QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2

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1 PROV ELBORD PR SER PLICD ÀS TURMS DO O NO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO NCHIET-B EM MIO DE. ELBORÇÃO: PROFESSORES OCTMR MRQUES E DRINO CRIBÉ. PROFESSOR MRI NTÔNI C. GOUVEI QUESTÃO. O ldo x do retângulo que se vê n figur, excede em cm o ldo y. O vlor de y, em centímetros é igul : ) ),5 ) ),5 5) Como o segmento DE, é o ldo do retângulo oposto o ldo B do triângulo BC, então os triângulos BC e CM CH DEC são semelhntes e vle relção:. Sendo DE B x = y + (ddo d questão), tem-se o sistem: x y x y - y 7y - y - y y 5. x y x y 6-5y Respost: lterntiv. QUESTÃO. Um pequeno terreno tem form de um trpézio isósceles (figur o ldo) e deve ser dividido em dus prtes por meio do segmento MN que mede m, sendo M o ponto médio de DC cuj medid é igul m. áre do trpézio NMD excede em 8m áre do trpézio NBCM. Sbendo que N = x e NB = x, clcule o vlor de x. ) ) ) ) 5)

2 N figur tem-se: CD // B e HM um segmento trnsversl esss prlels. Pelo teorem de Tles, se M é o ponto médio de DC, então H é o ponto médio de B. ssim pode-se concluir que: H = x, HN = x pois NB = x (ddo d questão). Do triângulo retângulo MHN: h = 6 x. x h x h D questão tem-se: 8 s dus relções determinm o sistem: h 6 x h 6 x x h x h 8 h 6 x xh 8 8 h x 6 6 x x xh 5h xh 5h 6 6x x 6x 8 x x 8 6 x 8 x Respost: lterntiv. QUESTÃO. Quntos números pres, formdos por lgrismos distintos, existem entre 5 e? ) ) ) 5 ) 6 5) 8. I) Inicilmente determine-se quntidde de números pres, escritos com lgrismos diferentes, existentes entre 5 e : ordem ds centens somente poderá ser preenchid com os lgrismos 5, 6, 7, 8 ou. ) Ordem ds uniddes preenchid com os lgrismos, ou. C D U 5 possibiliddes ( escolhido o 6, por exemplo) Totl: 58 =. Restm 8 possibiliddes b) Ordem ds uniddes preenchid com os lgrismos 6 ou 8. possibiliddes (escolhido o, por exemplo) C D U possibiliddes ( escolhido o 5, por exemplo) Restm 8 possibiliddes possibiliddes (escolhido o 6, por exemplo) Totl: 8 = 6.

3 II) Determine-se quntidde de números pres, escritos com lgrismos diferentes, existentes entre e. ) ordem d unidde de milhr somente pode ser preenchid com o lgrismo e ds uniddes simples com os lgrismos, 6 ou 8: U C D U possibilidde (o lgrismo ) Totl: = 8. 8 possibiliddes (escolhido o 6, por exemplo) Restm 7 possibiliddes o todo são então, ( ) = 6 números pres entre 5 e. Respost: lterntiv 5 possibiliddes (escolhido o, por exemplo) QUESTÃO. Um hexágono regulr está inscrito num círculo de rio 6cm (figur o ldo). Clcule áre d região hchurd. ) 6( 6) ) 6( ) ) ( ) ) 6( ) 5) ( ) Pel figur o ldo, pode-se concluir que o qudrilátero BCD é um losngo formdo por dois triângulos equiláteros de ldo 6cm. Então áre d superfície hchurd é igul à diferenç entre áre do losngo e do setor de 6 o : R S = l 8 6 6( ). 6 Respost: lterntiv QUESTÃO 5. (MCK-SP) Se colocrmos em ordem crescente todos os números de 5 lgrismos distintos, obtidos com,,, 6 e 7, posição do número 67 será: ) 76 o ) 78 o ) 8 o ) 8 o 5) 8 o ) quntidde totl de todos os números de 5 lgrismos distintos obtidos com,,, 6 e 7, e com ordem ds dezens de milhr preenchid com os lgrismos, ou : DM UM C D U possibiliddes (escolhido o, por exemplo) possibiliddes (escolhido o, por exemplo) Totl: = 7. possibiliddes (escolhido o, por exemplo) possibiliddes (escolhido o, por exemplo) Rest possibilidde

4 b) quntidde totl de todos os números de 5 lgrismos distintos obtidos com,,, 6 e 7, e com ordem ds dezens de milhr preenchid com o lgrismo 6: DM UM C D U possibilidde (lgrismo 6) possibilidde (lgrismo ) possibilidde (lgrismo ) possibiliddes (lgrismo ou 7) Rest possibilidde Totl: =. DM UM C D U possibilidde (lgrismo 6) possibilidde (lgrismo ) possibilidde (lgrismo ) possibiliddes (lgrismo ) Rest possibilidde, o lgrismo 7 Totl: =. DM UM C D U possibilidde possibilidde possibiliddes (lgrismo ) (lgrismo ) (lgrismo 7) possibilidde (lgrismo 6) Rest possibilidde, o lgrismo Totl: =. Conclusão: posição ocupd pelo número 67 é de ordem número ( ) = 76. Respost: lterntiv. QUESTÃO 6. O gráfico o ldo, represent um polinômio p(x) do o gru que, dividido por x tem resto. Clcule p(5). ) 6 ) 8 ) ) 5) Pel nálise do gráfico se conclui que p(x) tem como rízes e e que o coeficiente do termo em x é negtivo. Logo, p(x) = (x + ) (x ), com <. Como o resto d divisão de p(x) por x é : 8 p p(x) (x )(x ) p(5) QUESTÃO 7. Respost: lterntiv Qutro rpzes e três moçs vão o cinem e desejm sentr-se, os sete, ldo ldo, n mesm fil. O número de mneirs pels quis eles podem distribuir-se nos ssentos de modo que s três moçs fiquem junts, um o ldo d outr, é igul ) ) ) 8 ) 576 5) 7

5 M M M R R R R M J R R R R N linh, s moçs podem formr o grupo M J de P, mneirs diferentes. N linh considere-se tods s permutções possíveis formds por 5 elementos (os qutro rpzes mis o grupo M J constituído pels moçs): P 5,5. O número de mneirs pels quis s 7 pessos podem ocupr os ssentos, de modo que s três moçs fiquem sempre um o ldo d outr, é igul então, o produto: P, P 5,5 =! 5! = 5 = 7. Respost: lterntiv 5. QUESTÃO 8. Um ds rízes s equção x + px + q = é igul i. O vlor de q é: ) 8 ) ) ) 5 5) Se i é riz d equção x + x + px + q =, então + i tmbém o é. Denominemos terceir riz, que é um número rel, como. Pels relções de Girrd: I) i + + i + = = ; II) ( i)( + i)( ) = q q = q =. QUESTÃO. Respost: lterntiv 5. (Fculdde Ruy Brbos) Num determindo sorteio, o número n sortedo tinh qutro lgrismos distintos e não nulos (x, y, z e w). pesso que possuísse o número sortedo só poderi receber o prêmio, que er em dólr, se soubesse clculr o vlor desse prêmio. Sbendo que: I. o vlor do prêmio er igul à som de todos os números de lgrismos que se obtém permutndo-se os lgrismos de n (x, y, z e w) ; II. S = x + y + z + w (Som dos lgrismos de n). Então, o vlor do prêmio em função de S é igul : ) S ) S ) S ) 666S 5) 6666S quntidde de números escritos com qutro lgrismos distintos e não nulos é:! = =. Escrevendo-se o lgoritmo d dição com esss prcels distints pode-se consttr que n colun ds uniddes de milhr dição (x + y + z + w) prece ( : ) = 6 vezes. O mesmo contece n colun d ordem ds centens, n ds dezens e n ds uniddes. Dess form pode-se concluir que som dos números é igul : 6(x + y + z + w) + 6(x + y + z + w) + 6(x + y + z + w) + 6(x + y + z + w) = 6666S. Respost: lterntiv 5 5

6 QUESTÃO. O produto de dus ds rízes d equção x x + px + 5 = é igul 5. Esss dus rízes são iguis às d equção: ) x + 5x + 5 = ) x x + 5 = ) x + x + 6 = ) x x + 7 = 5) x x + 5 = Representndo s rízes como, b e c, e plicndo s relções de Girrd: I) + b + c = e bc = 5; considerndo bc = 5, tem-se = b + c =. Sendo bc = 5 e b+ c = que um ds equções do segundo gru que tem b e c como rízes é x x + 5 =. QUESTÃO. Respost:lterntiv 5. Quntos números de 5 lgrismos podemos formr tis que o produto dos lgrismos sej igul 5? ) ) ) ) 5) 5 São os seguintes os produtos de cinco inteiros positivos menores que cujo resultdo é sempre 5: () 5 ; (b) 5. Então, quntidde totl de todos os números de 5 lgrismos que podem ser formdos, tis que o produto dos seus lgrismos sej 5, é igul à som d quntidde de todos os números de 5 lgrismos, que podem ser formdos com os lgrismos,,, 5 e, com quntidde dos que podem ser formdos com os lgrismos,,, e 5, ou sej: 5! 5! N = 5.!!! Respost: lterntiv 5. QUESTÃO. Sej = ( ij ) um mtriz tl que Clcule det. ij i j, se i j i j, se i j ij, se i j ) 6 ) 5 ) ) 5) 5 det Respost: lterntiv. 6

7 QUESTÃO. O número de píses representdos nos Jogos Pn-mericnos relizdos no Rio de Jneiro foi, sendo 8 píses d méric Centrl, d méric do Norte, d méric do Sul e do Cribe. Com bse nesss informções, julgue s firmtivs que se seguem. I) Há, no máximo, mneirs distints de se constituir um comitê com representntes de 7 píses diferentes prticipntes dos Jogos Pn-mericnos, sendo d méric do Sul, d méric Centrl e do Cribe. II) Considerndo-se pens os píses d méric do Norte e d méric Centrl prticipntes dos Jogos Pn-mericnos, quntidde de comitês de 5 píses que poderim ser constituídos contendo pelo menos píses d méric Centrl é inferior 8. III) Considerndo-se que, no judô, hvi extmente tlet de cd pís d méric do Sul prticipnte dos Jogos Pn-mericnos, então o número de possibiliddes distints de dois tlets desse continente competirem entre si é igul 66. Podemos firmr que: ) pens firmtiv I é verddeir. ) pens firmtiv II é verddeir. ) pens firmtiv III é verddeir. ) pens um firmtiv é fls. 5) tods s firmtivs são flss. I) N formção ds equipes desse item, ordem dos elementos não é importnte, ms pens nturez dos elementos, portnto n = C, C8, C, FLS II) C 8,5 C8, C, C8, C, FLS. III) C, 66. VERDDEIR. Respost: lterntiv QUESTÃO. Clcule o elemento d invers d mtriz simétric B x y z ) ) ) ) 5) 7

8 8 Sendo simétric mtriz z y x B, então x =, y = e z =. Sendo B e h g e d c b. B -, tem-se: h g e d c b. B.B - Respost: lterntiv. QUESTÃO 5. N equção mtricil t I s mtrizes,, I são d mesm ordem. Sendo simétric, determine. ) = ) = ) = ) = 5 5). = 7 Sendo um mtriz simétric, então = t, logo: I t I Respost: lterntiv. QUESTÃO 6. Dds s mtrizes B e, determine mtriz, solução d equção mtricil = B + B.

9 = B + B B = B ( B) = B Multiplicndo (à esquerd) os dois membros dess equção pel mtriz, tem-se:. Respost:.

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