META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas.

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1 Integrção omplex AULA 7 META: Introduzir o conceito de integrção de funções de vriáveis complexs. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos deverão ser cpzes de: Definir integrl de um função complex. lculr integrl de lgums funções de vriáveis complexs. PRÉ-REQUISITOS Aul5 e ul6 de Vriáveis omplexs.

2 Integrção omplex 7.1 Introdução ros lunos o tem dess noss ul é Integrção omplex começremos por definir integrl de um função complex o longo de um curv no plno complexo veremos tmbém relção entre integrção complex e integrção rel bem como lgums ds proprieddes d integrção complex. 7.2 Integrção omplex Sejm D um berto de, f : D um função complex contínu e D um curv suve contid em D (ver figur 7.1). Subdividimos em n prtes trvés dos pontos z, z 1,..., z n. y z n ξ n 1 ξ 1 z z 1 ξ 1 z2 z n 1 Figur 7.1: Integrl de Linh x Pr cd rco de curv ligndo z k 1 z k tommos um ponto rbitrário ξ k e fzemos som: S n f(ξ 1 )(z 1 z ) + f(ξ 2 )(z 2 z 1 ) + + f(ξ n )(z n z n 1 ) n f(ξ k )(z k z k 1 ) k1 (7.15) 14

3 Vriáveis omplexs Fzendo z k z k z k 1 podemos reescrever equção eqn 7.15 como: AULA 7 S n f(ξ 1 ) z 1 + f(ξ 2 ) z f(ξ n ) z n n (7.16) f(ξ k ) z k k1 Fzendo o número de pontos d prtição n tender o infinito, em eqn 7.16 de modo que o comprimento d mior cord z k tend zero, o som S n tende um limite que independe d subdivisão de. A esse limite chmmos de integrl de f( ) o longo de e denotmos: f(z)dz (7.17) OBS 7.1. A integrl cim definid é denomind integrl de linh complex ou simplesmente integrl de linh de f( ) o longo d curv. Observe que se f(z) é nlític em D, então f(z) é certmente integrável o longo de 7.3 Integris de Linh Reis Nest seção procurmos relembrr lgums fórmuls sobre integris de linhs reis. Sejm P (x, y) e Q(x, y) funções de vlores reis de x e y, contínus em todos os pontos de um curv, podemos definir integrl de linh rel por: (Q(x, y)dx + P (x, y)dy) (7.18) E se for prmetrizd por x ˆx(t) e y ŷ(t), t [, b] podemos reescrever integrl de linh rel eqn 7.18 como: b (Q(ˆx(t), ŷ(t))ˆx (t) + P (ˆx(t), ŷ(t))ŷ (t))dt (7.19) 15

4 Integrção omplex OBS 7.2. Pr o cso em que é um curv lis por prtes podemos integrr, segundo eqn 7.19, em cd um ds prtes em que curv é lis e totlizr os resultdos. 7.4 Relção entre Integris de Linh omplex e Rel A integrl de linh complex dd por eqn 7.17 pode ser reescrit em função ds integris de linh reis d seguinte form: f(z)dz (u(x, y) + ıv(x, y)).(dx + ıdy) (u(x, y)dx v(x, y)dy) + ı (v(x, y)dx + u(x, y)dy) (7.11) OBS 7.3. Podemos tmbém, considerr eqn 7.11 como definição oficil d integrl de linh complex. Pr ilustrr veremos um exemplo de integrl de linh complex. Exemplo 7.1. Sejm f : dd por f(z) z x + yı e é o círculo de centro em z + bı e rio r (ver figur 7.2 ). SOLUÇÃO: omo f(z) z então u(x, y) x e v(x, y) y. Rest, ntes de efetur integrção de linh proprimente dit, providencir um prmetrizção pr curv. Vmos propor um prmetrizção pr curv. omo é um círculo de rio r e centro em z + bı um possível prmetrizção é x +r cos(t) e y b+r sin(t), t [, 2π). Dí, dx r sin(t)dt e dy r cos(t)dt. Podemos clculr em seprdo s dus integris 16

5 Vriáveis omplexs y AULA 7 b r z x Figur 7.2: Exemplo 7.1 em eqn A sbe: 2π 2π (u(x, y)dx v(x, y)dy) (xdx ydy) (( + r cos(t).( r sin(t) (b + r sin(t)).r cos(t))dt ( r sin(t) br cos(t) 2r 2 sin(t) cos(t))dt (r cos(t) br sin(t) 2r 2 sin2 (t) 2 ) 2π (7.111) 17

6 Integrção omplex Pr segund integrl: (u(x, y)dy + v(x, y)dx) (xdy + ydx) 2π 2π (( + r cos(t).r cos(t) + (b + r sin(t)).( r sin(t)))dt (r cos(t) br sin(t) r 2 (cos 2 (t) sin 2 (t))dt (r sin(t) + br cos(t) r 2 sin(2t) 2 ) 2π Portnto, de eqn 7.11, eqn e eqn temos: f(z)dz (7.112) Encerrremos est seção com um teorem (sem demonstrção) que resume lgums ds proprieddes d integrl de linh complex. Teorem 7.1. Sejm D um berto f, g : D dus funções complexs integráveis sobre curv lis D, então: i) (f + g)(z)dz f(z)dz + g(z)dz. ii) αf(z)dz α f(z)dz, α. iii) iv) v) b b f(z)dz f(z)dz c b f(z)dz,, b. f(z)dz + b c f(z)dz,, b, c. f(z)dz ML onde f(z) M, z e L é o comprimento de. 18

7 7.5 Integrl Indefinid Vriáveis omplexs AULA 7 Vermos gor, que podemos estender o conceito de integrl indefinid pr funções complexs. Definição 7.1. Sejm D um berto e f, F : D dus funções complexs tis que F (z) f(z). Dizemos que F (z) é integrl indefinid de f(z) e denotmos: F (z) f(z)dz 7.6 onclusão N ul de hoje, vimos que existe um forte relção entre integrl de linh complex e rel e que integrl indefinid complex segue o mesmo pdrão que rel. RESUMO No nosso resumo d Aul 7 constm os seguintes tópicos: Integrção omplex Sejm D um berto de, f : D um função complex contínu e D um curv suve contid em D podemos escrever integrl de linh complex em função ds integris de linh reis d seguinte form: f(z)dz (u(x, y) + ıv(x, y)).(dx + ıdy) (u(x, y)dx v(x, y)dy) + ı (v(x, y)dx + u(x, y)dy) 19

8 Integrção omplex Algums Proprieddes d Integrl de Linh Sejm D um berto f, g : D dus funções complexs integráveis sobre curv lis D, então: i) (f + g)(z)dz f(z)dz + g(z)dz. ii) iii) iv) v) b b αf(z)dz α f(z)dz, α. f(z)dz f(z)dz c b f(z)dz,, b. f(z)dz + b c f(z)dz,, b, c. f(z)dz ML onde f(z) M, z e L é o comprimento de. Integrl Indefinid A integrl indefinid complex é definid do mesmo modo que integrl indefinid rel. A sber: Sejm D um berto e f, F : D dus funções complexs tis que F (z) f(z). Dizemos que F (z) é integrl indefinid de f(z) e denotmos: F (z) f(z)dz PRÓXIMA AULA Em noss próxim ul veremos lguns teorems sobre integrção de funções complexs conhecidos como teori de uchy. Em prticulr dremos ênfse o teorem de uchy-gourst que diz que integrl de um função holomorf sobre um curv fechd simples é zero. 11

9 Vriáveis omplexs y 4 AULA 7 2 x Figur 7.3: Atividde 1 ATIVIDADES Deixmos como tividdes s seguintes questões: ATIV Sejm f : dd por f(z) z 3 e é curv suve por prtes dd pel figur 7.3 onde prte prbólic é dd por y + x 2. Determine integrl de linh f(z)dz. omentário: Volte o texto e revej com clm e tenção o exemplo e n prmetrizção procure fzer x(t) t. ATIV Sejm f : dd por f(z) z e é o círculo de centro em z + bı e rio r (ver figur 7.2 ). lcule: f(z)dz. omentário: exemplo, el lhe servirá de gui. Volte o texto e revej com clm e tenção o 111

10 Integrção omplex LEITURA OMPLEMENTAR SPIEGEL, Murry R., Vriáveis omplexs, oleção Schum, Editor McGrw-Hill do Brsil, SOARES, Márcio G., álculo em um Vriável omplex, oleção Mtemátic Universitári, Editor SBM, 29. BROWN, Jmes W. nd HURHILL, Ruel R., omplex Vribles nd Applictions Editor McGrw Hill, 28. FERNANDEZ, ecíli S. e BERNARDES Jr, Nilson. Introdução às Funções de um Vriável omplex. Editor SBM,