FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

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1 FUNÇÕES DATA //9 //9 4//9 5//9 6//9 9//9 //9 //9 //9 //9 6//9 7//9 8//9 9//9 //9 5//9 6//9 7//9 IBOVESPA (fechmento)

2 DEFINIÇÃO Um grndez y é um função de um outr grndez se cd vlor de estiver ssocido um único vlor de y. Escrevemos: y= f() Neste cso: y é o vlor d função ou vriável dependente; é o rgumento ou vriável independente; f é o nome d função. O domínio de um função é o conjunto de vlores d vriável independente e imgem é o conjunto correspondente de vlores d vriável dependente. FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO Tbels Gráficos A B B Fórmuls A= B A

3 FUNÇÕES LINEARES Resistor idel 4 I 4 5 V B Vb I V B = f( I) = +. I FUNÇÕES LINEARES Um função liner tem form: y = f( ) = b+ m Seu gráfico é um ret onde m é inclinção, ou t de vrição de y em relção ; b é interseção verticl, ou o vlor de y qundo é zero. Pode-se clculr m d seguinte form: m= f( ) f( )

4 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Escl musicl Not F (Hz) A (ref) 44, A# 466,6 B 49,88 C 5,5 C# 554,7 D 587, D# 6,5 E 659,6 F 698,46 F# 79,99 G 78,99 G# 8,6 A (8v) 88, A# 466,6 = =,595 A 44 B 49,88 = =,595 A# 466,6 C 5,5 = =,595 B 49,88... A # = A.,595= A(,595) B = A#.,595= A(,595) C = B.,595= A(,595)... n n = f( n) = 44., F = Onde n é o número de semi-tons de distânci que not está do A de referênci FUNÇÕES EXPONENCIAIS Escl musicl 4 n n = f( n) = 44., F = 5 5 Hz Número de semi-tons cim do A de referênci 4

5 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Decimento do Pu-8 Anos Quntidde reltiv de Pu-8 % 5% 5%,5% 6,5% Q= f( t) = Q t 88 Quntidde reltiv de Pu t (tempo em nos) FUNÇÕES EXPONENCIAIS y é um função eponencil de com bse (> e ) se: y= f( ) = y onde y é quntidde inicil (qundo = ) e é o ftor pelo qul y vri qundo cresce em unidde. > signific crescimento eponencil; << signific decimento eponencil. Form lterntiv: y = y = y + r) ( r > represent crescimento - < r < represent decimento 5

6 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Definições e regrs = = = = = = t. t = = t + t t. t ( ) = FUNÇÕES EXPONENCIAIS Grficos pr diferentes vlores de =,5 = = = 5 = =,95 =,9 =,8 =,5 =,

7 POTÊNCIAS Em gerl um (função) potênci tem form: y = f( ) = onde k e p são constntes quisquer. Eemplos áre (A) de um qudrdo de ldo l: Volume (V) de um esfer de rio r: V p k ( l) l A = f = = f 4 ( r) = π. r POTÊNCIAS Potêncis inteirs e positivs: y =, y =, y =,... Potêncis ímpres Potêncis pres

8 5 POTÊNCIAS Potêncis zero, inteirs negtivs e frcionáris positivs y= = e y = = Potêncis zero e inteirs negtivs / /.5 y = = e y = = Potêncis frcionáris positivs (/) (/) (/) (/) POTÊNCIAS O efeito dos coeficientes Comprção entre um função eponencil e um potênci

9 FUNÇÕES INVERSAS Resistor idel V R f(v R ) = I R I = f ( ) R V R que é equivlente I R f - (I R ) = V R V = f ( ) R I R Pr funções que presentm invers: signific f ( ) = y f ( y) = FUNÇÕES INVERSAS Condição necessári pr um função ter invers 5 y= f ( ) = 5 Est função não present invers Um função dmite invers se, e somente se, seu gráfico cort qulquer ret horizontl no máimo um vez. 9

10 LOGARITMOS Populção de Curitib Populção tul é de,85 milhões; T de crescimento de % o no; Qundo Curitib terá,5 milhões de hbitntes? P= P P= P P= P P= P (,) =,85. (,),6 (,) =,85. (,), (,) =,85. (,), (,) =,85. (,), 54 P =,85 P(, ) t P= f t) = P=,5 ( Dqui pouco mis de 5 nos. LOGARITMOS A função logritmo, log, é definid como sendo invers d função eponencil. Dizemos que: log = c signific c = Chmmos o de bse do logritmo. Bses comuns: (log ou log()), e (log e ou ln()), (log ) O logritmo não está definido pr ; log em outrs plvrs: O logritmo de n bse é potênci de que se precis pr obter. Regrs: ( AB) log = loga+ logb ( p loga ) = ploga A log = loga logb log ( ) = B log == log

11 LOGARITMOS Logritmos e eponenciis Logritmos e potêncis 8 log.5 / log() 6 log O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL Juros compostos % de juros o no com cpitlizção nul: M = C.( +,) = C.(,) pós um no; M = C.( +,) = C.(,) pós dois nos; M = C.( +,) t = C.(,) t pós t nos. % de juros o no com cpitlizção trimestrl: M = C.( +,/4) 4 = C.(,) 4 M = C.( +,/4) 8 = C.(,) 8 M = C.( +,/4) 4t = C.(,) t pós um no; pós dois nos; pós t nos. (,) 4,55 >,

12 O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL Juros compostos E se freqüênci de cpitlizção for ind mior? vezes por no: ( +,/),74574 vezes por no: ( +,/), vezes por no: ( +,/),74964 E o número e? n Pr um número n muito grnde:,, Obs.: e e n O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL Assumindo que: Podemos escrever: ln=loge = c signific e c = ln() é potênci de e necessári pr se obter k = e e portnto: k = ln( ) k k y= y = y( e ) = ye Logo, qulquer função eponencil pode ser escrit como: y= ye onde y é quntidde inicil, k é um constnte positiv (k>) pr crescimento eponencil e negtiv (k<) pr decimento eponencil. Dizemos que y está crescendo (ou decindo) um t contínu k. k

13 EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES Epnsão 8 6 y = f() y = -f() y = f() 4 y EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES Trnslção 5 y = (y - 5) = 8 y = y = ( - 5) 6 y y

14 EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES Som 6 5 y = / y = y = / + 4 y.5.5 FUNÇÕES COMPOSTAS Derrmmento de petróleo A áre (circulr) é função do rio: O rio é função do tempo: A= ( r) = π.r A áre em função do tempo é dd por substituição: Dizemos que A é um função compost ou um função de um função que é denotd por: f ( t) =( +) r= g t A= π π t. r = ( + ) ( g( t) ) = π( g( t) ) = π( + ) A= f t 4

15 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Função pr Função ímpr y = y = y y Em gerl, pr qulquer função f: f é um função pr se f(-) = f() pr todo ; f é um função ímpr se f(-) = -f() pr todo FUNÇÕES PERIÓDICAS Eletrocrdiogrm de um pesso sudável Not lá de um contrbio elétrico

16 FUNÇÕES PERIÓDICAS Um função é dit periódic se el se repetir em intervlos constntes, ou sej: ( ) = f( p+ ) = f( p+ ) = f( p+ ) +... y= f p é o período d função periódic, ou sej, o intervlo necessário pr que função se repit. Em outrs plvrs, f() se repete de p em p. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Corrente lternd Tensão em um tomd de 7V e 6Hz 8 tensão (V) tempo(s) 6

17 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Círculo unitário e rdinos Um rdino é definido como o ângulo centrl, no círculo unitário, correspondente um rco de comprimento, medido no sentido ntihorário. Obs.: 8 º = π rdinos ; π FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Seno e co-seno P é definido pelo ângulo θ; Seno é projeção de P no eio y; Coseno é projeção de P no eio ; sin θ+ cos θ = y = sen() y = cos() y

18 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Seno e co-seno A mplitude de um oscilção é metde d distânci entre os vlores máimo e mínimo y - y = sen() y = cos() -pi -5pi/ -pi -pi/ -pi -pi/ pi/ pi pi/ pi 5pi/ pi Observe que mbs são funções periódics. Além disso: cos sen ( ) = sen( + π ) ( ) = cos( π ) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Pr descrever quisquer períodos e mplitudes, usmos funções d form: = f( ) Asen( B) e y= f( ) = Acos( B) y = A é mplitude e π/b é o período. Pr representr defsmentos (deslocmentos no eio ) bst substituir por ( d), onde d é o ângulo de defsgem. d > desloc função pr direit, enqunto d < desloc pr esquerd. 8

19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Tngente A função tngente é definid como sendo: tg ( ) sen = cos ( ) ( ) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS trigonométrics inverss Pr - y e -π/ π/ rcsen ( y) = signific sen ( ) = y Pr - y e π rccos ( y ) = signific cos( ) = y Pr -π/ π/ rctg ( y) = signific tg ( ) = y 9

20 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS trigonométrics inverss y=rcsen( ) y= rccos( ) y=rctg( ) FUNÇÕES POLINOMIAIS polinomiis presentm seguinte form: y= p n n ( ) = n + n n ; n é um inteiro positivo chmdo de gru do polinômio Grus, e Gru 4 Gru 5

21 FUNÇÕES RACIONAIS rcionis presentm seguinte form: onde p e q são polinômios. ( ) y = f = p q ( ) ( ) Por eemplo em projetos de filtros digitis: H ( z) B A ( z) ( z) i= = = Q j= j P bz i j z i

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