TEORIA DOS LIMITES LIMITES. Professor: Alexandre 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE

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1 TEORIA DOS LIMITES Professor: Alendre LIMITES. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Vmos nlisr o comportmento gráfico d função f ( ) qundo tende pr. ) Primeirmente vmos tender vriável por vlores inferiores, ou sej, ( tende pel esquerd):,,6,7,8,9,99,999,9999 f(),,8,,,7,97,997,9997 Agor vmos tender vriável por vlores superiores, ou sej, ( tende pel direit):. DEFINIÇÃO DE LIMITE Dizemos que o ite de um função f(), definid em um intervlo berto que contém o ponto, é b, se, pr todo 0, eistir um 0 tl que, pr todo,, temos: 0 f ( ) b b b y b,,,,,,0,0,00 f() 7, 7, 6,9 6,6 6, 6, 6,0 6,00 Podemos fcilmente perceber que, qundo tende pr, f() tende pr 6. Isto signific que qunto mis próimo de o está, mis próimo de 6 o f() está, observe: Observe que f ( ) b y Isto é, os ites lteris devem ser iguis. 6 f ( ) f ( ) f ( ) b Eemplos:. y 6 f ( ) f ( ) 6 6 Concluímos que f ( ) 6, comprovndo ssim o teorem d unicidde do ite: Qundo um ite eiste ele é único. f f ( ) ( ) 6 f ( )

2 Limites. y e) f) 0 b b b g) f ( ) f ( ) f ( ) h) 6 EXERCÍCIOS: 0. Clcule os seguintes ites: ) ( ) Continuidde de Funções Observe os gráficos f 9 c) Sendo 9, se f ( ), se f Clcule o f ( ) f d)

3 Limites Qundo se pode contr com visulizção gráfic podemos dizer que um função é contínu se não present furos ou sltos, isto é, seu gráfico é suve, sem interrupções. De mneir gerl podemos dizer que: f() é contínu em f ( ) f ( ) é contínu num ponto se e somente se: I) Eiste f() II) Eiste f ( ) III) f ( ) f ( ) ou sej : f Limites Irrcionis 0. Resolv os seguintes ites: ) (UFPR) - Eercícios: 0. Clcule o vlor de m pr que função f definid por, se f ( ), m, se sej contínu. c) 8 Limites Trigonométricos Eercícios; 0. Sej g definid por, se 0 g ( ) :, se 0 0. sen 0 ) Fç um esboço do gráfico de g. Ache o g( ), se eistir sen 0 0. sen 0 0. sen 7 sen 0

4 Limites sen 0. 0 sen E pr retirrmos indeterminção devemos fzer um mudnç de vriável: 06. cos 0 Limites o Infinito 0. Resolv os seguintes ites: ) = indeterminção Outro eemplo é o tmbém indetermindo! Mudndo vriável teremos: c) 6 9 d) Qul o vlor de C pr que C? Eercícios: Limites Eponenciis Importnte sber que e Agor, cuiddo com 0 indeterminção ) b c d 0

5 Limites Testes de Vestibulres n 0. (UEPG-PR) - n n ) n d) - e) 0. (UFPR) Determinr o vlor de, se b c 6 b c 06. (MACK-SP) O ) /9 /7 c) / d) /8 e) / (EFOA-MG) - ( 8 ) ) 0 c) d) e) é igul : 0. (UEPG-PR) Dds s funções f ( ) 6 e g ( ), então, n f ( ) g( ) vle: 08. (CEFET-PR) - ) c) = 0. (UEPG-PR) O ) d) e) n.d (EFOA-MG) - ( ) d) e) 09. (UFPR) O vlor de: sen sen sen 0 sen sen sen cos 0. 0 sen ) ½ c) d) 0 e) -

6 6 Limites sen7 sen. 0 tg tg ) c) 0 d) e) 0. (CEFET-PR) O vlor do ite ) c) d) e) 6 6.(CEFET-PR) - O vlor de ln e ).ln.lne c) + lne d) + ln e).lne 0 e e ` (CEFET-PR) O vle: ) d) e) 0. (CEFET-PR) O vlor de ) 0 c) e d) e) e -. (CEFET-PR) O vlor de ) 0 c) d) / e) ½. (CEFET-PR) O ) 0 c) d) e) 0 0 cos vle: 8. (CEFET-PR) Sej ) c) / d) / e) f ( ) ln f ( ) então ln( ) 9. (CEFET-PR) O ( ) ( ) ) c) d) e) vle:

7 7 0. (MACK-SP) - 6 é igul : ) 0 / c) / d) e) /. (MACK-SP) O vlor de ) c) d) 0 e) 0. (PUC-SP) Clcule n n n Limites (UFPR) O ) c) d) e) (PUC-MG) O vlor do ) k d) k e) é igul : sen k 0. (FEI-SP) Clculr o ite [log( ) log ]. (PUC - MG) O vlor do ) - c) 8 d) 0 e). (PUC-SP) - ) d) e) 8 6 é igul : 8. (STA.CASA-SP) Clculndo. sen cos obtém-se: cos sen ) c) d) e)n.d.. 9. (PUC-MG) Se f ( ) ln ln(sen ) então f ( ) 0 ) ln ln d) e)

8 8 Limites CEFET NOS ÚLTIMOS ANOS 0. (CEFET-98) O vlor de pr que, se função f ( ) sej, se contínu em =, ) 6 6 c) d) 6 e). (CEFET-00) - Os vlores de e b que tornm função, se 6 f() b, se 0 sen, se 0 contínu pr todo R são, respectivmente: ) e e c) e d) e e) e.(cefet-99) Clculndo o ite obteremos: ) 0 / c) / d) + e) /,. (CEFET-000) Considere função definid, se por f ( ), se, se Sobre el, é correto firmr: * ) O conjunto domínio d função é IR. O conjunto imgem é I m { y IR / y }. c) A função é descontínu em =. d) A função é crescente no intervlo, e) f() = -...(CEFET-00) - Considerndo f() = sen + cos no intervlo [0, ], pode-se firmr que: I), é um ponto de mínimo de f(). II), f(). 7 III), 0 e, 0 infleão de f(). IV) f() é função ímpr. é um ponto de máimo de são pontos de V) f() tem período rd. Assinle lterntiv corret em relção às firmções. ) Tods s firmtivs estão correts. Tods s firmtivs estão incorrets. c) Apens firmtiv I está corret. d) As firmtivs II e III estão correts. e) Apens lterntiv III está corret.

9 Limites 9. (CEFET-00) - O vlor de pr que função sen,se 0 f(),se 0 sej contínu pr todo R ).. c). d). e). 6. (CEFET-00) O vlor de pr que 8. (CEFET 00) - Sej f() e g() dd pelo gráfico que segue. Então, o vlor de A tl que A =. f(). g() g() A) 0. B). C),. D) 8. E) / sej contínu em ) / 0 c) 6 d) e) / 6 7.(CEFET-00) - Num PG decrescente de termos e é igul à bciss do ponto de máimo d função Gbrito dos Testes 0. E. A. B. A 0.. E. 00. C E. 00. D 0. E. E. E. E C. E. C 06. E 6. D 6. A 6. A 07. A 7. E 7. C 7. E 08. B 8. D 8. B 8. A B 9. A 0. B 0. B 0. A Dest form, rzão dest PG é igul : ).. 9 c). d). e).