x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

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1 Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil interpretr dy e seprdmente. Nesse conteto, dy é denomindo diferencil de y e é diferencil de. As diferenciis são utilizds, por eemplo, em plicções do cálculo integrl e pr proimr vrições d vriável dependente, ssocids com pequens vrições d vriável independente. Sej y = f() um função rel. Se vri de, diferenç é chmd de créscimo de e denotd por. Assim, = A vrição de origin um correspondente créscimo de y denotdo por y, isto é: y = f( ) f( ) Como = +, tmém podemos escrever: y = f( + ) f( ) A figur mostr um cso em que e y são positivos, ms pode ser positivo ou negtivo, e y pode ser positivo, negtivo ou zero. Ns plicções e y são, em gerl, muito pequenos numericmente. Eemplo : Sej f() = ) Determine qundo vri de pr, ) Determine qundo vri de pr,7 c) Determine y qundo vri de pr,0 d) Determine y qundo vri de pr,98 O créscimo é tmém chmdo de diferencil de e denotdo por, isto é, =. Se y = f() diferencil de y, denotd por dy, é definid por dy = f ʹ ()

2 Eemplo : Sej y = ) Determine dy ) Determine dy pr = e = 0,0 c) Determine dy pr = e = 0,0 dy Oservção: Pel definição nterior podemos escrever que = f ʹ () e ssim, notção dy já usd como um símolo pr derivd pode ser considerd um quociente entre dus diferenciis. Interpretção geométric de dy: Vmos considerr figur io que represent o gráfico de um função y = f() derivável. O créscimo que define diferencil está geometricmente representdo pel medid do segmento PM. O créscimo y está representdo pel medid do segmento MQ. A ret t é tngente à curv no ponto P. Est ret cort ret = no ponto R, formndo o triângulo retângulo PMR. O coeficiente ngulr dest ret t é ddo por f ʹ ( ) ou tg α. Oservndo o triângulo PMR, escrevemos: MR f ʹ ( ) = tg α = PM onde MRe PM são, respectivmente, s medids dos segmentos MR e PM. dy dy MR Usndo o fto de que f ʹ ( ) =, temos dí que = PM Então, como PM =, concluímos que dy = MR. Eemplo : Ddo y = +, determine y, dy e y dy pr: ) = e = 0, ) = e = 0,0 c) = e = 0,00

3 Oservmos pelo eemplo, que qundo é muito pequeno, o mesmo ocorre com diferenç y dy. Assim, dy pode ser usdo como proimção d vrição (et) y d vriável dependente, correspondente um pequen vrição n vriável independente. Desse modo, se 0 então y dy. Eemplo : Estime vrição de f() = qundo vri de 0 pr 0,5. Oservção: Vimos que f( + ) f() = y Dí f( + ) = f() + y Assim, se f() é derivável em 0 e é um pequen vrição de então f( 0 + ) f( 0 ) + dy Eemplo 5: Sej f() = Use diferenciis pr chr um vlor proimdo pr f(0,97). Eemplo 6: Clcule um vlor proimdo pr 65, 5 usndo diferenciis Eemplo 7: Use diferenciis pr determinr um vlor proimdo pr (9,875) dy Oservção: Tods s fórmuls que fornecem derivd podem ser convertids em fórmuls que dão diferencil dy. N list io, presentmos lgums ds fórmuls ásics pr diferenciis. Sejm u e v funções deriváveis de vriável, c um número rel qulquer e r um número rcionl qulquer. ) dc = 0 ) d(u + v) = du + dv ) d(c.u) = c.du ) d(u.v) = u.dv + v.du 5) d(u r ) = r.u r.du u 6) d = v vdu udv v

4 Eercícios list ) Sendo f() = +, use diferenciis pr chr um vlor proimdo pr f(,) ) Sendo f() =, use diferenciis pr chr um vlor proimdo pr f(0,95) ) Estime vrição d função f() = + 5 qundo vri de 5 pr 5, ) Estime vrição d função f() = qundo vri de pr,8. + 5) Suponh que f(00) = 00 e f ʹ (00) = 0. Fç um estimtiv de: ) f(00,5) ) f(99,75) 6) Suponh que f(50) = e f ʹ (50) = 5. Fç um estimtiv do vlor de f(5) 7) Use diferenciis pr encontrr um vlor proimdo pr 0 8) Use diferenciis pr encontrr um vlor proimdo pr, 95 9) Use diferenciis pr encontrr um vlor proimdo pr 7 0) Use função f() = pr estimr o vlor de,08 Resposts: ), ) 0,8 ), ) 0,008 5) ) 05 ) 97,5 6) ) 0,05 8),9875 9),0 0) 0,7

5 . Antiderivd Integrl Indefinid N miori dos eemplos e prolems estuddos té gor, começmos com um função dd e clculmos derivd pr oter informções respeito d função. Em muits situções, no entnto, o prolem é o inverso: conhecemos derivd e estmos interessdos em determinr função. Isso contece, por eemplo, qundo semos t com qul um populção está umentndo e queremos clculr qul será populção em um determindo instnte futuro. A função encontrd nesse prolem é um ntiderivd. Definição : Um função g é um ntiderivd (ou primitiv) de um função f em um intervlo I se gʹ () = f() pr todo em I. Eemplos: ) g() = + é um ntiderivd de f() = +, pois gʹ () = + = f(). ) g () =, g () = 7 e g () = são ntiderivds de f() = 0, pois, derivd de qulquer função constnte é zero. De modo gerl, se f é um função tl que f ʹ () = 0 pr todo em um intervlo I, então eiste um número rel k tl que f() = k pr todo em I. ) g() = é um ntiderivd de f() =, pois gʹ () = = f(). ) g () = +, g () = 7 e g () = + tmém são ntiderivds de f() = Um diferenç importnte entre derivd e ntiderivd é o fto de que ntiderivd de um função não é únic. Em gerl, se um função g é um ntiderivd de um função f em um intervlo I e se h() = g() + C onde C é um constnte ritrári, então h tmém é um ntiderivd de f no intervlo I. Por esse processo, otemos tods s possíveis ntiderivds de f() e podemos estelecer o seguinte resultdo: Teorem : Sej g um ntiderivd de f em um intervlo I. Se h é um outr ntiderivd de f em I então eiste um constnte C tl que h() = g() + C. Portnto, qundo encontrmos um ntiderivd g de um função f, temos um fmíli infinit de ntiderivds de f. Pr f() =, por eemplo, eiste um fmíli de ntiderivds d form g() = + C onde C é um constnte ritrári. Geometricmente, o gráfico de qulquer ntiderivd de f() = é otido deslocndo verticlmente o gráfico de g() =. A figur o ldo mostr um esoço de vários memros dess fmíli. 5

6 Ao considerrmos tods s ntiderivds de um dd função é conveniente introduzirmos um nov terminologi e um nov notção, como se segue: Definição : Sej f() um função dd. A integrl indefinid de f(), representd por f() é fmíli de tods s ntiderivds de f(). Se g() é um ds ntiderivds de f() e C é um constnte ritrári, f() = g() + C De cordo com ess definição, o símolo é o sinl de integrl; f() é função integrndo; f() é o integrndo e C é constnte de integrção. Dremos rzões, mis dinte, pr o uso d diferencil que prece no integrndo. No momento vmos considerr que o símolo indic que ntiderivd deve ser clculd em relção à vriável. O processo que permite chr integrl indefinid de um função é chmdo de integrção indefinid ou ntiderivção. Eemplos: ) ( + ) = + + C ) = + C O próimo teorem estelece que derivção e ntiderivção são processos inversos. Teorem : d ) f '() = f() + C ) f() = f() Dizer que g() é um ntiderivd de f() equivle dizer que f() é derivd de g(), ms gor pensmos em f() como função dd e em g() como função ser encontrd. A ligção que eiste entre derivção e ntiderivção permite usr s regrs já conhecids de derivção pr oter regrs correspondentes pr ntiderivção. Regrs ásics de ntiderivção ) (f() + g()) = f() + g() ) Se é um número rel então f() = f() ) = + C ) Se n Q e n então n = n + + C n + 5) = = ln + C Oservção: A regr pode ser estendid qulquer número finito de prcels. 6

7 Eemplos: ) 7 ) ( + 5) 5 ) (5 + ) 5 ) ) ( + ) 6) ( + 5)(8 ) 7) + 8) ( + ) 9) + 5 0) )

8 Eercícios - list Use s regrs ásics pr clculr s integris io: ) ( 5) ) ( + ) ) ( )( + 5) ) ( 5 + 6) 5) ( 5 + ) 6) ( + ) 7) ( + + ) 8) ( + 5 ) 9) / 7 (5 ) 0) ( + 5 ) 7 ) + ) ( 6 + ) ) ) Resposts: ) 5 + C ) + + C ) C ) C 5) 0 / + + C 6) C 5 7) + + C 8) 5 + C 9) 50 7 / / + C 0) 9 / + 5 / + C 7 9 ) + 7 ln + C ) + ln + C ) C ) + 5 ln + + C 8

9 . Integrção por Sustituição Muits ntiderivds não podem ser encontrds plicndo-se diretmente s regrs ásics. No entnto, lgums vezes é possível encontrr um ntiderivd utilizndo-se esss regrs pós mudr vriável. Precismos clculr, por eemplo, + 5 () Se fizermos u = + 5, então, du = e () torn-se u du () Resolvendo () encontrmos u + C () Sustituindo u por + 5 em () temos nosso resultdo: ( + 5) + C A justifictiv do procedimento usdo no eemplo nterior é dd pelo teorem seguir, que é nálogo à regr d cdei pr derivção. Teorem : Sej h um função derivável de vriável e sej g um ntiderivd de f. Então, se u = h(), f(h())hʹ () = f(u)du = g(u) + C = g(h()) + C Eemplos: ) ) ( + ) 8 6 ) ( + ) 5 ) (5 + ) 5 + 5) )

10 Eercícios - list Clcule s integris: ) ( + ) ) ( + 7) 9 ) + 5 ) ( ) 8 5) ) ( + + 6) 7 6 7) ( + ) 8) ( 6 + ) 9) ( )(6 9 + ) / 0) (5 ) / ) ( + ) / ) + ) ( + )( ) / ) ( + ) ( + ) / 5) ( + 6) 6) + + Resposts: + 0 ) ( ) + C ( ) ) + C ) ( + 5) + C ) + C 7 ( ) 5) (5 + 6) / + C 6) ( + + 6) 6 + C 0 6 7) ( + ) + C 8) 9) (6 9 + ) / + C 0) 9 ( 6 + ) + C 0 (5 ) / + (5 ) 5 / + C 5 ) ( + ) / ( + ) / + C ) 7 ( + ) 7 / 5 ( + ) 5 / + ( + ) / + C ) 6( ) / + 5 ( ) 5 / + C ) 7 ( + ) 7 / + 5 ( + ) 5 / + ( + ) / + C 5) + C 6) ( + ) / + C + 6 0

11 . Integrção por Sustituição Outros eemplos ) e + Fzendo u = + temos que du = Dí = du Então e + u = e du = e u + C = + C e + ) 5 e Fzendo u = 5 temos que du = 5 Logo = 5 du Então e 5 u = 5 e du = e u + C = e 5 + C 5 5 Oservção: e k = e k + C pr k IR * k (ln ) ) Fzendo u = ln temos que du = Então (ln ) = (ln ) = u du = u + C = (ln ) + C ) + 5 Fzendo u = + 5 temos que du = 5) + Dí = du Logo = + 5 du = ln u + C = ln C u Nesse cso, fzemos sustituição u = + Então du = e = u Logo = + u u du = du u du = u ln u = ln + + C

12 Eercícios - list Determine s integris: ) e ) ln 5 ) 5) e ) (ln ) e 6) 5e ln 7) 8) + e 9) 0) ln Resposts: ) e + C ) e + C ) (ln 5) + C ) ln + C 5) e + C 6) 5 e + C 7) (ln ) + C 8) ln + + C 9) ln ln + C 0) e + C

13 .5 Integrção por Prtes Nest seção vmos estudr um técnic que pode ser usd pr integrr certos produtos de funções. Ess técnic, conhecid como integrção por prtes, é um conseqüênci diret d regr do produto pr diferenciis. A fórmul de integrção por prtes é presentd seguir. Sejm u e v funções de vriável Semos que d(uv) = udv + vdu Ou, equivlentemente, udv = d(uv) vdu Integrndo mos os memros dess equção temos: udv = d(uv) vdu Ou ind, udv = uv vdu () A equção () é chmd de fórmul pr integrção por prtes. Est fórmul trnsform o prolem do cálculo de udv no cálculo de vdu. Atrvés de um escolh conveniente de u e dv pode ser mis fácil clculr segund integrl do que primeir. N fórmul cim, deimos de escrever constnte de integrção, já que no decorrer do desenvolvimento precerão outrs. Tods s constntes podem ser representds por um únic constnte que será introduzid no finl do processo. ) ln Eemplos: ) ln ) e ) 6 e

14 Às vezes, integrção por prtes lev um nov integrl que tmém pode ser integrd por prtes 5) e Algums integris podem ser clculds por integrção por prtes ou por sustituição. As soluções podem precer diferentes, ms se estiverem correts, poderão diferir, no máimo, por um constnte. Eemplo: + 5 Fzendo u = e dv = + 5, temos que du = e v = ( + 5) / Então, usndo o método de integrção por prtes, chmos: + 5 = ( + 5) / ( + 5) 5 / + C 5 Fzendo u = + 5, = du e = u 5. Então, resolvendo por sustituição, encontrmos: + 5 = ( + 5) 5 / 0 ( + 5) / + C 5 Oserve que ( + 5) / ( + 5) 5 / = ( + 5) / ( + 5) 5 5 = = ( + 5) / = ( + 5) / = ( + 5) / = = ( + 5) / 0 ( + 5) 5 = ( + 5) 5 5 / 0 ( + 5) /

15 Eercícios list 5 Use o método de integrção por prtes pr clculr s integris io: ) ln 6) ln ).e 7) e / ) ln 8) ln ) e 9) 5 e 5) ln 0) ln Resposts: ln ) ln + C 6) + C e e ) + C 7) e / e / + C ) ln + C 8) ln + C 9 ) e e + C 9) 5 e 9 5 e + C 5) / ln / + C 0) ln 9 + C 5

16 .6 Integrl Definid Já semos que derivd tem origem geométric: está ligd o prolem de trçr ret tngente um curv. A integrl definid tmém tem origem geométric: está ligd o prolem de determinr áre de um região pln limitd por um curv qulquer. Vmos considerr um função f() contínu em um intervlo [, ] e supor que f() 0 nesse intervlo. Queremos clculr áre A d figur delimitd pel curv y = f(), s rets = e = e pelo eio. Pr determinr ess áre, vmos dividir região dd em um série de regiões retngulres e clculr o vlor proimdo d áre A somndo s áres desss regiões retngulres. Qunto mior o número de retângulos, mis som de sus áres se proim do que considermos, intuitivmente, áre so curv dd. A áre A pode ser interpretd, portnto, como som de um infinidde de retângulos que podemos descrever ssim: em cd ponto há um retângulo de ltur f() e se infinitmente pequen, indicd por, de modo que áre de cd retângulo é dd pelo produto f(). A som S n ds áres de n retângulos pode ser escrit d seguinte mneir: S n = f( ) + f( ) f( n ) = (f( ) + f( ) f( n )) Podemos definir áre A como o limite d som S n qundo n tende pr infinito. Então A = lim(f( ) + f( ) f( n )) n Oservção: Podemos construir formlmente som S n (chmd som de Riemnn) e o cálculo de seu limite proporcion um form precis de determinr áre d região so o gráfico de um função. Pr indicr que estmos otendo áre A como som infinit ds áres f() de todos esses retângulos no intervlo [, ] escrevemos: A = f() O símolo f()é chmdo de integrl definid de té de f(). 6

17 Os números e são chmdos de limites de integrção; é o limite inferior e é o limite superior. Como veremos mis dinte, áre é pens um ds grndezs que podem ser epresss pel integrl definid. O cálculo d integrl definid de f de té pode ser fcilmente relizdo grçs um importnte resultdo, conhecido como Teorem Fundmentl do Cálculo, que relcion integrl definid com ntiderivd: Sej f() um função contínu em [, ]. Se g() é um ntiderivd de f() em [, ] então f() = g() g() Eemplos: ) ( ) Oservção: Nos cálculos que envolvem integris definids costum-se usr o símolo g() pr indicr diferenç entre g() e g(). ) ( + + ) ) 8( + ) 0 9 ) + 7 5) 0 e 7

18 Oservção: Qundo integrl definid de té de f() eiste, dizemos que f() é integrável em [, ]. Podemos provr que tod função contínu em [, ] é integrável em [, ], ms eistem muits funções descontínus que são integráveis. Proprieddes ds integris definids: Sejm f() e g() funções integráveis em [, ] e c um número rel qulquer. ) f() = 0 ) c) f() = f() c.f() = c f() d) (f() + g()) = e) Se < c < então f()+ g() c f() = f() + f() c 8

19 Eercícios list 6 Ns questões de 9, clcule s integris definids: ) ( ) ) ( + ) ) 5 ) 5) + 6) 0 ( + ) / 7) ( ) 8) ) 6 0) ( ) Resposts: ) 8 6) / ) 8 / 0 7) 0 ) / 8) 5 / 9 ) 7 / 9) 5) 0) 7 / 0 9

20 .7 Áres de regiões plns Usndo notção de integrl definid, definição d áre d região so o gráfico de um função () pode ser epress d seguinte mneir: Definição : Sej f um função contínu em [, ] e tl que f() 0 em [, ]. A áre d região so o gráfico de f entre = e = é dd por A = f() Eemplos: Clcule áre d região so o gráfico de f() = entre = e = Clcule áre d região limitd pelo gráfico de f() = + entre = e = Em.6 ssumimos que f() 0 em [, ], isto é, que o gráfico de f() entre = e = estv cim do eio. Se região entre = e = limitd pelo gráfico de f e o eio permnece inteirmente io do eio, então cd vlor de f() é negtivo. Assim, cd f() é negtivo e áre dess região é o oposto d integrl definid de té de f(). Definição : Sej f um função contínu em [, ] e tl que f() 0 em [, ]. A áre d região so o gráfico de f entre = e = é dd por A = f() Eemplos: Determine áre d região so o gráfico de f() = entre = e = () Chmmos de região so o gráfico de um função (ou região limitd pelo gráfico de um função) f entre = e = à região entre o gráfico de f e o eio entre = e =. 0

21 Clcule áre d região so o gráfico de f() = entre = e = Se curv está prcilmente cim do eio e prcilmente io como é mostrdo n figur o ldo, então áre pode ser considerd como um som de termos positivos e negtivos, correspondentes prtes d região que estão cim e io do eio. c A = A + A + A + A = d f() c e f() + d f() f() e 5 Determine áre d região limitd pelo gráfico de f() = + entre = 0 e = 6 Determine áre d região limitd pelo gráfico de f() = + entre = e =

22 Pr determinr áre d região R entre os gráficos de f e g de = té = (figur io), st sutrir áre d região so o gráfico de g d áre d região so o gráfico de f. Assim, áre de R = áre de R áre de R Ou sej, áre de R = f() g() = (f() g()) Podemos provr que ess epressão é válid mesmo que s funções não sejm nãonegtivs. Definição : Se f e g são funções contínus em [, ] tis que f() g() em [, ] e se R é região limitd pelos gráficos de f e g e pels rets = e =, então Áre de R = (f() g()) Eemplo 7: Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds funções f() = + 6 e g() = + + entre = e = Algums vezes temos de considerr o prolem de encontrr áre entre dus curvs sem que os vlores de e sejm determindos. Nestes csos, eiste um região que está completmente envolt pels dus curvs. Como o próimo eemplo ilustr, temos que encontrr os pontos de interseção entre s dus curvs pr oter os vlores de e. Eemplo 8: Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds funções f() = + e g() = + + Eemplo 9: Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds funções f() = e g() =

23 Eercícios list 7 ) Determine áre d região so o gráfico de f() = entre = e = ) Clcule áre d região limitd pelo gráfico de f() = entre = e = ) Determine áre so o gráfico de f() = entre = e = ) Clcule áre d região limitd pelo gráfico de f() = 9 entre = e = ) Clcule áre limitd pelos gráficos de f() = e g() = + entre = e = 6) Clcule áre limitd pelos gráficos de f() = 5 e g() = + 7) Determine áre limitd pelos gráficos de f() = + e g() = 8) Clcule áre limitd pelos gráficos de f() = e g() = 9) Clcule áre limitd pelos gráficos de f() = + e g() = + 0) Clcule áre limitd pelos gráficos de f() = e g() = + ) O gráfico de um função f prece n figur io e f() =,8 e f() =,6. Determine áre d região limitd pelo gráfico de f() e o eio entre = e = ) O gráfico de um função f prece n figur io e f() = 6, e Determine áre d região limitd pelo gráfico de f() e o eio entre = e = f() =,. figur figur Resposts: ) 9 ) ) 8 ) 0 5) 9 6) 9 7) 8 8) 9) 8 0),75 ) 6 ) 8,

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