fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

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1 Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo nos levm formulções de integris em que:. ou o intervlo de integrção não é itdo;. ou o integrndo tem um descontinuidde infinit em lgum ponto do intervlo [, b]. Nosso objetivo neste cpítulo é definir e clculr integris deste tipo, chmds integris imprópris. 8. Eemplos A integrl e d é um eemplo do cso, cim. Podemos interpretr, geometricmente, est integrl como áre d região não-itd bio d curv y = e, cim do eio e à direit do eio y. y... Como est região é iitd, poderímos esperr que su áre tmbém o fosse. No entnto, o gráfico prece indicr que prtir de = áre sob curv é muito pequen e diminui cd vez mis à medid que ument. Dess mneir é possível esperr que, prtir de =, os créscimos à áre representd pel integrl e d sejm tão pequenos que áre totl d região não ultrpsse um determindo vlor. De fto, vlindo integrl e d, pr b =, temos > evlf(int(ep(-^),=..)); 8839 Continundo clculr o vlor dest integrl pr vlores de b sucessivmente miores, obtemos > evlf(int(ep(-^),=..5)); > evlf(int(ep(-^),=.)); > evlf(int(ep(-^),=..)); > evlf(int(ep(-^),=..5));

2 388 Cp. 8. Integris Imprópris Repre que prtir de b = 5 o vlor d integrl, clculdo com dígitos, se estbiliz e prece convergir pr um determindo vlor. Como o integrndo é estritmente positivo, o vlor d integrl deve crescer à medid que umentmos o intervlo de integrção. No entnto, o vlor dest integrl jmis ultrpss um determindo ite. Est firmção pode ser visulizd no digrm bio. Neste digrm trçmos o gráfico d função áre A() = dt, pr vlores de cd vez miores. e t De cordo com o digrm, o gráfico d primitiv Mple pr clculr o ite, obteremos > Limit(Int(ep(-t^),t=..),=infinity): > %=it(int(ep(-t^),t=..),=infinity); e t dt prece ter um ssíntot horizontl. Se usrmos o e t dt = π Definimos, então, áre d região iitd como sendo igul este vlor ite. Um eemplo do cso é ddo pel integrl d, que tmbém pode ser interpretd como áre d região iitd sob curv y =, de = =. Como no eemplo, clculemos o vlor d integrl de zero: > F:=->int(/sqrt(),=..): > F(.); > F(.); > F(.); > F(.^5); > F(.^6); > F(.^7); d, pr vários vlores de, cd vez mis próimos

3 W.Binchini, A.R.Sntos 389 > F(.^8); > F(.^9); > F(.^);. Os vlores cim precem indicr que primitiv F() = dt, se proim de, qundo se proim de. De t fto, usndo o Mple pr clculr + t dt, obtemos > Limit(Int(/sqrt(t),t=..),=,right)=it(F(),=); + dt =. t Assim, dizemos que áre d região iitd estudd neste eemplo é igul. Tendo em vist estes dois eemplos, podemos concluir que podemos definir integris sobre intervlos não itdos como o ite de integris sobre intervlos itdos, (como foi feito no eemplo ) e como o ite de integris de funções contínus, no cso de o integrndo presentr descontinuiddes infinits no intervlo de integrção, como foi feito no segundo eemplo. Ests definições são formlizds ns próims seções. 8.3 Limites de integrção infinitos Integrl imprópri sobre [, ) Sej f um função contínu no intervlo [, ). Definimos f() d = b f() d, se este ite eistir. Neste cso, dizemos que integrl converge ou é convergente. Se o ite não eiste, dizemos que integrl diverge ou é divergente. Se função f é positiv e integrl converge, el represent áre sob o gráfico de f no intervlo [, ). () Eemplo e ( ) d Estude convergênci ds seguintes integris imprópris. d (c) sen() d ( + ) 3 d Solução () e ( ) d = b e ( ) d = b e b = b e( b) =. Logo, integrl é convergente. Como o integrndo é sempre positivo, o vlor dest integrl represent áre d região iitd sob o gráfico d função e, pr >. (c) d = b [ln()]b = = ln = +. Logo, integrl é divergente. b sen() d = [ cos()] b = = ( sen). Como este ite não eiste, integrl é divergente. b b

4 39 Cp. 8. Integris Imprópris [ d = ( + ) 3 b ( + ) ] b = ( = b (b + ) + ) = 8 8. Logo, integrl é convergente e represent áre d região iitd mostrd o ldo. Integrl imprópri sobre (, b] Sej f contínu no intervlo (, b]. Definimos f() d = f() d se este ite eiste. Neste cso dizemos que integrl converge ou é convergente. Se o ite não eiste, dizemos que integrl diverge ou é divergente. Se f é positiv no intervlo (, b], podemos interpretr est integrl como áre de um região, como foi feito nos csos nteriores. Eemplo Estude convergênci ds seguintes integris imprópris: 8 () d ( ) d Solução () 8 [ 8 d = d = 8 ] = ( ) ( ) 8 = Logo, integrl é convergente e seu vlor represent áre d região iitd mostrd o ldo. 6 d = ln( ) =. Logo, integrl diverge. () Integrl imprópri sobre (, ) Sej f um função contínu n ret,isto é, em (, ). Definimos f() d = c f() d + c f() d pr qulquer escolh conveniente de c, desde que mbs s integris imprópris à direit sejm convergentes. Observção : A integrl c f() d não é necessrimente igul f() d (Vej Eemplo e Eercício 3, deste c c cpítulo). Eemplo Estude convergênci ds seguintes integris imprópris: () [rctg()] + d d

5 W.Binchini, A.R.Sntos 39 Solução () Observe que que c c c d =. [rctg()] + d = = [rctg()] + d + [rctg()] + d + b = [rctg()]3 + 3 b = π3 + π3 = π3 [rctg()] + d [rctg] 3 3 [rctg()] + d ( ) c =, pr qulquer escolh de c. Logo, integrl é divergente. Repre, porém, 8 Integrndos infinitos em intervlos finitos. Se f é contínu em (, b] e +. Se f é contínu em [, b) e b f() =, define-se f() d = t + f() =, define-se f() d = t b t t f() d. f() d. Em mbos os csos, se o ite eiste, diz-se que integrl converge ou é convergente. Se o ite não eiste, diz-se que integrl diverge ou é divergente. 3. Se f é contínu em [, b], eceto em um ponto c de (, b), e se um ou mbos os ites lteris são infinitos, define-se f() d = c f() d + desde que mbs s integris imprópris à direit sejm convergentes. c f() d, Eemplo Estude convergênci ds seguintes integris imprópris: () d d (c) d d. Solução () + d = + ( ) =. Logo d =. Neste cso, como o integrndo é positivo, este vlor represent áre d região iitd sob o gráfico de y =, no intervlo [, ]. d = d + d, se ests integris forem convergentes.

6 39 Cp. 8. Integris Imprópris A segund integrl d = + d = (ln() ln()) = + + Logo, (c) d é divergente. d = d + d. A integrl d = b d = b ( rcsen( b ) ) = π. D mesm mneir, d = π e, portnto, d = π A integrl Portnto integrl d = d + d. b d = b d = b d é divergente. ln( b+ b ) = O Teste d comprção Algums vezes é impossível clculr o vlor eto de um integrl imprópri, ms, mesmo ssim, é importnte decidir se tl integrl é convergente ou divergente. O teorem seguir é útil em tis csos. Teorem: Teste d Comprção Suponh que f e g sejm funções contínus tis que f() g(), pr todo, onde é um número rel. () Se Se f() d é convergente, então g() d é divergente, então g() d tmbém é convergente. f() d tmbém é divergente. Um teorem nálogo pode ser enuncido pr integris imprópris do segundo tipo. Não fremos demonstrção deste teorem, porém este resultdo é geometricmente intuitivo. Como pr, f e g são positivs, s integris f() d e g() d representm áres. Assim, se áre sob curv y = f() é finit, então áre sob curv y = g(), que está bio d outr, pois f() g() pr, tmbém deve ser finit. Por outro ldo, se áre sob curv y = g() é infinit, o mesmo deve contecer com áre sob curv y = f().

7 W.Binchini, A.R.Sntos 393 Eemplo : Mostre que e d é convergente. Solução Não podemos clculr este ite diretmente, pois não eiste um função elementr que sej primitiv d função y = e. Por isso vmos plicr o teste d comprção pr mostrr que Pr, temos que e e. Assim, temos que e d é convergente. A integrl e d é fácil de clculr. De fto, e d e d. ( ) t e d = e [ d = e ] t = t t t ( e t + e ) = e. Tendo em vist (*) e (**), o teste d comprção grnte que e d converge. Ms, ( ) e d = onde A e A são s áres ds regiões ssinlds n figur: e d + e d = A + A, A. A... 3 Como A é áre de um região finit e, como mostrmos cim, A é convergente, podemos concluir que e d converge. 8 Eercícios. Estude convergênci ds seguintes integris: () e ( ) e ( ) d (e) d (c) π ln() d ( ) d tg() d (f) (g) (h) e ( ) d e ( ) d ln d (i) (j) (k) 5 5 d ln() d ( 3) d

8 39 Cp. 8. Integris Imprópris. A trombet de Gbriel é superfície de revolução obtid o girrmos curv y =,, em torno do eio, conforme mostr figur o ldo. () Mostre que áre sob curv y =,, é infinit. Mostre que o volume do sólido de revolução deitdo pel trombet de Gbriel é finito (c) Mostre que áre d superfície (vej o Cp.. ) d trombet de Gbriel é infinit. Sugestão: Compre com prte ()). Morl d históri: Pr pintr trombet de Gbriel, primeiro ench- de tint, depois blnce e jogue tint for!!! 3. Mostre que + c d diverge, ms que + c c + d = π. +. A região pln itd cim pelo gráfico de f() = e, e bio pelo eio (vej o gráfico o ldo) é gird em torno do eio, obtendo-se um sólido de revolução. Clcule o volume deste sólido Use o teste d comprção pr decidir se s seguintes integris são convergentes ou divergentes: sen () d (c) 3 + d e (e) d d π d + e sen 6. Clcule integrl ( + ) d. Observção: Repre que o intervlo de integrção é iitdo e que o integrndo se torn iitdo em =. 7. Ache os vlores de p pr os quis s integris bio convergem: () d p p ln d 8. Se f(t) é contínu pr t, trnsformd de Lplce de f é função F definid por F (s) = f(t) e st dt. O domínio de F é o conjunto de todos os números s pr os quis integrl converge. () Ache trnsformd de Lplce de f(t) = ; f(t) = e t e f(t) = t. Mostre que se f(t) M e t, pr t, onde M e são constntes, então trnsformd de Lplce F (s) eiste pr s >. (c) Suponh que f(t) M e t e f (t) K e t pr todo t onde f é contínu. Se trnsformd de Lplce de f(t) é F (s) e trnsformd de Lplce de f (t) é G(s), mostre que G(s) = s F (s) f(), s >.