C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O

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1 C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O Nome: Nº: Turm: Professor: FÁBIO LUÍS Série: 1ª Dt: / / 01 LISTA DE EXERCÍCIOS TRIGONOMETRIA PARTE I 1 Os ctetos de um triângulo retângulo medem cm e 18cm Nesss condições determine: ) medid "" d ipotenus b) medid "" d ltur reltiv à ipotenus c) s medids "m" e "n" ds projeções dos ctetos sobre ipotenus As projeções dos ctetos de um triângulo retângulo sobre ipotenus medem 9dm e 1dm Neste cso os ctetos medem: ) 1dm e 0dm b) 10dm e 1dm c) dm e dm d) 8dm e dm No triângulo d figur seguir, clcule o vlor de x é: No triângulo ABC, AB = 1, BC = 1, CA = 1, M é ponto médio de AB, e Hé o pé d ltur do triângulo ABC do vértice A té bse BC Nesss condições dds, determine o perímetro do triângulo BMH Dois pontos A e B estão situdos n mrgem de um rio e distntes 0 metros um do outro Um ponto C, n outr mrgem do rio, está situdo de tl modo que o ângulo CAB mede 7º e o ângulo ACB mede 7º Determine lrgur do rio Ptrik Onom Étrico, um jovem curioso, observ d jnel do seu qurto (A) um bnc de revists (R), bem em frente o seu prédio, segundo um ângulo de 0º com verticl Desejndo vlir distânci do prédio à bnc, Ptrik sobe seis ndres (proximdmente 1 metros) té o prtmento de um migo seu, e pss vistr bnc (do ponto B) segundo um ângulo de 0º com verticl Clcule distânci d 7 (FGV) Pr levr su muler té o lto do pedestl, ou trzê-l té o cão, o viking us um escd medindo, m A escd fz um ângulo θ com o cão e sbe-se que: senθ = /; cosθ = / e tgθ = / Clcule ltur do pedestl

2 8 (UFSM) Um estudnte de engenri vê um prédio do cmpus d UFSM construído em um terreno plno, sob um ângulo de 0º Aproximndo-se do prédio mis 0m, pss vê-lo sob um ângulo de 0º Considerndo que bse do prédio está no mesmo nível dos olos do estudnte, então ltur, em metros, do prédio é igul : ) 0 b) 0 c) 10 d) 10 e) 8 9 Determine o vlor de x no triângulo ddo: 10 No triângulo ABC, os ldos AC e BC medem 8cm e cm, respectivmente, e o ângulo A vle 0º Clcule o seno do ângulo B No triângulo retângulo determine s medids x e y indicds (Use: senº = 0,91; cosº = 0, e tgº =,1) 1 Considerndo o triângulo retângulo ABC, determine s medids e b indicds senx, clcule: sen(90º x 1 Sendo ) ) b) cos( 90º x) c) cos x d) 1 tgx 1 Nos csos seguir considere x um ângulo gudo 1 ) sendo senx obten senx tgx 1 b) sendo tgx, obten cos x 1 Dê o vlor d expressão: cos ºtgº cos 0ºsen0º cos 0º cos 0º cos º 1 O ldo do qudrdo ABCD, d figur, mede cm e M é ponto médio do ldo CD Nesss condições, o vlor de tn é: ) b) c) d) 1 e) 1

3 Soluções: 1 Utilizndo s relções do triângulo retângulo, temos: ) cm ()(18) 0 ()(18) 7 b) ( 0) 18 1, cm (18) c) i) (18) (0)m m 10,8 cm 0 0 ii) 0 10,8 n n 0 10,8 19, cm Se s projeções medem 9dm e 1dm, então ipotenus mede (9 + 1) = dm Utilizndo s relções métrics, temos: i) (cteto 1) ()(9) (cteto 1) ()(9) ()() 1 dm ii) (cteto ) ()(1) (cteto ) ()(1) ()() 0 dm Escrevendo relção de Pitágors pr dois triângulos retângulos determindos pel ltur, temos: i) ii) x (,8) (,) x 1, 10, 10, 8, x 9 7 Clculndo o vlor d medid x trvés ds relções métrics nos triângulos ABH e AHC, temos: 1 1 (1 x) x 19 8x x 19 x 19 8x x 19 x 8x 19 9 x 10 8 Propriedde: A medin reltiv à ipotenus de um triângulo retângulo vle metde do vlor d ipotenus Demonstrção Considere o triângulo ABC, retângulo em B, sendo M o ponto médio d ipotenus AC Logo, BM é medin reltiv à ipotenus Prolongndo BM tl que BM = MD, temos os triângulos semelntes AMB e CMD Logo, AB = CD e BD = AC Concluímos que AM = BM Voltndo o problem, m = 1/ no triângulo BMH Logo o perímetro pedido é: 1/ + 1/ + = 18cm Observe figur e o ângulo ABC vle 180º - (7º + 7º) = 0º A lrgur do rio será ltur do triângulo retângulo formdo Como os ângulos CÂB e ACB são iguis, o triângulo ABC é isósceles Logo AB = BC = 0m Aplicndo rzão trigonométric envolvendo o seno, temos: H sen0º BC 1 sen0º H 0 H H 0m

4 O triângulo ABR é isósceles, com ângulos de 10º, 0º e 0º Logo, AR = 1m Aplicndo rzão do seno, temos: sen0º sen0º d 1 d 1 1 d 8 m 7 A ltur é o cteto oposto o ângulo de inclinção d escd e est represent ipotenus do triângulo retângulo Utilizndo rzão do seno, temos sen, sen, ()(,) 9, 1,9 m 8 Observe figur representndo situção No cso o triângulo obtusângulo é isósceles de ângulos 10º, 0º e 0º Aplicndo rzão trigonométric do seno no triângulo retângulo de cteto e ipotenus 0, temos: 0 sen0º 0 0 m 9 Trçndo ltur e utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: y i) ii) iii) x 1 cos 0º y y cm sen0º cm (8 ) 7 x 1 cm 10 Trçndo ltur e utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: i) 8 ii) 1 sen0º 8 cm senb senb

5 Utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: x i) 9 y ii) cos º y 9 9 senº x 9 0,91 x 8,19 0, y, 78 1 Utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: 1 i) b 1 ii) 1 tg0º b b 1 1 sen0º 1 1Utilizndo o fto de que se dois ângulos somm 90º o cosseno de um é igul o seno do seu complementr, temos: senx cos x 1 cos x ) sen x cos x 1 Logo, sen90º x cos x b) cos90º x senx c) 1 cos x d) 7 1 tgx Utilizndo relção fundmentl, temos: ) 1 senx 1 i) 1 cos 1 sen x cos x 1 1 senx ii) tgx cos x iii) senx tgx 1 x 1 cos x b) Utilizndo relção fundmentl, temos: tgx i) tgx ii) sen senx cos x x cos cos senx cos x x 1 x cos senx cos x cos x 1 1 cos cos x x 1 cos x cos x cos x 1 x cos 1 cos x x 1

6 1 Utilizndo s relções trigonométrics, temos: senº 1 cos º (sen0º )sen0º cos º senº sen 0º sen 0º cos 0º cos º 1 cos º Observndo figur e os ângulos indicdos, temos: x x 180º x 180º x 90º i) y x y 90º ii) tgy tg 1 1

7 PARTE II 17 Determine o vlor do cos de cordo com seguinte figur: 18 (UERJ) Um triângulo tem ldos, 7 e 8 A medid de um de seus ângulos é igul : ) 80º b) 0º c) 10º d) º e) 90º 19 (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 0 e os ldos djcentes este ângulo medem 1cm e cm O vlor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é: ) b) c) d) 7 e) 7 0 Sejm A, B e C pontos de um circunferênci tis que, AB = km, BC = 1km e medid do ângulo ABˆ C sej de 1 ) Clcule o rio dess circunferênci b) Clcule áre do triângulo ABC 1 (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circulr medem, do centro às extremiddes, metros, o dos minutos, e 1 metro, o ds ors Determine distânci entre s extremiddes dos ponteiros qundo o relógio mrc ors (UNESP) Cinco ciddes, A, B, C, D e E, são interligds por rodovis, conforme mostr figur A rodovi AC tem 0km, rodovi AB tem 0km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tis que senx = / e seny = /7 Desej-se construir um nov rodovi ligndo s ciddes D e E que, dd disposição dests ciddes, será prlel BC ) Use lei dos senos pr determinr quntos quilômetros tem rodovi BC b) Sbendo que AD tem 0 km, determine quntos quilômetros terá rodovi DE A medin AM de um tringulo ABC mede cm, divide o ldo oposto em dois segmentos iguis 1cm e form com esse ldo dois ângulos que diferem entre si de 0º Determine s medids dos ldos desse triângulo Resposts: 17) ; 18) b; 19) c; 0) Rio = 1) 7 m ; km ; Áre = km ; ) r e R = ; ) D; ) BC = 70km e DE = km; ) 7 cm ; cm e cm (FUVEST) A cord comum de dois círculos que se interceptm é vist de seus centros sob ângulos de 90 e 0, respectivmente, como é mostrdo n figur seguir Sbendo-se que distânci entre seus centros é igul 1, determine os rios dos círculos (Mckenzie) Supondo 1, 7 áre do triângulo d figur vle: ) 1,1 b) 1, c) 1,0 d) 1, e) 1,

8 PARTE III Um pneu de utomóvel, com 0,m de rio, percorreu um distânci de 80m Qunts volts deu o pneu? (Adote π =,1) 7 Um tlet deu volts num pist circulr de 0m de rio Que distânci percorreu? (Adote π =,1) 8 Um tol redond tem 1,m de rio Um muler pretende colocr rend em todo o perímetro d tol Quntos metros de rend serão necessários? (Adote π =,1) 9 Determine, em rdinos, medid do rco AMB (rco ABM = 7cm) 0 Determine, em grus, medid do rco AMB, d figur 1 Sbendo que medid do rco AMB é,rd, determine o comprimento desse rco em centímetros (UNICAMP) Um relógio foi certdo extmente o meio di Determine s ors e minutos que estrá mrcndo esse relógio pós o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de Resposts: ) 000 volts; 7) 908m; 8) 9,m; 9) 1,7 rd; 0) º; 1) 1,cm; ) 1min; ANOTAÇÕES: