ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

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1 LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson

2 utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento de imgens, nálise de vibrções, mecânic dos sólidos, esttístic, estudo de vibrções, dinâmic populcionl, estudos referentes à Genétic, Mecânic Quântic, Economi e Geometri etc.

3 Genétic: quntidde de genótipos,, resultnte ds combinções, conforme forem pssndo s gerções é clculd como sendo os utovlores e os utovetores de cert mtriz. Sistem mss mol: dd um mol e colndo-se ness mol um mss estbilidde desse sistem pode ser obtid clculndo-se os utovlores e os utovetores de cert mtriz.

4 Pedço de vig de um ponte: o nlisrmos um pedço de vig, observmos que ele está sujeito diverss tensões. mior e menor tensão que este objeto sofre é clculd encontrndo os utovlores de cert mtriz. Pesquis de lgum tem n Internet: o digitr um plvr no Google prece no buscdor os sites que podemos consultr. O Google sbe quis são os sites mis importntes, devido cert mtriz, que fz relção entre os diversos sites, procurndo utovetores e utovlores e plicndo um lgoritmo de busc desenvolvido por eles (PgeRnk, eles estbelecem o critério de qul site é mis importntes que outros.

5 utovlores e utovetores Os utovlores de um mtriz tmbém são chmdos de vlor próprio ou vlor crcterístico. Pr entendermos su definição, consideremos um mtriz qudrd: n o multiplicrmos ess mtriz por um vetor n v v v não nulo, obtemos um outro vetor tmbém de dimensão n. Por outro ldo, se multiplicrmos o mesmo vetor v por um constnte, tmbém obteremos como resultdo um vetor de dimensão n : n n nn v vetor de dimensão n λ v vetor de dimensão n v n

6 utovlores e utovetores Será que eiste lgum vlor pr que torne esses dois resultdos iguis?.v λ.v? respost é sim. Esses vlores são chmdos de utovlores. Portnto, utovlor é um número, rel ou compleo, que de cert form pode substituir um mtriz qudrd, ou sej, ou utovlores podem representr ess mtriz. Observções : - Só é possível obter utovlores e utovetores de mtrizes qudrds. - O número de utovlores é definido pel ordem d mtriz.

7 utovlores e utovetores Qundo prtimos d definição.v λ.v encontrmos os utovlores d mtriz, porém qundo substituímos o vlor de λ, equção não é stisfeit pr qulquer vetor v, pens pr lguns vetores que são chmdos de utovetores d mtriz. Portnto, utovetor é o conjunto de vetores solução, não triviis, d equção.v λ.v ou (λ.i v, pr cd vlor de λ. Grficmente idei básic pode ser vist de um form bstnte simples. Sej um imgem formd por um retângulo com vetores segundo ( d Figur. Ess imgem sofre um mplição (trnsformção pens n horizontl, resultndo no retângulo (b.

8 utovlores e utovetores Ness condição, o vetor v pssou v ', que não tem mesm direção do originl v. Portnto, o vetor v ' não pode ser representdo por v multiplicdo por um esclr. Ms o vetor v ' tem mesm direção de v e, por isso, pode ser representdo por v multiplicdo por um esclr. Diz-se então que v é um utovetor d trnsformção e que esse esclr é um utovlor.

9 utovlores e utovetores N definição mtemátic, considerm-se trnsformções lineres: Sej T: V V um operdor liner, onde V é um espço vetoril qulquer. Um vetor não nulo v em V é dito um utovetor de T se eiste um número rel λ tl que T(v λ v O esclr λ é denomindo um utovlor de T ssocido v. Obs.: λ pode ser o número zero (, ms v não pode ser o vetor nulo. 9

10 utovlores e utovetores Sej um trnsformção que fz um refleão em relção o eio horizontl em um espço bidimensionl rel. Em termos de coordends ess trnsformção é escrit n form: T(, (, No eemplo d Figur, são indicdos os vetores: b c (, (, (,

11 utovlores e utovetores Então é um utovetor de utovlor porque T( (, Tmbém b é um utovetor de utovlor porque T(b (, b. Ms c não é utovetor porque T(c (, não é prlelo c.

12 utovlores e utovetores Podemos usr o conceito de trnsformção liner: onde é um mtriz T ( v v, temos interesse em T ( v v ssim: Se v e λ são respectivmente utovetor e utovlor do operdor T temos: v v v v Tendo em vist que v pode ser escrito como v I. (onde I é mtriz identidde, podemos escrever equção cim como: I v I v v I v ( I v Equção pr chr o utovetor.

13 Equção pr chr o utovlor. det( I Como: (,,z (,, e no cso ds mtrizes: v. z Deve-se ter então: det det

14 det equção det ( - λ I é denomind equção crcterístic do operdor T ou d mtriz, e sus rízes são os utovlores do operdor T ou d mtriz. O determinnte det ( - λ I é um polinômio em λ, denomindo polinômio crcterístico.

15 PROPRIEDDES DOS UTOVLORES E UTOVETORES i Se v é utovetor ssocido o utovlor α de um operdor liner T, o vetor v, pr qulquer rel λ, é tmbém utovetor de T ssocido o mesmo λ. T ( v v ii Mtrizes semelhntes têm o mesmo polinômio crcterístico e, portnto, os mesmos utovlores. Definição: Dus mtrizes qudrds e B são semelhntes se eiste um mtriz inversível P, tl que B P - P. Um conjunto de utovetores obtidos qundo λ λ constitui um bse. P é mtriz formd por ess bse.

16 Teorem: Dus mtrizes qudrds e B são semelhntes se, e somente se, possuem o mesmo determinnte. Mtrizes semelhntes têm os mesmos utovlores.

17 7 Determinr os utovetores e utovlores de. 3 det( I 3 det 3 det 3 det 3 '' ' e utovlores utovlores e utovetores

18 8 Determinr os utovetores e utovlores de. 3 ( v I 3 +, ( v Logo os utovetores terão ess crcterístic: Pr utovlores e utovetores

19 9 Determinr os utovetores e utovlores de. 3 ( v I 3 + +, ( v Logo os utovetores terão ess crcterístic: Pr utovlores e utovetores

20 Determinr os utovetores e utovlores do operdor liner:, (, (, : T R R T + + det( I (,, ( v e v 6 6 '' ' e det det utovlores utovlores e utovetores

21 ( v I + +, ( v Logo os utovetores terão ess crcterístic: Pr Determinr os utovetores e utovlores do operdor liner:, (, (, : T R R T + + utovlores e utovetores

22 ( v I +, ( v Logo os utovetores terão ess crcterístic: Pr 6 Determinr os utovetores e utovlores do operdor liner:, (, (, : T R R T + + utovlores e utovetores

23 Clcule o polinômio crcterístico e os vlores próprios d mtriz: utovlores e utovetores equção crcterístic de é: det ( - λ I. det det ( ( " ' e λ² 3λ + é o polinômio crcterístico e os vlores próprios são: λ e λ.

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