vmos resolver o sistem ddo por I e II. x x x x = x Substituindo em I, encontrmos: x + (x) =. x x + x = x x x = 0 x. (x ) = 0 x' = 0; x" = Pontos de encontro x = 0 = 0 x = = 8 Solução:,.1) A 8 x x DAB é retângulo em B. Como s rets CB e DA são prlels, então BDA ^ = CBD ^ = e ssim são semelhntes os triângulos BDA e CBD. 8 z z = 8 z Em BDA, temos: 8 = x + z = x + 8 = x + 8. (10 x) = x x 0 = x 8x + 1 x' = x" = Logo, =..17) x kx + k + k = 0 )Som = b = k b) Produto = c = k + k c) Rízes: sen e cos Produto: sen. cos = k + k Som: sen + cos = k Elevndo o qudrdo, obtemos: (sen + cos ) = (k) sen cos + sen. cos = k 1 +. (k + k) = k 1 + k + k k = 0 k + k + 1 = 0.( 1) k k 1 = 0 =.. ( 1) x = 1 x = x.18) A(0, 1); B(, ); C(, ) 0 x 0 ) = x + + x = 0 x + = 0 x + 1 = 0 b)(x x 0 ) + ( 0 ) = R (x ) + ( ) = x x = x + x + 9 = 0 c) r: x + 1 = 0 x = 1 Se P(x, ) está em r, então: P( 1, ) C(, ) d P, c = ( 1 ) ( ) ( ) = = = 0 ' = x' = " = x" Pontos: P(, ) e P(1, ) 1 Mtemátic B
13 .19) B r: = x + P(x, ) está em r. P(x, x + ) Origem: Q(0, 0) d P, Q = x ( x ) ( ) x + x + 8x + = x + 8x = 0 x. (x + 8) = 0 x' = 0 ou x" = 8 As bcisss de A e B são 0 e 8. Som: 0 8 = 8 0. Incorret. C(, ) 0. Corret. d r, c =.. 10 = 1 9 = 08. Incorret. Como distânci d ret r o centro é menor d que o rio R (vej item 0), r é secnte à circunferênci. 1. Corret. x + 10 = 0 = x + 10 = x 10.0) 1 C: (x ) + ( ) Centro (, ) Rio: R = r: x + 10 = Corret..1) C P Coeficiente ngulr: Função decrescente x x Q O mior segmento possível deve tngencir circunferênci menor, produzindo o triângulo retângulo cim, em que x =. Dí, PQ = 8. Mtemátic B 1
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