Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência que a cada elemento de A faz corresponder um e um só elemento de B.

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1 TEMA IV Funções eis de Vriável el 1. evisões Ddos dois onjuntos A e B, um unção de A em B é um orrespondêni que d elemento de A z orresponder um e um só elemento de B. Dus unções e são iuis se e somente se: D = D ; têm o mesmo onjunto de ed; D, () = (). 2. Generliddes er de unções Produto rtesino de A por B: A B = {(, ): A B} Um onjunto G A B é o ráio de um unção de A em B qundo e pens qundo pr todo o A eistir um e somente um elemento B tl que (, ) G. Sejm A e B onjuntos, : A " B um unção e C um onjunto qulquer. Cm-se restrição de C à unção C : C A " B tl que C A, C () = (). A unção : A " B diz-se injetiv se, pr todos os 1 e 2 pertenentes A, 1 2 ( 1 ) ( 2 ). A unção : A " B diz-se sorejetiv se e só se pr todo o pertenente B eistir um elemento pertenente A tl que = (). A unção é sorejetiv se e somente se o onjunto de ed de oinidir om o ontrdomínio de. Qundo um unção é simultnemente injetiv e sorejetiv, diz-se ijetiv. Sejm : D " A e : D " B dus unções. A unção ompost de om é unção o : D o " B tl que D o = { D : () D } e D o, o () = (()). Sejm A e B onjuntos e : A " B um unção ijetiv. Desin-se por unção invers de unção 1 : B " A tl que B, 1 () =, sendo que é o únio elemento pertenente A tl que ( ) =. Ddo um plno munido de um reerenil rtesino e um unção ijetiv : A " B (onde A e B ), verii-se que os ráios rtesinos ds unções e 1 são simétrios em relção à ret de equção =, isto é, são imem um do outro pel releão il de eio de equção =. 1

2 Síntese 3. Generliddes er de unções reis de vriável rel Um unção rel de vriável rel é um unção ujo domínio e o onjunto de ed estão ontidos em. N determinção de domínios de unções reis de vriável rel deinids pel respetiv epressão nlíti, deve ter-se sempre em tenção s seuintes situções: se vriável independente se enontrr em denomindor, é preiso rntir que o denomindor é dierente de zero; se vriável independente se enontrr no rdindo de um rdil om índie pr, rntir que o rdindo é mior ou iul zero. No so de se ter s dus situções em simultâneo, terá de se onsiderr onjunção ds dus ondições. Cm-se zero de um unção todo o ojeto uj imem é zero. Um unção rel de vriável rel diz-se: positiv em D se () > 0; netiv em D se () < 0. Um unção rel de vriável rel é diz-se: pr se pr todo o D se tem D e () = (); ímpr se pr todo o D se tem D e () = (). Ddo um plno munido de um reerenil rtesino e dd um unção : é pr se e somente se o eio ds ordends or eio d simetri do respetivo ráio; é ímpr se e somente se o respetivo ráio or simétrio reltivmente à oriem do reerenil. Pr se estudr pridde de um unção, devem seuir-se os seuintes pssos: 1.º psso: Averiur se o domínio oedee à seuinte ondição: se um elemento pertene o domínio, então o seu simétrio tmém pertene ( D, D ). 2.º psso: Determinr () pr D. 3.º psso: Comprr epressão otid om de () e de () e onluir de ordo om o esquem: Se () = () é pr () é ímpr Pr provr que não é pr st mostrr que eiste um D tl que () (). Pr provr que não é ímpr st mostrr que eiste um D tl que () (). 2

3 TEMA IV Funções eis de Vriável el elção entre o ráio de um unção e os ráios ds unções (), (), ( + ), () + d, () e () N tel seuinte enontr-se um resumo dos eeitos que determinds trnsormções têm n representção rái de um dd unção. Sej +. Gráios Desrição do eeito sore o ráio de () = () eleão em relção o eio. () = () eleão em relção o eio. () = () + Trnslção ssoid o vetor (0, ). ráio deslo-se uniddes pr im. () = () Trnslção ssoid o vetor (0, ). ráio deslo-se uniddes pr io. () = ( + ) Trnslção ssoid o vetor (, 0). ráio deslo-se uniddes pr esquerd. () = ( ) Trnslção ssoid o vetor (, 0). ráio deslo-se uniddes pr direit. () = () > 1 Diltção vertil de oeiiente. () = () 0 < < 1 Contrção vertil de oeiiente. () = () > 1 Contrção orizontl de oeiiente 1. () = () 0 < < 1 Diltção orizontl de oeiiente 1. 3

4 Síntese 4. Monotoni, etremos e onviddes Um unção rel de vriável rel é um unção ujo domínio e o onjunto de ed estão ontidos em. Função estritmente resente em I Função resente, em sentido lto, em I () () I I, I, < () < (), I, < () () Função estritmente deresente em I Função deresente, em sentido lto, em I () () I I, I, < () > (), I, < () () Dd um unção rel de vriável rel de domínio D, diz-se que: um número rel M é um mjornte de qundo D, () M; diz-se que é mjord qundo eistir um mjornte de ; um número rel m é um minornte de qundo D, () m ; diz-se que é minord qundo eistir um minornte de. Um unção simultnemente mjord e minord diz-se limitd. Dd um unção rel de vriável rel e um vlor () do ontrdomínio de, diz-se que: () é um máimo soluto de se D, () (). () é um mínimo soluto de se D, () (). Dd um unção rel de vriável rel, diz-se que: tine um máimo reltivo em D qundo eiste um vizinnç r de tl que V r () D, () (); tine um mínimo reltivo em D qundo eiste um vizinnç r de tl que V r () D, () (). 4

5 TEMA IV Funções eis de Vriável el Dd um unção rel de vriável rel e um intervlo I D, diz-se que o ráio de tem: Convidde voltd pr im Convidde voltd pr io onvidde (estritmente) voltd pr im em I se ddos quisquer três pontos P, Q e do ráio, de isss em I tis que P < Q <, o delive d ret PQ é inerior o d ret Q; onvidde (estritmente) voltd pr io em I se ddos quisquer três pontos P, Q e do ráio, de isss em I tis que P < Q <, o delive d ret PQ é superior o d ret Q. P Q m PQ < m Q P Q m PQ > m Q 5. Estudo elementr de lums unções Funções ins () = +, om > 0 () = +, om < 0 () = Domínio Contrdomínio {} Zeros 0, não tem zeros. = 0, todos os números reis são zeros. Monotoni Estritmente resente. Estritmente deresente. Constnte. Sinl Netiv em, positiv em È, + Í. Î Î Í È Î Í È È Í e Î Positiv em, Î Í È È Í e Î netiv em È, + Í. Î Î Í È > 0, positiv em todo o seu domínio. < 0, netiv em todo o seu domínio. epresentção rái 5

6 Síntese Funções qudrátis Um unção qudráti é um unção rel de vriável rel deinid por um polinómio do 2.º ru, () = 2 + +, om,, e 0. () = ( ) 2 +, 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 < 0 > 0 epresentção rái < 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 < 0 > 0 Vértie (, ) Eio de simetri = Domínio Contrdomínio Se > 0, D = [, + [. Se < 0, D = ], ]. Zeros Monotoni Se e têm o mesmo sinl, unção não tem zeros. Se e têm sinis dierentes, unção tem dois zeros: + e. Se > 0, é estritmente deresente em ], ] e estritmente resente em [, + [. Se < 0, é estritmente resente em ], ] e estritmente deresente em [, + [. Etremos Sentido d onvidde do ráio Se > 0, unção tem um mínimo soluto em. Se < 0, unção tem um máimo soluto em. Se > 0, o ráio tem onvidde voltd pr im, em. Se < 0, o ráio tem onvidde voltd pr io, em. 6

7 TEMA IV Funções eis de Vriável el Métodos pr determinr s oordends do vértie d práol 1.º proesso: Trnsormr epressão nlíti n orm ( ) 2 +, 0. 2.º proesso: Utilizr órmul V i, i. j 2 j 2 3.º proesso: ter iss do vértie omo ponto médio de quisquer dois ojetos om mesm imem e lulr respetiv imem. i j i j Sinl de um unção qudráti inequções do 2 ọ ru Dois zeros: 1, 2 Um zero: 1 Não tem zeros > < N resolução de um inequção de 2.º ru, devem seuir-se os seuintes pssos: 1.º psso: Trnsormr inequção num do tipo < 0, > 0, ou º psso: Determinr os zeros de " º psso: Fzer um esoço d práol (ráio de " ). 4.º psso: De ordo om o ráio otido no psso nterior, presentr ondição que orresponde os vlores de que são solução d inequção. 5.º psso: Apresentr o onjunto-solução. Funções deinids por rmos Um unção diz-se deinid por rmos qundo é deinid por epressões nlítis dierentes em prtes dierentes do seu domínio. 7

8 Síntese Função módulo A unção módulo é um unção de em que d número rel z orresponder o seu vlor soluto. se 0 Tem-se que =. se < () = +,,, e 0 > 0 > 0 < 0 <0 > 0 < 0 > 0 <0 > 0 epresentção rái < 0 Domínio Contrdomínio Zeros Monotoni Etremos Se > 0, D = [, + [. Se < 0, D = ], ]. Se e têm o mesmo sinl, unção não tem zeros. Se e têm sinis dierentes, unção tem dois zeros. Se > 0, é estritmente deresente em ], ] e estritmente resente em [, + [. Se < 0, é estritmente resente em ], ] e estritmente deresente em [, + [. Se > 0, tem um mínimo soluto em. Se < 0, tem um máimo soluto em. No erl, tem-se que: > 0 = = = {, } < < > < < ], [ > > < ], [ ], + [ = 0 = 0 = 0 {0} < 0 Condição impossível em. > 0 > 0 < 0 \{0} < 0 = Condição impossível em. < Condição impossível em. > Condição universl em. 8

9 TEMA IV Funções eis de Vriável el Estudo de lums unções que envolvem rdiis (qudrátios e úios) Função = Se : + 0 "+ 0, então 1 : + 0 "+ 0. " 2 " A prtir do ráio d unção =, e plindo s trnsormções eométris do ráio de um unção, pode oter-se o ráio de qulquer unção do tipo = + (,,, 0). Função = 3 Se : ", então 1 : ". " 3 " 3 A prtir do ráio d unção =, e plindo s trnsormções eométris do ráio de um unção, pode oter-se o ráio de qulquer unção do tipo = 3 + (,,, 0). No erl, pr resolver um equção que envolv rdiis qudrdos ou úios, podem seuir-se os seuintes pssos: 1.º psso: Isolr um rdil num dos memros d equção. 2.º psso: Elevr o qudrdo, ou o uo, mos os memros d equção onsonte se trte de um equção que envolv rdiis qudrdos ou úios. 3.º psso: Se equção ssim otid ind envolver rdiis, repetir os pssos nteriores. 4.º psso: No so de envolver rdiis qudrdos, veriir se s soluções otids são tmém soluções d equção iniil. Funções polinomiis Um unção polinomil é um unção que pode ser deinid nlitimente por um polinómio om um só vriável. 6. perções léris om unções Dds dus unções : D "e : D ": + : D + = D D e ( + )() = () + () : D = D D e ( )() = () () : D = D D e ( )() = () () () : D = D { D : () 0} e () = () α: D α = D e (α)() = α(), sendo α r : D r = { D : () 0} se r > 0 ou D r = { D : () 0} se r 0 ou D r = { D : () > 0} se r < 0 e r () = (()) r 9