GEOMETRIA ESPACIAL. 1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é. 2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é

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1 GEOMETRIA ESPACIAL 1) O número de vértices de um dodecedro formdo por triângulos é () 6 (b) 8 (c) 10 (d) 15 (e) 0 ) O número de digonis de um prism octogonl regulr é () 0 (b) (c) 6 (d) 40 (e) 60 ) (UFRGS) A figur bixo represent plnificção de um sólido () 180 (b) 60 (c) 480 (d) 70 (e) 1440 O volume desse sólido, de cordo com s medids indicds, é 1

2 4) N figur, M é o ponto médio d rest. Qul probbilidde de um ponto escolhido o cso n superfície do cubo pertencer à região sombred? M () 1/ (b) 1/6 (c) 1/8 (d) 1/10 (e) 1/1 5) (UFRGS) N figur, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume d pirâmide de bse ABCD e vértice O é () 1/ (b) 1/ (c) 1/4 (d) 1/6 (e) 1/8 O D C B A 6) (UFRGS) Um cubo e um hexágono regulr estão representdos n figur bixo. Os vértices do hexágono são pontos médios ds rests do cubo. () 6 (b) 410 (c) 68 (d) 610 (e) 1 Se o volume do cubo é 64 cm, então áre d região sombred é

3 7) (VUNESP) Um copinho de sorvete, em form de cone, tem 10 cm de profundidde, 4 cm de diâmetro no topo e tem í colocds dus conchs semiesférics de sorvete, tmbém de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter pr dentro do copinho, podemos firmr que () não trnsbordrá. (b) trnsbordrá. (c) os ddos são insuficientes. (d) os ddos são incomptíveis. (e) tods s firmções nteriores são flss. 8) (UFRGS) Um octedro tem seus vértices loclizdos nos centros ds fces de um cubo de rest. O volume do octedro é () / (b) 4/ (c) (d) 8/ (e) 10/ 9) (VUNESP) Um esfer E de rio r está inscrit em um cubo e outr F está circunscrit esse mesmo cubo. Então rzão entre os volumes de F e de E é igul () (b) (c) / (d) (e) 4/

4 10) (UFGRS) N figur bixo está representd plnificção de um prism hexgonl regulr de ltur igul à rest d bse. Se ltur do prism é, seu volume é () 4. (b) 6. (c) 8. (d) 10. (e) 1. 11) Um copinho cônico circulr reto de 10 cm de ltur contém sorvete, conforme figur. Quer-se dividir igulmente o sorvete entre dus pessos segundo um corte reto prlelo à bse. A que distânci do vértice deve ser feito o corte? () 5 cm (b) 5,5 cm (c) 5 cm (d) 5 cm (e) 5 4 cm 1) No Mottol, um copo de cfezinho tem o formto d figur, onde os diâmetros dos círculos ds bses medem cm e 5 cm e ltur mede 5 cm. A lterntiv que contém o vlor mis próximo d cpcidde do copo, em ml, é () 8 (b) 16 (c) (d) 64 (e) 18 4

5 1) (UFRGS) Um sólido é totlmente mergulhdo em um cilindro contendo águ, cusndo elevção do nível d águ em 1,5 cm. Se o rio d bse do cilindro mede 5 cm, o volume do sólido é de () 6,5 cm (b) 10 cm (c) 15 cm (d) 5 cm (e) 7,5 cm 14) (PUC) Um cubo de rest é seciondo por um plno conforme figur bixo. O volume do sólido que foi retirdo é () /6 (b) (c) /6 (d) /1 (e) 8 / 15) (UFGRS) Dus esfers de rio r form colocds dentro de um cilindro circulr reto com ltur 4r, rio d bse r e espessur desprezível, como n figur bixo. Nesss condições, rzão entre o volume do cilindro não ocupdo pels esfers e o volume ds esfers é () 1/5. (b) 1/4. (c) 1/. (d) 1/. (e) /. 5

6 16) Um quário tem form de um prlelepípedo reto retângulo com s seguintes dimensões interns: 50cm de comprimento, 0cm de lrgur e 40cm de ltur. Esse quário contém águ té ltur de 0 cm. Desej-se colocr nesse quário objetos cilíndricos mciços e idênticos de densidde mior do que densidde d águ. Sbendo-se que ltur e o diâmetro desses cilindros medem 10 cm e considerndo π =,14, quntidde máxim desses objetos que pode ser colocd no quário, de modo que águ nele contid não trnsborde, é () 15 (b) 16 (c) 19 (d) 0 (e) 1 17) (FFFCMPA)Um esfer metálic de rio cm é colocd dentro de um recipiente cilíndrico que contém águ, cujo rio d bse é de 6 cm. Supondo que não hj trnsbordmento de águ, pode-se firmr que o nível d águ sobe () cm (b),5 cm (c) cm (d) 1,5 cm (e) 1 cm 18) (FFFCMPA) Dus esfers tngentes estão press por um fio um hste verticl, tocndo-, como mostr figur. O ponto A, onde o fio é preso à hste, e os centros B e C ds dus esfers estão linhdos. Sendo d(b,c) = d(a,b), rzão entre o volume d esfer menor e o volume d esfer mior é () 1/7 (b) 1/16 (c) 1/9 (d) 1/8 (e) 1/4 A B C 6

7 19) (UFRGS) N figur bixo, P é o centro d fce superior de um cubo. A pirâmide de bse hchurd tem um de seus vértices em P. P () (b) (c) 4 (d) 6 (e) 8 Se o volume d pirâmide é 1, então o volume do cubo é 0) (UFRGS)A prtir de qutro dos vértices de um cubo de rest 6, constituído com mdeir mciç, form recortds pirâmides tringulres congruentes, cd um tendo três rests de medid, conforme representdo n figur 1, bixo. O sólido obtido pós retird ds pirâmides está representdo n figur, bixo. O volume do sólido obtido é () 198. (b) 04. (c) 08. (d) 1. (e) 16. 7

8 1) (UFGRS)A figur bixo represent um prism reto de bse hexgonl regulr. Considere s seguintes plnificções. Quis dels podem ser plnificções do prism? () Apens I. (b) Apens II. (c) Apens I e II. (d) Apens II e III. (e) I, II e III. 8

9 ) (UFRGS) A figur bixo represent plnificção de um pirâmide de bse qudrd com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero. D C V A B O volume d pirâmide é () 1 (b) 7 (c) 6 (d) 7 (e) 108 ) (UFRGS) Um reservtório tem form de um cilindro circulr reto com dus semiesfers coplds em sus extremiddes, conforme representdo n figur bixo. O diâmetro d bse e ltur do cilindro medem, cd um, 4 dm, e o volume de um esfer de rio r é 4 πr. Dentre s opções bixo, o vlor mis próximo d cpcidde do reservtório, em litros, é () 50. (b) 60. (c) 70. (d) 80. (e) 90. 9

10 4) (UFRGS) Considere figur bixo, que represent plnificção de um cubo. Qul dos cubos presentdos ns lterntivs pode corresponder o desenho d plnificção? 10

11 5) (UFRGS) Observe o sólido S formdo por 6 cubos e representdo n figur bixo Dentre s opções seguir, o objeto que, convenientemente composto com o sólido S, form um prlelepípedo é () (b) (c) (d) (e) 11

12 Resolução 1) Em 1 triângulos há 1=6 ldos. Cd rest do dodecedro é união de ldos de triângulos. Logo, há 18 rests. Cd rest do sólido é comum dois ldos de triângulos. F=1 e A=18 V + F = A + V + 1 = 18 + V=8 ) Como um digonl do prism não pode estr contid em um fce, com um extremidde no vértice A há pens 5 digonis (AB, AC, AD, AE, AF). A B C F E D Pr cd um dos 8 vértices d bse superior há 5 digonis: Totl: 85=40. ) Dobr 15 Dobr Dobr Emend O retângulo de ldos 15 e 8 será bse do sólido. Dobrndo nos ldos indicdos e unindo os ldos de comprimento 1, temos: 1

13 É um pirâmide retngulr de bse B=158 ltur 1. V B H ) M M A áre do triângulo sombredo é metde d áre do qudrdo, fce do cubo. No cubo há 6 fces. Logo, áre totl do cubo corresponde à áre de 1 triângulos sombredos. Portnto, chnce de escolher um ponto no triângulo é 1 em 1, ou sej, 1/1. 5) C O volume d pirâmide de bse ABCD e vértice em O é um D terço do volume do semicubo. Logo, o seu volume é um sexto do O B volume do cubo. Se o volume do cubo é 1, então o volume d pirâmide é 1/6. A 6) O volume do cubo de rest é. Se =64, então =4. A x B C No triângulo retângulo d figur com vértices ABC, temos: x = + x = x = 8 x= 1

14 A região sombred é um hexágono regulr de ldo x, formdo por 6 triângulos equiláteros de ldo x. x 8 A A su áre é ) 10 As dus semiesfers formm um esfer de rio, cujo volume é 4 4 V r. O copinho é um cone de rio e ltur 10, cujo volume é B H r H V 40. Como o volume do sorvete é menor do que o volume do copinho, qundo derreter não trnsbordrá. 8) 1 1 Visão Superior O qudrdo de ldo l= e áre B=( ) = é bse d pirâmide superior. A ltur d pirâmide superior é H=1. B H 1 Logo, o volume d pirâmide superior V. O octedro é formdo por dus pirâmides dests. 4 Logo, o seu volume é V 14

15 9) I. O ponto O pertence o plno BDE: Flso. O plno que pss por B, D e E, que é um superfície infinit, contém o triângulo sombredo BDE. Se O não pertence o triângulo, então tmbém não pertence o plno. E D O B II. O ponto O pertence o plno ACG: Verdde. Os pontos A, O e G estão em um digonl do cubo. Logo, são colineres. Assim, O pertence o ldo AG do triângulo sombredo ACG. Se está no triângulo, está no plno que contém o triângulo. G A O C III. Qulquer plno contendo os pontos O e E tmbém contém C: Verdde. Os pontos E, O e C estão em um digonl do cubo. Logo, são colineres. Assim, O pertence à ret r que contém E e C. Qulquer plno que contém O e E, tmbém contém r. Se Or e r, então Oα. E O C r 15

16 10) No prism hexgonl B regulr ltur igul à rest d bse. Ambs vlem. H= A bse é um hexágono regulr de ldo. Logo, o volume do prism é V B H ) Este hexágono é formdo por 6 triângulos equiláteros de ldo. 4 Su áre vle B x V V V x V 10 1 x x =500 x ) h h h 5 5 5h = h+15 h=15 5 1,5 V h=15/=7,5. (,5) 1,5 81,77 5 V (1,5) 7,5 1 17,66 V V 1 = 81,77-17,66 =64,11 16

17 1) O volume do sólido é o mesmo volume do líquido deslocdo, ou sej, o do cilindro ssinldo, de rio 5 e ltur 1,5. 1,5 5 O volume deste cilindro é V r H 5 1,5,7. 14) Pr um melhor visulizção vmos seccionr em outro ldo, ou ind, vmos virr o cubo: O sólido retirdo é um pirâmide não ret com ltur H= e bse tringulr. H= bse h= B O seu volume é b h B b= V B H 6 17

18 15) r r 4r Volume do Cilindro: BH = r 4r = 4r. Volume ds dus esfers: 4 r 8 r r Volume do Cilindro não ocupdo pels esfers: 4 r 4 r 4 r 4 (1 ) r Rzão entre o volume do cilindro não ocupdo pels esfers e o volume ds esfers: 4 r 8 r ) Volume do cilindro: V 1 =r H = 5 10=510. Volume d prte do quário que está sem águ: V = V A quntidde de cilindros será 0. V 510 Se fosse, dri 0. Como é um pouco mis que, dá um pouco menos do que 0. Pels lterntivs, sem necessitr efetur conts, observmos que é

19 17) h 6 6 O volume d esfer é V = 4πR = 4π = 6π O Volume do líquido deslocdo, que corresponde um cilindro, é V = R h = 6h. Pr que os volumes sejm iguis, h=1. 18) A x D r B x x E R C Os triângulos ABD e ACE são semelhntes: x x = R r Logo, R = r A rzão entre o volume V 1 d esfer menor e o volume V d esfer mior é V 1 V = 4πr 4πR = r R = r (r) = r 7r =

20 19) P Se bse d pirâmide coincidisse com bse do cubo, então o volume do cubo seri vezes o volume d pirâmide. Como bse d pirâmide é metde d bse do cubo, então o volume do cubo é 6 vezes o volume d pirâmide, ou sej, 6 1 = 6. 0) Cd pirâmide retird tem ltur H= e como bse B um triângulo retângulo, conforme figur: Dest form, B = ( ) / = 9/ O volume de cd pirâmide retird é V = (B H)/ = (9/) / = 9/. O volume do sólido é o volume do cubo, descontds 4 dests pirâmides: 6 4 9/ = =

21 1) Considere s seguintes plnificções. (F) (I) Não pode ser, um vez que n plnificção, os pentágonos estão ligdos e no sólido, s bses estão distntes. (V) (II) Ligndo-se os ldos esquerdo e direito do retângulo centrl n plnificção, obtemos superfície lterl do cilindro. Os pentágonos d plnificção formrão s bses do cilindro. (V) (III) Mesmo rgumento do item (II). 1

22 ) D C V A B V H 6 D C M A 6 B A bse B pirâmide é um qudrdo de ldo 6, logo su áre é 6. Sendo o triângulo ADV equilátero, AM= e AV=6. A ltur H d pirâmide é um cteto do triângulo retângulo AMV. Por Pitágors, 6 = + H 6 = 9 + H H = 7 H = 7 = O volume d pirâmide é V = B H = 6 = 6.

23 ) O diâmetro do cilindro é 4, logo o rio é. Se ltur é 4, então o volume do cilindro é V 1 = R H = 4 = 16. As dus semiesfers formm um esfer de rio e volume V = 4 πr = 4 π = π. Assim, o volume do reservtório é V 1 + V = 16 + / 48 + = 80 4) P b Ao fechr figur, os segmentos e b irão coincidir e um extremidde será o ponto P, situd no vértice do qudrdo sombredo com prte clr. P coincide com b P no vértice do qudrdo sombredo com prte clr.

24 5) Pr formr um prlelepípedo, é necessário um L idêntico o d bse pr sobrepô-lo. Além disto, no meio do L é necessário ter um prism com cubos, idêntico o d figur. Prism com cubos L d bse L idêntico o d bse () Prism com cubos no meio do L (b) (c) (d) (e) 4

25 RESPOSTAS 1) B ) D ) C 4) E 5) D 6) E 7) A 8) B 9) D 10) E 1) E 1) E 14) E 15) A 16) D 17) C 18) E 19) A 0) D 1) A ) D ) C 4) D 5) A 5