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1 - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor podem r divididos por - e epressão de f pode r escrit como: f Queremos estudr o comportmento de f pr vlores de próimos de ms não igul. 0 0, 0,999,00, f,998, Podemos verificr que medid que proim de, f proim de, ndo que qunto mis próimo está de mis próimo f está de.. - Definição de Limite Sejm f um função rel e e L números reis ou um dos símbolos ou -. Dizemos que o limite de f qundo tende é L, f proim indefinidmente de L qundo proim indefinidmente de com e escrevemos: lim f L Eemplos: - Sej f -, clculr lim f: Se proim de, - proim de. Logo: lim - - Sej f 8 / t -, clculr lim f: t 7 Se proim de 7, t - proim de. Logo: lim 8 / t - t 7. - Teorems sobre Limites de Funções.. - Se m e b são constntes quisquer lim m b m b

2 .. - Se c é um constnte, então pr qulquer, lim c c.. - lim.. - Se lim f L e lim g M, então: lim [ f ± g ] L ± M.. - Se lim f L e lim g M, então: lim [ f g ] L M..6 - Se lim f L e n um inteiro positivo qulquer, então: lim [ f ] n L n..7 - Se lim f L e lim g M, e M 0, então: lim f / g L / M..8 - Se lim f L, então: lim n f n L..9 - Se r é um inteiro positivo qulquer, então: lim 0 lim 0 r r Eemplo: Clculr os limites bio - lim lim 0 / - lim lim 0

3 . - Limites Lteris Definição: Sej f um função definid em todo número de lgum intervlo berto,c. Então, o limite de f, qundo proimr de pel direit, isto é, por vlores miores do que, rá L, escrito como: lim f L Definição: Sej f um função definid em todo número de lgum intervlo berto c,. Então, o limite de f, qundo proimr de pel direit, isto é, por vlores miores do que, rá L, escrito como: lim f L - Eemplo: Sej f definid por: - f 0 < 0 0 > 0 Determine: lim f e lim f 0-0 Solução: lim f - e lim f 0-0 Teorem: lim f L e somente eistirem lim f e lim f e mbos - forem iguis L. Eemplo: Sej h definid por: - h > Encontre cd um dos guintes limites eles eistirem: lim h, lim h, lim h - Solução: lim h lim - - -

4 lim h lim Logo lim h eiste e é igul. Eercícios: - Clculr os limites: lim - b lim y - y y - y - c lim t - / t 6 t d lim 6 / e lim y - y - f lim y - / y - y g lim - h lim / i lim t - t / t t j lim e t e -t / t 0 k lim - y / y 0 l lim - / - 7 m lim / e 0 n lim t / [ t t ] t o lim - 6 / - p lim - 6 / - - q lim e -t t r lim t - / t 6 t

5 s lim - / - t lim f onde - f u lim f onde f Pr s funções bio, clcule os limites lteris e dig eiste o limite no ponto indicdo: f < - - > no ponto s b gs - s s s > no ponto s - c h 0 - < no ponto d f 8 - > no ponto e fr r 7 - r r < r r > no ponto r f gt t 0 - t t < - t - t > - no ponto t - g f > no ponto h g > no ponto

6 - Continuidde Considere função f definid por: f -,, > Anli o comportmento de f qundo proim de, por vlores inferiores e por vlores superiores. y Pelo gráfico cim, pode- obrvr que ns proimiddes de há um slto ou descontinuidde do mesmo. Podemos ind clculr os limites e obrvr que pesr de eistirem os limites lteris, não eiste lim f, como pode r visto guir. lim f lim lim f lim -. - Definição de Continuidde Diz- que um função f é contínu em : f está definido lim f eiste lim f f 6

7 Eemplos: - Verificr função bio definid é contínu em : Solução: f - - função está definid pr e f lim f eiste pois: lim - / - lim [ - ] / - lim f f Logo função f é contínu em. - Clculr o vlor de m pr que função bio j contínu em. m f m Solução:,, < função está definid pr e f 9 m é necessário que eist lim f. Pr que eist este limite é necessário que os limites lteris jm iguis. lim f lim m m lim f lim m 9 m Logo: m 9 m m - Verificr função bio definid é contínu em : f - - Solução: 7

8 função está definid pr e f lim f eiste pois: lim [ - ] / - lim lim f f Logo função f não é contínu em. - Verificr função bio definid é contínu em : f > Solução: função está definid pr e f lim f não eiste pois: lim - lim Logo função f não é contínu em.. - Proprieddes ds Funções Contínus Se f e g são funções contínus em, então s funções bio definids tmbém são contínus em. F f g G f - g H f. g I f / g, g 0 8

9 Eercícios: Verificr s funções bio definids são contínus nos pontos ddos: - h > pr - f pr f - 9 pr f - > pr < f 0 - pr 6 f 8 - > pr 7 fr r 7 - r r < r r > pr r 8 gt t 0 - t t < - t - t > - pr t - 9 f > pr 0 f > pr - f pr - 9

10 - 7 f pr f pr - - f pr t - f t t t > pr Encontre os vlores de c e k que fzem com que função j contínu: f 7 k - > k f k < f f c k - c c k - k < < < - - > f k 7-0

11 - Derivd. - Ret Tngente Considere um função f contínu em e suponh que estejmos interessdos em definir inclinção d ret tngente o gráfico d função f no ponto P, f. Sej Q, f outro ponto do gráfico d função f. Ao trçrmos um ret pssndo pelos pontos P e Q, estmos reprentndo um ret cnte. A diferenç entre s bscisss dos pontos P e Q rá reprentd por, isto é: - Então inclinção d ret cnte PQ é dd por: m PQ f f Como, equção cim fic: m PQ f f Obrve que ret cnte proim d ret tngente à medid que o ponto Q proim do ponto P. Assim, Q proim de P, isto é, proim de, o coeficiente ngulr d ret cnte m PQ proim do coeficiente ngulr d ret tngente m t. Definição: Se função f é contínu em, então ret tngente o gráfico de f no ponto P, f rá ret que pss por P, com inclinção coeficiente ngulr dd por:

12 m t f f lim 0 Eemplos: - Encontre inclinção d ret tngente à curv y -. Solução: m t f f lim 0 f f - f Substituindo n equção que fornece o coeficiente ngulr, temos: m t lim 0 - m t lim 0 m t 0 lim - m t - - Encontre um equção d ret tngente à curv do eemplo nterior no ponto,: Solução: por: Vimos no eemplo nterior que inclinção d ret tngente é dd m t - No ponto, o coeficiente ngulr rá m t -. A equção d ret é dd por: y - y m t - Logo equção dejd é: y - - y - 0

13 - Determinr equção d ret tngente à curv y - no ponto de bsciss : Solução: m t f f lim 0 f f - f Substituindo n equção que fornece o coeficiente ngulr, temos: m t lim 0 - m t lim 0 m t 0 lim - m t - No ponto de bsciss, P,0, o coeficiente ngulr rá: m t - A equção d ret é dd por: y - y m t - Logo equção dejd é: y y Definição de Derivd A derivd de um função f é função indicd por f, tl que u vlor em qulquer número no domínio de f j ddo por: f ' lim 0 f f este limite eistir e for finito.

14 Eemplos: - Ache derivd d função f Solução: f ' lim 0 f f f f - f - - f ' lim 0 f ' - Dd função f, encontre derivd f : Solução: f ' lim 0 f f f 6 f - f f ' f ' 6 lim 0 0 lim 6 f ' 6 - Ache derivd d função f - : Solução: f f f ' lim 0 Obs: b b b b

15 f f - f f f ' ' lim 0 0 lim - - f ' -. - Regrs de derivção A derivd de um constnte é zero, isto é, f c, então f 0. Eemplo: Achr derivd d função f 6. f 0 Se f n, então f n n -. Eemplos: - Se f, f - Se f /, f / -/ - Se f -, f - - Se f é um função diferenciável e g c f, então g c f Eemplos: - Se f 0, f 0 - Se f, f 6 - Se f - -, f

16 A derivd d som de um número finito de funções diferenciáveis é igul som de sus derivds. Eemplos: - Se f, f 6 - Se f 0-6 -/, f -/ - Se f 6 /, f 0 / Se f e g são funções diferenciáveis e h f.g, então h f.g f.g Eemplos: - Se f, f Se f 7-8, f f Se f 6, f f / / 6 -/ / 6 Se f e g são funções diferenciáveis e h f / g onde g 0, então f ' g - f g' h' [g] Eemplos: - Se f - / - 6, então f ' f ' Se f / 6, então f ' f ' 7 6 6

17 - Se f 6 /, então f ' - f ' Derivds de funções elementres Se f n, então f cos Se f cos, então f - n Se f, então f ln 0 < Se f e, então f e Se f log, então f / log e 0 < Se f ln, então f / Eemplos: - Se f n cos, então f cos - n - Se f n, então f n cos - Se f ln, então f ln / ln. - Derivd d função compost Sejm f e u funções reis tis que: u é derivável em 0 f é derivável em u 0 u 0 que: Então, função compost g f u é derivável em 0, e tem- g 0 f u 0 u 0 Eemplo: Encontre s derivds ds funções - g - g f u, onde f e u -, logo 7

18 g g - g f u, onde f e u / -, logo g' g' g' g n g f u, onde f n e u, logo g cos - g e n g f u, onde f e e u n, logo g e n cos - g ln n g f u, onde f ln e u n, logo g' cos n cos g' n Eercícios: - Encontre equção d ret tngente à curv dd no ponto indicdo: y 9 -,8 y - - -,7 y, y / 8,8 y - -, - Encontre derivd ds guintes funções: f 6 8

19 6 7 8 f f f / f f / / f / 6 f 7 8 / 9 f / / 0 f 0 f 6 f f f f 6 f 7 8 f f 9 f 0 f 9

20 f log f e f e ln f n f 6 cos f n 7 f n 8 f cos n 9 f cos cos 0 cos f f f f e f e / f ln 6 f ln 7 f f 0

21 9 f 0 f f f 6 f f e f

22 - Aplicções d Derivd. - T de Vrição Se um quntidde y é um função de um quntidde, podemos epressr rzão t de vrição e y por unidde de. Se y f, t de vrição médi de y por unidde de vrição em, qundo vri de rá: f f Definição: Se y f, t de vrição instntâne de y por unidde de vrição de em é f, ou j, derivd de y em relção em, est eistir. Eemplo: O rendimento bruto nul de um empres prticulr, t nos depois de º de jneiro de 000, é p milhões de reis onde p t t 0 Encontre t gundo qul o rendimento bruto cresceu em º de jneiro de 00. Solução: O rendimento bruto pode r escrito como função f t t t 0 Como queremos t em 0/0/00, temos que t. Precismos então encontrr f. 8 f ' t t f ',6 Logo, o rendimento bruto cresceu em 0/0/00 à t de,6 milhões de dólres. Definição: Se y f, t de vrição reltiv de y por unidde de vrição de em é dd por f ' f Eemplo: Encontre t de crescimento reltiv do rendimento bruto em 0/0/00 pr empres do eemplo nterior: Solução:

23 Pr t sbemos que f,6 milhões, precismos pens encontrr f. f 8 0,6 Então em 0/0/00 t de crescimento reltiv foi f ' f,6,6 0,,%. - Vlores Máimos e mínimos de um função Definição: Diz- que um função f tem um vlor máimo reltivo em c eistir um intervlo berto contendo c, onde f é definid, tl que fc f pr todo neste intervlo. Definição: Diz- que um função f tem um vlor mínimo reltivo em c eistir um intervlo berto contendo c, onde f é definid, tl que fc f pr todo neste intervlo. Se função f tem um vlor máimo reltivo ou um vlor mínimo reltivo em c, então dizemos que f tem um etremo reltivo em c. Teorem: Se f eiste pr todos os vlores de no intervlo berto,b e f tem um etremo reltivo em c, onde < c < b, então f c eiste, f c 0. A interpretção geométric do teorem é que f tem um etremo reltivo em c e f eiste, o gráfico de y f deve ter um ret tngente horizontl no ponto onde c. Definição: Se c é um número no domínio d função f e f c 0 ou f c não eiste, então c é chmdo um número crítico de f.

24 Eemplo: Encontre os números críticos d função f definid por f / / Solução: f ' / / / / f 0 qundo - e f não eiste qundo 0. Como os números - e 0 estão no domínio d função, então os números críticos são - e 0. Definição: Diz- que fc é o vlor máimo bsoluto d função f, c pertencer o domínio de f e fc f pr todos os vlores de no domínio de f. Definição: Diz- que fc é o vlor mínimo bsoluto d função f, c pertencer o domínio de f e fc f pr todos os vlores de no domínio de f. Eemplo: Dd função f - 8, determine os etremos bsolutos de f, eistirem. Solução: f f Pr todo no domínio d função, f < f, logo função tem um mínimo bsoluto de em. Não eiste máimo bsoluto. Teorem do vlor etremo: Se função f for contínu no intervlo fechdo [,b], então f tem um vlor máimo bsoluto e um vlor mínimo bsoluto em [,b]. Procedimento pr determinr o vlor máimo bsoluto e o vlor mínimo bsoluto de um função contínu em um intervlo fechdo [,b]. Encontrr os vlores de f nos pontos críticos d função em [,b]. Encontrr f e fb. O mior vlor dos itens e é o máimo bsoluto e o menor vlor é o mínimo bsoluto. Eemplos: - Dd f - encontre os etremos bsolutos de f em [-,/]. Solução: como f é contínu em [-,/], o teorem do vlor etremo pode r plicdo. Pr encontrr os números críticos de f precismos de f. f - Os números críticos rão queles pr os quis f 0.

25 - 0 / e - que estão no intervlo [-,/] f- - f/ 7/8 f- f/ /7 Logo, o vlor máimo bsoluto de em [-,/] é que ocorre no ponto -, e o vlor mínimo bsoluto em [-,/] é - que ocorre no ponto -. - Dd f - / encontre os etremos bsolutos de f em [,]. Solução: como f é contínu em [,], o teorem do vlor etremo pode r plicdo. f ' / Não eiste vlor de pr o qul f 0, entretnto f não eiste, logo é um número crítico de f. f f 9 f 0 Logo o vlor mínimo bsoluto em [,] é o que ocorre em e o vlor máimo é 9 que ocorre em. Eercícios: - Encontre os números críticos pr s guintes funções: f 7 b f 6 c f / d f 9 - Encontre os vlores máimos e mínimos bsolutos d função dd no intervlo indicdo. f ; b f c f 8 d f 8 9; 6; 6; [-,-] [-,] [-,0] [-,]

26 e f ; [-,]. - Funções crescentes e decrescentes Suponhmos que figur cim reprente o esboço de um função f pr todo no intervlo fechdo [, ]. Podemos obrvr que qundo um ponto move- o longo d curv de A té B, os vlores d função crescem à medid que bsciss cresce e qundo um ponto move- o longo d curv de B té C, os vlores d função decrescem á medid que bsciss cresce. Dizemos então que função é crescente no intervlo fechdo [, ] e que f é decrescente no intervlo [, ] Definição: Diz- que um função definid em um intervlo é crescente nes intervlo, e somente, f < f mpre que <, onde e são números quisquer no intervlo. Definição: Diz- que um função definid em um intervlo é decrescente nes intervlo, e somente, f > f mpre que <, onde e são números quisquer no intervlo. Obrvção: Se um função é crescente ou decrescente num intervlo, então dizemos que é monóton nes intervlo. Teorem: Sej f um função contínu no intervlo fechdo [,b] e diferenciável no intervlo berto,b: i f > 0 pr todo em,b, então f é crescente em [,b]. ii f < 0 pr todo em,b, então f é decrescente em [,b]. Eemplo: Considere função f 0. Avlie o comportmento d função nos intervlos [-,0] e [0,-]. Solução: f f > 0 pr > 0 logo função é crescente no intervlo [0,]. 6

27 f < 0 pr < 0 logo função é decrescente em [-,0].. - Teste d derivd primeir Teorem: Sej f um função contínu em todos os pontos do intervlo berto,b contendo c, e suponhmos que f eist em todos os pontos de,b e que eventulmente não eist em c. i f > 0 pr todos os vlores de num intervlo berto, tendo c como etremo direito e f < 0 pr todos os vlores de num intervlo berto, tendo c como etremo esquerdo, então f tem um vlor máimo reltivo em c. ii f < 0 pr todos os vlores de num intervlo berto, tendo c como etremo direito e f > 0 pr todos os vlores de num intervlo berto, tendo c como etremo esquerdo, então f tem um vlor mínimo reltivo em c. Eemplos: - Dd f encontre os etremos reltivos de f plicndo o teste d derivd primeir. Determine os vlores de nos quis ocorrem os etremos reltivos, bem como os intervlos onde f é crescente e decrescente. Solução: f - 9 f Resolvendo equção do º gru temos que e. Logo os números críticos de f são e. - f > 0 pr < f < 0 pr < < f > 0 pr > f e f pr f tem um vlor máimo reltivo pr f tem um vlor mínimo reltivo 7

28 - Idem pr função f 8 < Solução: < f f - f - 6 e f - f não eiste logo é um número crítico. f 0 0 logo 0 é um número crítico de f. f < 0 pr < 0 f > 0 pr 0 < < f < 0 pr > f0 - e f pr 0 f tem um vlor mínimo reltivo pr f tem um vlor máimo reltivo. - Teste d derivd gund pr etremos reltivos Teorem: Sej c um número crítico de um função f no qul f c 0 e f eiste pr todos os vlores de num intervlo berto contendo c. Então, f c eiste e i f c < 0, f tem um vlor máimo reltivo em c. ii f c > 0, f tem um vlor mínimo reltivo em c. Eemplo: Dd f / - encontre os mínimos e máimos reltivos de f plicndo o teste d derivd gund. Solução: f - 8 f 8-8 f ou e Os números críticos de f são -, 0 e : pr -, f > 0, f tem um vlor mínimo reltivo em -, f- -/; pr 0, f -8 < 0, f tem um vlor máimo reltivo em 0, f0 0; 8

29 pr, f > 0, f tem um vlor mínimo reltivo em, f -/. Eercícios: Encontre os etremos reltivos ds funções dds: f - f - 6 f - 8 f f - 9

30 - Integrl A integrção tem dus interpretções distints; é um procedimento inverso d diferencição integrção indefinid e é um método usdo pr determinr áre sob um curv integrção definid Integrção Indefinid O processo de integrção consiste em determinr, prtir de um função derivd é conhecid, função que deu origem tl derivd. A função encontrd é chmd de integrl d função. Se F é integrl com relção d função f, e relção entre F e f é dd por: f d F C Regrs de Integrção: d C k d k d, onde k é um constnte ququer dv du dv, onde u f e v du g são funções diferenciáveis de n d n n C, n - d ln C 6 e d e C 7 d C 8 n d - cos C 9 cos d n C 0

31 Eemplos: - Clcule s integris: 8 8 d C b d 9 9 C 8 - Clcule s guintes integris: y 0 d y 0 qundo 0 7 y C 7 qundo 0, y 0 logo: 0 0 C C 0, então: 7 y 7 b y 6 d y qundo 0 y 6 C qundo 0, y logo: 0 C C, então: y 6 c y d y qundo d - - y d y C

32 y C qundo, y logo: C C -, então: y d y d y 0 qundo y d d d 7 y C 7 qundo, y 0 logo: 0 /7 C C - /7, então: 7 y 7 7 Eercícios: Clcule s guintes integris: d 7 d d d d 6 d

33 7 d 8 d y qundo 9 d y qundo 0 d y - qundo -. - Integrção Definid O processo de integrção definid consiste bsicmente n determinção de áres sob curvs. Definição: A áre limitd pel função contínu y f, pelo eio- e pels ordends e b é: A lim n n i má 0 f i i b f d Se F C Proprieddes: f d então f d b Fb - F b f d - b f d f d 0 b f d f d c b c f d

34 Eemplos: - Clculr s integris: 7 d 0 d b 0 6 d d d c - Ache áre limitd pel curv y, pelo eio- e pels rets 0 e d A - Ache áre limitd pel curv y - /, pelo eio- e pels rets e. [ ] - - d d d A - Ache áre totl entre prábol y -, pelo eio- e s rets 0 e A Eercícios: - Clcule s guintes integris: 0 d d b

35 0 d c 0 d d d e d f d g d h d i d j 8 d k 0 d l d m d n 0 d o d p

36 - Clcule áre limitd pel curv, pelo eio- e pels ordends dds: y ;, 6 b y ; 0, c y 99 ; 0, d y ;, e y - ; -, 6

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