MÉTODOS MATEMÁTICOS 2 a Aula. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

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1 MÉTODOS MATEMÁTICOS Aul Clui Mzz Dis Snr Mr C. Mlt

2 Introução o Conceito e Derivs Noção: Velocie Méi Um utomóvel é irigio trvés e um estr cie A pr cie B. A istânci s percorri pelo crro epene o tempo gsto n vigem, logo s é um função o tempo, ou sej, s(t).

3 Em t t o crro percorreu istânci s ese origem n cie A Um pouco epois, no instnte t t já hvi percorrio istânci s. Entre os instntes t e t o crro percorre o espço s - s. A rzão (s - s )/(t - t ) mostr como fic t e vrição o espço em relção o tempo. Ess rzão fornece velocie méi o crro no intervlo e tempo (t - t ). Se (t - t ) é muito pequeno, ou sej, t ocorre imeitmente pós t poemos izer que (t - t ) t e velocie méi será, v m s t s(t t) s(t) t Se t 0 (tene zero) velocie méi tene ser velocie no instnte t, e poe ser epress por v (t) s t ou v (t) m m Que é chm eriv e s em relção t. ' s (t)

4 Generlizção: T e Vrição Instntâne O eemplo cim iz respeito t e vrição istânci em relção o tempo, e poe ser generlizo e plico pr quisquer qunties vriáveis e qulquer espécie. Sejm e y qunties vriáveis e suponh que y epen e, tl que: y f(), one f é um função conveniente. Pr clculrmos t e vrição e y por unie e vrição e, começmos por consierr um vrição em, y f( ) y f( ) tl que vri e pr, y eperiment um vrição e y pr y. Usno notção e vrição, - y y - y f( ) - f( ) Definição : T e Vrição Méi f( ) f( y ) A rzão é chm e T e Vrição Méi e y em relção guno vri e pr.

5 Dese que, então f( ) f( y ) Definição : T e Vrição Instntâne Se T e vrição méi e y em relção tente um vlor limito quno tene zero, é rzoável nos referirmos este vlor como T e Vrição Instntâne e y em relção. f ' lim 0 y lim 0 f( ) f( ) 5

6 Se é muito pequeno. Definição : A Deriv A função f é chm e eriv e f. Histórico : A Deriv foi cri inepenentemente por Isc Newton e Gothfrie Leiniz no século XVII. Notção Newton f f & Notção Leiniz f y 6

7 Definição : Interpretção Geométric Deriv A eriv e um função f pr é o coeficiente ngulr ret tngente à curv equção y f() no ponto (,f()). tg α y Qunto menor for mis próimo o ponto B estrá o ponto A e form que quno 0, α θ. tg θ y tg α tg θ y y tg θ lim 0 y ' 7

8 Oservção : A f eve ser origtorimente iferenciável, ou sej o gráfico e f eve ter um ret tngente com coeficiente ngulr f. Eemplo : Um função não iferenciável é função moulr f() f(), se 0 -, se < 0 f() y y

9 Oservção : Há muito mis sore erivs, ms vmos nos eter n su efinição e ns regrs ásics e iferencição que nos permitem clculr s erivs e form mis simples o que usno efinição e eriv. Tis regrs geris servem pr iferencição e soms, proutos e quocientes e funções cujs erivs já são conhecis. 9

10 Regrs Básics pr Diferencição (R) Regr Constnte A eriv e um função constnte é função nul. Simolicmente, se c é um constnte, c Eemplo: ( 5 ) 0 0

11 (R) Regr Ientie A eriv e um função ientie é função constnte. Simolicmente, Eemplo: f() ' f () (R) Regr Potênci A eriv e um potênci inteir positiv e é o epoente e, vezes elevo à potênci inferior seguinte. Simolicmente, se n é um inteiro positivo, então Eemplo: n n n f() 7 ' f ()

12 (R) Regr Homogeneie A eriv e um constnte vezes um função é constnte vezes eriv função. Simolicmente, se c é um constnte e u um função iferenciável e, então c.u u c Eemplo: f() f ' f () '' 5 () 5( 5 ) 5( regr potênci ) 0 (R5) Regr Som A eriv e um som é som s erivs. Simolicmente, se u e v são funções iferenciáveis e, então Eemplo: f() ( ' f () (5 5 ( 5 ) (8 8 ) ( 7 ) 8 ) ) ( ) ( ) 7 8 (u v) u v Usno (R5) (R) (R)

13 (R6) Regr Multiplicção, Prouto ou Regr e Leiniz A eriv o prouto e us funções é primeir função vezes eriv segun função mis eriv primeir função vezes segun função. Simolicmente, se u e v são funções iferenciáveis e, então Eemplo: (uv) v u u v f() ( ' f () ' f () ( ' f () ( ' f () (6 ' f () 05 )(7 [( )(7 ) ] ) )( 0 ) (7 ) (7 ) ( ) (7 ) )(6) 6 ) ( )

14 (R7) Regr Invers Aritmétic A eriv invers ritmétic e um função é rzão negtiv eriv função pr o quro função. Simolicmente, se v é um função iferenciável e, então Eemplo: v v v (R8) Regr o Quociente A eriv o quociente e us funções é o enominor vezes eriv o numeror menos o numeror vezes eriv o enominor tuo iviio pelo quro o enominor. Simolicmente, se u e v são funções iferenciáveis e, então u v u u v v v

15 Eemplo: 7 7 ( ( 7) ( ( ( 7)() 7) ) 7) ( ( 7) ) ( 7) (R9) Regr Cei Se y é um função iferenciável e u e se u é um função iferenciável e, então y é um função iferenciável e e, y y u u Eemplo: y(u) u u() y y u u (u ) ( ) ( ) ( ) 5

16 Oservção: A Regr Cei é um regr pr iferencição compost f g e us funções, ou sej, y f(u) u g() y f(u) f [g()] (f g )() Ou sej, y y u ' ' ' '. f (u).g () f [g()]g () u 6

17 Derivs s Funções Trigonométrics sen cos cos sen tg sec cot csc sec sec tg csc csc cot Oservção: Pr s emis funções trigonométrics, sus inverss etc, ver tels em neo. 7

18 Derivs s Funções Eponenciis e u u e u u u u ln Eemplos: e e ( ln () ) e ln ( ) ln 8

19 9 Derivs s Funções Logrítmics Derivs s Funções Logrítmics u u ln u log u u lnu Eemplos: ln0 5) ( 5) ( ln0 5) ( 5) ( log ) ( ) ( ln 0

20 Eemplo: Diferencição Logrítmic Sej y eterminr y o psso : Tomr o logritmo nturl em mos os los: ln y ln o psso: Diferencir equção resultnte implicitmente em relção : lny ( ln) y ln ln y ln ln 0

21 Derivs e Orem Superior Derivs e Orem Superior Eemplo: f() y ésim n Deriv f() y Deriv f() y Deriv n n n n 5 6 y Deriv 6 y Deriv y Deriv y

22 Noções Sore Integrção Noção: Áre so o gráfico e um função Sej o gráfico io, A áre totl região é igul A A. Ms em muits situções é interessnte se conhecer o vlor e A - A, ou sej chm áre com sinl so o gráfico e f entre e. A iéi áre com sinl nos permite r um efinição informl e integrl efini.

23 Definição: Integrl Defini Sej um função efini no intervlo fecho [,]. Então áre com sinl so o gráfico e f entre e, é enot por, f() Assim, f() A epressão, f() A A é chm integrl efini e té e f(). One, f() é chm e integrno, e [,] é o intervlo e integrção ( e são os limites inferior e superior integrção, respectivmente).

24 Eemplo: Sej f() - Vmos clculr geometricmente f() f() ( ) A A

25 Notção Especil: Sej g é um função qulquer e se os números e pertencem o omínio e g, então notção g() le-se g() clcul entre e é efini por, g() Eemplo: Sej g() g() g() g() Com efinição cim efinimos o Teorem Funmentl o Cálculo. Teorem Funmentl o Cálculo : Suponh que f sej um função contínu sore o intervlo [,] e que, f () g() C então, f () g() g() g() 5

26 Oservções: - Um propriee ásic integrl efini, é propriee itiv que iz que se f e g são funções integráveis no intervlo [,], então f g tmém é um função integrável em [,] e f() g() f() g() - Apresent-se em neo s regrs geris e integrção. Pr fcilitr o entenimento seguem s seguintes regrs que serão utilizs nos eemplos. f() f() n n f() n f(),n 0 6

27 7 Eemplo : Sej f() Eemplo : Sej f()