Matemática C Extensivo V. 6

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1 Mtemátic C Etesivo V 6 Eercícios ) D ) D ) C O vlor uitário do isumo é represetdo por y Portto pelo produto ds mtrizes A e B temos o seguite sistem: y 5 5y 5y 9 5y 5 Portto: y 4 y 4 As médis uis de Cláudio são dds por: M N N N N N N N N Portto sbedo d defiição de multiplicção de mtrizes, pr obter s médis de tods s mtéris: 5, 45, 6, 59, M 84, 65, 7, 66, 9, 78, 68, 86, 77, 59, 56, 6, Pr se obter o custo totl do mteril empregdo é ecessário relizr seguite multiplicção mtricil: T [ ] T [ ] T ) 5) C Atrvés do processo descrito o eercício temos: S S S S e S S Portto, S e S S S S4 S4 e S S4 Portto, S e S 4 Pr obter o totl de vitmis presetdo o eucido bst multiplicr qutidde de vitmis por grm de limeto pelo totl igerido de cd um 5y 45y 5 Portto 5 45 y 5 6) E 7) B 8) B ) Fls A qutidde de P vedid por L é b) Fls A qutidde de P vedid por L é c) Fls Bst somr os vlores d lih P S 6 9 d) Fls Bst somr lih P S 9 69 e) Verddeir A som é dd pelos vlores d primeir e segud lihs d primeir colu S 5 45 Fzedo o produto ds mtrizes M e N temos: r [p q] pr qs s que represetm o custo de produção de dois dis Primeirmete resolve-se equção mtricil: 8 y y Pr descobrir e y precis-se do seguite sistem: Mtemátic C

2 y 7 y 7 4 y 8 y Multiplicdo-se primeir equção por 4 e segud por 9 obteremos: 8 6 y y 9 Portto, 7 8 y y 65 ( 6) 7 8 y y y 65 6 y 6 Por substituição temos: 6 8 y Portto y 4 9) 8 Resolvedo s equções mtriciis temos: b c d b 4 c d b b 4 d c d b b 4 d c d Chegdo ssim qutro equções: b b b 4 b 6 b c c c 9 c c d d d 9 d 6 d 7 ) ) 7 b) c) 5 5 ) (A B) b) y y c) z z z z 5 5 ) 89 A ( ij ) com ij I j A B (b ij ) com b ij i j B b b b b C A B C A B Logo, som dos elemetos d ª lih de C é: Mtemátic C

3 ) B Sej AB C c c c c Temos AB (AB) T c c T c c log log ( 4) ( log ) ( ) log ( * ) ( ) log 4 log log log log ( ) ( ) log 9 ou ou log E som dos vlores de é: 9 8 No psso ( ), fique teto isto: * ) E log log log log log log log ) Fls Tome A e B, etão: AB b) Fls Tome A e B, etão AB e BA c) Fls Não eiste ivers de A d) Fls A multiplicção de mtrizes é propriedde somete de mtrizes qudrds e) Verddeir I m A A A I que é verdde pr tod mtriz A m 4) P P P 4 P 4 P 5) B ) Fls Tome A e B Etão AB e BA, logo AB BA b) Fls Tome A, B e C AB e AC ms B C c) Fls Bst tomr A, A d) Verddeir São tods qudrds e) Fls Tome A, B Etão (A B) equto que A AB B Assim, esse cso, (A B) A AB B 6) A Pels codições dds, verific-se que é mtriz c De fto, b c b 7) A Bst fzermos Mtemátic C

4 e ) São verddeirs: A e C A B C c b d ) Verddeir A B b) Fls A B e b, etão b 8 c) Verddeir A t e det At d) Fls B e B C, logo d e) Fls AC B 9) 9 crros o todo Sejm, y e z os respectivos úmeros de crros dos tipos C, C e C que form costruídos Temos o sistem: y 4z 6 y z y z 9 Subtrido d primeir iguldde o dobro d segud, obtemos y 6 4 Substituido y segud e terceir equções, obtemos: z 7 z ( ) 5 5 e z Logo, y z 4 9 ) C M M M M p q p q p q p q q q p q p q q q p p 5 Logo, P q 5 7 ) A q M M T q M M T q ( q) 6 6 ( q) 6 6 q 6 q q ± D equção ( q) 6, temos Se q, etão Se q, etão Assim temos dus soluções: (, q) (, ) ou (, q) (, ) Em mbos os csos, temos que q 6 ) A I Fls Se A A T e B B T, etão AB (AB) T Solução: Bst tomr A e B Note que A A T e B B T, ms AB (AB) T II Fls Tome A e B, etão det (A B) det e det A det B III Fls Tome A, B e C Note que, AB CB, ms A C IV Fls Tome A e B Etão 4 Mtemátic C

5 ) C A e B Com isso, A B Por outro ldo, (A B)(A B) Portto, este cso, A B (A B)(A B) Assim, tods s firmções são flss A B b b b b b b AB Logo det AB 6 4) 6 Fls det A 6 log log log6 log log 6 log Verddeir A A A A 4 Fls det A ( ) 5 ( ) ( ) 5( ) 5 ± ± 4 ou ou Dus soluções 8 Verddeir Pels proprieddes de mtrizes, temos: A é iversível det A det A b d bc d bc c d 5) 7 6 Verddeir log (det A) log log log A, se i j A [ ij ] ij, se i j 6) C Verddeiro Verddeiro det A ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] 4 Flso det A 8 Verddeiro B A [ ] [ ] B 6 Verddeiro A I ( *) Note que o cálculo do determite dest mtriz (e ds próims), os termos, e ão prticipm Etão ão os clculmos Mtemátic C 5

6 y e det y det 6 7) ) ; b) S π π R k, com k Z 8 cos se ) f() det cos det Tmbém, B I 4 e det (B I) det Por outro ldo, B T e ssim, B T 6 4, logo det (B T ) 8 4 Portto, de det (A B) det (B I) det ( B T ), temos que 6 4 ' e " Logo, ( ) ( ) 8) B π π cos se 4 4 f π 4 det π cos 4 det cos ( ) se b) f() det cos cos cos se cos se π 4 kπ, k z π 8 k π, k z b) S π π R k, com k Z 8 Temos que A B 6 4, Etão det (A B) det 4 [6 ] 6 9) A A 6B C 9 6 6b 6 y 4 6 y y b c b y y y b c c 4 6b b 6( ) Aid, ( ) 6( ) 7 9 ou R Tmbém, 6 y 6 4 y y 4y 6 4 4y y y y ( y ) 6 ( ) 4 ( y ) ( y ) y ( y ) y ( y ) y y y R S : 5 ou P : y y 4 Assim, y b c 6 6 Mtemátic C

7 ) AB e det (AB) 5 7 Logo 7 7 ) 6 f() ( 7) b c g() 6c b g() b 6c Como f() g(), temos que 4 54 b 6c b 4 b 7 6c 54 c 9 ) 56 Logo, b c B T , etão AB T ) B A B T Com isso, det c det AB T R> 4) C 8 log log log 8 log 6 log log 6 ( log ) ( log ) (6 ) ( log ) 6 ou log Portto, e b Assim, b 5) log log log 9 7 Podemos escrever como: log log log ( ) ( ) Fç log e b b b b b 9b b (b ) b ou b log ou ou 6) C b b b ( b)( b) ( )( ) Mtemátic C 7

8 7) 4 c A b b c t A c b 8) B Sej B A A I, ssim: B B Logo, det (B) ( ) ( ) 4 A Ms ( ) ( ) que é diferete de zero se e, ou sej, e ± 8 ou sej, e ±, ou sej, e 9) D m m mm 5 mm m m 5 Por outro ldo, m mm m m m 5 m m 4) C D ( ) D Etão, D D 4) A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como B C, temos, y z 5 y z z D qurt e d segud iguldde temos: z 5 z z 8 z y y Agor, 4 det A ) Idem o 5 4) ) 8 b) c) 84 ) Pelo teorem de Lplce plicdo à segud colu, temos: det A 4 ( ) A ( ) A ( ) A ( ) 4 A ( ) 4 ( 4) [6 8] 8 8 Mtemátic C

9 b) Por Lplce, usdo segud lih: 45) 5 Aplicmos o teorem de Lplce primeir colu: det B ( ) B ( ) ( ) B ( ) B ( ) 4 B ( ) 5 5 ( ) 5 4 ( ) [ 67] ( ) [] c) Por Lplce, usdo primeir colu: det A ( ) A A A A 4 A 5 det B 4 4 det C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) 4 C 4 Agor, plicmos ovmete Lplce est mtriz B 4 4, pr primeir lih det A det B [ ( ) B B B B 4 ] 5 4 [ 5 ] ) A Aplicdo Lplce à segud colu, temos: 44) E Pels proprieddes de determites, temos que: Se dus lihs (ou colus) de um mtriz são iguis (ou múltipls), o seu determite é igul zero Usdo ess propriedde mtriz do eercício temos três possibiliddes de lihs (ou colus) iguis: I, ms ão eiste R que stisfç ess equção II III, ms ão eiste rel que stisfç ess equção Portto,, ou sej, Assim, deve ser igul det A b ( ) A A A b ( ) 4 A 4 c ( b) d b c c d d ( b) [ dc dc] b[dc] bcd bcd bcd Mtemátic C 9

10 47) S {, /} 5) 5 Temos que det A det A Pelo teorem de Lplce, plicdo à ª colu temos: ( ) A ( )( ) A A A 4 ( ) ( ) ( ) Pel regr de Chió plicd o termo, temos: 4 ( ) ) C ou 48) 78 Como s mtrizes A e B são trigulres, seus determites são determidos pelo produto dos elemetos ds digois de cd um, ou sej: det A ( ) ( ), e det B ( 4) ( 6) 44 Assim, usdo seguite propriedde temos: det (A B) det (A) det (B) ) 768 Pel regr de Chió plicd o elemeto, temos 5 7 det A ( ) [7 ( ) 6 ] 6 7 [7 86 9] ) S {, } det A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) (4 4 ) ( )( ) 4 4 ( ) ou S {, } det A < Primeiro, plicmos o Teorem de Lplce pr 5ª lih: det A ( ) 5 A 5 A A A A 5 5 A 5 det B Agor, pr ess mtriz B 4 4, plicmos ovmete o Teorem de Lplce, ª colu: det A det B 4 B B B ( ) B 4 b ( ) d e ( ) 5 Assim det A < 54 5 < < 5, ou sej, < 55 Mtemátic C

11 5) B Pel regr de Chió, plicd o termo 4, temos: det A 5 ( ) 4 ( ) ( )[6 4] 5 54) 65 5 Sej A, etão: det A A A 5 A A4 4 det A ( ) 5 ( ) det A ( ) 5 ( ( 5)) det A 75 det A 65 55) Note que: log 7 log 7 log 7 log log 7, tmbém, log 7 log 7, log 7 log 7 Sej log 7 Etão log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 log Assim, oss mtriz fic: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A Mtemátic C

12 Pel regr de Chió plicd o elemeto, temos A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lembre-se de que ( ) e ( ) A (4 4)(9 7 7) (6 9)( ) ( )(6 8) (4 4)( ) ( )(9 7 7) (6 9)(6 8) Colocdo em evidêci s soms que têm termos qudráticos temos: A (9 7 7) ( ) (6 8) ( 6 6 9) ( ) ( 8 ) ) S { 5,, } Pelo teorem de Lplce plicdo à colu, temos: Vemos fcilmete que é riz dest equção Assim, dividimos o poliômio pelo moômio ( ): Assim, ( )( ) 57) A Com isso, ( )( ) Por outro ldo, ( ) ( ) ( 5) Portto, ( )( ) ( ) ( ) ( 5) ou ou 5 Pel regr de Chió, plicd o termo, temos: ( ) A ( ) A ( ) A ( ) 4 A ( ) ( ) ( ) Dividido tod ess equção por 4, temos: ( ) y y yz z z z V yz y 58) D Lplce lih A 4 ( ) 4 A A 4 5 ( 4)[5 5 ] ( 4) R Mtemátic C

13 59) B Pr det A usremos regr de Chió o elemeto 4 : det A ( ) Pr det B, usremos Lplce ª colu: 4 det B ( ) A A ( )( ) 4 [ ( ) ( 8) ( 9) ( 4) ( 8)] [ 8 6 ( 6) 9 4] 8 5 6)A Logo, A B ( 5) Lplce colu 5( ) A A A A4 5 6) S {, } Lplce ª colu ( ) A A ( ) [ ] ( )( ) ( ) ou 6) E f(), f(), f(), f() 6, f(4) 4 4, f(5) 5 4 6, f(6) 6 5 4, ssim, oss mtriz fic: 6 6) C 6 4 Idem 44 6 mtriz trigulr ) C Se trocrmos um lih por outr um mtriz, o determite trocrá de sil (o mesmo cotece se trocrmos um colu por outr) Assim, se trocrmos 4ª pel 5ª colu d oss mtriz, teremos: ) ou ou 66) D mtriz trigulr ( ) 9 ( 5) Um codição suficiete pr que oss mtriz teh determite igul zero é que dus de sus colus (ou lihs) sejm iguis (ou múltipls) Assim, se igulrmos ª colu com 4ª teremos que Ou ª colu com 4ª, teremos que Ou id ª colu com 4ª, teremos que Assim, solução é S {,, } A solução é igul à do eercício 55 Bst fzer log y (quele cso er log 7 y) Mtemátic C

14 67) B Idem o eercício 57, o que mud é yz por bc Logo, o determite é bc 68) 7 Por Lplce plicdo à ª lih, temos: det A A ( )( ) A A A Mtemátic C

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