Lista 7.1 Formas Quadráticas; Conjunto Convexo; Função Convexa

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1 Fculdde de Economi d Universidde Nov de isbo pontmentos Cálculo II ist 7.1 Forms Qudrátics; Conjunto Convexo; Função Convex 1. Form qudrátic de n vriáveis reis (Q): Polinómio de º gru de n vriáveis reis cujs prce ls são exclusivmente de º gru., x,x 1, x 1.x Qx 1, x 3 n n x 1.x 1n.x 1. x n.x 3.x.x 3 n.x.x n n1n1.x n1 n1n.x n1.x n nn.x n ij.x i.x j n i1 n ji. Form qudrátic de vriáveis reis: Qx,y xx.x xy.x.y yy.y 3. Form mtricil simétric de um form qudrátic de n vriáveis reis: Form qudrátic escrit como o produto entre um mtriz linh, um mtriz simétric e um mtriz colun. 11 Qx 1, x,,x n x 1 x x 1 n. n. nn 1n 1 n 1n x 1 x x T..x x n 4. Form mtricil simétric de um form qudrátic de vriáveis reis: Qx,y x y. xx xy xy yy. x y xt..x 5. Vlor próprio de um mtriz nxn rel e simétric: Número rel que, qundo multiplicdo por cd um dos elementos de um subespço vectoril de vectores de n diferente do vector nulo (conjunto de vectores próprios) igul o produto entre e cd um destes vectores. λ i é vlor próprio de S i n, S i subespço vectoril 0: x S i, λ i.x.x 6. Cálculo dos vlores próprios de um mtriz nxn rel e simétric: Um mtriz nxn rel e simétric tem n vlores próprios reis, ms nem todos necessrimente difere ntes. λ i é vlor próprio de λ i.i 0 1

2 pontmentos Cálculo II 7. Menor principl de ordem k um mtriz nxn rel e simétric, resultnte d eliminção ds linhs e coluns i 1, i, e i nk (M ki1 ): i i n-k Determinnte d sub mtriz de resultnte d eliminção ds sus linhs e coluns i 1, i, e i nk (s linhs e coluns eliminds têm os mesmos índices). 8. Menores principis de um mtriz 3x3 rel e simétric: Determinntes ds sub mtrizes de resultntes d eliminção de tods s combinções possíveis de qulquer número ds sus linhs e coluns, incluindo o Menores principis de ordem 1: M ; M 1 ; M Menores principis de ordem : M ; M ; M Menor principl de ordem 3: M Menor principl líder de ordem k um mtriz nxn rel e simétric ( Mk ): Determinnte d s ub mtriz de resultnte d eliminção ds sus últims n k linhs e coluns (s linh s e coluns eliminds têm os mesmos índices) n k 1 n ; M 1 k k n1 n nn k1 k kk 10. Menores principis líderes de um mtriz 3x3 rel e simétric: Determinntes ds sub mtrizes de resultntes d eliminção de qulquer número ds sus ú ltims linhs e coluns Menor principl líder de ordem 1: M 1 M Menor principl líder de ordem : M M Menor principl líder de ordem 3: M 3 M

3 pontmentos Cálculo II 11. Clssificção d e um form qudrátic qunto o sinl: Definid positiv: x n : x 0, Qx 0 Semi definid positiv: x n, Qx 0 Definid negtiv: x n : x 0, Qx 0 Semi defini d negtiv: x n, Qx 0 Indefinid: x, y n : Qx 0 Qy 0 1. Forms qudrátics definids e semi-definids: Definids: Q é definid positiv (negtiv) Q é semi defi nid positiv (negtiv) Semi definids: Q é semi definid positiv (negtiv) Q é definid positiv (negtiv) 13. Clssificção de um form qudrátic qunto o sinl com bse nos vlores próprios d mtriz que lhe está ssocid: Qx x T..x Definid positiv: i 1,,n, λ i 0 Semi definid positiv : i 1,,n, λ i 0 Definid negtiv: i 1,,n, λ i 0 Semi defini d negtiv: i 1,,n, λi 0 Indefinid: i, j 1,,n: λ i 0 λ j Clssificção de um form qudrátic qunto o sinl com bse nos menores principis d mtriz que lhe está ssocid: Qx x T..x Definid positiv: k 1,,n, i j 1,,n, Mk i1 i 0 i nk Semi definid positiv: k 1,,n, i j 1,,n, M ki1 0 i i nk Definid negtiv: k 1,,n,i j 1,,n, sinl M ki1 sinl1 k i i nk Semi definid negtiv: k 1,,n,i j 1,,n, sinl M ki1 sinl1 k M i i ki1 0 nk i i nk Indefinid: Todos os outros csos 15. Clssificção de um form qudrátic qunto o sinl com bse nos menores principis líderes d mtriz que lhe está ssocid: Qx x T..x 3

4 pontmentos Cálculo II Definid positiv: k 1,, n, Mk 0 Definid negti v: k 1,,n, sinl M k sinl1 k Indefinid: k 1,,n, k pr: M k Conjunto convexo de n : Conjunto que, se contém dois pontos, contém tmbém todos os pontos pertencentes o segmento de rect que os une. é convexo x, y, λ 0,1, λ.x 1 λ.y 17. Conjunto côncvo de n : Conjunto que contém pelo menos dois pontos unidos por um segmento de rect não totlmente contido em si. é côncvo x, y : λ 0,1: λ.x 1 λ.y 18. Intersecção e convexidde de conjuntos: intersecçã o de conjuntos convexos é um conjunto convexo. i 1,,k, i é convexo k i1 i 1 k é convexo 19. Função esclr, de domínio convexo, convex: Função que vri, entre quisquer dois pontos do seu domínio, um ritmo liner, ou menos que liner. Função cujs imgens de quisquer dois pontos do seu domínio são ligds por um segmento de rect que se encontr cim ou o mesmo nível que s imgens dos pontos que se encontrm no segmento de rect que une os dois pontos originis. f: D f n ;D f convexo f é convex x, y D f,λ 0,1, fλ.x 1 λ. x λ.fx 1 λ.fx 0. Função esclr, de domínio convexo, estritmente convex: Função que vri, entre quisquer dois pontos do seu domínio, um ritmo menos que liner. Função cujs imgens de quisquer dois pontos do seu domínio são ligds por um segmento de rect que se encontr cim ds imgens dos pontos que se encontrm no segm ento de rect que une os dois pontos originis. f: D f n ;D f convexo f é estritmen te convex x, x D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ. x λ.fx 1 λ.fx 1. Função esclr, de domínio convexo, côncv: 4

5 pontmentos Cálculo II Função que vri, entre quisquer dois pontos do seu domínio, um ritmo liner, ou mis que liner. Função cujs imgens de quisquer dois pontos do seu domínio são ligds por um segmento de rect que se encontr bixo ou o mesmo nível que s imgens dos pontos que se encontrm no segmento de rect que une os dois pontos originis. f: D f n ;Df convexo f é côncv x, x D f,λ 0,1, fλ.x 1 λ. x λ.fx 1 λ.fx. Função esclr, de domínio convexo, estritmente côncv: Função que vri, entre quisquer dois pontos do seu domínio, um ritmo mis que liner. Função cujs imgens de quisquer dois pontos do seu domínio são ligds por um segmento de rect que se encontr bixo ds imgens dos pontos que se encontrm no segm ento de rect que une os dois pontos originis. f: D f n ;D f convexo f é estritmen te côncv x, x D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ. x λ.fx 1 λ.fx 3. Proprieddes de funções convexs e côncvs: (f e g convexs (côncvs), h crescente e convex (côncv)): Combinção liner positiv: α,β 0, α.f β.g convex (côncv) Trnsform ção crescen te e convex (côncv): hof convex (côncv) Extremos: mxf,g minf,g convex (côncv) 4. Clssificção de um função de clsse C qunto à convexidde com bse n mtriz Hessen: Estritmente convex : x intd f, H f x definid positiv Convex: x intd f, H f x semi definid positiv Estritmente côncv : x intd f, H f x definid negtiv Côncv: x intd f, H f x semi definid negtiv Convex e côncv: x intd f, H f x 0 semi definid positiv e negtiv Não convex nem côncv: Todos os outros csos 5. Função esclr, de domínio convexo, quse-convex: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos não é supe rior à mior ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convex o f é quse convex x, y D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y mxfx,fy 5

6 pontmentos Cálculo II 6. Função esclr, de domínio convexo, estritmente quse-convex: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos é inferior à mior ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convexo f é estritmente quse convex x, y D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y mxfx,fy 7. Função esclr, de domínio convexo, quse-côncv: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos não é inferior à menor ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convex o f é quse côncv x, y D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y minfx,fy 8. Função esclr, de domínio convexo, estritmente quse-côncv: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos é supe rior à menor ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convexo f é estritmente quse côncv x, y D f, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y minfx,fy 9. Função esclr, de domínio convexo, explicitmente quse-convex: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos com imgens diferentes é inferior à mior ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convexo f é explicitment e quse convex x, y D f : fx 1 fy, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y mxfx,fy 30. Função esclr, de domínio convexo, explicitmente quse-côncv: Função em que se verific que imgem de qulquer médi ponderd de dois pontos com imgens diferentes é superior à menor ds imgens dos dois pontos. f: D f n ;D f convexo f é explicitment e quse côncv x, y D f : fx fy, λ 0,1, fλ.x 1 λ.y minfx,fy 6

7 pontmentos Cálculo II 31. Tipos de convexidde de funções: f estritmente convex f convex (côncv) (côncv) f estritmente quse convex (côncv) f quse convex (côncv) f explicitmente quse convex (côncv) 7