TRIGONOMETRIA. Para graduar uma reta basta escolher dois pontos e associar a eles os números zero e um.

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1 TRIGONOMETRIA Pr grdur um ret bst escolher dois ontos e ssocir eles os números zero e um. A B 0 Com isto, ode-se reresentr n ret qulquer número rel. Pr grdur um circunferênci utilizremos o rio igul, onde teremos como comrimento dest circunferênci o vlor igul r = =. Imgine um onto A se deslocndo sobre circunferênci de rio unitário. y A r = x Se o número for ositivo, os ercursos deverão ser feitos no sentido ntihorário e se o número for negtivo, semre no sentido horário. Existe um diferenç muito imortnte r se grdur um ret e um circunferênci: enqunto que n ret cd onto corresonde um único número rel, n circunferênci cd onto corresonde um infinidde de números reis e todos diferem de múltilos inteiros de. MEDIDA DE ARCOS Usremos dois r unitários, definidos como: GRAU: é o rco unitário corresondente d circunferênci que contém o 360 rco ser medido. RADIANO: é um rco unitário cujo comrimento é igul o rio d o circunferênci que contém o rco ser medido. ( rdino 57 )

2 As medids de r de circunferêncis em grus e em rdinos são diretmente roorcionis, ossibilitndo obtenção d equção de conversão de uniddes, trvés de um regr de três simles. medid em grus medid em rdinos A figur seguir ilustr grdução, em rdinos, de um circunferênci: TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo de ângulo b Definimos: c b c sen sen tg cteto oosto o ângulo hiotenus cteto djcente o ângulo hiotenus b c b c b c

3 VALORES NOTÁVEIS Considere o triângulo eqüilátero de medid de ldo. 30º 3 60º Considere o qudrdo de medid de ldo 45 o Ângulo 30 o 45 o 60 o Seno Cosseno 3 Tngente CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Ao mrcrmos o onto P n circunferênci de rio, temos um triângulo retângulo corresondente, de onde clculmos: y y P x x

4 x y x ; sen y ; x y obtendo-se sen A figur cim mostr que no eixo x temos o vlor do seno e no eixo y, temos o seno. Assim r os ontos A, B, C e D odemos obter os seguintes vlores: B y C A x D 0 =x A = sen0 = y A = 0 =x B = 0 sen = y B = =x C = - sen = y C = 0 3 =x D = 0 sen3 = y D = =x A = sen = y A = 0 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO y = sen x Prorieddes ) Dom = b) Img = [-, ] c) Período = d) sen (-x) = - sen (x)

5 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO y = x Prorieddes ) Dom = b) Img = [-, ] c) Período = d) (-x) = (x) GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE y = tg x Prorieddes ) Dom = { x / x k} b) Img = c) Período = d) tg (-x) = -tg (x)

6 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS senx sen x + x = tg x = x x sec x = + tg x cotg x = senx sec x = + cotg x sec x = x sec x = senx FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Sendo e b dois números reis. sen( + b) = sen.b +.senb ( + b) =.b - sen.senb sen( b) = sen.b.senb ( b) =.b + sen.senb tg( + b) = tg tgb tg.tgb tg( - b) = tg tgb tg.tgb FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO A rtir ds fórmuls de dição e subtrção, odemos obter s seguintes fórmuls de multilicção: () = (+) = sen sen = sen = = (- ) = - sen() = sen(+) = sen + sen b = sen tg() = tg (+) = tg tg tg.tg tg tg Ou sej, = sen = sen = sen. tg tg = tg. = sen

7 FÓRMULAS DE BISSECÇÃO As fórmuls de bissecção odem ser obtids do seguinte modo: (b) (b) sen b sen b (b) sen b, e se considerrmos b= obtemos sen. Seguindo ess idéi, temos sen tg RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE b Fzendo ns fórmuls cim, obtemos s relções de rostférese b q dds or sen + sen q = sen - sen q = q sen q sen q q q + q = q - q = - sen sen( q) tg + tg q =. q sen( q) tg - tg q =. q sen q q

8 EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA ) Em cd um dos csos, clcule o seno, o seno, tngente do ângulo gudo ssinldo: ) Um brco deveri sir do orto d cidde A e ir té o orto d cidde B em um linh ret, (no sentido norte-sul). Entretnto, um correntez fez com que o brco sofresse um desvio de n direção leste. Ultrssndo o trecho de correntez o citão necessitou efetur um correção no rumo no brco de 45º r esquerd, de tl form que o reencontrr rot originl é ossível trçr um triângulo retângulo. (norte) A Se o brco ercorreu 5 milhs n direção leste, qunto ele teve que ndr r retornr á rot originl? 5 milhs (leste) (sul) B 3) A lu é stélite nturl d Terr e fz um revolução em torno do sol em roximdmente 8 dis. ) De quntos rdinos é o movimento d lu em um di? b) Qul distânci ercorrid el lu em um revolução comlet? (dote distânci d terr à lu de km). 4) Reduz os r à rimeir volt, reresente-os grficmente e clcule o vlor de seu seno, seno e tngente. 5 5 )470º b) 00º c) d) 4 5) Determine o vlor de () sen 60º (b) sen (-990º) 6) Sendo sen = / e b = -/, sbendo que e b são r do º qudrnte, clcule: ) sen (+b) b) (-b) c) tg (+b)

9 7) Resolv exressão mtemátic ) x = sen (/6)- (/3)-3*sen() b) y = tg(/4)+*sen(5/6) [sen (/3)-(/6)] 8) (MACK) O vlor se sen 55º.35º+sen35º.55º é: ) b) -0,5 c) zero d)0,5 e),0 9) Simlifique s exressões: ) sen(9 x) sen (5 x) b) sen (x-900º) + (x-540º) 0) Constru o gráfico (dois eríodos comletos) ds seguintes funções, exlicitndo o domínio, imgem e o eríodo: ) y = 4 sen x b) y= - sen x c) y = sen x/4 ) Clcule : ) sen (9/4) e (9/4) b) sen (-/3) e sen (-/3) c) sen 8 e 8. Encontre os vlores do ângulo no intervlo [0, ) que stisfç s equções: ) sen =; =-; tg =; sec =; b) sen =0; =0; tg =0; sec =0; c) sen = -/; = /; tg = -; sec =. 3. Determine o eríodo ds funções: ) y = sen (8) b) z= 4 sen (8) c) x = (4/7) d) =3 (/4+/) 4. Simlifique exressão sen( ) sen( ) sen. 5. Sbendo-se que sen = -/3, clcule: ) sen ( - ) b) sen ( + ) c) (/ - ) 6. Usndo s fórmuls de dição, clcule: ) sen (+/) b) 75º c) (5/6), (sugestão 5/6 = /+/3) 7. Mostre que sen sen. 8. Mostre que.

10 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA 5 5 ) ) sen,, tg b) sen,, tg ) 5 3) ) /4 rd b) km 4) ) 470º equivle 30º ortndo sen 30º = ½; 30º = 3 / e tg 30º = 3 /3 b) 90 º equivle 60º ortndo sen 60º = 3 /, 60º =/ e tg 60º = 3 c) 5/4 equivle /4 ortndo sen /4 = /, /4 = / e tg /4 = d) -5/ equivle 3/ ortndo sen 3/ = -, 3/ = 0 e tg 3/ = indefinid 5) ) zero b) 6) ) b) 3 / c)indefinido 7) ) - b) 8) e 9) ) sen x b) -sen x - x 0) ) Dom =, Im = [-4, 4], = b) ) Dom =, Im = [0, ], = c) Dom =, Im = [-, ], =8 ) ) / e / b) - 3 / e -/ c) 0 e ) ) /,, /4 e 5/4, 0 b) 0 e, / e 3/, 0 e, / e 3/ c) 7/6 e /6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3 3) ) /4 b) /4 c) 7/ d) 8 4) sen 5) ) /3 b) /3 c) -/ 6) ) - 3 / b) / 4 6 c) - 3 /