FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

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1 FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te e termo ) f() = + 3 ( =, = -, c = 3) ) f() = ( = -, =, c = -6) c) y = 3 ( =, = -3, c = ) d) f() = -3 ( = -3, = c = ) cons tn te - Rízes ou zeros de um função do º gru Pr clculr s rízes ou os vlores de que nulm um função do º gru, devemos igulr zero mesm trnsformndo- num equção do º gru e, em seguid, resolvendo- trvés d fórmul de Bháskr. Eemplo: ) Encontre s rízes de cd função io: ) y = ) y = c) y = + 5 d) f() = 5 e) y = 3 f) f() = + Solução: ) y = = ( = 3, = -5, c = ) - Cálculo do discriminnte (delt). ( 5 ).. c.3.

2 - Cálculo ds rízes. fórmul de Bháskr ( 5 ) ' 6 5 " e /3 são os únicos números que nulm função. Logo, V = {, /3} ) y = =.(-) = ( =, = -6, c = 9) ( 6 ) ' " 3 36 ( 6 ). 6 3 é o único número que nul função. Logo, V = {3} c) y = = ( =, = -, c = 5) ( )..5 6 ( ) e. - Oserv-se que não é possível clculr, no cmpo rel,, por ser um número que fz prte do Conjunto dos Números Compleos, logo, equção não present rízes reis, isto é, o conjunto verdde é representdo pelo conjunto vzio V = ou { }. * O resultdo signific dizer que não eiste nenhum número rel que nul ess função. d) f() = 5 5 = ( =, - -5, c = )(equção incomplet: coloc-se em evidênci) ( 5) = = ou 5 = = 5 V = {, 5}

3 e) y = 3 3 = (:) (equção incomplet) 6 = ( =, =, c = -6) = 6 = 6 = V = {, -} ' " f) f() = + + = (equção incomplet) = - = e V = ou { } Os.: tods s equções incomplets do º gru podem ser resolvids pel fórmul de Bháskr. Oserve resolução do eemplo nterior d. d) f() = 5 5 (, 5, c ).. c ( 5 ).. 5 fórmul de Bháskr ( 5 ) ' " V= {, 5} 5 5

4 3- Gráfico de um Função Qudrátic. - O gráfico de um função qudrátic é um curv denomind de Práol. El present vértice, concvidde e eio de simetri. - Cálculo do Vértice. - Oservmos cim que o vértice de um práol é um ponto que pode ser de mínimo, se o coeficiente de for mior que zero ( > ) ou de máimo, se for menor que zero ( < ). Pr clculr esse ponto devemos utilizr s seguintes fórmuls: - Asciss do vértice: - Ordend do vértice: v (ponto de mínimo ou de máimo d função) y v (vlor de mínimo ou de máimo d função) Logo, o vértice é representdo pelo ponto Procedimentos pr encontrr o vértice. º Procedimento V ;. y = + + c fórmul gerl d Função Qudrátic Isol-se + y c = + Adicion-se os dois memros o termo y c + = + + Resolve-se potênci do º memro e coloc-se em evidênci no º y c + =

5 Simplific-se e ftor-se o º memro (qudrdo d som de dois termos): y c + = Isol-se y e determin-se o mínimo nos dois últimos termos do º memro y = + c - y = - c c.. y = - ) Qundo >, função (y) present um mínimo pr =. = = (sciss do vértice) Como =, temos. y =. - y = - (ordend do vértice) V =, ) Qundo <, função (y) present um máimo pr =. = = (sciss do vértice) Como =, temos. y =. - y = - (ordend do vértice)

6 V =, 3) Qundo >, y = - continu negtivo (y < ), logo, função present um mínimo. ) Qundo <, y = - torn-se positivo (y > ), logo, função present um máimo. º Procedimento O vértice d práol y = + + c pertence o eio de simetri (s). Então, pr encontrr su sciss deve-se clculr o ponto médio do segmento de etremos (, ) e (, ) d seguinte mneir: Pr encontrr ordend do vértice deve-se sustituir o vlor d sciss do vértice v n função y = + + c do seguinte modo: Então: V, Eemplo - As funções io são do º gru, logo, seus gráficos são representdos por práols. Determine o vértice de cd práol especificndo se represent ponto de máimo ou de mínimo. ) f() = 9 + ) y = c) y = 3 Solução: ) f() = 9 + ( =, = -9, c = ) v " ' c c c c c c y ) (...

7 ) Cálculo d sciss do vértice: v ( 9 ). 9,5 ) Cálculo d ordend do vértice: y v Logo,.. c ( 9 ),5. V 9, * Como é positivo ( = ), dizemos que o vértice represent um ponto de mínimo. ) y = ( = -, = 5, c = ) ) v, 5.( ) ).. c 5.( ) y v Logo, ( ) 8 8 V 5 3, 8 3,875 * Como é negtivo ( = -), dizemos que o vértice represent um ponto de máimo. c) y = 3 ( = -, = 3, c = ) 3 3 ), 5 v.( ) ).. c 3.( ). 9 9 y v Logo, ( ) V 3 9, 3,5 * Como é negtivo ( = -), dizemos que o vértice represent um ponto de máimo.. 5- Construção de um Práol. Verificou-se que pr construir o gráfico de qulquer função deve-se conferir (vriável independente) vlores ritrários, em seguid, sustituem-se os mesmos n função chndo vlores pr y (vriável dependente),

8 conseqüentemente, formndo pres ordendos (, y). Porém, pr fcilitr noss tref, vmos colocr ordem nos vlores de, d seguinte mneir: - Clculm-se s rízes d função ( e ); - Determin-se o vértice d práol V ; ; 3- Constru-se um tel crescentndo um vlor inteiro menor que menor riz e outro mior que mior riz, em seguid, esoçr o gráfico. Not: se equção presentr rízes reis e iguis ( = ) ou não presentr rízes reis ( e ), deve-se triuir dois vlores inteiros menores e dois miores que o vlor d sciss do vértice ( v ). Eemplo: - Construir o gráfico de cd função io: ) f() = 3 + ) y = c) y = + Solução: ) f() = 3 + ) Cálculo ds rízes. f() = = ( =, = -3, c = ) c 3 " 3 ' 3. 3 ) ( ) Cálculo do vértice., ) ( v,5. y v, 3 V

9 c) Construção d Tel e do gráfico. y (, y) (, ) (, ) 3 3, (, ) 3 (3, ) y f() = 3 + f() = 3. + = f() = 3. + = f() = 3. + = f(3) = = 3/ - - -/ - 3 ) y = ) Cálculo ds rízes. - + = (-) + = ( =, = -, c = ).. c.. ( ). ) Cálculo do vértice. ' " v ( ). y v V,.

10 3) Construção d Tel e do gráfico. y (, y) - (, -) - (, -) (, ) 3 - (3, -) - (, -) y = y() = +. - = - f() = = - f() = = f(3) = = - f() = - +. = - y c) y = + ) Cálculo ds rízes. y = + + = (equção incomplet do º gru) = - = - ' e ", log o, V ou ) Cálculo do vértice. y = + ( =, =, c = ) 3 v y v V. ( 3 ) 3. 8,

11 3) Construção d tel e do gráfico. y (, y) - (-, ) - 6 (-, 6) (, ) 6 (, 6) (, ) y y = + f(-) =.(-) + = f(-) =.(-) + = 6 f() =. + = 6 f() =. + = Nots: ª) É relevnte oservr que qundo s rízes reis e são diferentes ( > ), práol intercept o eio ds scisss em dois pontos; qundo s rízes reis são iguis ( = ), práol intercept o eio ds scisss em um ponto e, qundo não eistirem rízes reis, práol não intercept curv. ª) Pontos Notáveis d Práol..) Intersecção d práol com o eio ds scisss (OX): São s rízes e pr clculr deve-se triuir à vriável y o vlor nulo (y = ), em seguid, resolve-se equção encontrd. y = + + c + c =.) Intersecção d práol com o eio ds ordends (OY): Deve-se triuir à vriável o vlor nulo ( = ) encontrndo, em seguid, o vlor de y. y = + + c y = c y = c y.3) Vértice d práol: Utiliz-se s fórmuls citds cim, isto é,. y 3ª) O domínio d função do º gru é o conjunto dos Reis e o conjunto imgem é R / y se > ou y R / y se <.

12 6- Estudo do sinl d Função do º Gru (ou Qudrátic). - Pr estudr o sinl d função (vlores de que à torn positiv, negtiv ou nul) do º gru f() = + + c, utiliz-se o seguinte procedimento: ) Verific-se se o vlor de é positivo ou negtivo. ) Clculm-se s rízes. 3) Mrcm-se s rízes no eio ds scisss (X). 3.) Se s rízes são diferentes, y ssume vlores com sinis de à direit de e à esquerd de. Entre s dus rízes, y ssume vlores com sinis contrários de. 3.) Se s rízes são iguis, tnto à direit como à esquerd ds rízes, o y ssume vlores com sinis de. Neste cso, não tem sinl contrário de, pens y dmite vlor nulo qundo = =. 3.3) Se não presentr rízes, y ssume o mesmo sinl de. Eemplo: Solução: - Estudr o sinl de cd função: ) y = - 8 ) y = c) y = + d) y = - 8 ) y = - 8 ) = > (positivo) ) Igul-se zero função y = = Aplicndo fórmul de Bhskr, temos: ' " 3) y y y,,, se se se ou ou,,, Os.: Os sinis + e que precem no gráfico cim são sinis d função y e não de, isto é, se sustituir qulquer vlor de menor que - ou mior que n função y = - 8, o resultdo (vlor numérico) será sempre positivo; se sustituir qulquer vlor de compreendido entre - e, o resultdo d função será sempre negtivo e se ssumir vlor - ou o resultdo será nulo.

13 ) y = ) = - < ) = (-) = Aplicndo fórmul de Bhskr, temos: 3) ' 5 " y y y,,, se se se 5, ou 5 ou 5 5, 5, c) y = + ) = > ) Igul-se zero função y = +. + = Aplicndo fórmul de Bhskr, temos: 3) ' " y y, se R, se / / Oserve que nesse cso não tem nenhum um número que torn negtiv função. d) y = - 8 ) = - < ) Igul-se zero função y = = (-)

14 + 8 = Resolvendo verificmos que não temos rízes, logo, e R. 3) y, R, Oserve que nesse cso não tem nenhum um número que torn positiv ou nul função. Em regr gerl, discussão d vrição de sinl de um função qudrátic recirá em um dos csos:

15 7- Inequções do º gru Chm-se inequção do º gru tod desiguldde que pode ser escrit ns seguintes forms: c c c c ( ). A resolução de um inequção do º gru pode ser feit d seguinte mneir: ) Verific-se se o vlor de é positivo ou negtivo. ) Trnsform-se inequção do º gru num equção (= ) clculndo em seguid, s rízes. 3) Mrcm-se s rízes no eio ds scisss (X) escolhendo o intervlo que stisfz inequção. Eemplo: - Resolv s inequções: ) 8 + > ) c) < 5 3 d) - 8 e) ( 9).( ) f)

16 Solução: ) 8 + >.) = >.) 8 + = ' 6 " Como inequção tem que ser positiv (>), temos: V = R / ou 6 ou (-, [ ]6, +) ) ) = -3 <.) = ' " Como inequção tem que ser positiv ou nul (), temos: V = R / ou, c) < c.) = > c.) = ' 3 " 3 m/ m/ c.3) - o +

17 Como inequção tem que ser negtiv (< ), temos: d) - 8 d.) = - < d.) - 8 = ' e " V = { } ou R V m/ d.3) Como inequção tem que ser negtiv ou nul ( ), temos: V = R ]ou (-, +) e) ( 9).( ) (Inequção produto) f() = 9 g() = 8 ) = > ) = > ) 9 = ) 8 = 3) ' 3 " 3 ' " Como inequção tem que ser positiv ou nul ( ), temos: V = { R / -3 ou 3 ou } ou (-, -3] U [, 3] U [, +) 5 3 f) f() = 5 g() = ) = > ) = - < ) 5 = ) ' 5 " ' " 3 (rízes do denomindor)

18 3) Como inequção tem que ser positiv ou nul ( ), temos: V = { R / - < ou 3 < 5} ou [-, [ U ]3, 5] Aplicções de Equções do o Gru ) Um número positivo diciondo o seu qudrdo é igul 3. Encontre o triplo desse número. R) 5 ) A terç prte de um número positivo diciondo o seu qudrdo é igul. Qul é esse Número? R) /3 3) O produto de dois números é igul 5. Determine som desses números. R) ) Qul é o número que multiplicdo pelo seu quádruplo é igul 56? R) 3 e ) Sejm dois números ímpres e consecutivos. Determine esses números sendo que seu produto ecede su som em 67. R) 3 e 5 ou -3 e -. 6) Um número nturl menor que três somdo com seu inverso é igul. Determine esse número. R) 7) Determinr dois números cuj som vle 3 e o produto 5. R) 9 e -6 8) O triplo do qudrdo de gols conseguido por determindo jogdor é igul 7 vezes esse número de gols diciondo 6. Quntos gols form mrcdos pelo jogdor? R) 6 9) Um pinel cuj áre é igul 8m, present um ldo ecedendo de 3 metros do outro. Determine s dimensões do pinel. R) m e 7m ) O produto d idde de Sulo pel idde de Olg é igul 37, Sulo é 5 nos mis velho que Olg. Qul idde de cd um? R) 7nos e nos

19 ) O gráfico io represent um piscin que, internmente necessit de 5 m de revestimentos. Determine: ) O vlor de ; ) A áre d se ) Um indústri fric certo produto n áre de designe. Os responsáveis pel prte finnceir estimm que o lucro que indústri pode lcnçr n fricção/vend de um determind quntidde desse em é ddo pel regr L() = -, (L lucro em R$ e quntidde fricd), determine o lucro mensl qundo o nível de produção/vend lcnçr: ) 85 e. uniddes; ) Interprete os resultdos. 3) Sendo que f() = represent um função do segundo gru, determine: ) As rízes; ) O vértice c) O gráfico pr > -. Biliogrfi DANTE, L. R. (5) Mtemátic. São Pulo: Editor Átic. IEZZI, G. et AL. () Mtemátic: C ^enci e Aplicções. Ed. São Pulo:Atul SILVA, Mrcos Noé Pedro d. "Função de º Gru"; Brsil Escol.

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