Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

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1 E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este mteril será plicdo n(s) ul(s) de turno etr com dt inicil em 9// (sábdo).. O estudo de mtrizes e determinntes tem como objetivos: Representr e interpretr um tbel de números como um mtriz; identificndo seus elementos e seus usos; representr e construir genericmente um mtriz prtir de su lei de formção; nlisr e determinr os elementos desconhecidos de mtrizes iguis; Identificr os diversos tipos de mtriz; clculr o determinnte de mtrizes qudrds de ordens, e, trnspor um mtriz; dicionr, subtrir e multiplicr mtrizes. Conceitundo um mtriz Pr se entender mtriz é importnte observr primeirmente como s mesms são formds. Ns mtrizes eiste o que é chmmos de linh (os vlores ordendos n horizontl) e o número dels é representdo pel letr n. E o que chmmos de colun (os vlores ordendos n verticl), onde o número dels é representdo pel trel m. Então se nos é ddo um sequênci de vlores, eles devem ser convertidos de cim pr bio ns coluns e d esquerd pr direit ns linhs. Como mostrm s sets. E: Abrevidmente, A = (ij) L C, sendo: ij elemento d mtriz A i linh que o elemento ocup j colun que o elemento ocup º TRIMESTRE -

2 E.: Tipos de mtrizes Mtriz qudrd Dizemos que um mtriz A de ordem m n é qudrd, qundo m = n. Isso signific que o número de linhs será igul o número de coluns. Podemos representr este tipo de mtriz por A n. Eemplos: Mtriz tringulr Um mtriz de ondem n (qudrd) é tringulr qundo todos os elementos cim ou bio d digonl principl são nulos (iguis à zero). Eemplos: Lembrete: O enuncido diz que os elementos cim OU bio d digonl principl, n mtriz qudrd, são nulos, ou sej, somente um desss prtes (cim ou bio) deverá estr nul pr crcterizr um mtriz qudrd. Qundo ests dus prtes são nuls, temos outro tipo de mtriz, digonl, como veremos em seguid. º TRIMESTRE -

3 Mtriz digonl A mtriz, de ordem n (qudrd), digonl é quel em que todos os elementos cim e bio d digonl principl são nulos. Mtriz identidde Mtriz identidde é um mtriz qudrd de ordem n cujos elementos d digonl principl são iguis e os elementos cim e bio dest digonl são nulos (iguis zero). Podemos representr est mtriz por I n. Mtriz nul Num mtriz nul, todos os elementos são iguis à zero. Podemos representr um mtriz nul m n por m n ; cso el sej qudrd, indic-se por n. Mtriz linh É tod mtriz que possui pens um linh. Num mtriz linh m n, m =. Mtriz colun É tod mtriz que possui pens um colun. Num mtriz colun m n, n =. º TRIMESTRE -

4 Eercícios (FAÇA NO CADERNO E/OU FOLHA ANEXA):. Observe mtriz seguinte. De que tipo ou ordem é mtriz dd? b. Quis são os números d º linh? c. E os números d d ª colun? e respond: d. Qul é o número que está n ª linh e n ª colun ( )? e. E n ª linh e n ª colun( )? f. E n ª linh e n ª colun( )?. Escreve s mtrizes:. A = ( ij ) tl que ij = i j + b b. B= (b ij ) tl que b i j ij pr i j i j pr i j. Quis são os números d digonl principl d mtriz 8?. Clcul o produto dos elementos d digonl secundári d mtriz?. Escreve mtriz qudrd de ordem tl que ij = i j.. As mtrizes e são iguis? Por quê? º TRIMESTRE -

5 7. Determin e y pr que se tenh y =. y 8. Determin e y pr que sejm iguis s mtrizes y 7 e. 9. (UFRJ) Um confecção vi fbricr tipos de roups utilizndo mteriis diferentes. Considere mtriz A bio, onde cd elemento ij represent qunts uniddes de mteril j serão empregdos pr fbricção de roups do tipo i. ) Qunts uniddes de mteril serão empregdos n confecção de um roup tipo? b) Clcule o totl de uniddes do mteril que será empregdo pr fbricr cinco roups do tipo, qutro roups do tipo e dus roups do tipo.. (UENF) A tempertur corporl de um pciente foi medid, em grus Celsius, três vezes o di, durnte cinco dis. Cd elemento ij d mtriz bio corresponde à tempertur observd no instnte i do di j. Determine: ) o instnte e o di em que o pciente presentou mior tempertur; b) tempertur médi do pciente no terceiro di de observção. DETERMINANTES Determinnte de um mtriz qudrd é um número rel que ssocimos ess mtriz segundo lgums regrs. DETERMINANTE DE ª ORDEM Indic-se: det A = =.. Eemplos:. Clcul o determinnte d mtriz M =. Det M = =.. (-) = + = det M = º TRIMESTRE -

6 . Resolve equção Desenvolvendo cd determinnte temos: = + = 7 S = { -7, } Eercícios (fzer no cderno):. Clcul o vlor dos determinntes:. b. 9 c.. Resolve s equções:. 7 b. c. =. Dds s mtrizes A = e B =, clculr o determinnte d mtriz C = A. B DETERMINANTE DE ª ORDEM REGRA DE SARRUS Podemos obter o determinnte de um mtriz de ª ordem utilizndo um regr prátic denomind regr de Srrus. Sej mtriz A =. º TRIMESTRE -

7 Vmos repetir ª e ª colun direit d mtriz, conforme o esquem bio: observe: Alterr os sinis dos produtos Conservr os sinis dos produtos indicdo. Seguindo os trços em digonl, multiplicmos os termos e trocmos (ou conservmos) o sinl do produto conforme Det A = Eemplos:. Clcul o determinnte d mtriz A =. Resolve equção º TRIMESTRE - 7

8 8 º TRIMESTRE - 9 Eercícios (FAÇA NO CADERNO E/OU FOLHA ANEXA):. Clcul cd um dos determinntes seguir, utilizndo regr de Srrus.. b. c. d. e.. Dds s mtrizes bio, clcul o vlor de de modo que det A = det B, sendo A = e B = OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição e subtrção de mtrizes A som ou subtrção de dus mtrizes A e B de mesm ordem, é mtriz tmbém de mesm ordem, obtid com dição ou subtrção dos elementos de mesm posição d mtrizes A e B. Eemplo: Sendo s mtrizes - - B e A, temos: A + B = ) ( (-) - - A B = ) ( (-) - -

9 9 º TRIMESTRE - Multiplicção de um número rel por um mtriz Pr multiplicr um mtriz por um número rel, bst multiplicr todos os seus elementos pelo número e o resultdo é um mtriz de mesm ordem. Eemplo: Clculr: ). b) Eercícios (FAÇA NO CADERNO E/OU FOLHA ANEXA):. Clculr:. b. 7. Determinr, b, c e d sbendo que:. d c b b b 8 9 b. 8 c b 8. A e B são dus mtrizes qudrds de ordem, cujos elementos são ddos por b ij = ( ij ) e ij = i j. Clcul A B. 9. Sej A um mtriz qudrd de ordem cujos elementos são ddos por ij = j i se j, i j i se, i j, clculr:. A + A b. A A c. A I. Sendo X = e Y =, resolver:. X Y b. X + Y

10 OPERAÇÕES COM MATRIZES Multiplicção de mtrizes Dd um mtriz A e um mtriz B o produto d mtriz A pel mtriz B é mtriz C, tl que, o elemento c ij é clculdo multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i d mtriz A pelos elementos d colun j d mtriz B, e somndo-se os produtos obtidos. Atenção: Só é possível multiplicção de A por B se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B. A mtriz C encontrd terá o número de linhs de A e o número de coluns de B. A m n. B n p = C m p Eemplo: Ddos A = e B =, o produto de A. B será mtriz C. CONDIÇÃO PARA MULIPLICAR MATRIZ RESULTADO c Fzemos: C = c c c então: C = (linh de A e colun de B) C = = C = (linh de A e colun de B). C =.(-) +.+. = C = (linh de A e colun de B). C = (-) = 7 º TRIMESTRE - C = (linh de A e colun de B). C = (-). (-) =

11 º TRIMESTRE - Assim :. = 7 Eercícios (FAÇA NO CADERNO E/OU FOLHA ANEXA):. Só definimos o produto de AB de dus mtrizes qundo o número de coluns de A for igul o número de linhs de B. Então ssoci Verddeiro ou Flso cd um ds seguintes firmções:. Se A é um mtriz e B é um mtriz, eiste o produto de AB.( ) b. Se A = e B =, eiste o produto AB. ( ) c. Se A é um mtriz e B é um mtriz, eiste o produto AB. ( ) d. Sbendo que A e B são mtrizes qudrds de ordem, podemos firmr que o produto de AB será, tmbém, um mtriz qudrd de ordem. ( ). Responde, pensndo n definição:. Dds dus mtrizes quisquer, é sempre possível determinr o seu produto? b. Se A é um mtriz e B é um mtriz do tipo, eiste o produto AB? Se eiste, de que tipo é mtriz AB?. Determinr os produtos:. b. c. - - e. f. - 7

12 . Sejm A = ( ij ) e B = ( bij ) dus mtrizes definids por ij = i + j e bij = i + j, respectivmente. Se A. B = C, então qul é o elemento C d mtriz C?. Mirim preprou três tipos distintos de receits usndo qutro ingredientes em proporções vrids, conforme tbel Tbel Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Ingrediente D Receit Receit Os Receit preços unitários dos ingredientes constm d tbel. Tbel Preço unitário Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Ingrediente D R$, R$,8 R$, R$,8 Determine mtriz (tbel ) que registr o preço totl de cd Receit.. Em um confecção são produzidos três modelos de Vestidos: A, B e C. Sendo usdo dois tipos de botões G (grnde) e M (médio). O número de botões usdo por modelo de vestido é ddo pel seguinte tbel: Vestido A Vestido B Vestido C Botões P Botões G O número de vestidos produzidos nos meses de novembro e dezembro é fornecido pel tbel seguir: NOVEMBRO DEZEMBRO Vestido A Vestido B 8 9 Vestido C 7 De cordo com os ddos fornecidos, clcule quntidde de botões gstos nos meses referidos. º TRIMESTRE -

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