BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL

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1 BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL Itrodução Biômio de Newto: O iômio de Newto desevolvido elo célere Isc Newto serve r o cálculo de um úmero iomil do tio ( ) Se for, fic simles é es decorr que ()² ² ², ou sej, o qudrdo do rimeiro mis dus vezes o rimeiro elo segudo mis o qudrdo do segudo Porém qudo o vlor de é grde, este rocesso grdtivo de cálculo é muito trlhoso O iômio de Newto veio r fcilitr esses cálculos, ois com ele clculmos eésim otêci de um iômio Eemlos: ( ) i ( ) ( ) ii ( ) iv) ( ) Fórmul do termo ger de ( ) : Oservdo os termos do desevolvimeto de (), otmos que cd m Qudo temos o º termo: Qudo temos o º termo: Qudo temos o º termo: ; Qudo temos o º termo: ; Qudo temos o º termo: Perceemos, etão, que um termo qulquer T de ordem ( ) ode ser eresso or: um deles é d for Termo Cetrl ou Médio é quele que fic o meio, se o desevolvimeto for de gru r: Termo Ideedete d vriável é quele cujo eoete dest vriável é igul zero: T Coeficietes iomiis: Ddos dois úmeros turis e, chm-se coeficietes iomiis sore, idicdo or! o úmero defiido or: ; (, IN e )!( )! OBS: O coeficiete iomil tmém é chmdo de úmero iomil Por logi com s frções, dizemos que é o seu umerdor e, o deomidor k Se,, k IN e k, etão Coeficietes iomiis como esses, que tem o mesmo umerdor e som dos deomidores igul o umerdor, são chmdos comlemetres Eemlos: ) ; ) ; c)

2 i Se,, k IN e, etão Ess iguldde é cohecid como relção de Stifel (Michel Stifel, mtemático lemão, - ) Eemlos: ) ; ) ; c) Triâgulo de Pscl Pr costruir o triâgulo do Pscl, st lemrr s seguites rorieddes dos úmeros iomiis, ão sedo ecessário clculá-los: ª) Como, todos os elemetos d colu são iguis ª) Como, o último elemeto de cd lih é igul ª) Cd elemeto do triâgulo que ão sej d colu em o último de cd lih é igul à som dquele que está mesm colu e lih terior com o elemeto que se situ à esquerd deste último (relção de Stifel) Oserve os ssos e licção d relção de Stifel r costrução do triâgulo: Prorieddes do triâgulo de Pscl P: Em qulquer lih, dois úmeros iomiis equidisttes dos etremos são iguis Esses iomiis são comlemetres P: Teorem ds lihs: A som dos elemetos d eésim lih é

3 P: Teorem ds colus: A som dos elemetos de qulquer colu, do º elemeto té qulquer outro é igul o elemeto situdo colu à direit d cosiderd e lih imeditmete io Se,, sedo e turis No cso dos eemlos, temos: ; i P: Teorem ds digois: A som dos elemetos situdos mesm digol desde o elemeto d ª colu té o de outr qulquer é igul o elemeto imeditmete io deste Se,, sedo e turis No cso do eemlo, temos: Sedo que, clcule ( )² Solução A eressão é o desevolvimeto iomil de ( ) Iguldo, temos:

4 Determie o vlor de: (99) (99) (99) (99) (99) Solução A eressão é o desevolvimeto iomil de (99 ) Logo, vle () ( ) Clcule o vlor umérico do oliômio y y y y, se: y Solução Ates de sustituir idetific-se que eressão é o desevolvimeto ( y) Clculdo difereç etre rêteses de cordo com os vlores idicdos, temos: y i y Clcule: 9 9 ² S Solução A eressão é o desevolvimeto iomil de ( ) Clculr: Solução Os desevolvimetos iomiis ds eressões serão semelhtes meos dos siis que serão ositivos ou egtivos de cordo com s otêcis ímres do termo egtivo ii i Qul o cetésimo termo de ( y) se o desevolvimeto for feito em otêcis de eoetes decrescetes de? Solução Pelo termo gerl, 99: y 99 y 99 T Clcule e, sedo que ( ) e Solução A ª eressão é o desevolvimeto iomil de ( ) Comrdo s eressões, temos:

5 ) ( ) ( ) ( ) ( Clcule S, se: ³ ³ ³ ³ S Solução Cosiderdo ( ) como um dos termos de um desevolvimeto iomil, temos: [ ] [ ] [ ] ³ ³ ³ S ³ ³ ³ ³ S 9 Qul o vlor de? Solução O somtório é o desevolvimeto iomil de ( ) Oteh o coeficiete do termo - o desevolvimeto: Solução Escrevedo o desevolvimeto em otêcis de e utilizdo o termo gerl, temos:!!!!!! Coeficiete iv) ii TG i No desevolvimeto de, qul o coeficiete do termo? Solução Escrevedo o desevolvimeto em otêcis de e utilizdo o termo gerl, temos: ()() ()!!! Coeficiete ii i TG Um dos termos o desevolvimeto de ( ) é ³ Sedo que ão deede de, determie o vlor de Solução Utilizdo o termo gerl: 9 ) ()(9 i TG TG ±

6 Qul codição r que teh um termo ideedete Solução O termo ideedete reset vriável com eoete ulo i Termo(ideedete) : ( ) TG ( ) ( ) Este resultdo idic que será um múltilo de Qul o termo ideedete de? Solução Ecotrdo o termo gerl o eoete ulo r, temos: ( ) TG ( ) ( ) ( ) ( ) i Termo(ideedete) : Logo, ão há termo ideedete IN A som dos coeficietes de ( ) m Clcule m Solução A som dos coeficietes é ecotrd sustituido o vlor umérico d vriável or ( ) m > m ( ) > m > m q Ddo o iômio determie os vlores de e q fim de que o termo cetrl ocue o º lugr e sej ddo or Solução Se o termo cetrl será o º, etão há termos tes e termos deois Um totl de termos Logo, N ª osição, Escrevedo o termo gerl, vem: ( q ) TG ( ) ( q ) ( ) q 9! i q q!! Logo, e q q q ( 9 )q q Eercícios Questão - (FGV ) Sej um úmero turl tl que: 9 Podemos firmr que é igul : ) ou ) ou c) d) e) 9 Questão - (ESPM SP) Simlificdo-se eressão com úmeros iomiis, r, otém-se: ) ) c) d) e) Questão - (UNITAU SP)

7 O coeficiete de o oliômio P() ( ) é: ) ) c) d) e) Questão - (UEPG PR) O décimo termo do desevolvimeto do iômio k m é ideedete de (k e m úmeros m turis, diferetes de zero) Sore o vlor de k, ssile o que for correto k é um úmero r k é um múltilo de 9 k [, ] k < k é divisível or Questão - (UFT TO) Sedo-se que o termo gerl de um iômio de Newto é ( ), com IR, IR e IN E que um termo qulquer de ordem (), segudo os eoetes decrescetes de, é ddo or T No desevolvimeto de, o vlor do termo ideedete de vle ) ) c) d) e) Questão - (ESPM RJ) No desevolvimeto do iômio y, qudo o eoete de é, o de y é igul : ) ) c) d) e) Questão - (UECE) Se o desevolvimeto de ossui 9 termos e um deles é c, o vlor de c será ) ) c) d) Questão - (UNCISAL) O vlor d rzão dos coeficietes do º e do eúltimo termo do desevolvimeto de ( ) é ) ), c) 9, d), e) Questão 9 - (UEPB) A equção! tem como solução rel: ) ) c) d) e) Questão - (UEPB) O termo que ideede de o desevolvimeto é: ) ) c) d) 9 e) Questão - (UEL PR) As vriáveis reis e y verificm s seguites codições: ( y) e ( y) Etão esse sistem tem ) zero solução ) um solução c) dus soluções d) três soluções e) qutro soluções Questão - (UEPB) No desevolvimeto do iômio, rzão etre o qurto e o quito termos é: ) ) c) d) e) Questão - (UERN) Cosidere seguite equção: A rtir dess equção, coclui-se que o úmero iomil equivle ) ) c) d)

8 Questão - (UNITAU SP) O vlor de!!! é ) ) c) d) e) Grito: C C B B B B C 9 A C C B A B