Cálculo III-A Módulo 8

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1 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 8 Aul 15 Integrl de Linh de mpo Vetoril Objetivo Definir integris de linh. Estudr lgums proprieddes. Integrl de Linh de mpo Vetoril Motivção onsidere um prtícul que se move o longo de um curv : γ(t) ( x(t),y(t) ), t [,b], sob ção de um cmpo de forçs F (x,y) P(x,y) i + Q(x,y) j. Queremos clculr o trblho relizdo pel forç F, qundo prtícul se desloc de A γ() té B γ(b). D físic, temos, no cso em que F é constnte e é um segmento de ret, o trblho ddo pelo produto esclr W F AB. No cso gerl, dividimos o intervlo [,b] em n subintervlos [t i 1,t i ], i 1,...,n, de mesmo comprimento t t i t i 1. Temos n subrcos γ ( [t i 1,t i ] ) i e n segmentos [A i 1,A i ], A i γ(t i ) ( x(t i ),y(t i ) ), com i 1,...,n. t A i t i 1 γ A i+1 t i b t n Supondo que F constnte o longo do segmento [A i 1,A i ], o trblho o longo de i é proximdmente igul o produto esclr W i ( F γ(ti ) ) A i 1 A i F ( γ(t i ) ) (A i A i 1 ) P ( x(t i ),y(t i ) ) x+q ( x(t i ),y(t i ) ) y, onde x x(t i ) x(t i 1 ) e y y(t i ) y(t i 1 ).

2 álculo III-A Módulo 8 2 Pelo Teorem do Vlor Médio, temos x x (t i) t, com t i ]t i 1,t i [ e y y (t i ) t, com t i ]t i 1,t i [. Logo, portnto W W i [P ( x(t i ),y(t i ) ) x ( t i n i1 Assim, definimos W lim t S n. Então W ) ( +Q x(ti ),y(t i ) ) y ( ) ] t i t [ P ( x(t i ),y(t i ) ) x ( ) ( t i +Q x(ti ),y(t i ) ) y ( ) ] t i t S n. b Est motivção sugere definição que se segue. Definição: [ P ( x(t),y(t) ) x (t)+q ( x(t),y(t) ) ] y (t) dt. Sej R 3 um curv regulr dd por um prmetrizção γ : [,b] R 3 de clsse 1, tl que γ (t), pr todo t ],b [. Sej F (P,Q,R) um cmpo vetoril contínuo sobre. Então integrl de linh do cmpo F o longo de, denotdo por F d r, é definid por b F d r F (γ(t)) γ (t)dt b [ P ( x(t),y(t),z(t) ) x (t)+q ( x(t),y(t),z(t) ) y (t)+r ( x(t),y(t),z(t) ) ] z (t) dt. OBS.: 1. Sej um curv regulr por prtes: n. Então r F d r F d r 1 n 2. A integrl de linh de um cmpo vetoril F, F d r não depende d prmetrizção de, desde que não se invert su orientção. Isto é, denotndo por curv percorrid em outro sentido, então r F d r

3 álculo III-A Módulo 8 3 OBS.: 3. Se é um curv fechd (γ() γ(b)) e está orientd no sentido nti-horário, denotmos integrl de linh por F d r. + so contrário, denotmos por F d r. Exemplo 1 Sej F (x,y,z) x i + y j + z k. Temos integrl de linh F o longo d hélice : γ(t) (cost,sent,t), com t 2π dd por b F d r F (γ(t)) (γ (t)) dt 2π 2π 2π [ ] 2π t 2 2 2π 2. (cost,sent,t) ( sent,cost,1) dt ( costsent+sentcost+t) dt tdt Um outr notção Sbemos que dx x (t) dt, dy y (t) dt e dz z (t) dt. Se usrmos convenção d r dx i +dy j +dz k (dx,dy,dz), temos r (P,Q,R) (dx,dy,dz) P dx+qdy+rdz b [ P ( x(t),y(t),z(t) ) x (t)+q ( x(t),y(t),z(t) ) y (t)+r ( x(t),y(t),z(t) ) ] z (t) dt. Logo, um outr notção é P dx+qdy +Rdz. Exemplo 2

4 álculo III-A Módulo 8 4 lcule y dx+(x 2 +y 2 ) dy, onde é formdo pelos segmentos que ligm ( 2,) (,) e (,) (,2). Solução: O esboço de 1 2 está representdo n figur o ldo. y (,2) 2 ( 2, ) (, ) 1 x 1 e 2 podem ser prmetrizds por { x t 1 : y, { x 2 : y t,, 2 t, portnto dx dt e dy., t 2, portnto dx e dy dt. Temos Logo, ( y dx+ x 2 +y 2) dy 1 y dx+(x 2 +y 2 ) dy dt+ ( t 2 + 2) t +( 2 +t 2 ) dt 2 t 2 dt [ ] 2 t y dx+(x 2 +y 2 ) dy Aul 16 mpos onservtivos Objetivo Estudr um clsse de cmpos vetoriis que tem propriedde de que integrl de linh não depende do cminho. álculo de funções potenciis.

5 álculo III-A Módulo 8 5 mpos onservtivos Dizemos que F : D R n R n, (n 2, 3) é um cmpo conservtivo ou um cmpo grdiente se existir um cmpo esclr diferenciável ϕ : D R n R, tl que ϕ F em D. O cmpo esclr ϕ : D R n R é dito função potencil de F em D. Exemplo 1 O cmpo vetoril F (x,y,z) (2x+3yz) i + 3xz j + 3xy k é um cmpo conservtivo em R 3, pois existe ϕ(x,y,z) x 2 +3xyz diferenciável em R 3, tl que ϕ F em R 3. A seguir, presentremos lguns resultdos dos cmpos conservtivos. Teorem 1: Sej F : D R n R n, (n 2, 3) um cmpo vetoril de clsse 1. Se F é conservtivo, então rot F. Demonstrção: Suponhmos n 3. Então, F (P,Q,R). Se F é conservtivo, existe ϕ : D R 3 R, tl que ϕ F. Logo, rot F F ( ϕ) por propriedde dos operdores diferenciis. Mis dinte, veremos um exemplo de um cmpo vetoril não conservtivo, com rotcionl nulo. OBS.: O Teorem 1 tmbém pode ser enuncido d seguinte mneir: Se rot F em D, então F não é conservtivo em D. Exemplo 2 Temos que F (x,y) 2x x 2 +y 2 i + 2y x 2 +y 2 j é um cmpo conservtivo em R 2 {(,)}, pois existe ϕ(x,y) ln(x 2 +y 2 ), tl que ϕ F em R 2 {(,)}. Exemplo 3 Temos que F (x,y) 2y i +2x j não é um cmpo conservtivo. Or, temos que rot F (x,y) ( Q x P y) k (2 ( 2)) k 4 k.

6 álculo III-A Módulo 8 6 então r Teorem 2: Sej F : D R n R n, (n 2, 3) de clsse 2. Se F é conservtivo, isto é, F ϕ em D, e se é qulquer curv regulr por prtes com ponto inicil A e ponto finl B, ϕ d r ϕ(b) ϕ(a). Demonstrção: A demonstrção segue d definição de integrl de linh e d regr d cdei (ver Teorem 6.2 do livro). Este resultdo é conhecido como Teorem Fundmentl do álculo pr Integris de Linh. É dele que concluímos que integrl de linh de um cmpo conservtivo só depende dos pontos A e B e não depende d trjetóri que os une. Teorem 3: Se F : D R n R n, (n 2, 3) é conservtivo, então F d r qulquer que sej o cminho fechdo. Demonstrção: A demonstrção segue do Teorem 2, pois sendo um cminho fechdo, o ponto finl B coincide com o ponto inicil A, portnto ϕ(b) ϕ(a). Assim, integrl de linh é zero. Este Teorem tmbém pode ser enuncido d seguinte mneir: Se r pr lgum curv fechd então F não é conservtivo. Exemplo 4 lcule F d r, onde F (x,y) x i +y j e é dd por γ(t) (rctgt,cost 4 ), t 1. Solução: Observemos que F é um cmpo conservtivo em R 2 com função potencil ϕ(x,y) 1 2 (x2 +y 2 ).

7 álculo III-A Módulo 8 7 Assim, r ϕ(γ(1)) ϕ(γ()) ϕ(rctg1,cos1) ϕ(rctg,cos) ϕ ( π,cos1) ϕ(,1) 4 ( ) 1 π cos ( ) ( ) 1 π cos2 1. A seguir exibiremos um cmpo vetoril não conservtivo com rotcionl, o que mostr que recíproc do Teorem 1 é fls. Exemplo 5 Sej F (x,y) y x 2 +y i + x 2 x 2 +y j, (x,y) D R 2 {(,)}. omo Q P (verifique!), 2 x y rot F em D. lculemos F d r, onde é circunferênci γ(t) (cost,sent), t 2π. Temos r y x 2 +y 2 dx+ x x 2 +y 2 dy 2π [( sent ) ( ( sent)+ cost ) ] 2 (cost) dt 2 2π (sen 2 t+cos 2 t) dt 2π (1) Se F fosse conservtivo, terímos encontrdo, pelo Teorem 3, que F d r, o que + contrdiz (1). Logo, F não é conservtivo. N ul18, veremos, procso n 2, que, impondo certscondições odomíniode F, recíproc do Teorem 1 é verddeir. álculo de Funções Potenciis Exemplo 6 Sbe-seque F (x,y) (2xy 2 y 3,2x 2 y 3xy 2 +2)éumcmpogrdiente. Determineumfunção potencil. Solução:

8 álculo III-A Módulo 8 8 Pr determinr um função potencil ϕ(x, y), devemos ter Integrndo (2) em relção x, temos Integrndo (3) em relção y, temos x 2xy2 y 3 (2) y 2x2 y 3xy 2 +2 (3) ϕ(x,y) x 2 y 2 xy 3 +f(y) (4) ϕ(x,y) x 2 y 2 xy 3 +2y +g(x) (5) De (4) e (5), vemos que, tomndo f(y) 2y e g(x), segue que um função potencil é ϕ(x,y) x 2 y 2 xy 3 +2y. Exemplo 7 Sbe-se que F (x,y,z) 2xy i + (x 2 +zcos(yz)) j + ycos(yz) k é um cmpo conservtivo. Determine um função potencil. Solução: Devemos ter: 2xy x (6) y x2 +zcos(yz) (7) ycos(yz) (8) z Integrndo (6), (7) e (8) em relção x, y e z respectivmente, temos ϕ(x,y,z) x 2 y +f(y,z) (9) ϕ(x,y,z) x 2 y +sen(yz)+g(x,z) (1) ϕ(x,y,z) sen(yz)+h(x,y) (11) De (9), (1) e (11), devemos ter f(y,z) sen(yz), g(x,z) e h(x,y) x 2 y. Logo, é um função potencil de F. ϕ(x,y,z) x 2 y +sen(yz) Exercício 1: lcule x dx+x 2 dy de ( 1,) (1,)

9 álculo III-A Módulo 8 9 ) o longo do eixo x b) o longo de : r (t) ( cost,sent), com t π. c) o longo d poligonl de vértices ( 1,), (,1), (1,1) e (1,). Exercício 2: lcule os vlores de 2xy dx+(x 2 +y 2 )dy o longo do cminho, onde é ) prte superior d circunferênci x 2 +y 2 2 de (,) (,); b) prte superior d elipse x 2 +4y 2 2x, orientd no sentido nti-horário. Exercício 3: lcule o trblho relizdo pel forç F (x,y) (x, y) pr deslocr um prtícul o longo d curv fechd 1 2 3, onde 1 : segmento de ret de O (,) A (1,1); 2 : prte d curv 4x 2 12x+4y 2 8y +12, com y 1, do ponto A (1,1) B (2,1); 3 : segmento de ret BO. Exercício 4: lcule (,1,π/2). 2x dx 3y dy + z 2 dz, onde é o segmento de ret que une (1,,) Exercício 5: Determine o trblho relizdo pel forç F (x,y,z) (3y + z) i + (y 3x) j + +(e z +x) k pr deslocr um prtícul o longo d curv interseção do cilindro x 2 + y 2 1 com o plno z 5, orientd no sentido nti-horário qundo vist de cim. Exercício 6: lcule z dx + y dy x dz, onde é interseção ds superfícies y + z 8 e x 2 +y 2 +z 2 8z, com x, no sentido nti-horário qundo vist de cim. Exercício 7: Sbe-se que o cmpo F (e x+y +1) i +e x+y j é um cmpo conservtivo em R 2. ) Encontre um função potencil pr F. b) lcule F d r onde é o rco de circunferênci (x 1) 2 + que vi de (1,) (1,1). ( y 1 ) , com x 1 Exercício 8: Determine um função potencil pr cd cmpo conservtivo. ) F (x,y) (x 2 +y 2 ) i +2xy j. b) F (x,y) (cos(xy) xysen(xy)) i (x 2 sen(xy)) j. c) F (x,y) (6xy 3 +2z 2,9x 2 y 2,4xz +1).

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