A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi

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1 A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse módulo vmos prender o conceito de integrl e s principis técnics de integrção. Avnte, o combte! E tenção o bizus!

2 SUMÁRIO. PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA.... INTEGRAL DE RIEMANN OU INTEGRAL DEFINIDA..... PROPRIEDADES TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO TÁBUA DE INTEGRAIS INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO INTEGRAÇÃO POR PARTES... 7 EXERCÍCIOS DE COMBATE... 8 GABARITO... 8

3 INTEGRAL. PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA Sej um função f definid em um intervlo I. Um primitiv de f em I é um função F definid em I, tl que F' f Eemplo: F é um primitiv de f, pois F 0 f. Se F é um primitiv de f, então tod função F k, onde k é constnte, tmbém é um primitiv de f. Assim, y F k, onde k é constnte, é fmíli ds primitivs de f. A fmíli ds primitivs de f, tmbém chmd integrl indefinid de f, é denotd por fd F k N epressão cim, f é chmdo integrndo. Eemplo: send cos k, pois cos sen.. INTEGRAL DE RIEMANN OU INTEGRAL DEFINIDA A integrl de Riemnn ou integrl definid de f em está no intervlo b,b é dd por f d lim f c n m i0 i i i, onde c i i, e represent áre sob o gráfico de f, obtid como som ds áres dos retângulos sob curv pr um dd prtição de,b, qundo s bses dos retângulos i tendem zero.

4 Se b fd eiste, dizemos que f é integrável segundo Riemnn em,b. 4

5 .. PROPRIEDADES São válids s seguintes relções pr s integris de Riemnn. fd 0 b fd fd b b b b f gd fd gd b b k fd k fd f 0 em,b b fd 0 b c b c,b f d f d f d c Se f é um função ímpr fd 0 Se f é um função pr fd fd 0. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Se f for integrável em,b e se F for um primitiv de f em,b, então b fd F F b F b Observe que o teorem fundmentl do Cálculo relcion os conceitos de primitiv e integrl de Riemnn. Esse resultdo pode ser demonstrdo por meio do Teorem do Vlor Médio (TVM). Eemplo: 7 d 5

6 4. TÁBUA DE INTEGRAIS n n u u du C n du ln u C u u u e du e C u u du C ln senudu cosu C cosudu senu C sec udu tgu C, n cossec udu cotgu C du rctgu C rccotgu C u du rcsenu C rccosu C u tgd ln cos C secd ln sec tg C Observe tábu de integris present funções de u integrds du. Cso isso não ocorr, devem ser utilizds técnics de substituição. 5. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Sej gt, então d g' tdt. Assim, temos: fd f gt g' t dt Sej gt, gc e g d b, então temos: b d fd f gt g' t dt c 6

7 Eemplo: e d 0 u du d u du u 0 e 0 u 0 0 e d e e e e u Eemplo: (Integrção por substituição trigonométric) u rcsen, u senu d cosudu e d cosu d sen u cosudu cos u cosudu cosu cosudu Como u, então cosu cosu. Assim, temos: cosu senu d cos udu du u C. senu senucosu d rcsen C 4 6. INTEGRAÇÃO POR PARTES Considerndo epressão d derivd de um produto de funções, temos: ' ' fg f' g fg' fg' f g f' g Integrndo, vem: fg' d fg f' gd Alterntivmente, podemos fzer u f du f' d e v gdv g' d, então udv uv vdu Eemplo: send u du d dv send v cos send cos cos d cos cosd cos sen C 7

8 EXERCÍCIOS DE COMBATE. (EFOMM 99) A função que tem diferencil ) cotg tg C b) tg cotg C c) tg cotg C d) tg cotg C e) tg cotg C (tg cotg ) d é:. (EFOMM 99) Clculndo ) sen C b) sec C c) cos C d) sec C e) cossec C sen d, encontrmos: cos. (EFOMM 99) A ) tg C b) cotg C c) tg C d) cotg C e) sec C d é igul : sen 8

9 4. (EFOMM 995) Sbendo que f' 4 ) ln b) ln ln4 4 c) ln 4 4 d) ln ln e) ln4 e que f 0, então o vlor de f 0 é: 5. (EFOMM 995) A solução de e c ) y / y e c b) y c) e c e y c e y c d) / e) y y e dy e é: 6. (EFOMM 999) Resolvendo sen(/)d, encontrmos: ) 6cos c b) cos c c) cos c d) 6cos c e) cos sen c 9

10 7. (EFOMM 0) O vlor d integrl sen cosd é: ) cos c b) c) d) e) cos c 4 cos c cos c 4 cos c 8. (EFOMM 0) O gráfico d função contínu y f, no plno y, é um curv situd cim do eio pr 0 e possui seguinte propriedde: A áre d região entre curv y f e o eio no intervlo b ( 0) é igul áre entre curv e o eio no intervlo k kb (k 0). Se áre d região entre curv y f e o eio pr no intervlo é o número A então áre entre curv ) A b) A c) 4A d) 5A e) 6A y f e o eio no intervlo 9 4 vle: 9. (EFOMM 04) Um pesquis indic t de crescimento populcionl de um cidde trvés d função P 7 00, por pessos nulmente há nos. Pssdos 0 nos, o crescimento é ddo pel integrl d. Pode-se firmr que esse crescimento será de 0 ) 00 pessos. b) 70 pessos. c) 00 pessos. d) 0 pessos. e) 7 pessos. 0

11 0. (EFOMM 05) Dd um função F:, sbe-se que: i) F' sencos5, onde F' é derivd d função F, em relção à vriável independente ; ii) F0 0. O vlor de F 6 é ) 4 4 b) 4 4 c) 4 4 d) 4 4 e) 4 4. (EN 989) d 4 0 ) 8 b) 4 c) 8 é igul : d) 4 e) 0

12 . (EN 004) Sej p um constnte rel positiv. A integrl n p e d é igul : p c ) b) p p c) c p c p c p c d) e). (EN 005) Sbendo-se que y é um função rel derivável em todo o seu domínio e que y' e e 4 y 0, pode-se firmr que y é igul 4 ) b) c) d) e) e ln 4e 5 4 e ln ln e e ln 4. (EN 006) O cálculo de ) b) c) d) e) ln e 4 4 rctge rctge 4 ln e 4e 4 c c c rccotge c c e e 4 d é igul

13 5. (EN 006) Sej y y um função rel que stisfz à equção 6 8y 0, *. O vlor de dy d d é 6 ln ) c 4 b) c c) ln c 6 ln d) c e) c 6. (EN 007) Sejm e b constntes reis positivs, b. Se é um vriável rel, então ) b lnlnb c b b) b lnb ln c b b c) c lnlnb b d) b b c b e) c lnb ln b b d é b

14 7. (EN 008) O vlor de ) cos cos4 C 4 sen b) cos C c) 4cos C 4sencos d é d) e) cos C cos4 cos C 4 8. (EN 008) Considere y f um função rel, de vriável rel, derivável té f'' f 0,. Se g f' sen f cos cos, então ) sen g C b) g C c) cos g C d) cos g f C e) g sen cos C ordem e tl que 9. (EN 009) O vlor de ) rccos rccotg C b) rcsen rctg C c) rcsen rccotg C d) rccos rctg C e) rccos rctg C 4 d é 4

15 0. (EN 009) A medid d áre d região pln limitd pel curv de equção equção y ) 4 b) c) 4 d) e) mede, em uniddes de áre, y 4 e pel ret de. (EN 00) Qul o vlor de sen6cos d? ) 7cos7 5cos5 c b) 7sen7 5sen5 c c) sen7 sen5 c 4 0 cos7 cos5 d) c 4 0 e) 7cos7 5cos5 c. (EN 0) Sejm f lncos, 0 e F f' sen d. Se 7 F 0 5, então 8 lim F vle 4 ) b) c) 0 d) e). (EN 0) Sejm f lncos, 0 e F f' sen d. Se 7 F 0 5, então 8 lim F vle 4 ) b) c) 0 d) e) 5

16 4. (EN 0) Qul o vlor de cossec sec d? ) 4 sen4 c b) 5 sen sen c 5 sen cos c) c 9 d) 4 sen4 c 6 e) 4 sen4 c 6 5. (EN 0) A t de deprecição dv de determind máquin é inversmente proporcionl o qudrdo dt de t, onde V é o vlor, em reis, d máquin t nos depois de ter sido comprd. Se máquin foi comprd por R$ ,00 e seu vlor decresceu R$ ,00 no primeiro no, qul o vlor estimdo d máquin pós 4 nos? ) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 6. (EN 0) Considere função f lnsec tg sen f' cos d é ) tg 8 sen C b) sec 6 C c) sec sen C d) tg 8 C e) sec 6 sen C 7. (EN 0) O vlor de 0 e cos d é, com 0. O resultdo de ) e e b) c) e e e d) e) 6

17 8. (EN 05) Sbendo-se que f é um função rel de vriável rel, tl que derivd segund de f em é f" cos e que 7 f 0 e f' 0, o vlor de f é 8 ) 8 5 b) 8 c) 5 d) e) 8 9. (EN 05) Considere função rel de vriável rel y f,, cujo gráfico contém o ponto,. Se f' sen cos, então f cos 4 é igul ) 8 b) 9 8 c) 7 8 d) e) (ITA 008) Sej C um circunferênci de rio r e centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Trç-se ret s pssndo pelos pontos O e E té interceptr em F ret t tngente à circunferênci C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção d região limitd pelo rco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB. 7

18 . GABARITO RESPOSTA: E (tg cotg ) d tg cotg d tg cotg d sec cossec d tg cotg C. RESPOSTA: B u cos du sen d sen d du sen du d C C sec C u u cos cos. RESPOSTA: D d cossec d cotg C sen 4. RESPOSTA: A du u 4 du 4 d d du f f' d d ln u C ln 4 C 4 u f 0 ln 6 C 0 C ln4 f 0 ln ln4 ln 4 8

19 5. RESPOSTA: C y y y du u e du e dy e dy y e du u y dy c u c e c y e u 6. RESPOSTA: D cos sen(/)d c 6cos c 7. RESPOSTA: B cos sen cosd sen cosd send c cos c 4 8. RESPOSTA: B Se áre entre curv y f e o eio pr, é o número A, então pr cd um ds regiões determinds por 9,9 9,7, 9,7 7,8 e 7, 8 8,4 é igul A. Assim, pr 9,4 9,7 7,8 8,4 A A A A. áre tmbém, áre entre curv y f e o eio é igul b kb Observe que o enuncido firm que fd fd, k 0. Ess propriedde é comptível com função f, com 0, pois d f d ln c, o que result kb kb b b d kb kb b k d f d ln ln kb ln k ln ln ln b ln fd. k k k Ess situção é ilustrd no gráfico seguir: k 9

20 9. RESPOSTA: B O crescimento pedido é o vlor d integrl definid 7 00 d. Assim, temos: d RESPOSTA: C Aplicndo trnsformção de produto em som, temos: sen cos 5 sen8 sen. Vmos recordr integrl cos k sen k d c. k cos 8 cos F F' d c sen 8 sen d c c 6 4 cos 80 cos 0 F 0 c 0 c cos 8 cos F cos8 cos cos cos F cos cos cos cos RESPOSTA: C 0 0 d d du rc tgu u u du d. RESPOSTA: D n p ln p e d e d pd p d p c p c 0

21 . RESPOSTA: D y y' d e d e d d d e e d d d rctg ln C 0 e 4 y 0 rctg 0 ln 0 C C C 4 4 e e ln e y rctg ln ln4 4. RESPOSTA: E e du d rccotgu C rccotge C 4 e u u e du e d 5. RESPOSTA: D * dy 6 dy 8y 0, 8 d 4 d dy dy d 4 d 4 4 dy d d d d d ln d ln C C 6

22 6. RESPOSTA: C Relembrndo s derivds ds eponenciis e logritmos. e e, ln, ln, log ' ln ' ' ' Pr efetur integrl do problem vmos usr: d C ln b b b b d d d d d b b b b b b C C b lnlnb ln ln b b 7. RESPOSTA: E cos 4sencos d 4sen d sencosd send cos4 cos cos4 sen4d send C cos C RESPOSTA: C f' cos fsen cossen g' f'' sen f' cos g' f'' f sen sen f'' f 0 g' sen cos g sen d C 9. RESPOSTA: E d d d d 4 d d d d rccos rctg C

23 0. RESPOSTA: B Vmos mostrr como resolver ess questão usndo integris, entretnto solução mis simples combin geometri nlític e geometri pln, e dispens o uso de integrção. Vmos inicilmente identificr os limites de integrção A áre será dd por: S 0 4 d 0 4 d 0 d d 0 4 d 0 d sen u cosudu 0 sen 0 0 cosu senu sen0 4 cos udu 4 du u 0 d u rcsen senu cosudu Alterntivmente, podemos observr o seguinte: y 4 y 4 y 0 y y 0 Logo, ess equção represent um semicircunferênci de centro,0 e rio. A áre pedid é áre de um segmento circulr de 90 em um círculo de rio. S 4

24 . RESPOSTA: D sen6 cos sen7 sen5 sen6 cosd sen7 sen5 d sen7d 7 sen5d cos7 cos5 cos7 cos5 c c RESPOSTA: B f ln cos f' cossen tg cos F f' sen d 4 tg sen d cos4 7 4sec 4 d 4dtg d cos4d 7 sen4 4tg C F 0 4tg0 0 sen 40 C C sen lim F lim 4 tg RESPOSTA: B f ln cos f' cossen tg cos F f' sen d 4 tg sen d cos4 7 4sec 4 d 4dtg d cos4d 7 sen4 4tg C F 0 4tg0 0 sen 40 C C sen lim F lim 4 tg

25 4. RESPOSTA: A cossec sec d d sen cos d sencos d cossec sec 4 cos4 sen4 sen d d c 4 sen4 c RESPOSTA: B t t t dv dv t k. ds k ds V(t) V(0) k(s ) V(t) V(0) k dt (t ) ds (s ) t decresceu R$ ,00 no primeiro no, então V() V(0) k. k Portnto, tomndo V(0) e t 4 teremos V(4) Como o vlor 6. RESPOSTA: D f lnsec tg sen sec tg sec f' sec tg ' cos cos sec tg sec tg sec tg sec cos sec cos sec tg f' sec cos sec sec cos 4cos sec 4 4cos f' cos sec 4 4cos cos sec 8 f' cos d sec 8d tg 8 C 7. RESPOSTA: A 0 0 e e e e e cos d sen sen sen0 0 5

26 8. RESPOSTA: D senk Inicilmente, devemos recordr s integris coskd c e k cos cos cos cos sen f' f" d c0 d c0 c0 4 sen0 0 f' 0 f' 0 c0 c0 4 sen f' 4 sen cos f f' d c d c c cos0 0 7 f 0 f 0 0 c c cosk senkd c. k cos f e cos 7 f RESPOSTA: C sen f' sen cos sec cos sen cos f f' d C sec d C tg C 4 f tg cos C C C f tg cos f tg cos

27 0. RESPOSTA: ª SOLUÇÃO: A figur em questão é dd pelo esquem bio: A rotção de AEF em torno do eio AB ger um sólido cujo volume é ddo pel retird de um clot esféric (ltur r/ e rio d seção r ), de um tronco de cone (ltur r/ e rios de bse r e r ). h VTRONCO SB Sb S B.Sb r r r r VTRONCO r r h r r r 5r V CALOTA R h 6 4 r 5r VS VTRONCO VCALOTA r 4 4 ª SOLUÇÃO: Vmos utilizr um circunferênci de rio e, depois, plicr rzão de semelhnç pr o cso gerl. y E B 0 A D 7

28 Pr r =, utilizndo o sistem de eios indicdo, ret OE tem equção y, e circunferênci, y 4. Assim, o volume procurdo é igul y V yd yd, com. y V 4 4 d Logo Pr clculr o volume no cso gerl, bst multiplicr pelo cubo d rzão de semelhnç: 6π r π V S. r. 8

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

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