Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

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1 Universidde Estdul do Sudoeste d Bhi Deprtmento de Estudos Básicos e Instrumentis 3 Vetores Físic I Prof. Roberto Cludino Ferreir 1

2 ÍNDICE 1. Grndez Vetoril; 2. O que é um vetor; 3. Representção de um grndez Vetoril; 4. Som Vetoril; 5. Regr do polígono; 6. Regr do prlelogrmo; 7. Subtrção de Vetores; 8. Som vetoril num triângulo retângulo. Prof. Roberto Cludino 2

3 OBJETIVO GERAL Explnr s principis proprieddes mtemátics cerc ds operções vetoriis. Prof. Roberto Cludino 3

4 Grndez Vetoril e Grndez Esclr 1. Grndez Esclr: Possui pens módulo. Ou sej, não exigem um orientção Ex: Mss, Densidde, Tempo, Tempertur, etc. 2. Grndez Vetoril: Possui módulo, sentido e direção, e portnto pode ser representdo por um vetor. Ex: Velocidde, celerção, Forç, etc. Prof. Roberto Cludino 4

5 Grndez Vetoril Algums vezes necessitmos mis que um número e um unidde pr representr um grndez físic. Sendo ssim, surgiu um representção mtemátic que express outrs crcterístic de um grndez... O VETOR

6 O que é um Vetor? É um ente mtemático representdo por um segmento de ret orientdo. E tem lgums crcterístics básics. Possuí módulo. (Que é o comprimento d ret) Tem um direção. E um sentido. (Que é pr onde flech está pontndo). Sentido Módulo Direção d Ret Suporte

7 Representção de um Grndez Vetoril As grndezs vetoril são representds d seguinte form: letr que represent grndez, e um flechinh sobre letr. D seguinte form... V d F

8 Comprção entre vetores Vetores Iguis b r s Mesmo Módulo Mesm Direção Mesmo Sentido = b O vetor é igul o vetor b.

9 Comprção entre vetores Vetores Opostos b r s c Sobre os vetores b e c podemos firmr: Tem o mesmo módulo, mesm direção ms sentidos opostos. = b = - c O vetor c é oposto os vetores e b. t

10 Som Vetoril Atrvés d som vetoril encontrmos o vetor resultnte. O vetor resultnte seri como se todos os vetores envolvidos n som fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito. Existem dus regrs pr fzer som vetores.

11 Regr do Polígono É utilizd n dição de qulquer quntidde de vetores. Exemplo: b c Determinrmos som + b + c Pr isto devemos posicionr cd vetor junto o outro de form que extremidde de um vetor coloc-se junto à origem do outro. E o vetor som, ou tmbém chmdo vetor resultnte, será o vetor que une origem do primeiro do primeiro com extremidde do último, formndo ssim um polígono.

12 Fzendo Som trvés d Regr do Polígono b S c

13 PASSO A PASSO PARA A REGRA DO POLIGONO

14 Regr do Prlelogrmo É utilizd pr relizr dição de pens dois vetores. Exemplo: Determinr som + b. Pr isto devemos posicionr origem dos dois vetores no mesmo ponto e trçr um ret prlel cd um pssndo pel extremidde do outro. E o vetor som, ou tmbém chmdo vetor resultnte, será o vetor que une origem dos dois vetores com o cruzmento ds dus rets prlels cd vetor, formndo ssim um prlelogrmo. b

15 Fzendo Som trvés d Regr do Prlelogrmo Ret Prlel o vetor b e que pss pel extremidde do vetor. α R Ret Prlel o vetor e que pss pel extremidde do vetor b. b E o módulo, ou sej, o vlor desse vetor resultnte será ddo por: R = + b + 2..b.cos α

16 PASSO A PASSO PARA REGRA DO PARALELOGRAMO

17 Regr do Prlelogrmo: Csos Prticulres 1º ) α = 0º S = + b 2º ) α = 180º S = - b 3º ) α = 90º S = + b Sendo ssim, qulquer que sej o ângulo entre os dois vetores o vlor d resultnte será: b R + b

18 Subtrção de vetores Considere os dois vetores seguir: b Relizr subtrção, b, é como somr mis um vetor de mesm intensidde, mesm direção ms de sentido oposto o do vetor b originlmente representdo. N relidde, estremos fzendo dição do vetor com um vetor oposto o vetor b ( + (-b) ).

19 Fzendo Subtrção de Vetores R - b

20 Som Vetoril num Triângulo Retângulo y. Cos x. Sen x ² y ² tn y x

21 Som Vetoril Atrvés de Sus Componentes Método ds Projeções Trt-se d som ds componentes dos vetores projetds nos eixos crtesinos. Os vetores (u,v,w,z) n figur bixo, podem ser somdos trvés de sus projeções(uy,ux)(wy)(zx)(vx,vy). S S x y z x w y u x u y v x v y

22 Multiplicção de Vetores Por Um Esclr O resultdo d multiplicção de um número rel (k) por um vetor v é o vetor produto P que present s seguintes crcterístics: Direção: mesm de P. Sentido: pr k>0 :o mesmo que P. pr k<0 : contrário o de P. Módulo: = k. P v

23 Multiplicção de Vetor Por Um Vetor Existem dus forms de se multiplicr dois vetores: Um form (conhecid como produto esclr) result em um esclr; outr form (conhecid como produto vetoril) result em um vetor. 1. Produto Esclr: b. bcos esclr Onde e b são os módulos dos vetores e o ângulo entre eles. Pr o cso de mis de um dimensão:. b x b x yby zbz Xb bsen c 2. Produto Vetoril: Onde é o menor dos dois ângulos entre os vetores. Pr o cso de mis de um dimensão: Xb ( b b )ˆ i ( b b ) ˆj ( b b y z z z z x z x x y x y ) kˆ

24 1º Problem: Em um prov de orientção você recebe tref de se fstr o máximo possível de um cmpmento trvés de três deslocmentos retilíneos. Você pode usr: () 2, 0kmpr leste, (b) b 2,0km30º o norte do leste; (c) c 1,0km pr oeste. Você pode tmbém substituir os vetores por seus inversos. Qul é menor distânci que você pode tingir pós o terceiro deslocmento? Prof. Roberto Cludino 24

25 2º Problem: Um pequeno vião decol de um eroporto em um di nubldo e é vistdo mis trde 215 km de distânci, em um curso que fz um ângulo de 22 grus leste do norte. A que distânci leste e o norte do eroporto está o vião no momento em que é vistdo? Prof. Roberto Cludino 25

26 3º Problem: Relize som dos vetores bixo pel regr do polígono. Prof. Roberto Cludino 26

27 Solução do 3º Problem. Prof. Roberto Cludino 27

28 4º Problem: Relize som dos vetores bixo pel regr do prlelogrmo. Prof. Roberto Cludino 28

29 Solução do 4º Problem. Prof. Roberto Cludino 29

30 Solução do 4º Problem. Prof. Roberto Cludino 30

31 5º Problem: Relize som dos vetores bixo pel regr ds projeções. Prof. Roberto Cludino 31

32 6º Problem: Ddos os vetores d figur seguir, determine: ) O vetor som pelo método poligonl b) O vetor som pelo método ds projeções; c) O vetor diferenç D entre u e v ; d) Os vetores produtos P sendo respectivmente k=2, k=-0,5 e k=-2 pr: u, v, w Prof. Roberto Cludino 32

33 Figurs ds soluções b e c. Prof. Roberto Cludino 33

34 7º Problem: Achr o módulo ds componentes retngulres do vetor resultnte de módulo 8 metros, indicdos n figur seguinte: Prof. Roberto Cludino 34

35 8º Problem: Qul é o ângulo entre: 3,0ˆ i 4,0 ˆj b 2,0ˆ i 3,0kˆ 9º Problem: Determine o produto vetoril entre: 3,0ˆ i 4,0 ˆj b 2,0ˆ i 3,0kˆ Represente grficmente os vetores cim e su resultnte. Prof. Roberto Cludino 35