equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

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1 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que curv é simples se é injetor. Dizemos que curv é fechd se I = [, b] e () = (b). Dizemos que curv é fechd simples se fechd e [,b) injetor. Dizemos que curv é derivável se é derivável Sej p I: se é derivável em p e (p) 0 então (p) é um vetor tngente o trço, no ponto (p) t(p) = (p)/ (p) é um vetor unitário tngente o trço, no ponto (p). ssim, o trço d curv(ret) r(t) = (p) + t(p)t é um ret tngente o trço de no ponto (p). Dizemos que curv é regulr se é derivável e 0 em todo I: logo o trço possui ret tngente em todo ponto. Interpretção cinemátic: (t) pode representr o movimento de um corpo em R n : t represent o tempo e posição. neste cso é velocidde vetoril, é celerção vetoril. Dizemos que curv é prmetrizd pelo comprimento de rco qundo = 1 em todo ponto (trço percorrido com velocide 1). 1

2 Cálculo III, 15 de Mio de Integráis de linh 2.1 Integrl de linh com respeito o comprimento de rco Sejm f : A R um função de domínio A R n : [, b] A um curv regulr e com derivd contínu, Queremos definir integrl de f o longo de (integrl de linh com respeito o comprimento de rco) f ds := b f((t)) (t) dt OBS: não depende d prmetrizção d curv (pelo menos se reprmetrizção é bijetor). OBS: se é prmetrizd pelo comprimento de rco então f ds := b f((t)) dt

3 Cálculo III, 15 de Mio de Trblho de um cmpo vetoril Sejm F : A R n um cmpo vetoril de domínio A R n : [, b] A um curv regulr e com derivd contínu, Queremos definir o trblho do cmpo F o longo de F ds := b F ((t)) (t) dt OBS: não depende d prmetrizção d curv exceto pelo sinl!!! Outrs fórmuls ou notções: F ds = F dx = = = b = b [ F ((t)) t(t) F d = ] (t) dt [ ] F t ds F 1 (x 1,.., x n )dx F n (x 1,.., x n )dx n [ F 1 ((t)) 1(t) F n ((t)) n(t) ] dt Exemplo: Ddo o cmpo elétrico E: o trblho feito por E sobre um crg q que percorre curv é q E ds o trblho necessário pr fzer crg q percorrer curv contr o cmpo elétrico é q E ds

4 Cálculo III, 15 de Mio de Fluxo de um cmpo vetoril trvés de um curv Pr o cso n = 2, sejm ind F : A R 2 um cmpo vetoril de domínio A R 2 : [, b] A um curv regulr e com derivd contínu, Queremos definir o fluxo do cmpo F trvés d curv [ F n ] ds := b [ F ((t)) n(t) ] (t) dt OBS: não depende d prmetrizção d curv (pelo menos se reprmetrizção é bijetor) ms depende d escolh do sentido de n Lembrete: em R 2 vle n t n t = 0. Se t = (, b) então n = ±(b, ) Outrs fórmuls ou notções: = (±) [ F n ] ds = F 1 (x, y)dy F 2 (x, y)dx b = (±) [ F 1 ((t)) 2(t) F 2 ((t)) 1(t) ] dt

5 Cálculo III, 15 de Mio de Cmpos conservtivos Definição Ddo um cmpo vetoril F : A R n com A R n dizemos que o trblho de F não depende do cminho se: ddos p 1, p 2 A, F ds é o mesmo vlor pr qulquer curv A que vi de p 1 p 2. Neste cso pode-se usr notção F ds = p 2 p 1 F ds Observção. Isso é equivlente ( F ds = 0 pr tod curv A fechd ) F ds = 0. PROBLEMA verificr infinitos integris de linh não é muito bom! Teorem 3.1. Sej F : A R n um cmpo contínuo, com A R n. se existir ϕ : A R tl que F = ϕ em A então F ds = ϕ(p 2 ) ϕ(p 1 ) pr qulquer curv A que vi de p 1 p 2 (logo o trblho de F não depende do cminho). Definição Sej F : A R n um cmpo contínuo, com A R n. Dizemos que F é conservtivo se existir ϕ : A R como no teorem. A função ϕ é dit potencil de F (ou primitiv de F ). Observção. Se ϕ é potencil de F, então ϕ + c tmbém é, c R.

6 Cálculo III, 15 de Mio de Observção. pr n = 1, tod função contínu tem primitiv (P f (x) = x x 0 f(t) dt). Pr n > 1 não!!! Então qundo um cmpo é conservtivo? Teorem 3.2. Sej F : A R n um cmpo contínuo, com A R n. Se o trblho de F não depende do cminho então F é conservtivo. Se A é um conjunto conexo por cminhos, um escolh de ϕ é ϕ(p) = onde p 0 A é um ponto fixdo. p p 0 F ds Além disso, se ψ é outro potencil então ϕ ψ = const. Resumindo: pr F : A R n cmpo contínuo, com A R n, o trblho de F não depende do cminho se e só se F possui um potencil.

7 Cálculo III, 15 de Mio de PROBLEMA ind precismos verificr infinitos integris de linh pr sber se é conservtivo!! Observção. Sej F : A R n um cmpo contínuo e com derivds contínus, com A R n um conjunto berto: Se F = ϕ então F i x j = 2 ϕ x j x i = 2 ϕ x i x j = F j x i pr todo i j (Teorem de Schwrz, vej mteril SMA354: funções de váris vriveis 3 qui) Definição Um cmpo F : A R n contínuo e com derivds contínus, com A R n, é dito Irrotcionl qundo tem tods s derivds cruzds iguis: F i x j = F j x i pr todo i j Resumindo: pr F : A R n cmpo contínuo e com derivds contínus, com A R n um conjunto berto, ser irrotcionl é cond. necessári pr ser conservtivo! Observção. Se n = 2 ou n = 3 condição pode ser escrit como rot(f ) = 0. Porém condição não é suficiente!! Teorem 3.3. Sej F : Q R n um cmpo contínuo e com derivds contínus, com Q R n um (multi-)retângulo, então F é conservtivo se e só se F i x j = F j x i pr todo i j, em todo Q. Pr prov precismos Teorem 3.4. Dd f(x, y) contínu e com derivds contínus em [, b] I, sej F (y) := b f(x, y) dx. Então F é derivável em I e vle F (y) = b f (x, y) dx y

8 Cálculo III, 15 de Mio de O Teorem pode ser melhordo: Definição 3.5. Um conjunto A R n é dito simplesmente conexo se é conexo por cminhos e vle um ds seguintes condições equivlentes: tod curv fechd contid em A pode ser deformd um ponto sem sir de A, dds dus curvs contids em A que conectm dois pontos ddos, um pode ser deformd té outr sem sir de A, tod curv fechd contid em A é bord de um superfície contid em A. Exemplo 3.6. São simplesmente conexos: R n, R 3 menos um ponto, R 2 menos um semirret, R 3 menos um plno ou um semirret,... Não são simplesmente conexos: R 2 menos um ponto, R 3 menos um ret, Teorem 3.7. Sej F : A R n um cmpo contínuo e com derivds contínus, com A R n um conjunto simplesmente conexo. então F é conservtivo se e só se F i x j = F j x i pr todo i j, em todo Q.

9 Cálculo III, 15 de Mio de Exemplos O cmpo eletrostático (cmpo elétrico em condições estcionáris) E : R 3 R 3 stisfz eq. de Mxwell rote = 0. Logo é conservtivo e dmite um potencil φ : R 3 R 3 tl que E = φ. Logo o trblho feito por E sobre um crg q que vi de p 1 p 2 é q p2 p 1 E ds = q [φ(p 2 ) φ(p 1 )] o trblho necessário pr fzer crg q ir de p 1 p 2 contr o cmpo elétrico é q p2 p 1 E ds = q [φ(p 1 ) φ(p 2 )] CUIDADO: Em gerl n fisic se us definição trocd de sinl: V : R 3 R 3 tl que E = V (Potencil eletrostático). Dess form q p2 p 1 E ds = q [V (p 1 ) V (p 2 )] U = qv é Energi eletrostátic d crg q no cmpo. O cmpo mgnetostático (cmpo mgnético em condições estcionáris) B : R 3 R 3 stisfz eq. de Mxwell rotb = µ 0 j, logo é irrotcionl onde não há densidde de corrente. Eq. de Mxwell

10 Cálculo III, 15 de Mio de Teorem de Green Ddo um berto A R 2 consideremos um conjunto B A com s seguintes proprieddes: B é compcto (fechdo e limitdo), B, fronteir de B é um curv fechd regulr por prtes. Sej + B fronteir de B orientd de form que B estej sempre esquerd de quem olh n direção de t (nlogmente, tl que t k = n ext ) Teorem 4.1 (Teorem de Green). Sej A R 2 um berto e B A como cim. Sejm P, Q : A R contínus com derivds contínus. Então B Q x P y = + B P dx + Qdy Reformulção 1) Teorem de Stokes em R 2 Considerndo F = (P, Q) rot F = F ds B Reformulção 2) Teorem de Guss em R 2 (ou teor do divergente) Considerndo G = (Q, P ) div G = [G n ext ] ds B B + B Aplicção B 1 dxdy = + B x dy = y dx = 1 + B 2 + B x dy y dx

11 Cálculo III, 15 de Mio de Usndo os teorem de Stokes e de Guss podemos obter seguinte interpretção do significdo do rotcionl e do divergente de um cmpo bidimensionl F : F ds rotf (p) = lim + C r (p) r 0 C r (p) divf (p) = lim r 0 C r (p) onde C r (p) é o circulo de rio r e centro p. [F n ext ] ds C r (p)