x n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R

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1 Algums primitivs Simples... c dt = cx + k, k R x n dx = xn+ n + + k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = rctn(x) + k, dx = SetSh(x) + k, + x2 + x 2 dx = rcsin(x) + k, k R x 2 outrs (cuiddo: definir um proprido intervlo!) x α dx = xα+ α + + k, k R se α dx = ln(x) + k, k R, em (0, ) x = ln( x) + k, k R, em (, 0) dx = tn(x) + k, k R cos 2 (x) dx = SetCh(x) + k, em (, ) x2 = SetCh( x) + k, em (, )

2 Cálculo II, 28 de Agosto de Técnics pr clculr primitivs Lineridde Sejm f, g contínus, Então ( (αf + βg) = α ) ( f + β ) g Fórmul de integrção por prtes Sejm f, g contínus e deriváveis com derivds contínus. Então f (t)g(t) dt = f(x)g(x) f(t)g (t) dt. Fórmul de integrção por substituição Sejm g contínu e derivável com derivd contínu, h contínu. Então h(g(x))g (x) dx = H(g(x)), sendo H(y) = h. Interpretção como mudnç de vriável: h(g(x))g (x) dx = H(y) + k, k R y=g(x) = h(y) dy podemos interpretr ssim: substituímos g(x) = y e g (x)dx = dy, clculmos primitiv, pomos de volt y = g(x). y=g(x) mis em gerl, se mudnç é f(x) = g(y), então f (x) dx = g (y) dy

3 Cálculo II, 28 de Agosto de Pr s integráis definids: Sejm f, g contínus, Então b ( b (αf + βg) = α ) ( b ) f + β g Sejm f, g contínus e deriváveis com derivds contínus em [, b]. Então b b f g = [fg] b b fg f (x)g(x) dx = f(b)g(b) f()g() b f(x)g (x) dx Sejm g contínu e derivável com derivd contínu em [, b] e h contínu em Im(g [,b] ), então b h(g(x))g (x) dx = [H(g(x))] b = H(g(b)) H(g()) = [H(y)] g(b) g() = g(b) g() h(y) dy podemos interpretr ssim: substituímos g(x) = y e g (x)dx = dy, substituímos g() e g(b) como extremos de integrção, clculmos integrl.

4 Cálculo II, 28 de Agosto de Integrl de funções rcionis (método ds frções prciis) Ests funções podem sempre ser integrds explicitmente: vej roteiro n list de exercícios.

5 Cálculo II, 28 de Agosto de Dics de integrção produto x n h(x) onde conheç primitivs de h: integre por prtes pondo g(x) = x n, ssim n integrl que sobr terá g (x) = nx n... continundo té eliminr potênci. Funcion pr x n e x, x n cos(x),... x2 e x dx = x 2 e x 2xe x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x dx = = x 2 e x 2xe x + 2e x + k, k R produto x n h(x) onde h tem derivd rcionl: integre por prtes pondo g(x) = h(x), ssim n integrl que sobr terá pens um rcionl. Funcion pr x n ln(x), x n tg(x),... x2 ln(x) dx = x 3 ln(x)/3 (x 3 /3x) dx = x 3 ln(x)/3 x 3 /9 + k, k R qudrdo de trigonométric ou hiperbólic: integre por prtes e depois use identiddes... Ch 2 (x) dx = Sh(x)Ch(x) Sh 2 (x) dx = = Sh(x)Ch(x) (Ch 2 (x) ) dx logo 2 Ch 2 (x) dx = Sh(x)Ch(x) + dx = Sh(x)Ch(x) + x + k, k R trigonométric com exponencil: integre por prtes dus vezes e leve do outro ldo... Funcion tmbém pr Sh(x) cos(x),... ex cos(x) dx = e x sin(x) e x sin(x) dx = = e x sin(x) [ e x ( cos(x)) e x ( cos(x)) dx ] logo 2 e x cos(x) dx = e x sin(x) + e x cos(x) + k, k R

6 Cálculo II, 28 de Agosto de substituição trigonométric ou hiperbólic: qundo prece o termo ±2 ± x 2, se não tiver substituição melhor: no cso 2 x 2, substitu x = sin(t), t ( π/2, π/2); no cso 2 + x 2, substitu x = Sh(t), t R; no cso x 2 2, substitu x = ± Ch(t), t > 0. isso lev eliminr riz usndo relções trigonométrics-hiperbólics. 4 + x2 dx = (x = 2Sh(t), dx = 2Ch(t) dt) 4( + Sh 2 (t)2 Ch(t) dt = 4Ch 2 (t)2 Ch(t) dt = 4Ch 2 (t) dt =... Alerntiv: Tmbém pode funcionr integrr por prtes: 4 + x2 dx = x 4 + x 2 x x 4+x dx = x 4 + x 2 4+x x dx x dx: 2 gor primeir integrl é igul o ldo esquerdo, segund é imedit (SetSh) Cso x n ( ± 2 ± x 2) ± Se n é pr use substituição trigonométric ou hiperbólic cim. Se n é ímpr, tmbém s substituições y = ± 2 ±x 2 ou z = ± 2 ± x 2 podem funcionr. x3 9 + x 2 dx = (y = 9 + x 2, dy = 2x dx) (y 9) y dy/2 = = (y 3/2 9 y)dy/2 =... x3 9 + x 2 dx = (z = 9 + x 2, 2z dz = 2x dx) (z 2 9)z zdz = (z 4 9z 2 )dz =...

7 Cálculo II, 28 de Agosto de Csos que podem ser reduzidos rcionis Sej R[,b,..] um função rcionl ns vriáveis, b,.. R[sin(x)] cos(x) dx = R(t) dt pondo t = sin(x). O mesmo funcion pr R[cos(x)] sin(x) dx e nálogos hiperbólicos. tmbém os csos R[sin(x), cos(x) 2 ] cos(x) e nálogos encixm pois pode ver como R[sin(x), sin(x) 2 ] cos(x) sin(x) 2 3 sin(x) cos(x) dx = sin(x) + cos 2 (x) t 2 3t t + t 2 dt R[sin(x), cos(x)] dx sempre pode ser trtd d mneir seguinte (ms deixr como últim tenttiv, pois s conts so feis!) ponh t = tn(x/2), ssim sin(x) = 2t/( + t 2 ), cos(x) = ( t 2 )/( + t 2 ) e dx = 2dt/( + t 2 ). Pr o cso R[Sh(x), Ch(x)] dx ponh t = T h(x/2), ssim Sh(x) = 2t/( t 2 ), Ch(x) = ( + t 2 )/( t 2 ) e dx = 2dt/( t 2 ). sin(x) 2 3 cos(x) 4t 2 sin(x) + cos(x) dx = /( + t 2 ) 3( t 2 ) 2 dt 2t + ( t 2 ) + t 2 sin n (x) cos k (x) dx, (n, k Z): se n ou k é ímpr, substitu outr: sin 8 (x) cos 7 (x) dx = (t = sin(x), dt = cos(x) dx) t8 ( t 2 ) 3 dt =... se mbs são pr, use s fórmuls de duplicção pr bixr o gru: sin 2 (x) cos 2 (x) dx = ( cos(2x))/2 ( + cos(2x))/2 dx = = ( cos 2 (2x))/4 dx =... sin(nx) cos(kx) dx ou sin(nx) sin(kx) dx ou cos(nx) cos(kx) dx: use fórmuls trigonométrics sin(nx) cos(kx) dx = (sin(nx kx) + sin(nx + kx))/2 dx = =...