UNIDADE 1 ARITMÉTICA BÁSICA. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670,

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1 Inclusão pr vid Mtemátic A UNIDADE ARITMÉTICA BÁSICA MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Sendo, b e c números nturis e. b = c, diz-se que c é múltiplo de e b. Eemplo: Múltiplos de M() = {0,, 6, 9,...} Observções: O zero é múltiplo de todos os números. Todo número é múltiplo de si mesmo. Os números d form k, k N, são números múltiplos de e esses são chmdos números pres. Os números d form k +, k N, são números ímpres. DIVISOR DE UM NÚMERO Sendo, b e c números nturis e. b = c, diz-se que e b são divisores c. Eemplo: Divisores de D() = {,,, 4, 6, } Observções: O menor divisor de um número é. O mior divisor de um número é ele próprio. Quntidde de divisores de um número Pr determinr quntidde de divisores de um número procede-se ssim: ) Decompõem-se em ftores primos o número ddo; b) Tom-se os epoentes de cd um dos ftores e cd um desses epoentes dicion-se um unidde. c) Multiplic-se os resultdos ssim obtidos. Eemplo: Determinr o número de divisores de =.. 5 ( + ).(+).( +) =.. = Logo, 90 possui divisores CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidde por Um número é divisível por se for pr. Eemplos: 8, 40, 58. Divisibilidde por Um número é divisível por se som dos vlores bsolutos dos seus lgrismos for divisível por. Eemplos: 8, 4, 6. Divisibilidde por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos lgrismos forem divisíveis por 4 ou qundo o número terminr em 00. Eemplos: 576, 8700, Divisibilidde por 5 Um número é divisível por 5 se o último lgrismo for 0 ou 5. Eemplos: 5, 4670, 870. Divisibilidde por 6 Um número é divisível por 6 se for simultnemente divisível por e. Eemplos: 4, 88, Divisibilidde por 7 Processo prático: Vej o número 47 º Psso: sepr-se o último lgrismo e dobr-se o seu vlor = 4 º Psso: subtri-se o número ssim obtido do número que restou pós seprção do último lgrismo. 4 4 = 99 º Psso: procede-se ssim té se obter um número múltiplo de = = = = 0 Logo 47 é múltiplo de 7 Divisibilidde por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos lgrismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros. Eemplos: 50, Divisibilidde por 9 Um número é divisível por 9 qundo som dos seus lgrismos for um número divisível por 9. Eemplos: 86, 589. Divisibilidde por 0 Um número é divisível por 0 se o último lgrismo for zero. Eemplos: 5480, 00, NÚMEROS PRIMOS Um número p, p 0 e p, é denomindo número primo se presentr pens dois divisores, e p. Eemplos:,, 5, 7,,,... Observção: Um número é denomindo composto se não for primo. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Denomin-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mis números o número p diferente de zero, tl que p sej o menor número divisível pelos números em questão. Eemplo: Determinr o M.M.C entre 6 e 8. Processo : M(6) = {6,, 8, 4, 0, 6,...} M(8) = {8, 6, 4,, 40, 48,...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 4 Pré-Vestibulr d UFSC

2 Mtemátic A Processo : Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é. = 4 MÁXIMO DIVISOR COMUM Denomin-se máimo divisor comum (M.D.C) de dois ou mis números o mior dos seus divisores comuns. Eemplo: Determinr o M.D.C. entre 6 e 4 Processo : D(6) = {,,, 4, 6, 9,, 8, 6} D(4) = {,,, 6, 7,, 4} Logo, o M.D.C. entre 6 e 4 é 6. Processo : 6 =. e 4 =..7 Os ftores comuns entre 6 e 4 são. Logo, o M.D.C. entre 6 e 4 é 6. Eercícios de Sl. (UFSC) Um pís lnçou em 0/05/000 os stélites rtificiis A, B e C com s trefs de fisclizr o desmtmento em áres de preservção, s nscentes dos rios e pesc predtóri no Oceno Atlântico. No di 0/05/000 podi-se observá-los linhdos, cd um em um órbit circulr diferente, tendo Terr como centro. Se os stélites A, B e C levm, respectivmente, 6, 0 e 9 dis pr drem um volt complet em torno d Terr, então o número de dis pr o próimo linhmento é:. Sejm e y o m.d.c e o m.m.c de e 0, respectivmente. O vlor de. y é: ) 40 c) 00 e) 0 b) 0 d) 40. O número de divisores nturis de 7 é: ) 0 c) e) 4 b) d) Tref Mínim 4. Considere os números A = 4, B = 60; C = 48. Determine: ) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C 5. Sejm e y o m.d.c e o m.m.c de 0 e 6, respectivmente. O vlor de. y é: ) 40 c) 0 e) 0 b) 70 d) Determine o número de divisores nturis dos números ) 80 b) 0 7. Um ciclist dá um volt em um pist de corrid em 6 segundos e outro ciclist em 0 segundos. Se os dois ciclists prtirem juntos, pós qunto tempo irão se Inclusão pr Vid encontrr de novo no ponto de prtid, levndo em considerção mbs s velociddes constntes? 8. Três vizinhos têm por medids de frente: 80m, 5m e 4m, respectivmente, e mesms medids pr os fundos. Queremos dividi-los em fis que tenhm me dids iguis de frente e cujo tmnho sej o mior possível. Então cd fi medirá n frente: ) m c) 4 m e) 6 m b) 8 m d) 0 m Tref Complementr 9. Um lrme so cd 0 hors, um segundo lrme cd 8 hors, um terceiro cd 9 hors e um qurto cd 5 hors. Sondo em determindo instnte os qutro lrmes, depois de qunto tempo voltrão sor juntos? ) 40 hors c) hors e) 0 hors b) 0 hors d) 60 hors 0. Três tábus medindo respectivmente 4cm, 84cm e 90 cm serão cortds em pedços iguis, obtendo ssim tábus do mior tmnho possível. Então cd tábu medirá: ) 0 cm c) 8 cm e) 4 cm b) 6 cm d) cm. Sejm os números A =.. 5 B =.. 5 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B vlem respectivmente: ) 80 e 60 d) 800 e 60 b) 80 e 600 e) n.d.. c) 800 e 600. (Snt Cs-SP) Sej o número 777, onde indic o lgrismo ds uniddes. Sbendo que esse número é divisível por 4, então o vlor máimo que pode ssumir é: ) 0 c) 4 e) 8 b) d) 6. (PUC-SP) Qul dos números bio é primo? ) c) 6 e) n.d.. b) 40 d) 0 4. (PUC-SP) Um lojist dispõe de três peçs de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Ns três peçs o tecido tem mesm lrgur. Desej vender o tecido em retlhos iguis, cd um tendo lrgur ds peçs e o mior comprimento possível, de modo utilizr todo o tecido ds peçs. Quntos retlhos ele deverá obter? 5. (UEL-PR) Sej p um número primo mior que. É verdde que o número p é divisível por: ) c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 6. Sejm A e B o máimo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 60 e 00, respectivmente. O produto A.B é ddo por:. y.5 z, então + y + z vle: Pré-Vestibulr d UFSC

3 Inclusão pr vid 7. (Fuvest-SP) O menor número nturl n, diferente de zero, que torn o produto de 888 por n um cubo perfeito é: ) 6 c) 5 e) 4 b) d) 8 8. (ACAFE) Um crpinteiro quer dividir em prtes iguis três vigs, cujos comprimentos são, respectivmente, m, 4dm, 0,0054 km, devendo medid de cd um dos pedços ser mior possível. O totl de pedços obtidos com s três vigs é: ) 8 c) 0 e) 0 b) d) 80 UNIDADE CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Nturis N = { 0,,,, 4, 5,... } Um subconjunto importnte dos nturis (N) é o conjunto N * ( nturis sem o zero ) N * = {,,, 4, 5,... }, b N, ( + b) N e (. b) N Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgirm com necessidde de clculr diferenç entre dois números nturis, em que o primeiro fosse menor que o segundo. Z = {... -, -, -, 0,,,,... } Podemos citr lguns subconjuntos dos inteiros Z * = inteiros não nulos... {... -, -, -,,,,... } Z + = inteiros não negtivos... { 0,,,,... } Z * + = inteiros positivos... {,,, 4,... } Z _ = inteiros não positivos... {..., -, -, -, 0} Z * _ = inteiros negtivos... {... -, -, - }, b Z, ( + b) Z, (. b) Z e ( b) Z Conjunto dos Números Rcionis Os números Rcionis surgirm com necessidde de dividir dois números inteiros, onde o resultdo er um número não inteiro. Q = { b, com Z, b Z* } Ou sej, todo número que pode ser colocdo em form de frção é um número rcionl. São eemplos de números rcionis: ) Nturis b) Inteiros c) decimis etos ( 0, = 0 ) Mtemátic A d) dízims periódics ( 0,... = ) As qutro operções são definids nos rcionis. Com resslv que divisão por zero é impossível (eceto qundo o numerdor for zero tmbém). Gertrizes de um dízim periódic Tod frção que dá origem um dízim periódic se chm GERATRIZ. Pr determinrmos GERATRIZ de um dízim periódic, procedemos ssim: ) Dízim Periódic Simples: é um número frcionário cujo numerdor é o lgrismo que represent prte periódic e o denomindor é um número formdo por tntos noves quntos forem os lgrismos do período. Eemplos: ) = 9 7 b) 0,...= 9 4 c) 0, = 99 b) Dízim Periódic Compost: é um número frcionário cujo numerdor é diferenç entre prte não periódic seguid de um período e prte não periódic, e cujo o denomindor é um número formdo de tntos noves quntos são os lgrismos do período, seguido de tntos zeros quntos são os lgrismos d prte não periódic. Eemplos: ) 0, = b) 0, = Conjunto dos Números Irrcionis Apesr de que entre dois números rcionis eistir sempre um outro rcionl, isso não signific que os rcionis preenchm tod ret. Vej o seguinte eemplo. Ddo o triângulo retângulo bio de ctetos e. Clculr o vlor d hipotenus. Aplicndo o teorem de Pitágors temos: = + = Etrindo riz de, teremos um número que não é nturl, inteiro, nem rcionl, surge então os números irrcionis. Pré-Vestibulr d UFSC

4 Mtemátic A Os números irrcionis são queles que não podem ser colocdos em form de frção, como por eemplo: ) =,4... b) e =, 7... c) tod riz não et Conjunto dos Números Reis Os números reis surgem d união dos números rcionis com os irrcionis. Inclusão pr Vid Notção de intervlo. Eemplo: ], ] = k, com k > 0, então: = k ou = k Representção Gráfic. Eemplo: QUADRO DE RESUMO Q Z N I Vej outros eemplos: ) { R > } = ], [ ) { R } = ] -, ] Por enqunto, nosso conjunto universo será o cmpo dos reis. Porém, é necessário sber que eistem números que não são reis, estes são chmdos de compleos e serão estuddos mis detlhdmente dinte. PROPRIEDADES EM Comuttiv: + b = b + e. b = b. Associtiv: ( + b) + c = + (b + c) e (.b).c =.(b.c) Elemento neutro: + 0 = e. = Simétrico: + ( ) = 0 Inverso:. =, 0 INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL INTERVALOS NUMÉRICOS Chmmos intervlo qulquer subconjunto contínuo de. Serão crcterizdos por desigulddes, conforme veremos seguir: { R p q} = [p, q] { R p < < q} = ]p, q[ { R p < q} = [p, q[ { R p < q} = ]p, q] { R q} = [q, [ { R > q} = ]q, [ { R q} = ] -, q] { R < q} = ] -, q[ Os números reis p e q são denomindos, respectivmente, etremo inferior e etremo superior do intervlo. Observções O intervlo [, ] represent um conjunto unitário {} O intervlo ], [ represent um conjunto vzio { } O intervlo (, + ) represent o conjunto dos números reis (R) (, y) = ], y[ Pode-se representr um intervlo rel de mneirs: Notção de conjunto. Eemplo: { R < } 4 ) { R < 4} = [, 4[ MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Módulo ou vlor bsoluto de um número rel é distânci d origem o ponto que represent o número. Indicmos o módulo de por. Definição, se 0 -, se 0 Eemplos: ) como > 0, então = b) como < 0, então = ( ) = Proprieddes 0 = y = y. y =. y y y Equção Modulr Equção Modulr é equção que possui incógnit em módulo. Tipos de equções modulres: Eemplo : = = ou = - S = {-, } Eemplo : Resolv equção + = 6 + = 6 ou + = - 6 Pré-Vestibulr d UFSC

5 Inclusão pr vid Mtemátic A = 4 ou = - 8 S = {-8, 4} = k, com k = 0, então: = 0 c) { N < 7} d) { Z - < } e) { = k, k N} f) { = k +, k N} Eemplo : = - S = Eemplo : + = -0 S = Inequção Modulr Sendo k > 0, s epressões do tipo < k, k, > k, k denominm-se inequções modulres. Tipos de inequções modulres: Eemplos: < < < < 0 0 < < 0 Eemplos: > < ou > > 0 < 0 ou > 0 Eercícios de Sl. Clcule o vlor ds epressões bio: ) b) 4 : 5 = k, com k < 0, então: não há solução < k, com k > 0, então: k < < k > k, com k > 0, então: < k ou > k. (PUC-SP) Considere s seguintes equções: I = 0 II - 4 = 0 III - 0, = 0, Sobre s soluções desss equções é verdde firmr que: ) II são números irrcionis. b) III é um número irrcionl. c) I e II são números reis. d) I e III são números não reis. e) II e III são números rcionis.. Resolv em s seguintes equções: ) = d) + = b) = 7 e) = 0 c) 5 = 6 Tref Mínim 5. As gertrizes ds dízims: 0,... e 0, são respectivmente: ) e b) e c) e d) e e) e (ACAFE) O vlor d epressão,. b c qundo c = 0,...; b = 0,5 e c = - é igul : 7. Resolv em s seguintes equções: ) = 0 c) = - b) + = 7 d) = 0 é: 8. A solução d inequção ( ) 5 ) { } b) { 6} c) { } d) { 7} e) { } Tref Complementr 9. (FATEC-SP) Se = 0,666..., b =,... e c = 0,44..., então.b - + c é igul : 0. (FGV-SP) Quisquer que sejm o rcionl e o irrcionl y, pode-se dizer que: ).y é rcionl. b) y.y é irrcionl. c) + y rcionl. d) - y + é irrcionl. e) + y é irrcionl.. (FUVEST) N figur estão representdos geometricmente os números reis 0,, y e. Qul posição do número y? ) à esquerd de 0 d) entre y e b) entre zero e e) à direit de c) entre e y. Determine som dos números ssocidos às proposições correts: 0. É possível encontrr dois números nturis, mbos divisíveis por 7 e tis que divisão de um pelo outro deie resto Sejm e b números nturis. Sendo = + b com b sendo um número ímpr, então é pr. 4. Enumere os elementos dos conjuntos seguir: ) { N é divisor de } 04. O número 7 5 é rel. b) { N é múltiplo de } Pré-Vestibulr d UFSC 5

6 Mtemátic A 08. Eistem 4 números inteiros positivos e consecutivos tis que o produto de deles sej igul o produto dos outros dois. 6. o número 47 é um número primo.. A epressão pr < é equivlente : ) d) + b) e) c) + 4. Assinle lterntiv corret: ) Se é um número rel, então b) Se é um número rel, então eiste, tl que < 0 c) Sejm e b dois números reis com sinis iguis, então + b = + b d) Sejm e b dois números reis com sinis opostos, então + b > + b e) =, pr todo rel. 5. (UFGO) Os zeros d função f() = são: 5 ) 7 e 8 c) 7 e 8 e) n.d.. b) 7 e 8 d) 7 e 8 6. (FGV-SP) Qul dos seguintes conjuntos está contid no conjunto solução d inequção ( )? ) { R } b) { R - 4 0} c) { R - 0} d) { R - 0} e) Todos os conjuntos nteriores 7. (ITA-SP) Os vlores de R pr os quis função rel dd por f() = 5 6 está definid, formm o conjunto: ) [0, ] d) (-, 0] [, 6] b) [-5, 6] e) [-5, 0] [, 6] c) [-5,0] [, ) UNIDADE 6 EQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES DEFINIÇÃO Um sentenç numéric bert é dit equção do º gru qundo pode ser reduzid o tipo + b = 0, com diferente de zero. RESOLUÇÃO Considere, como eemplo, equção + = 9. Nel o número 4 é solução, pois.4 + = 9. O número 4 nesse cso é denomindo RAIZ d equção Dus equções que têm o mesmo conjunto solução são chmds equivlentes. Inclusão pr Vid PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: = b então pr m + m = b + m Se: = b então pr m 0. m = b. m INEQUAÇÕES DO º GRAU Inequções são epressões berts que eprimem um desiguldde entre s quntiddes dds. Um inequção é dit do º gru qundo pode ser escrit n form: + b > 0 + b < 0 + b 0 + b 0 Ns inequções do º gru vlem tmbém, os princípio ditivo e multiplictivo com um resslv. Vej: Se: > b então pr m + m > b + m Se: > b então pr m > 0. m > b. m Se: > b então pr m < 0. m < b. m Eercícios de Sl. Resolv em R s seguintes equções e inequções: ) + b = 0, com 0 b) 4( + ) + 5 = ( + 7) c) 0 4 d) 50 = 500 e) 0. = 0 f) 0. = 5 g) 8. Obtenh m de modo que o número 6 sej riz d equção 5 + m = 0. Resolv em R, o seguinte sistem: y y Tref Mínim 4. Resolver em R s equções: ) 6 6 = ( + ) b) ( + ) = 5 + c) ( + )( + ) = ( + )( + 4) d) ( ) = 4 e) ( ) = f) 4 5. A solução d equção é: ) = c) = e) = b) = d) = Pré-Vestibulr d UFSC

7 Inclusão pr vid 6. (FGV SP) A riz d equção é: 4 ) Um número mior que 5. b) Um número menor que. c) Um número nturl. d) Um número irrcionl. e) Um número rel. 7. Determine solução de cd sistem bio: ) y b) y 5 c) y y y y 8. Resolv em R s inequções: ) ( + ) > ( ) c) b) 0 4 Tref Complementr 4 Mtemátic A vencedor, sbendo que os pontos ssinldos pels dus equipes estão n rzão de pr? 7. (UNICAMP) Um senhor comprou um ci de bombons pr seus dois filhos. Um deles tirou pr si metde dos bombons d ci. Mis trde, o outro menino tmbém tirou pr si metde dos bombons que encontrou n ci. Restrm 0 bombons. Clcule quntos bombons hvi inicilmente n ci. 8. (UEL-PR) Um trem, o inicir um vigem, tinh em um de seus vgões um certo número de pssgeiros. N primeir prd não subiu ninguém e descerm desse vgão homens e 5 mulheres restndo nele um número de mulheres igul o dobro do de homens. N segund prd não desceu ninguém, entretnto subirm, nesse vgão, 8 homens e mulheres, ficndo o número de homens igul o de mulheres. Qul o totl de pssgeiros no vgão no início d vigem? UNIDADE 4 y é: 9. O vlor de + y em 7 4y 0. Obtenh o mior de três números inteiros e consecutivos, cuj som é o dobro do menor.. (UFSC) A som dos qudrdos dos etremos do intervlo que stisfz simultnemente, s inequções: + e - 7; é:. As trifs cobrds por dus gêncis de locdor de utomóveis, pr veículos idênticos, são: Agênci AGENOR: R$ 90,00 por di, mis R$ 0,60 por quilômetro roddo. Agênci TEÓFILO: R$ 80,00 por di, mis R$ 0,70 por quilômetro roddo. Sej o número de quilômetros percorridos durnte um di. Determine o intervlo de vrição de de modo que sej mis vntjos locção de um utomóvel n gênci AGENOR do que n gênci TEÓFILO.. (UFSC) A som dos dígitos do número inteiro m tl 8 que 5 m + 4 > 5500 e m > 4 m, é: 5 4. (UFSC) Pr produzir um objeto, um rtesão gst R$,0 por unidde. Além disso, ele tem um despes fi de,50, independente d quntidde de objetos produzidos. O preço de vend é de R$,50 por unidde. O número mínimo de objetos que o rtesão deve vender, pr que recupere o cpitl empregdo n produção dos mesmos, é: 5. (UFSC) A som ds iddes de um pi e seu filho é 8 nos. Dqui 7 nos o pi terá o triplo d idde do filho. A idde do pi será: 6. (UFSC) N prtid finl de um cmpeonto de bsquete, equipe cmpeã venceu o jogo com um diferenç de 8 pontos. Quntos pontos ssinlou equipe EQUAÇÕES DO º GRAU Denomin-se equção do º gru tod equção que pode ser reduzid form: + b + c = 0 onde, b e c são números reis e 0. RESOLUÇÃO º CASO: Se n equção + b + c = 0, o coeficiente b for igul zero procede-se ssim: + c = 0 = c Pré-Vestibulr d UFSC 7 = = S = c c c, c º CASO: Se n equção + b + c = 0, o coeficiente c for igul zero procede-se ssim: + b = 0 ( + b) = 0 = 0 ou + b = 0 b S = {0, } º CASO: Se n equção + b + c = 0,, b, c 0 plic-se fórmul de Bháskr = b Δ onde: = b 4c Ness fórmul, = b 4c é o discriminnte d equção, o que determin o número de soluções reis d equção. Pode-se ter s seguintes situções:

8 Mtemátic A Inclusão pr Vid 8 > 0. Eistem dus rízes reis e distints = 0. Eistem dus rízes reis e iguis < 0. Não há riz rel RELAÇÕES DE GIRARD Sendo e s rízes d equção + b + c, tem-se: b c + =. = Eercícios de Sl. Resolv, em reis, s equções: ) = 0 c) 5 = 0 b) = 0. Considere equção m + m = 0 n incógnit. Pr quis vlores reis de m el dmite rízes reis e iguis? ) 0 e 4 d) e b) 0 e e) e 4 c) 0 e. Sendo e s rízes d equção 6 + = 0, determine: ) + b). c) Tref Mínim 4. Resolv em R, s equções: ) = 0 b) = 0 c) 7 + = 0 d) = 0 e) + = 0 f) 4 00 = 0 g) 5 = 0 5. Os números e 4 são rízes d equção: ) = 0 d) = 0 b) + 6 = 0 e) + 6 = 0 c) 6 6 = 0 6. (PUC-SP) Qunts rízes reis tem equção + = 0? ) 0 c) e) 4 b) d) 7. A som e o produto ds rízes d equção = 0 são respectivmente: ) e 4,5 d) 4,5 e 5 b) e 4 e) n.d.. c) e 8. Sendo e s rízes d equção 5 = 0. Obtenh Tref Complementr 9. Resolver em R equção 0. A mior solução d equção 4 5 = 0 é: ) b) c) d) e). Sendo e s rízes d equção 6 = 0, determine som dos números ssocidos às proposições verddeirs: 0. e são iguis 0. + = 04.. = 08. = 6. + = =. A solução d equção = é:. (MACK-SP) Se e y são números reis positivos, tis que + y + y + + y 6 =0, então + y vle: ) b) c) 4 d) 5 c) 6 4. Determine som dos números ssocidos às proposições correts: 0. Se som de um número qulquer com o seu inverso é 5, então som dos qudrdos desse número com o seu inverso é. 0. Se e são s rízes d equção 6 = 0, 9 então o vlor de. +. = 04. Se e y são números reis positivos, tis que + y + y + + y 6 =0, então, + y vle 08. Se é solução d equção + =, então, o vlor de 4 = 6 6. O vlor de 8 6 é 5 5. Considere equção 6 + = 0. Sendo e, rízes dess equção, pode-se firmr: o produto ds rízes dess equção é 0,5 04. som ds rízes dess equção é 08. som dos inversos ds rízes é 6 6. equção não possui rízes reis 6. A mior riz d equção = 0 é: ) b) 4 c) 8 d) 9 e) 7. Assinle som dos números ssocidos às proposições correts: Pré-Vestibulr d UFSC

9 Inclusão pr vid 0. A mior riz d equção 6 = 0 é 0. A mior riz d equção 7 + = 0 é 04. As rízes d equção = 0 estão compreendids entre e 08. A som ds rízes d equção 6 = 0 é 6. A equção 4 + = 0 não possui rízes reis 8. Determine o vlor de que stisfz s equções: ) b) UNIDADE 5 ESTUDO DAS FUNÇÕES Sejm A e B dois conjuntos não vzios e um relção R de A em B, ess relção será chmd de função qundo todo e qulquer elemento de A estiver ssocido um único elemento em B. Formlmente: f é função de A em B ( A, y B (, y) f) Num função podemos definir lguns elementos. Conjunto de Prtid: A Domínio: Vlores de pr os quis eiste y. Contr Domínio: B Conjunto Imgem: Vlores de y pr os quis eiste. Mtemátic A Vlor de um Função Denomin-se vlor numérico de um função f() o vlor que vriável y ssume qundo vriável é substituíd por um vlor que lhe é tribuído. Por eemplo: considere relção y =, onde cd vlor de corresponde um único vlor de y. Assim se =, então y = 9. Podemos descrever ess situção como: f() = 9 Eemplo : Dd função f() = +. Clcule o vlor de f() Resolução: f() = +, devemos fzer = f() = + f() = 5 Eemplo : Dd função f() = Determine o vlor de f(-). Resolução: f() = , devemos fzer = - f(-) = (-) - 5(-) + 6 f(-) = f(-) = Eemplo : Dd função f( ) =. Determine f(5). Resolução: f( ) =, devemos fzer = 6 f(6 ) = 6 f(5) = 6 Observe que se fizéssemos = 5, terímos f(4) e não f(5). Eercícios de Sl. Sej o gráfico bio d função f, determinr som dos números ssocidos às proposições correts: Observções: A imgem está sempre contid no Contr Domínio (Im C.D) Podemos reconhecer trvés do gráfico de um relção, se ess relção é ou não função. Pr isso, deve-se trçr prlels o eio y. Se cd prlel interceptr o gráfico em pens um ponto, teremos um função. O domínio de um função é o intervlo representdo pel projeção do gráfico no eio ds bscisss. E imgem é o intervlo representdo pel projeção do gráfico no eio y. 0. O domínio d função f é { R - } 0. A imgem d função f é {y R - y } 04. pr =, tem-se y = 08. pr = 0, tem-se y = 6. pr = -, tem-se y = 0. A função é decrescente em todo seu domínio. Em cd cso bio, determine o domínio de cd função: ) y = + b) y = c) y = d) y = 7 7 Domínio = [, b] Imgem = [c, d] Pré-Vestibulr d UFSC 9

10 Mtemátic A -, se 0. Sej f ( ) 5, se , se 5 Clcule o vlor de: Tref Mïnim f ( ) f ( ) f (6) 4. (UNAERP-SP) Qul dos seguintes gráficos não represent um função f: R R? ). Inclusão pr Vid 6. A função é crescente em todo seu domínio 6. Determine o domínio ds seguintes funções: ) y = c) y = 9 6 b) y = d) y = 5 7. (UFSC) Considere s funções f: R R e g: R R dds por f() = + e g() = Clcule f( ) g(). b) c) 8. (UFPE) Ddos os conjuntos A = {, b, c, d} e B = {,,, 4, 5}, ssinle únic lterntiv que define um função de A em B. ) {(, ), (b, ), (c, )} b) {(, ), (b, ), (c, 5), (, )} c) {(, ), (b, ), (c, ), (d, )} d) {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5)} e) {(, ), (, b), (, c), (4, d), (5, )} d) Tref Complementr 9. (UFC) O domínio d função rel y = ) { R > 7} b) { R } c) { R < 7} d) { R ou > 7} é: 7 e) 5. Assinle som dos números ssocidos às proposições correts: 0. Considere função f() = Determine: ) f() b) f(5) c) os vlores de, tl que f() = 0. (USF-SP) O número S do spto de um pesso está relciondo com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pel fórmul S = 5p 8 4. Qul é o comprimento do pé de um pesso que clç sptos de número 4? ) 4 cm d) 9,5 cm b) 5, cm e) 7, cm c) 0,8 cm. (FUVEST) A função que represent o vlor ser pgo pós um desconto de % sobre o vlor de um mercdori é: ) f() = d) f() = - b) f() = 0,97 e) f() =,0 c) f() =, 0. O domínio d função f é { R - } 0. A imgem d função f é {y R - y } 04. pr = -, tem-se y = pr =, tem-se y = 0. ( FCMSCSP ) Se f é um função tl f( + b) = ().f(b), quisquer que sejm os números reis e b, então f() é igul : ).f() d) [f()] b) + f() e) f() + f() c) f( ) Pré-Vestibulr d UFSC

11 Inclusão pr vid 4. (FGV-SP) Num determind loclidde, o preço d energi elétric consumid é som ds seguintes prcels: ª. Prcel fi de R$ 0,00; ª. Prcel vriável que depende do número de quilowtt-hor (kwh) consumidos; cd kwh cust R$ 0,0. Se num determindo mês, um consumidor pgou R$,00, então ele consumiu: ) 00, kwh d) entre 65 e 80 kwh b) mis de 0 kwh e) entre 80 e 0 kwh c) menos de 65 kwh 5. (PUC-Cmpins) Em um cert cidde, os tímetros mrcm, nos percursos sem prd, um qunti de 4UT (unidde timétric) e mis 0, UT por quilômetro roddo. Se, o finl de um percurso sem prds, o tímetro registrv 8, UT, o totl de quilômetros corridos foi: 6. (UFSC) Dds s funções f() = + 5, g() = + e h() = 7, o vlor em módulo d epressão: 4h g4 f ( ) 7. (UFSC) Considere função f() rel, definid por f() = 4 e f( + ) = f() 5. Determine o vlor de f(0). 8. (UDESC) A função f é tl que f( + ) = +. Nesss condições, f( + ) é igul : UNIDADE 6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU Um função f de R em R é do º gru se cd R, ssoci o elemento + b. Mtemátic A Interceptos: Ponto que o Gráfico cort o eio y: deve-se fzer = 0. Logo, o ponto que o gráfico cort o eio y tem coordends (0,b). Ponto que o Gráfico cort o eio : deve-se fzer y = 0. Logo, o ponto que o gráfico cort o eio tem b coordends (,0). O ponto que o gráfico cort o eio é chmdo riz ou zero d função. RESUMO GRÁFICO f() = + b, > 0 f() = + b, < 0 Função crescente Função decrescente Eemplo: Esboçr o gráfico d função d função f() = +. Resolução: o gráfico intercept o eio y em (0,b). Logo o gráfico d função f() = + intercept o eio y em (0,). Pr determinr o ponto que o gráfico cort o eio deve-se fzer y = f() = 0. + = 0 = Logo, o ponto que o gráfico cort o eio tem coordends (, 0) Form: f() = + b com 0. é o coeficiente ngulr e b o coeficiente liner. Gráfico O gráfico será um ret crescente se for positivo e decrescente se for negtivo. D = C.D. = Im = FUNÇÃO CONSTANTE Um função f de R em R é constnte se, cd R, ssoci sempre o mesmo elemento k R. D(f) = R e Im (f) = k Form: f() = k Gráfico: Eemplo: y = f() = Como o gráfico de um função do º Gru é um ret, logo é necessário definir pens dois pontos pr obter o gráfico. Pré-Vestibulr d UFSC

12 Mtemátic A D = C.D. = Im = {} Eercícios de Sl. Considere s funções f() = 6 definid em reis. Determine som dos números ssocidos às proposições correts : 0. ret que represent função f intercept o eio ds ordends em (0,- 6) 0. f() é um função decrescente 04. riz d função f() é 08. f(-) + f(4) = 0 6. imgem d função são os reis. A áre do triângulo formdo pel ret que represent f() e pelos eios coordendos é 8 uniddes de áre.. (PUC-SP) Pr que função do º gru dd por f() = ( - k) + sej crescente devemos ter: ) k b) k c) k d) k e) k. (UFSC) Sej f() = + b um função liner. Sbe-se que f(-) = 4 e f() = 7. Dê o vlor de f(8). Inclusão pr Vid 7. (UFMA) O gráfico d função f() = + b intercept o eio dos no ponto de bsciss 4 e pss pelo ponto (, ), então f() é: ) f() = d) f() = b) f() = 4 e) f() = 6 c) f() = 5 8. Sendo f() = + 5, obtenh o vlor de com t. Tref Complementr f ( t) f ( ) t 9. (UCS-RS) Pr que sej riz d função f() = + k, deve-se ter ) k = 0 b) k = - c) k = 6 d) k = -6 e) k = 0. (UFPA) A função y = + b pss pelo ponto (,) e intercept o eio y no ponto de ordend. Então, b é igul : ) b) 0 c) 9 d) 7 e) n.d... (Fuvest-SP) A ret de equção + y = 0, em relção um sistem crtesino ortogonl, form com os eios do sistem um triângulo cuj áre é: ) / b) /4 c) /5 d) /8 e) /6. O gráfico d função f() está representdo pel figur bio: Tref Mínim 4. Esboçr o gráfico ds seguintes funções: ) f() = + b) f() = + 5. (FGV-SP) O gráfico d função f() = m + n pss pelos pontos A(, ) e B(4, ). Podemos firmr que m + n vle em módulo: Pode-se firmr que f(4) é igul :. (Snto André-SP) O gráfico mostr como o dinheiro gsto ( y) por um empres de cosméticos, n produção de perfume, vri com quntidde de perfume produzid (). Assim, podemos firmr: 6. (UFMG) Sendo < 0 e b > 0, únic representção gráfic corret pr função f() = + b é: ) Qundo empres não produz, não gst. b) Pr produzir litros de perfume, empres gst R$ 76,00. c) Pr produzir litros de perfume, empres gst R$ 54,00. d) Se empres gstr R$ 70,00, então el produzirá 5 litros de perfume. e) Pr fbricr o terceiro litro de perfume, empres gst menos do que pr fbricr o quinto litro. 4. (UFSC) Sbendo que função: f() = m + n dmite 5 como riz e f(-) = -6, o vlor de f(6) é: Pré-Vestibulr d UFSC

13 Inclusão pr vid Mtemátic A 5. O vlor de um máquin decresce linermente com o tempo, devido o desgste. Sbendo-se que hoje el vle R$800,00, e que dqui 5 nos vlerá R$60,00, o seu vlor, em reis, dqui três nos será: ) 480 b) 60 c) 80 d) 400 e) (UFRGS) Considere o retângulo OPQR d figur bio. A áre do retângulo em função d bsciss do ponto R é O vértice é o ponto de máimo d função se < 0. O vértice é o ponto de mínimo d função se > 0. ) A = d) A = b) A = e) A = 6 c) A = 9 7. (UFRGS) Dois crros prtem de um mesm cidde, deslocndo-se pel mesm estrd. O gráfico bio present s distâncis percorrids pelos crros em função do tempo. Distânci (em km) Coordends do vértice O vértice é um ponto de coordends V( v, y v ) onde v b e yv = 4 Imgem d função qudrátic Se > 0, então Im = {y R y 4 } Se < 0, então Im = {y R y 4 } Resumo gráfico Tempo (em hors) > 0 Anlisndo o gráfico, verific-se que o crro que prtiu primeiro foi lcnçdo pelo outro o ter percorrido etmente: ) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 9km Estudo do vértice d prábol A Prábol que represent função do º Gru é dividid em dus prtes simétrics. Ess divisão é feit por um eio chmdo de eio de simetri. A intersecção desse eio com prábol recebe o nome de vértice d prábol. = 0 Pré-Vestibulr d UFSC

14 Mtemátic A < 0 Inclusão pr Vid Estudo do vértice d prábol A Prábol que represent função do º Gru é dividid em dus prtes simétrics. Ess divisão é feit por um eio chmdo de eio de simetri. A intersecção desse eio com prábol recebe o nome de vértice d prábol 8. (UERJ) Considere função f, definid pr todo rel positivo, e seu respectivo gráfico. Se e b são dois meros positivos ( < b), áre do retângulo de vértices (, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igul 0,. f() = O vértice é o ponto de máimo d função se < 0. O vértice é o ponto de mínimo d função se > 0. Coordends do vértice O vértice é um ponto de coordends V( v, y v ) onde v b e yv = 4 Imgem d função qudrátic Clcule áre do retângulo de vértices (, 0), (b, 0) e (b, f(b)) UNIDADE 7 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU Um função f de R em R é polinomil do º gru se cd R ssoci o elemento + b + c, com 0 Se > 0, então Im = {y R y 4 } Se < 0, então Im = {y R y 4 } Resumo gráfico > 0 Form: f() = + b + c, com 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do º Gru de R em R é um prábol. A concvidde d prábol é determind pelo sinl do coeficiente (coeficiente de ). Assim, qundo: > 0 tem-se prábol com concvidde pr cim < 0 tem-se prábol com concvidde pr bio nterceptos O ponto que o gráfico cort o eio y possui coordends (0,c) Pr chr o(s) ponto(s) que o gráfico cort o eio, deve-se fzer y = 0. Tem-se então um equção do º gru + b + c = 0, onde: b Δ, onde b 4c Se > 0 Dus Rízes Reis Se = 0 Um Riz Rel Se < 0 Não possui Rízes Reis = 0 4 Pré-Vestibulr d UFSC

15 Inclusão pr vid < 0 Eercícios de Sl. Em relção função f() = definid de é correto firmr: 0. e 4 são os zeros d função f 0. o vértice d prábol possui coordends (, -) 04. O domínio d função f() é o conjunto dos números reis. 08. A imgem d função é: { y R y } 6. A áre do triângulo cujos vértices são o vértice d prábol e seus zeros, é 4 uniddes de áre.. Em cd cso bio, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imgem. ) f:, f() = b) f:, f() = + 4 c) f: [0, [, f() = f() =. Considere f() = 6 + m definid de. Determine o vlor de m pr que o gráfico de f(): ) tenh dus intersecções com o eio b) tenh um intersecção com o eio c) não intercepte o eio Tref Mínim 4. Determine s rízes, o gráfico, s coordends do vértice e imgem de cd função. ) f:, f() = b) f:, f() = ( + )( 4) c) f:, f() = + d) f:, f() = 5. Dd função f() = de R em R. Assinle s verddeirs: 0. O gráfico intercept o eio y no ponto de coordends (0,). 0. As rízes de f são e O domínio de f é o conjunto dos números reis. 08. O gráfico não intercept o eio. 6. A imgem d função é { y R y 4 }. O vértice d prábol possui coordends (4, 4) 64. A função é crescente em todo seu domínio. 6. (UFSC) Considere prábol y = definid em R R. A áre do triângulo cujos vértices são o vértice d prábol e seus zeros, é: Mtemátic A 7. (ACAFE-SC) Sej função f() = - + de domínio [-, ]. O conjunto imgem é: ) [0, ] c) ]-, 4] e) [-5, ] b) [-5, 4] d) [-, ] 8. ( PUC-SP) Sej função f de R em R, definid por f( ) = + 4. Num sistem de coordends crtesins ortogonis, o vértice d prábol que represent f loclizse: ) no primeiro qudrnte. b) no segundo qudrnte. c) no terceiro qudrnte. d) sobre o eio ds coordends. e) sobre o eio ds bscisss. Tref Complementr 9. (UFSC) Sej f: R R, definid por: f() = -, termine som dos números ssocidos às firmtivs verddeirs: 0. O gráfico de f() tem vértice n origem. 0. f() é crescente em R. 04. As rízes de f() são reis e iguis. 08. f() é decrescente em [0, + ) 6. Im(f) = { y R y 0}. O gráfico de f() é simétrico em relção o eio. 0. (ESAL-MG) A prbol bio é o gráfico d função f() = + b + c. Assinle lterntiv corret: ) < 0, b = 0, c = 0 d) < 0, b < 0, c > 0 b) > 0, b = 0, c < 0 e) > 0, b > 0, c > 0 c) > 0, b < 0, c = 0. Considere função definid em dd por f() = m + m. Pr que vlores de m o gráfico de f() irá interceptr o eio num só ponto?. (UFPA) As coordends do vértice d função y = + são: ) (-, 4) c) (-, ) e) (, 0) b) (, ) d) (0, ). (UFPA) O conjunto de vlores de m pr que o gráfico de y = m + 7 tenh um só intersecção com o eio é: ) { 7} c) { } b) { 0 } d) { 7 } 4. (Mck-SP) O vértice d prábol y = + k + m é o ponto V(, 4). O vlor de k + m em módulo é: Pré-Vestibulr d UFSC 5

16 Mtemátic A Inclusão pr Vid 5. (UFSC) Dd função f: R R definid por f() = + b + c, sbe-se que f() = 4, f() = 7 e f(-) = 0. Determine o vlor de - b + c. 6. A equção do eio de simetri d prábol de equção y = , é: ) = 0 d) y =,5 b) y = e) =,8 c) =,5 7. O gráfico d função f() = m (m ) + m intercept o eio em pens um ponto e tem concvidde voltd pr bio. O vlor de m é: S = { R - ou } ou S = ]-, -] [, +[ b) resolver inequção ) c) e) b) 4 d) 8. (UFSC) Mrque no crtão únic proposição corret. A figur bio represent o gráfico de um prábol cujo vértice é o ponto V. A equção d ret r é: S = { R 5} S = [, 5] c) resolver inequção > 0 0. y = y = y = y = + 6. y = - UNIDADE 8 INEQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE INEQUAÇÕES DO O GRAU Inequção do º gru é tod inequção d form: b c 0 com 0 b c 0 b c 0 b c 0 Pr resolver inequção do º gru se ssoci epressão um função do º gru; ssim, pode-se estudr vrição de sinis em função d vriável. Posteriormente, selecionm-se os vlores d vriável que tornm sentenç verddeir. Estes vlores irão compor o conjuntosolução. Eemplos: ) resolver inequção 0 S = { R < < 4} S = [, 4] Inequções Tipo Produto Inequção Produto é qulquer inequção d form: ) f().g() 0 b) f().g() > 0 c) f().g() 0 d) f().g() < 0 Pr resolvermos inequções deste tipo, fz-se necessário o estudo dos sinis de cd função e em seguid plicr regr d multiplicção. Eemplo: Resolver inequção ( 4 + ) ( ) < 0 S = { R < ou < < } Inequções Tipo Quociente Inequção quociente é qulquer inequção d form: ) f() g() 0 b) f() g() > 0 f() c) g() 0 d) f() g() < 0 Pr resolvermos inequções deste tipo é necessário que se fç o estudo dos sinis de cd função seprdmente e, em seguid, se plique regr de sinis d divisão. É necessário lembrr que o denomindor de um frção não pode ser nulo, ou sej, nos csos cim vmos considerr g() 0. 6 Pré-Vestibulr d UFSC

17 Inclusão pr vid Mtemátic A Eemplo: Resolver inequção Resolv, em R, s seguintes inequções: ) b) c) d) 0 < S = { R < ou } Eercícios de Sl. Resolver em s seguintes inequções: ) 8 + > 0 b) c) O domínio d função definid por f() = 0 é: 6 ) D = { R ou 5} {6}. b) D = { R - ou 5} {6}. c) D = { R - ou 5} d) D = { R - ou 7} {6}. e) n.d... Determine o conjunto solução ds seguintes inequções: ) ( )( )( 4) < 0 b) Tref Mínim 4. Resolver em s seguintes inequções: ) > 0 b) c) + 9 > 0 d) 4 e) > 6 f) 5. (Osec-SP) O domínio d função f() =, com vlores reis, é um dos conjuntos seguintes. Assinle-o. ) { R - } d) { R } b) { R - < < } e) n.d.. c) { } 6. Resolv, em R, s seguintes inequções: ) ( ).( + 4) > 0 b) ( ).( + 4) 0 c) ( ) ( 6) < 0 d) e) (ESAG) O domínio d função y = ) (-, - ) d) (-, -) [/, ) b) (-, ½] e) { } c) (-, ½] Tref Complementr 9. Resolver em s seguintes inequções: ) > 0 c) < 0 b) d) Resolver em s seguintes inequções: ) > 0 c) < 0 b) d) nos reis é:. (CESGRANRIO) Se b + c tem como solução o conjunto { 0 }, então b e c vlem respectivmente: ) e d) 0 e b) e 0 e) 0 e 4 c) 0 e. (UNIP) O conjunto verdde do sistem é: 4 0 ) ], ] c) [, 4[ e) [4, 8[ b) ], 4] d) [, 8[. (PUC-RS) A solução, em R, d inequção < 8 é: ) { ; } d) ( ; ) b) [ ; ] e) ( ; ] c) ( ; ) 4. (ACAFE) O lucro de um empres é ddo por L() = 00(8 )( ), em que é quntidde vendid. Neste cso podemos firmr que o lucro é: ) positivo pr entre e 8 b) positivo pr qulquer que sej c) positivo pr mior do que 8 d) máimo pr igul 8 e) máimo pr igul 5. (FATEC) A solução rel d inequção produto ( 4).( 4) 0 é: ) S = { R - 0 ou 4} b) S = { R 0 4} Pré-Vestibulr d UFSC 7

18 Mtemátic A c) S = { R - ou 4} d) S = { R - ou 0 ou 4} e) S = { } 6. (MACK-SP) O conjunto solução de ) { R > 5 e < - } b) { R < 5 e - } c) { R > 0} d) { R - < < 5} e) { R - 5 < < 5} 6 5 é: 7. (Cescem-SP) Os vlores de que stisfzem inequção ( + 8)( 5 + 6)( 6) < 0 são: ) < ou > 4 d) 4 < < ou < < 4 b) < ou 4 < < 5 e) < 4 ou < < ou > 4 c) 4 < < ou > 4 8. (FUVEST) De 4 < 0 pode-se concluir que: ) 0 < < d) < < b) < < e) < ou > c) < < 0 UNIDADE 9 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA Inclusão pr Vid f: A B g: B C gof: A C Condição de Eistênci: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funções composts são: ) f(g()) b) g(f()) c) f(f()) d) g(g()) Eercício resolvido: Dds s funções f() = e g() = +, chr de modo que f(g()) = 0 Resolução: Primeirmente vmos determinr f(g()) e, em seguid, igulremos zero. f() = f(g()) = ( + ) - 5( + ) + 6 Dí vem que f(g()) = - +. Igulndo zero temos: - + = 0 Onde = e = FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Função injetor: Um função f: A B é injetor se e somente se elementos distintos de A têm imgens distints em B. Em Símbolos: f é injetor, A, f( ) f( ) Função Pr Um função é pr qundo pr vlores simétricos de temos imgens iguis, ou sej: f() = f(), D(f) Um consequênci d definição é: Um função f é pr se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relção o eio y. Função sobrejetor: Um função f de A em B é sobrejetor, se todos os elementos de B forem imgem dos elementos de A, ou sej: CD = Im FUNÇÃO ÍMPAR Um função é ímpr qundo pr vlores simétricos de s imgens forem simétrics, ou sej: f() = f(), D(f) Como consequênci d definição os gráficos ds funções ímpres são simétricos em relção à origem do sistem crtesino. Função bijetor: Um função é bijetor se for o mesmo tempo injetor e sobrejetor. FUNÇÃO COMPOSTA Dds s funções f: A B e g: B C, denomin-se função compost de g com f função gof: definid de A C tl que gof() = g(f()) DICA: De R R, função do º Gru é bijetor, e função do º Gru é simples. FUNÇÃO INVERSA Sej f um função f de A em B. A função f de B em A é invers de f, se e somente se: f o f - () =, A e f - o f () =, B. Observe que A = D(f) = CD(f - ) e B = D(f - ) = CD(f) 8 Pré-Vestibulr d UFSC

19 Inclusão pr vid IMPORTANTE: f é inversível f é bijetor Pr encontrr invers de um função, o processo prático é trocr por y e, em seguid, isolr y. Os gráficos de dus funções inverss f() e f () são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres. (f() = ) Mtemátic A. (UFSC) Sendo f() = 4 + e f(g()) = +, com f e g definids pr todo rel, determine o vlor numérico d função g no ponto = 8, ou sej, g(8). 4. Determine função invers de cd função seguir: ) y = c) y =, 4 4 b) y = 4 5. (UFSC) Sej função f() =, com, determine f - (). Tref Complementr Eercício Resolvido: Dd função f() = + 4 de R em R. determine su invers. Resolução: Como função f() é bijetor, então el dmite invers. Bst trocrmos por y e teremos: f() = + 4 = y = y f - () = 4 Eercícios de Sl. Dds s funções f() =, g() = +. Determine: ) f(g()) c) f(g()) b) g(f()) d) g(f(-)). (UFSC) Considere s funções f, g: R R tis que g() = + e g(f()) = + +. Clcule f(7).. Se, determine invers d função f ( ) Tref Mínim. Dds s funções f() = + e g() =. Obter: ) f(g()) e) f(g()) b) g(f()) f) g(f()) c) f(f()) g) f(f(f())) d) g(g()). (UFU-MG) Dds s funções reis definids por f() = - 6 e g() = + 5 +, pode-se dizer que o domínio d função h() = fog é: ) { R -5 ou 0} b) { R 0} c) { R -5} d) { } e) n.d.. 6. (UFSC) Sejm f e g funções de R em R definids por: f() = - + e g() = -.Determine som dos números ssocidos à(s) proposições verddeirs. 0. A ret que represent função f intercept o eio ds ordends em (0,). 0. f é um função crescente e + são os zeros d função g. 08. Im(g) = { y R y - }. 6. A função invers d f é definid por f - () = O vlor de g(f()) é. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0). 7. Dds s funções: f() = 5 e g() = -, o vlor de gof(4) é: 8. (UEL-PR) Sejm f e g funções reis definids por f() = +, g() = -. O vlor de f(g(-5)) é: 9. (Mck-SP) Sejm s funções reis definids por f() = e f(g()) =. Então g(f()) é definid por: ) c) e) 5 b) d) 4 0. (F.C.Chgs-BA) A função invers d função f() = é: ) f ( ) = b)f () = c) f () = - - e) nenhum ds nteriores - d) f () + = -. Obtenh s sentençs que definem s funções inverss de: ) f: [ ; 5] [, 7] tl que f() = + 7 b) g: [, 5] [0,9] tl que g() = c) h: [, 6] [, 8] tl que h() = (MACK-SP) Se f(g()) = e f( ) = +, então o vlor de g() é: ) - c) 0 e) 4 b) d) 6 Pré-Vestibulr d UFSC 9

20 Mtemátic A. (UFSC) Sej f um função polinomil do primeiro gru, decrescente, tl que f() = e f(f()) =. Determine bsciss do ponto onde o gráfico de f cort o eio. 4. (UDESC) Se f() = + b +, f() = 0 e f() = -. Clcule f(f()) 5. (IME-RJ) Sejm s funções g() e h() ssim definids: g() = 4; h() = f(g()) = Determine função f(). UNIDADE 0 EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chm-se equção eponencil tod equção que pode ser reduzid form = b, com 0 <. Pr resolver tis equções é necessário trnsformr equção dd em: Iguldde de potênci de mesm bse. f() = g() f() =g() Potêncis de epoentes iguis. f() = b f() = b sendo e b e e b R * +. Função Eponencil f() = ( > ) função crescente (0 < < ) função decrescente Eercícios de Sl Inclusão pr Vid y 7 4. (UFSC) Ddo o sistem, o vlor de y é: y 5 5. (UFSC) O vlor de, que stisfz equção =, é: Tref Mínim. Resolv, em R, s equções seguir: ) = 8 b) = 6 c) + + = 90 d) 5. = 5 é: e) + + = 0. (PUC-SP) O conjunto verdde d equção = 0, é:. Dds f() = e s proposições: I - f() é crescente II - f() é decrescente III - f() = 8 IV- ( 0, ) f() podemos firmr que: ) tods s proposições são verddeirs. b) somente II é fls. c) tods são flss. d) II e III são flss. e) somente III e IV são verddeirs. 4. Resolv, em R, s inequções seguir: ) > + b) (0,) 5 < (0,) + 8 c) d) 0,5 < 0, (OSEC-SP) O domínio d função de definid por y =, é: 4 ) (, 5 [ b) ] 5, + ) c) (, 5 [ d) ] 5, + ) e) n.d.. Tref Complementr INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Pr resolvermos um inequção eponencil devemos respeitr s seguintes proprieddes: Qundo s bses são miores que ( > ), relção de desiguldde se mntém. f() > g() f() > g() Qundo s bses estão compreendids entre 0 e (0 < < ), relção de desiguldde se inverte. 0 f() > g() f() < g() 6. Resolvendo equção = 5., obtemos: ) = 0 e = c) = 0 e = b) = e = 4 d) = = 7. (Unesp-SP) Se é um número rel positivo tl que, então é igul : 8. A mior riz d equção 4 = 6 Pré-Vestibulr d UFSC

21 Inclusão pr vid 9. (ITA-SP) A som ds rízes d equção 4 9 é: 0. A som ds rízes d equção é:. (UFMG) Com relção à função f() =, sendo e números reis e 0 <, ssinle s verddeirs: 0. A curv representtiv do gráfico de f está tod cim do eio. 0. Seu gráfico intercept o eio y no ponto (0, ). 04. A função é crescente se 0 < < 08. Sendo = /, então f() > se >.. Determine o domínio d função bio: 5 5 f ( ) (,4) 7. (UEPG-PR) Assinle o que for correto. 0. A função f() =, < < 0 e R, intercept o eio ds bscisss no ponto (,0) 0. A solução d equção. = 6 pertence o intervlo [0, ] 04. Dd função f() = 4, então D = R e I m = 08. A função f() = é crescente 6. b b 4. Determine o vlor de no sistem bio: y y ( e y ) 5 y 5. Resolver, em reis, s equções bio: ) 5 + 0, = 5, b) = 7.0 * R Mtemátic A ) log 5 65 = 65 = = 5 = 4 Eiste um infinidde de sistems de logritmos. Porém, dois deles se destcm: Sistems de Logritmos Decimis: É o sistem de bse 0, tmbém chmdo sistem de logritmos comuns ou vulgres, ou de Briggs (Henry Briggs, mtemático inglês (56-60)). Qundo bse é 0 costum-se omitir bse n su representção. Sistems de Logritmos Neperinos É o sistem de bse e (e =, 78...), tmbém chmdo de sistem de logritmos nturis. O nome neperino deve-se J. Neper (550-67). Condição de Eistênci Pr que os logritmos eistm é necessário que em: log b = se tenh : logritmndo positivo b > 0 bse positiv Resumindo > 0 e bse diferente de Consequêncis d Definição Observe os eemplos: ) log = = 0 = = 0 ) log = = 0 = = 0 ) log 6 = = = 6 = 0 log = 0 4) log = = = = 5) log 5 5 = 5 = 5 5 = 5 = log = 6) log = = = 7) log 5 5 = 5 = 5 = log m = m UNIDADE LOGARITMOS DEFINIÇÃO Ddo um número, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chm-se logritmo de b n bse o rel tl que = b. ( > 0 e e b > 0) log b = = b Em log b = temos que: = bse do logritmo b = logritmndo ou ntilogritmo = logritmo Observe que bse mud de membro e crreg como epoente. Eemplos: ) log 6 6 = 6 = 6 6 = 6 = 8) log 4 4 9) log 9 9 log b b PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Logritmo do Produto O logritmo do produto é igul som dos logritmos dos ftores. Eemplos: log (b. c) = log b + log c ) log 7. = log 7 + log b) log 5. = log 5 + log Logritmo do Quociente O logritmo do quociente é o logritmo do dividendo menos o logritmo do divisor. Pré-Vestibulr d UFSC

22 Mtemátic A Eemplos: log b c log b log c ) log 7/ = log 7 - log b) log 5 8/ = log log 5 Logritmo d Potênci O logritmo d potênci é igul o produto do epoente pelo logritmo d bse d potênci. log m = m. log Eemplos: ) log 5 =. log 5 b) log 4-5 = -5 log 4 Cso Prticulr log Eemplo: log 0 Eercício Resolvido: n b log b n. log n = log 0 log 0 Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47. Clcule o vlor de log 8. Resolução: log 8 = log(. ) log 8 = log + log log 8 = log + log log 8 = 0,0 +.0,47 log 8 =,4 Eercícios de Sl. Com bse n definição, clcule o vlor dos seguintes logritmos: ) log 04 b) log 0,00000 c) log 0,5 d) log 4 8. Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47, clcule o vlor de: ) log 6 b) log 8 c) log 5 d)log 8 Tref Mínim. Determine o vlor dos logritmos bio: ) log 5 b)log 0,5 0,5 c) log 7 d)log 0,5 8. Determine o vlor ds epressões bio ) log 5 + log 4 l g, onde 0 <, é: b) lg 8 lg 9 6. lg 65 5 é: b Inclusão pr Vid. Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47, clcule o vlor dos logritmos bio: ) log b)log 54 c) log,5 5 d) log 5 4. (UFPR) Sendo log = 0,0 e log 7 = 0,845, qul será o vlor de log 8? ),46 b),447 c),690 d),07 e),07 5. (FEI-SP) A função f() = log (50 5 ) é definid pr: ) > 0 b) 0 < < 5 c) 5 < < 0 d) < 5 e) n.d.. Tref Complementr 6. (PUC-SP) Se lg 5, então vle: 7. (PUC-SP) Sendo log 0 = 0,0 e log 0 = 0,47, então log 6 5 é igul : ) 0, c) 0, e) 0,5 b) 0, d) 0,4 8. (ACAFE-SC) Os vlores de m, com R, pr os quis equção + log (m ) = 0 dmite rízes (zeros) reis e distints são: ) < m < 4 b) m< c) m d) m e) < m < 9. Se log = r, log b = s, log c = t e E = é igul :, então log E b c 0. (ANGLO) Se log E = log + log b log c log d, Então E é igul :. (UFSC) Se + y é lg y lg5, então o vlor de lg lgy lg4. Se = 60, log 0 = 0,0 e log 0 = 0,477, determine prte inteir do vlor de 0 log 0.. (UMC-SP) Sejm log = e log y = b. Então o log. y é igul : ) + b/ b) + b c ) + b d)+b e) -b/ 4. Determine o domínio ds seguintes funções: ) y = log ( ) b) y = log (5 ) ( 4) Se é solução d equção 7 d epressão 7 + log 7 7, clcule o vlor Pré-Vestibulr d UFSC

23 Inclusão pr vid Mtemátic A UNIDADE LOGARITMOS MUDANÇA DE BASE Ao plicr s proprieddes opertóris dos logritmos ficmos sujeitos um restrição: os logritmos devem ser de mesm bse. Ddo esse problem, presentmos então um processo o qul nos permite reduzir logritmos de bses diferentes pr bses iguis. Este processo é denomindo mudnç de bse. lg cb log b = lg Como consequênci, e com s condições de eistênci obedecids, temos: ) log B A log B A log k A c B log B k EQUAÇÃO LOGARÍTMICA São equções que envolvem logritmos, onde incógnit prece no logritmo, n bse ou no logritmndo (ntilogritmo). Eistem dois métodos básicos pr resolver equções logrítmics. Em mbos os csos, fz-se necessário discutir s rízes. Lembrndo que não eistem logritmos com bse negtiv e um, e não eistem logritmos com logritmndo negtivo. º Método: log X = log Y X = Y º Método: log X = M X = M Função Logrítmic f() = log ( > ) função crescente A INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA > log > log > 0 < < log > log < Eercícios de Sl. Resolver s equções bio: ) log ( - ) = b) log 4 ( + - ) = log 4 (5 ) c) log ( + ) + log ( ) = 5. (UFSC) Determine som dos números ssocidos à(s) proposição(ões) verddeir(s). 0. O vlor do log 0, 5 é igul Se, b e c são números reis positivos e = então log = log log b log c. b c, 04. Se, b e c são números reis positivos com e c log b diferentes de um, então tem-se log b c. log 08. O vlor de que stisfz à equção 4 = 56 é =. 6.,,7 > c (0 < < ) função decrescente Tref Mínim. (SUPRA) Se log 5 = e log 5 = b então log 6 é: +b b +b ) b) +b c) d) e) b. (ACAFE) O vlor d epressão log. log 4 é: ) ½ c) 4 e) b) d) / Pré-Vestibulr d UFSC

24 Mtemátic A. Resolver, em R s equções: ) log 5 ( 4) = b) log[( )] = log c) log 6log 9 0 d) log(log( + )) = 0 e) log ( - 8) log ( + 6) = f) log 5 ( ) + log 5 ( ) = 4. (UFSC) A solução d equção: log ( + 4) + log ( ) = log 8, é: 5. Resolver, em reis, s seguintes inequções: ) log ( + ) > log 8 b) log / ( ) log / 4 Tref Complementr 6. (UFSC) Dd função y = f() = log, com > 0,, determine som dos números ssocidos às firmtivs verddeirs. 0. O domínio d função f é R. 0. A função f é crescente em seu domínio qundo (, + ) 04. Se = / então f() = 08. Se = e f() = 6 então = 7 6. O gráfico de f pss pelo ponto P(,0). 7. (ACAFE) Se log K = M, então log 9 K é: ) M c) M + e) M b) M d) M 8. (UFSC) Se log = e log y =, então, log 5 y é igul : 9. (UFSC) Determine som dos números ssocidos às proposições verddeirs: 0. O vlor do log 0,5 é igul Se, b e c são números reis positivos e = então log = log log b / log c. b c 04. Se, b e c são números reis positivos com e c diferentes de um, então tem-se log b = log b c log c 08. O vlor de que stisfz à equção 4 = 56 é = 7 6. Inclusão pr Vid >, temos f crescente e g decrescente e pr 0 < <, temos f decrescentes e g crescentes. 6. log 60 = log + log + log 5.. Se log N =,4 então log N = 6,84.. Resolv equção lg lg resultdo obtido por 4).. (divid o Assinle som dos números ssocidos às proposições correts: 0. A riz d equção log(log( + )) = 0 é = A som ds rízes d equção. + log. log 4 (0 ) = log 4 é 0. log 04. A mior riz d equção 9. = é O vlor d epressão log. log 4 é /. 6. Se log = n e log y = 6n, então lg y é igul 7n.. A solução d equção. = 6 pertence o intervlo [0, ]. 4. (UFPR) Com bse n teori dos logritmos e Eponenciis, é correto firmr que: 0. Se log (5 y) =, então y = Se = log e, então e + e - = Se e b são números reis e 0 < < b <, então log 0 < log 0 b 08. Se z = 0 t, então z > 0 pr qulquer vlor rel de t 5. (ITA - SP) O conjunto dos números reis que verificm inequção log + log ( + ) log é ddo por: ) { R > } b) { R } c) { R 0 < / } d) { R / < < } e) n.d.. 0. (UFSC) O vlor de comptível pr equção log( ) - log( ) = é:. (UFSC) Assinle no crtão-respost som dos números ssocidos à(s) proposição(ões) corret(s). 0. O conjunto solução d inequção log ( 9) log ( ) é S = (, 4] [, +). 0. Pr todo rel diferente de zero vle ln < e. 04. A equção e e não possui solução inteir. 08. Considere s funções f() = e g() = log. Pr 4 Pré-Vestibulr d UFSC