Álgebra Linear e Geometria Analítica. Espaços Vectoriais

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1 Álgebr Liner e Geometri Anlític Espços Vectoriis

2 O que é preciso pr ter um espço vectoril? Um conjunto não vzio V Um operção de dição definid nesse conjunto Um produto de um número rel por um elemento desse conjunto As bos proprieddes dests operções

3 O que são s bos proprieddes? Fechdo pr som u, v V, u v V Fechdo pr o produto por um número rel α R, u V, αu V

4 O que são s bos proprieddes? Proprieddes d som Comuttiv: u, v V, u v v u Associtiv: u, v, w V, (u v) w u (v w) Elemento Neutro: Simétricos: u V, u u u V, u (-u)

5 O que são s bos proprieddes? Proprieddes d som e do produto por um número rel: Distributiv: u, v V, α R,α(u v) αu αv Distributiv: u V, α, β R,(α β)u αu βu Associtiv u V, α, β R,(α β)u α(βu) Elemento neutro u V, u u

6 Eemplos Vectores no plno com s operções som e produto por um número rel

7 Eemplos Conjunto ds mtrizes m ncom s operções som e produto por um número rel. Conjunto ds mtrizes linh com s operções som e produto por um número rel Conjunto ds mtrizes colun com s operções som e produto por um número rel

8 Eemplos R n {( ) },, :, j,, n, L R L n j (,, ) (,,, ), L y y L y n n ( y, y,, ) α L n y n (, L, ) ( α, α,, α ), L n n

9 Csos prticulres importntes: R {(, y) :, y R} (, y ) ( t, w ) ( t, y w ) α (, y) ( α, αy)

10 Csos prticulres importntes: R {(, y, z) :, y, z R} (, y, z ) ( t, w, v ) ( t, y w, z v ) (, y z) ( α αy αz) α,,,

11 Proprieddes dos espços vectoriis O vector nulo é único O simétrico de cd vector de V é único Qulquer número rel multiplicdo pelo vector nulo dá o vector nulo Zero multiplicdo por qulquer vector dá o vector nulo Se o produto de um número rel por um vector dá o vector nulo então ou o número rel é nulo ou o vector é nulo.

12 Combinções Lineres: V u u u k k R α α α L L,,,,,, u u u u k k k α α α L udiz-se combinção liner de u, u,, u k

13 Eemplo: (,, ) (,, ) ( 5)(,, ) (,, 5) (,,-5) é combinção liner de {(,,), (,,),(,,)} com coeficientes, e -5 respectivmente

14 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,), (,,),(,,)}?

15 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,)

16 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,) α β γ α β α γ 5

17 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,), (,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,) 5 γ α β α γ β α 5

18

19 α γ β α

20 α 4 β 7 γ (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,) (,,-5) -4(,,) 7(,,) - (,,)

21 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,)

22 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,) α α α β β β γ 5

23 Eemplo: (,,-5) será combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? (,,-5) α(,,) β(,,) γ(,,) α α α β β β γ 5 Sistem impossível

24 Eemplo: Então (,,-5) não pode ser combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}

25 Eemplo: Quis serão os vectores (, b, c) que podem ser combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}?

26 Eemplo: (, b, c) (,,) y (,,) z(,,)

27 Eemplo: (, b, c) (,,) y (,,) z(,,) y y b y z c

28 y y b y z c b c

29 c z y b y y b b c b c b

30 c z y b y y b b c b c b b c

31 c z y b y y b b c b c b b c b c c

32 c z y b y y b b c b c b b c b c c b

33 Eemplo: Quis serão os vectores (, b, c) que podem ser combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? Respost: vectores d form (,, c)

34 Eemplo: (,, ) pode ser combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}?

35 Eemplo: (,, ) pode ser combinção liner de {(,,),(,,),(,,)}? SIM (,, ) (,,) (,,) (,,) (combinção liner nul trivil)

36 Propriedde O vector nulo de qulquer espço vectoril pode ser escrito como combinção liner de qulquer conjunto de vectores. (O sistem homogéneo tem sempre solução)

37 Eemplo: (,, ) pode ser combinção liner nul não trivil de {(,,),(,,),(,,)}? SIM (,, ) (,,) -(,,) (,,)

38 Vectores linermente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz-se linermente independente se únic combinção liner nul destes vectores é trivil.

39 Vectores linermente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz-se linermente independente se únic combinção liner nul destes vectores é trivil. k k v k v v α α α α α α L L

40 Vectores linermente dependentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz-se linermente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com um combinção liner que não tem os coeficientes todos nulos. α α α α v v L v j : k k j

41 Vectores linermente independentes Pr que o conjunto de vectores de V {v, v,, v k } sej linermente independente é preciso que o sistem α α α v v L k v k sej determindo, isto é, que crcterístic d mtriz do sistem sej k.

42 Um conjunto de vectores não pode ser independente se: Contiver o vector nulo; Tiver dois vectores iguis; Tiver um vector múltiplo de outro; Se um dos vectores for combinção liner de outros.

43 EXEMPLO: Será {(,,,4),(,-,,5),(4,7,-,-7),(,-8,-,-)} linermente independente? b 4c d

44 EXEMPLO: Será {(,,,4), (,-,,5), (4,7,-,-7), (,-8,-,-)} linermente independente? (,,,4) b(,-,,5) c(4,7,-,-7) d(,-8,-,-) (,,,)

45 EXEMPLO: Será {(,,,4), (,-,,5), (4,7,-,-7), (,-8,-,-)} linermente independente? (,,,4) b(,-,,5) c(4,7,-,-7) d(,-8,-,-) (,,,) d c b d c b d c b d c b

46 d c b d c b d c b d c b A cr(a) sistem indetermindo cr(a) sistem indetermindo conjunto dependente

47 SubespçoVectoril Sej V um espço vectoril. Um subconjunto não vzio F de V é um subespçovectoril de V se e só se u, v F, u v F α R, u F,αu F ou sej: F é fechdo pr som e pr o produto por um esclr.

48 Eemplo de subespçovectoril {( ) } y z R y e z F,, :

49 Eemplo de subespçovectoril {( ) } y z R y e z F,, : F é o conjunto ds soluções do sistem y z

50 Eemplo de subespçovectoril ( ) { } z e y z y F R :,, y F é o conjunto ds soluções do sistem z y F é o núcleo d mtriz

51 Epnsão liner e gerdores Considere-se W o conjunto de tods s combinções lineres de {v, v,, v k } vectores de um espço vectoril V. W é um subespço vectoril. W é o menor subespçovectoril de V que contém {v, v,, v k }

52 Epnsão liner e gerdores W { α v } α v α, α R L k v k j Chm-se epnsão linerde {v, v,, v k } ou subespçovectoril gerdo pelos vectores {v, v,, v k } e represent-se por <v, v,, v k > Os vectores {v, v,, v k } dizem-se um conjunto de gerdores de W

53 Eemplos R (,, ), (,, ), (,, )

54 Eemplos R (,, ), (,, ), (,, ) (,,, ), (,,, ) { α (,,, ) α (,,, ) : α, α R } {(,, α, α ): α, α R} (,,, ) { 4 R : } 4

55 Bses e dimensão A um conjunto de gerdores de um espço que sej linermente independente chm-se bse desse espço. Um espço tem váris bses Tods s bses têm o mesmo número de elementos A esse número de elementos chm-se dimensão do espço

56 Bses e dimensão Se um espço vectoril tem dimensão nnão pode hver conjuntos de vectores independentes com mis do que n elementos Se um espço vectoril tem dimensão nnão Se um espço vectoril tem dimensão nnão pode hver conjuntos de vectores gerdores do espço com menos do que nelementos

57 Eemplo: {( ) } y z R y e z F,, :

58 Eemplo: {( ) } y z R y e z F,, : { (,, ) } F : R

59 Eemplo: {( ) } y z R y e z F,, : { (,, ) } F : R F (,, )

60 Eemplo: {( ) } y z R y e z F,, : { (,, ) } F : R F (,, ) ou F ( 5,5, ) ou L dimf

61 Como sber se um vector pertence um subespço?. Encontr-se um bse pr o subespço. Verific-se se o vector pode ser combinção liner dos elementos d bse.

62 Eemplo: F (,,,4 ), ( 5,6,7,8) Será que (, -, -7, -) é um elemento de F?

63 Eemplo: F (,,,4 ), ( 5,6,7,8) Será que (, -, -7, -) é um elemento de F? Isto é, será que (, -, -7, -) é um combinção liner de (,,,4) e (5,6,7,8)?

64 Eemplo: F (,,,4 ), ( 5,6,7,8) Será que (, -, -7, -) é um elemento de F? Isto é, será que (, -, -7, -) é um combinção liner de (,,,4) e (5,6,7,8)? (, -, -7, -) (,,,4) b(5,6,7,8)

65 (, -, -7, -) (,,,4) b(5,6,7,8) 5b b b b

66

67 b

68 O mesmo eemplo, outr bordgem: F (,,,4 ), ( 5,6,7,8) Será que (, -, -7, -) é um elemento de F? Isto é, será que (, -, -7, -) é um combinção liner de (,,,4) e (5,6,7,8)?

69 O mesmo eemplo, outr bordgem: F (,,,4 ), ( 5,6,7,8) Será que (,-,-7,-) é um elemento de F? Isto é, será que (,-,-7,-) é um combinção liner de (,,,4) e (5,6,7,8)? Se tl se verificr crcterístic d mtriz 4 que tem estes vectores ns sus linhs terá que ser.

70 O mesmo eemplo, outr bordgem:

71 O mesmo eemplo, outr bordgem: ) ( A cr

72 Como sber qul o espço gerdo por um conjunto de vectores? F (,,,4 ), ( 5,6,7,8)

73 Como sber qul o espço gerdo por um conjunto de vectores? w z y Agor vmos ver quis s condições sobre, y, z e w pr que últim linh d mtriz em escd sej nul

74 Como sber qul o espço gerdo por um conjunto de vectores? w z y w y z y 8 4 4

75 Como sber qul o espço gerdo por um conjunto de vectores? w z y w y z y w y z y y w y z

76 Como últim linh ficou nul pode-se concluir que é combinção liner ds nteriores. (Só não se sbe quis são os coeficientes d combinção liner, pr o sber é preciso resolver o sistem como se fez ntes)

77 Os coeficientes d combinção liner de um vector em relção um bse chmm-se coordends do vector