MATAMÁTICA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS SETOR I

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1 MATAMÁTICA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS SETOR I ENEM211

2 Módulo Equção do 1º gru e problems do 1º gru Equção do 1º gru b + b =, com V = 2. Problems do 1º gru I. Ler o enuncido e identificr incógnit. II. Relcionr s informções com incógnit, num equção. III. Resolver equção. IV. Apresentr os resultdos. Módulo 2. Equção do 2º gru (I) Fórmul resolutiv (Bhskr) 2 + b + c =, com b = ± D, com D = b2 4c 2 2. Eistênci ds rízes I. D < Nenhum riz rel II. D = Dus rízes reis e iguis (um riz dupl) III. D > Dus rízes reis e distints Módulo 3. Equção do 2º gru (II) Relções de Girrd b S = = 2 + b + c = c P = 1 2 = 2. Obtenção d equção do 2º gru prtir de sus rízes S = S + P = P = Módulo 4. Mudnç de vriável e equção irrcionl Mudnç de vriável I. Substituir vriável de tl form que equção fique do 2º gru. II. Resolver equção. III. Retornr à vriável inicil. 2. Equção irrcionl I. Isolr um rdicl. II. Elevr iguldde, membro membro, um determindo epoente de tl form que se elimine riz. III. Resolver equção. IV. Verificr os resultdos, cso o termo tenh sido elevdo um epoente pr. Enem e Vestibulr Dose Dupl 1

3 Módulo 5. Teori dos conjuntos I. II. III. Conceito, notção e presentção Relção de pertinênci Relção de inclusão e subconjunto IV. V. VI. Conjunto vzio Iguldde de conjuntos Conjunto de prtes Módulo 6. Operções com conjuntos União de conjuntos A B = { / A ou B} 2. Intersecção de conjuntos A B = { / A e B} 3. Diferenç de conjuntos A B = { / A e B} 4. Conjunto complementr C B A = A Bpr B A 5. Número de elementos d união de conjuntos n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Módulo 7. Conjuntos numéricos Notção e constituição I. Números nturis: II. Números inteiros: III. Números rcionis: IV. Números reis: 2. Intervlos reis b c { } = / < oub < c ] ; [ [ b; c[ Módulo 8. Funções: introdução Produto crtesino A B = {(, ) / A e B} 2. Relção binári Um relção binári de A em B é um subconjunto do produto crtesino A B. 3. Função Função é um relção binári de A em B tl que todo elemento de A tem pr si um correspondente único no conjunto B, que é su imgem. O conjunto A é dito domínio d função todo elemento do domínio possui imgem e ess imgem, pr ele, é únic e o conjunto B é dito contrdomínio d função nem todo elemento do contr domínio é necessrimente imgem de lgum elemento do domínio. Os elementos do contrdomínio que forem imgens determinm o conjunto imgem. Enem e Vestibulr Dose Dupl 2

4 Módulo 9 Função: domínio de função rel Função rel É tod função em que o domínio e o contrdomínio são subconjuntos, não vzios, de. 2. Definição Qundo o domínio e o contrdomínio de um função rel não forem especificdos, sendo presentd somente sentenç que define, diremos: ) Domínio de um função rel é o mis mplo subconjunto de pr o qul são possíveis tods s operções indicds n sentenç (lei d função). b) Contrdomínio de um função rel é o conjunto. 3. Determinção do domínio N f ( ) = D = { / E ( ) } E ( ) f ( ) = 2n E ( ), n N* D = { / E ( ) } Módulo 1 Função constnte e função do 1 o gru Função constnte Sentenç: f() = k, k Gráfico: ret prlel o eio O 2. Função do 1o gru Sentenç: f() = + b, com Riz: + b = = b Gráfico: ret crescente pr > ret decrescente pr < f() = + b, com > < k b b Riz Riz D = CD = Im = { k } b b Função crescente Função decrescente D = CD = Im = Enem e Vestibulr Dose Dupl 3

5 Módulo 11 Função do 2 o gru: introdução Apresentção Sentenç: f() = 2 + b + c, com Gráfico: prábol Rízes: b = ± D, com D = b 2 4c 2 Domínio e contrdomínio: D = e CD = Vértice: V(v ; v ) com b v = e v = D 2 4 Conjunto Imgem: > Im = { / v } < Im = { / v } 2. Resumo gráfico D > D = D < > c v 1 2 v v c v = 1 2 v c v v v < v v 1 v 2 v = 1 2 v c v v v c c c Módulo 12 Função do 2 o gru: pontos etremos Pontos etremos A função do 2 o gru tinge o seu vlor etremo n ordend do vértice. Ess ordend represent o vlor mínimo qundo função é representd grficmente por um prábol de concvidde voltd pr cim, e o vlor máimo qundo prábol tem concvidde voltd pr bio. 3. Ordend do vértice: v Grficmente, o v represent o ponto etremo d função do 2 o gru. Se >, v é o ponto de mínimo vlor d função. Se <, v é o ponto de máimo vlor d função. O vlor de v pode ser obtido, tmbém, substituindo-se vriável, n sentenç, pelo v. Assim: = f( ) ou, ind: Enem e Vestibulr Dose Dupl 4

6 2. Absciss do vértice: v Grficmente, o v é o ponto por onde pss o eio de simetri d prábol. É ddo por: v 4 v b 2 > < > < v v Ponto de máimo v v v Ponto de mínimo v Módulo 13 Função do 2 o gru: eercícios Aplicção Situções do cotidino, ns mis diverss áres de conhecimento, são resolvids estudndo-se os pontos etremos (máimo e mínimo) ds rízes, o sinl e t de vrição d função do 2 o gru. (Unifesp) A figur mostr um rco prbólico, ACB, de ltur CM = 16 cm, sobre um bse AB de 4 cm. M é o ponto médio de AB: C Respost: A 16 h C A M B A ltur do rco, em centímetros, em um ponto d bse que dist 5 cm de M, é: ) 15 d) 12 b) 14 e) 1 c) 13 f ( ) = 2 + b + c f ( ) = ( 1)( 2) f ( ) = ( 4) f( 2) = 2 ( 2) = 16 1 = 25 1 f ( ) = ( 4) 25 Enem e Vestibulr Dose Dupl 5

7 Módulos 14/15 Inequções de 1 o e 2 o grus Proprieddes ds desigulddes P 1 : > b e b > c > c P 2 : > b + c > b + c Consequênci: + b > c + b b > c b > c b c > b c se c > P 3 : > b e c c < b c se c < 3. Inequção do 2o gru 2 + b + c > 2 + b + c com 2 + b + c < 2 + b + c 2. Inequção do 1o gru + b > + b + b < com + b A resolução d inequção do 2 o gru é feit com o uílio d função do 2 o gru. Associmos epressão do 2 o gru à função do 2 o gru, estudmos su vrição de sinis e, posteriormente, selecionmos os vlores d vriável que tornm sentenç verddeir. Esses vlores determinm o conjunto solução d inequção. PV2D-9-22 A resolução de um inequção do 1 o gru é feit com o mesmo procedimento mtemático de resolução d equção do 1 o gru, respeitndo-se s proprieddes ds desigulddes. Módulo 16 Inequções: produto e quociente (I) Apresentção > f() g() < e f() g() > < 2. Resolução ) Anlisr vrição de sinis de cd um ds fun- ções. b) Determinr vrição de sinis d operção indi- cd. c) Selecionr os vlores d vriável que tornm sen- tenç verddeir e presentr solução. Enem e Vestibulr Dose Dupl 6

8 Módulo 17 Inequções: produto e quociente (II) > f( ) g ( ) e < Módulo 18 Função compost ( ) ( ) f f g > < Conceito Vmos considerr um função f definid de um conjunto A pr um conjunto B, de tl mneir que todo elemento de B sej imgem de, pelo menos, um elemento de A. Consideremos, tmbém, um função g definid desse conjunto B pr um conjunto C. Assim, podemos tomr um elemento do conjunto A que, pel sentenç f, determin um imgem f() no conjunto B. Est imgem f(), pelo uso d sentenç g, pode determinr no conjunto C um imgem g[f()]. A sentenç resultnte dess substituição de f() n sentenç g será chmd de função compost de f com g. 2. Notção A composição g[f()] poderá ser representd por (gof)(), ou gof(), ou, ind, simplesmente, gof, que será lido g bol f. A f gof f () B f g f() g[f()] g g[f()] C Módulo 19 Tipos de função Função injetor Um função f definid do conjunto A no conjunto B é considerd injetor se elementos distintos de A presentrem imgens distints em B, ou sej, nenhum elemento de B será imgem de mis de um elemento de A. f : A B é injetor 1 2 f( 1 ) f( 2 ) 2. Função sobrejetor Um função f definid do conjunto A no conjunto B é considerd sobrejetor se cd um dos elementos de B for imgem de, pelo menos, um elemento de A, ou sej, se o contrdomínio de f for igul o conjunto imgem. f : A B é sobrejetor Im(f) = B 3. Função bijetor Um função f definid do conjunto A no conjunto B é considerd bijetor se, e somente se, el presentr crcterístics de função injetor e função sobrejetor. Enem e Vestibulr Dose Dupl 7

9 Módulo 2 Função invers Conceito Dd função f, necessrimente bijetor, definid de A em B, su invers, de notção f 1, é função definid de B em A, de tl modo que se (; ) f, então (; ) f 1. f f 1 3. Proprieddes P1 : (f 1 ) 1 = f P2 : Se f [g()] =, então g = f 1 P3 : Os gráficos de um função f e su invers f 1 são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, ou sej, ret de equção =. f = A = D(f) = CD(f 1 ) = Im(f 1 ) B = D(f 1 ) = CD(f) = Im(f) 2. Determinção A determinção d sentenç que define invers d função f é feit em dus etps: 1) Epressr em função de. 2) Permutr, pr efeito de notção, com, substituindo por 1 ou por f 1. f 1 Módulo 21 Função modulr Interpretção geométric de módulo de um número rel Todo número rel pode ser ssocido um ponto pertencente um eio orientdo, de origem O, denomindo eio rel Função modulr Sentenç: f() = Gráfico: semirrets bissetrizes do 1o e do 2 o qudrnte Domínio e contrdomínio: D = e CD = Conjunto Imgem: + (reis não negtivos) 4. Resumo gráfico Definimos módulo de um número rel como distânci entre o ponto que o represent no eio rel e origem desse eio. Sendo módulo um distânci, é fácil concluir que presentrá sempre um vlor mior ou igul zero. A representção do módulo do número rel é dd. f() 2. Definição de módulo de um número rel, se = se, < Enem e Vestibulr Dose Dupl 8

10 Módulo 22 Equção modulr Introdução Pr resolução ds equções modulres, lém d definição de módulo e de su interpretção geométric, é importnte observrmos s proprieddes decorrentes d definição de módulo. 2. Proprieddes dos módulos Sendo e números reis e um número rel e não negtivo, temos: P1 : pr rel e = = P P2 : = = ou = 5 : : = :, com P6 : 2n 2 n =, pr n * P3 : = = ou = P P4 : = 7 : < < < P : > < ou > Módulo 23 Inequção modulr 8 Introdução Pr resolução ds inequções modulres, ssim como ocorreu com s equções modulres, lém d definição de módulo e de su interpretção geométric, são importntes s proprieddes dos módulos, em especil dus dels, que recordremos seguir. 2. Proprieddes dos módulos P7 : < < < P : > < ou > 8 Módulo 24 Equção eponencil E1( ) E2( ) E1 E2 E1( ) = be2( ) Logritmo = ( ) = ( ) Pr s bses positivs, distints e diferentes de 1 Módulo 25 Função eponencil Apresentção Sentenç: f() =, com > e Domínio e contrdomínio: D = e CD =. Conjunto imgem: * + (reis positivos). 2. Resumo gráfico > 1 < < 1 1 crescente 1 decrescente Módulo 26 Inequção eponencil E1( ) E2( ) E1 E2 > 1 E1( ) E2( ) E1 E2 > ( ) > ( ) < ( ) < ( ) Pr, > e E ( ) E ( ) E1 E2 < < 1 E1( ) E2( ) E1 E2 > ( ) < ( ) < ( ) > ( ) Enem e Vestibulr Dose Dupl 9

11 Módulo 27 Logritmos: definição Definição e nomencltur 2. Decorrêncis d definição N logritmndo log N = = N bse logritmo log 1 = log n = n log log = 1 N = N Módulo 28 Logritmos: condições de eistênci Condições de eistênci N > log N = = N > 1 2. Logritmo neperino dn = log e, sendo e = 2, O número e é irrcionl. Ele é dito número de Euler. A notção do logritmo neperino de pode ser dn. Módulo 29 Logritmos: proprieddes Grntids s condições de eistênci dos logritmos, tem-se: P1 : log (N M) = log N + log M P2 : log N M = log N log M P3 : log Bn = n log B n P4 : log B = 1 log n B P5 : log nb = n 1 log B Módulo 3 Logritmos: equções logrítmics Equção logrítmic Grntids s condições de eistênci dos logritmos, tem-se: log E() = E() = log E 1 () = Log E 2 () E 1 () = E 2 () 2. Cologritmo colog N = log N = log 1 N 3. Antilogritmo ntilog = N log N = Módulo 31 Logritmos: mudnç de bse Grntids s condições de eistênci dos logritmos, tem-se: log logc N N = log c Consequêncis d mudnç de bse: log 1 N = log log log N = log N N c c Enem e Vestibulr Dose Dupl 1

12 Módulo 32 Logritmos: função logrítmic Apresentção Sentenç: f() = log, com > e 1 Domínio: D = * + Contrdomínio e conjunto imgem: CD = e Im = 2. Resumo gráfico > 1 < < crescente decrescente Módulo 33 Logritmos: inequção logrítmic Grntids s condições de eistênci dos logritmos, tem-se: log E1( ) > log E2( ) E1( ) > E2( ) log E1( ) > log E2( ) E1( ) < E2( ) > 1 < < 1 log E1( ) < log E2( ) E1( ) < E2( ) log E1( ) < log E2( ) E1( ) > E2( ) Pr, > e 1 Módulo 34 Progressão ritmétic: definição e termo gerl Definição n = n 1 + r, sendo n * e r rzão d PA 2. Clssificção r > : progressão ritmétic crescente r < : progressão ritmétic decrescente r = : progressão ritmétic constnte 3. Termo gerl n = 1 + (n 1) r, com n * 4. Artifícios PA com três termos: ( r,, + r) rzão: r PA com qutro termos: ( 3r, r, + r, + 3r) rzão: 2r PA com cinco termos: ( 2r, r,, + r, + 2r) rzão: r 5. Propriedde Sejm, b e c três termos consecutivos de um PA. Temse que: c b = + (O termo médio é médi ritmétic dos 2 outros dois termos.) Módulo 35 Progressão ritmétic: som dos termos Termos equidistntes dos etremos Considere-se PA: 1, 2, 3,... p,... q,... n 2, n 1, n. Os termos p e q serão ditos equidistntes dos etremos se, e somente se, p + q = n + A som de dois termos equidistntes dos etremos é igul à som desses etremos. p + q = n + 1 p + q = n Som dos n primeiros termos d PA Sej S n notção que represent som dos n primeiros termos de um progressão ritmétic. Assim: ( + n) n 1 Sn = 2 Enem e Vestibulr Dose Dupl 11

13 Módulo 36 Progressão geométric: definição e termo gerl Definição n = n 1 q, sendo n * e r rzão d PG. 2. Clssificção 1 > e q > 1 ou 1 < e < q < 1: progressão geométric crescente. 1 > e < q < 1 ou 1 < e q > 1: progressão geométric decrescente. q = 1: progressão geométric constnte q < : progressão geométric lternnte = ou q = : progressão geométric singulr 1 3. Termo gerl n = 1 qn 1, com n *. 4. Artifícios PG com três termos: q ; ; q rzão: q PG com qutro termos: ; ; q3 q q ; q 3 rzão: q2 PG com cinco termos: ; ; q q ; 2 q ; q 2 rzão: q 5. Propriedde Sejm, b e c três termos consecutivos de um PG. Tem-se que: b = c b2 = c (O termo médio é médi geométric dos outros dois termos.) Módulo 37 Progressão geométric: som dos termos Sej S n notção que represent som dos n primeiros termos de um progressão geométric. Assim: S n = ( ) qn q ( ), pr q 1 S n = 1 n, pr q = 1 Módulo 38 Progressão geométric convergente Condição 2. Limite d som dos infinitos termos 1 < q < 1, ou sej, q < 1 S = 1 1 q Módulo 39 Números compleos: presentção Form lgébric z = + bi, com e b 3. Adição e subtrção de números compleos n form lgébric ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i ( + bi) (c + di) = ( c) + (b d)i é prte rel = Re(z). bi é prte imginári. b é o coeficiente d prte imginári b = Im(z). i é unidde imginári i 2 = b = z é um número rel. = e b z é um número imginário puro. 2. Iguldde de números compleos n form lgébric 4. Multiplicção de números compleos n form lgébric ( + bi) (c + di) = (c bd) + (d + bc)i 5. Número compleo conjugdo z = + bi z bi + bi = c + di = c e b = d Enem e Vestibulr Dose Dupl 12

14 Módulo 4 Números compleos: divisão Divisão de números compleos n form lgébric ( + bi) bi c di bi c di ( c+ di) = ( + ) ( ) ( c+ di) ( c di) = ( + ) ( ) c2 + d2 2. Potêncis, de epoente nturl, d unidde imginári i = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i n = i r, sendo r o resto d divisão do número nturl n por 4. Módulo 41 Números compleos: form trigonométric Plno compleo Plno de Argnd-Guss Im(z) P (, b) b = z = rg(z) Re(z) 2. Proprieddes dos módulos 1ª) z = z 2ª) z w = z w 3ª) z n = z n 4ª) z w z =, pr w w r = z = 2 + b2 (módulo de z) cos q = q = b e sen r r (q rgumento de z, q < 2p) P fio de z 3. Número compleo n form trigonométric z = r (cos q + i sen q) Módulo 42 Números compleos: operções n form trigonométric Multiplicção e divisão z 1 = r 1 (cos q 1 + i sen q 1 ) e z 2 = r 2 (cos q 2 + i sen q 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(q 1 + q 2 ) + i sen(q 1 + q 2 )] 2. Potencição z = r (cos q + i sen q) z n = r n [cos(n q) + i sen(n q)] z z 1 1 = r 2 r [cos(q 1 q 2 ) + i sen(q 1 q 2 )] 2 Enem e Vestibulr Dose Dupl 13

15 Módulo 43 Polinômios: introdução Apresentção titui, no polinômio, vriável por e efetum-se s operções indicds. P() = n + 1 n n n 1 + n, 1, 2,..., n 1 e n constntes não nuls (coeficientes) um número qulquer rel ou não rel (vriável) n, n 1, n 2,..., 1, epoentes d vriável (números nturis) n, 1 n 1, 2 n 2,..., n 1, n termos do polinômio (monômios) 2. Gru do polinômio Gru do monômio de mior gru. O gru do monômio é igul o epoente d vriável. 3. Vlor numérico do polinômio Ddo o polinômio P(), o seu vlor numérico pr =, - 4. Polinômio nulo Um polinômio é dito identicmente nulo, ou simplesmente nulo, qundo present vlor numérico zero pr qulquer vlor tribuído à vriável. Não se define gru pr polinômio nulo. 5. Riz do polinômio Vlor d vriável pr o qul o vlor numérico do polinômio é zero. 6. Polinômios idênticos Dois polinômios são ditos idênticos qundo presentm o mesmo vlor numérico pr qulquer que sej o vlor tribuído à vriável. Módulo 44 Polinômios: divisão Divisão de polinômios 3. Teorem do resto P ( ) D ( ) R ( ) Q ( ) P ( ) = D ( ) Q ( ) + R ( ) GP = GD + GQ R( ) ougr < GD P() ( ) R = P() 4. Teorem de D Alembert 2. Divisão por ( ) Dispositivo prático de Briot-Ruffini A divisão de um polinômio P() pelo binômio do 1º gru ( ) é efetud de um form mis simples usndo-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini. P() é divisível por ( ) P() = Módulo 45 Polinômios: critérios de divisibilidde 1o critério 2. 2o critério P() é divisível por ( ) P() =. P() é divisível por ( ) ( b) P() = e P(b) =. 3. 3o critério P() será divisível por ( ) 2 se, e somente se, P() for divisível por ( ) e o quociente dess divisão for, tmbém, divisível por ( ). Critério gerl P() será divisível por D() se, e somente se, s rízes de D() forem tmbém rízes de P(). Enem e Vestibulr Dose Dupl 14

16 Módulo 46 Equções lgébrics: introdução Apresentção Equção lgébric, ou equção polinomil, é um polinômio iguldo zero. P() = n + 1 n n n 1 + n = 2. Riz ou solução É o vlor d vriável que nul o polinômio. Resolver um equção polinomil é obter tods s sus rízes e presentá-ls reunids num conjunto que pode ser chmdo de conjunto solução ou conjunto verdde. 3. Multiplicidde de um riz Em lgums equções polinomiis, um mesmo número é riz váris vezes. Nesses csos, esse número é dito riz múltipl. Multiplicidde de um riz é o número de vezes que um mesmo número é riz d equção. Qundo o número é riz um únic vez, ele é dito riz simples d equção. Módulo 47 Equções lgébrics: teorem fundmentl d álgebr e teorem d decomposição Teorem fundmentl d álgebr Tod equção lgébric de gru n, n *, dmite pelo menos um riz, rel ou não rel. Consequênci Tod equção lgébric de gru n, n *, dmite etmente n rízes (reis ou não reis múltipls ou distints). 2. Teorem d decomposição Todo polinômio P() = n + 1 n n n 1 + n presentdo n form P() = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )... ( n 1, 2, 3,... n são s rízes d equção P() =. 3. Observção Ddo o polinômio P() = n + 1 n n n 1 + n será um de sus rízes. Módulo 48 Equções lgébrics: relções de Girrd = 1 = = = = = = = = 2 Enem e Vestibulr Dose Dupl 15

17 Módulo 49 Equções lgébrics: teorem ds rízes comples não reis Sej equção lgébric n + 1 n n n n =, de coeficientes reis. Se o número compleo, não rel, z = + bi for um riz dess equção, então o seu conjugdo, z = bi, tmbém será riz d equção. Consequênci Num equção lgébric, de coeficientes reis e gru ímpr, pelo menos um de sus rízes é rel. Módulo 5 Equções lgébrics: pesquis de rízes rcionis Dd equção n + 1 n n n 1 + n =, de coeficientes inteiros, cso el dmit rízes rcionis, esss serão d form p q, sendo p divisor de n e q divisor de. Módulo 51 Mtrizes: conceitos e operções Definição Mtriz é um tbel de números distribuídos de mneir orgnizd em linhs e coluns. 2. Apresentção n n A = m1 m2 mn 3. Tipos de mtrizes Mtriz linh Mtriz colun Mtriz nul Mtriz qudrd Mtriz digonl Mtriz identidde n n ou A = 2 m1 m2 mn Mtriz trnspost Mtriz opost Mtriz simétric Mtriz ntissimétric 4. Operções com mtrizes Iguldde de mtrizes Adição e subtrção de mtrizes Multiplicção de um mtriz por um constnte Mutiplicção de mtrizes 5. Proprieddes P 1 : (A B) C = A (B C) P 2 : A (B + C) = A B + A C P 3 : (B + C) A = B A + C A P 4 : A I = I A = A P 5 : A = A = P 6 : ( A) B = A ( B) = (A B) P 7 : (A B) t = B t A t Módulo 52 Definição e cálculo de determinntes de mtrizes de ordens 1, 2 e 3 Definição Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd, clculdo com uílio d tbel que represent mtriz. 2. Apresentção n n A = n1 n2 nn nn n n det A = n1 n2 nn 3. Cálculo Mtriz qudrd de ordem 1 Mtriz qudrd de ordem 2 Mtriz qudrd de ordem 3 regr de Srrus Enem e Vestibulr Dose Dupl 16

18 Módulo 53 Determinntes: teorems de Lplce e Jcobi Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz qudrd de ordem n é ddo pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer, linh ou colun, pelos seus respectivos coftores. 2. Teorem de Jcobi O determinnte de um mtriz qudrd de ordem n não se lter qundo um de sus fils som-se um outr fil, prlel à primeir, previmente multiplicd por um constnte. Módulo 54 Determinntes: proprieddes, regr de Chió e teorem de Binet Proprieddes O determinnte é nulo qundo mtriz present: P1 : um fil nul; P2 : dus fils prlels iguis; P3 : dus fils prlels proporcionis; P4 : o determinnte de um mtriz é igul o determinnte de su trnspost (det A = det At ); P5 : o determinnte de um mtriz troc de sinl qundo se permut posição de dus de sus fils prlels quisquer; P6 : o determinnte de um mtriz fic multiplicdo pel constnte qundo se multiplic um únic ds fils d mtriz pel constnte ; Consequênci: det( A) = n det A, sendo n ordem d mtriz A; P : composição ou decomposição de determinntes; d 1 + d 2 b + 2 e = 2 b+ e 3 c z 3 f z 3 c+ f z ; P8 : o determinnte de um mtriz qudrd que present todos os elementos de um mesmo ldo d digonl principl iguis zero, mtriz tringulr, é igul o produto dos elementos dess digonl principl. 2. Teorem de Binet Pr s mtrizes qudrds A e B, de mesm ordem, tem-se: det(a B) = det A det B 3. Determinnte de Vndermonde b c d b c d b c d = ( b )( c )( c b)( d )( d b)( d c) 4. Regr de Chió Dd um mtriz qudrd de ordem n, regr de Chió present um outr mtriz qudrd, de ordem (n 1), com o mesmo determinnte d primeir. Enem e Vestibulr Dose Dupl 17

19 Módulo 55 Mtriz invers Definição Dd mtriz A, qudrd e de ordem n, su invers, de mesm ordem e com notção A 1, é mtriz tl que A A 1 = A 1 A = I. 2. Eistênci Dd mtriz A, qudrd e de ordem n, temos: det A = E A 1. Nesse cso, mtriz A é dit mtriz singulr. det A $ A 1. Nesse cso, mtriz A é dit mtriz não singulr. 3. Determinção Dd mtriz A, qudrd e de ordem n, com det A, temos: 4. Proprieddes A 1 1 ( ) = t t 1 2 ( ) = ( ) P : A 1 A P : A 1 A 1 1 = det A AdjA P : A B B A P 3 4 ( ) = :det A = deta 5. Observção Dd mtriz A, qudrd e de ordem n, e su invers, representd por B, temos: b ij 1 = A cof ( ji) det Módulo 56 Sistems lineres: regr de Crmer Apresentção Equção liner: equção n qul s incógnits presentm epoente igul Sistem liner: é um conjunto de m (m 1) equções lineres com n incógnits. Solução de um sistem liner: conjunto ordendo que é solução de tods s equções desse sistem, simultnemente. 2. Clssificção 3. Sistem norml Chm-se sistem norml quele que dmite n (n 1) equções e n incógnits, cujo determinnte D é diferente de zero. O determinnte D é formdo pelos coeficientes ds incógnits que devem ser colocds n mesm ordem em tods s equções. O sistem norml é sempre possível e determindo. determindo um únic solução possível Sistem liner indetermindo infinits soluções impossível não dmite solução 4. Regr de Crmer Com o uso d regr de Crmer, incógnit é determind por = D D, sendo D o determinnte D qundo se substituem os coeficientes d incógnit pelos termos independentes ds equções. O uso d regr de Crmer só é possível n resolução do sistem chmdo norml. Módulo 57 Sistems lineres: método do esclonmento Apresentção Um sistem liner é dito esclondo qundo, de um equção pr outr, diminui o número de incógnits. 2. Procedimento pr o esclonmento de um sistem liner Um sistem liner não tem lterção no seu conjunto solução qundo: troc-se ordem de sus equções; multiplicm-se ou dividem-se os coeficientes de um de sus equções por um constnte não nul; som-se um de sus equções um outr equção, previmente multiplicd por um constnte. Enem e Vestibulr Dose Dupl 18

20 Módulo 58 Sistems lineres: clssificção, discussão e sistem liner homogêneo Clssificção Se o determinnte D for diferente de zero, num sistem liner com o número de equções igul o número de incógnits, o sistem é possível e determindo (sistem norml). Cso o determinnte D sej igul zero ou o número de equções sej diferente do número de incógnits, devese esclonr o sistem e, então, ele será: possível e indetermindo, se o número de incógnits pssr ser mior que o número de equções; impossível, se presentr um sentenç fls. 2. Sistem liner homogêneo (SLH) Sistem liner homogêneo é quele em que o termo independente de tods s equções é igul zero. Propriedde do SLH Todo sistem liner homogêneo é possível, pois n-ênupl (,,,..., ) é sempre solução. El é chmd tmbém de solução trivil ou imprópri do sistem. Qundo o SLH é indetermindo, lém d solução trivil, ele dmite outrs infinits soluções que são s chmds soluções própris do sistem. Enem e Vestibulr Dose Dupl 19