Integrais Imprópias Aula 35

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1 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm Engenhri de Computção Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

2 Teorem Sejm α, β, γ, m, n, p R, com α, β, γ distintos. Então existem A,B,C R tis que mx 2 +nx +p (i) (x α)(x β)(x γ) = A x α + B x β + C x γ ; (ii) (iii) mx 2 +nx +p (x α)(x β) 2 = A x α + B x β + C (x β) 2 ; mx 2 +nx +p (x α) 3 = A x α + B (x α) 2 + C (x α) 3. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

3 Exemplo Clcule 2x + x 3 x 2 x + dx. Como é riz de x 3 x 2 x +, sbemos que (x ) é um ftor e obtemos x 3 x 2 x + = (x )(x 2 ) = (x ) 2 (x +). A decomposição em frções prciis é 2x + x 3 x 2 x + = A x + + B (x ) + C (x ) 2. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

4 Então, 2x + = A(x ) 2 +B(x +)(x )+C(x +). Fzendo x = obtemos 3 = 2C ou C = 3. Fzendo x =, obtemos 2 = 4A ou A = 4. Fzendo x = 0, obtemos = 4 B ou B = 4. Assim, 2x + x 3 x 2 x + dx = 4 x + dx + 4 x dx (x ) 2 dx = 4 ln x ln x 3 2x +k. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

5 Queremos clculr integris do tipo P(x) x 2 +bx +c dx, onde P é um polinômio e = b 2 4c < 0. Então devemos reescrever o denomindor como som de qudrdos. Em seguid, fzemos um mudnç de vriável e clculmos integrl. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

6 Exemplo Clcule 2x + x 2 +2x +2 dx. Escrevmos o denomindor como som de qudrdos x 2 +2x +2 = x 2 +2x ++ = (x +) 2 +. Fzendo u = x +, temos du = dx; 2x + x 2 +2x +2 dx = 2x + 2(u )+ (x +) 2 + dx = u 2 du + 2u = u 2 + du + u 2 + du = ln(+u 2 ) rctgu +k = ln(+(x +) 2 ) rctg(x +)+k. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

7 Exemplo 4x 2 3x +2 Clcule 4x 2 4x +3 dx. Como o gru do denomindor é igul o gru do denomindor, primeiro vmos dividir os polinômios, 4x 2 3x +2 4x 2 4x +3 = + x 4x 2 4x +3 = + x (2x ) Fzendo u = 2x ou x = u +, temos du = 2dx, ssim 2 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

8 4x 2 ( 3x +2 4x 2 4x +3 dx = + ) x (2x ) 2 dx +2 u+ 2 = x + 2 u 2 +2 du = x + u 4 u 2 +2 du = x + u 4 u 2 +2 du 4 u 2 +2 du = x + 8 ln u2 + ) u rctg( +k = x+ 8 ln (2x ) rctg2x +k. 2 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

9 Agor, vmos considerr integris do tipo P(x) (x α)(x 2 +bx +c) dx, onde P é um polinômio e = b 2 4c < 0. Teorem Sejm m, n, p,, b, c, α R tis que = b 2 4c < 0. Então existem A,B,D R tis que mx 2 +nx +p (x α)(x 2 +bx +c) = A Bx +D + x α x 2 +bx +c. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

10 Exemplo x 5 +x + Clcule x 3 dx. 8 Observe que x 3 8 = (x 2)(x 2 +2x +4). Dividindo obtemos x 5 +x + x 3 8 = x 2 + 8x2 +x + x 3 8 = x 2 + 8x 2 +x + (x 2)(x 2 +2x +4). Pelo método de frções prciis, 8x 2 +x + (x 2)(x 2 +2x +4) = A Bx +C + x 2 x 2 +2x +4. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

11 Então, 8x 2 +x + = A(x 2 +2x +4)+(Bx +C)(x 2). Fzendo x = 2 obtemos 35 = 2A ou A = 35. Fzendo x = 0, obtemos 2 = 4A 2C ou C = 6. Fzendo x =, obtemos 3 0 = 7A B C ou B = 6 2. Assim, 8x 2 +x + 35 (x 2)(x 2 dx = +2x +4) 2 6 x 2 dx + 2 x x 2 +2x +4 dx = 35 ln x x +64 x 2 +2x +4 dx. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

12 Pr clculr últim integrl, escrevemos x 2 +2x +4 = (x +) 2 +3 e fzemos u = x + ou x = u e du = dx; portnto, 6x +64 x 2 +2x +4 dx = 6x +64 6(u )+64 (x +) 2 +3 dx = u 2 du +3 = 6 u u 2 +3 du+3 = 6 2 ln((x +)2 +3)+ 3 3 rctg x + 3 +k. Finlmente, x 5 +x + x 3 8 dx u 2 +3 du=6 2 ln(u2 +3)+ 3 rctg u +k 3 3 = x ln x ln((x +)2 +3) rctgx +k. 3 3 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

13 Testes de Convergênci Integris Imprópris N definição de integrl definid b f(x)dx exige-se que função f estej definid num intervlo limitdo e fechdo [,b] e que f sej limitd nesse intervlo. A seguir estendemos o conceito de integrl definid pr csos mis geris. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

14 Testes de Convergênci Integris Imprópris - Invervlos infinitos Consideremos função f(x) = e clculemos áre A limitd x2 pelo gráfico de f e pels rets y = 0, x = e x = b, com b >. Então b A = x 2 dx = b x = b. Fzendo b +, temos A. Isto quer dizer que áre A do conjunto ilimitdo é finit e igul. {(x,y) R 2 : 0 y f(x), x } Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

15 Testes de Convergênci Definição (Integrl Imprópri do Tipo ) Se Se t f(x)dx existe pr cd número t, então definimos se o limite existir. b t t f(x)dx = lim f(x)dx, t f(x)dx existe pr cd número t b, então definimos b se o limite existir. b f(x)dx = lim f(x)dx t t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

16 Testes de Convergênci Qundo um ds integris imprópris cim existir e for finit, diremos que el é convergente. Cso contrário, el será dit divergente. Exemplo Determine se integrl dx = lim x t t x dx é convergente ou divergente. ln x t t = lim lnt =. t dx = lim x Como o limite é infinito, integrl é divergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

17 Testes de Convergênci Exemplo Determine se integrl t dx = lim x3 t dx é convergente ou divergente. x3 dx = lim x3 t 2x 2 Como o limite é finito, integrl é convergente. Exemplo Determine se integrl 0 xe x dx = lim t 0 0 t t = lim t 2t 2+ 2 = 2. xe x dx é convergente ou divergente. xe x dx = lim t ( tet +e t ) =. Como o limite é finito, integrl é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

18 Testes de Convergênci Definição Se s integris f(x)dx, convergentes, então definimos f(x)dx = f(x)dx existem e são f(x)dx + f(x)dx. Observção: Se um ds integris imprópris f(x)dx for divergente, então f(x)dx ou f(x)dx tmbém o será. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

19 Testes de Convergênci Exemplo Avlie dx. É conveniente escolher = 0 n definição: +x2 +x 2 dx = Clculemos s integris. 0 0 Portnto, 0 t dx = lim +x2 t 0 +x 2 dx + 0 dx = lim +x2 +x 2 dx. rctg x t 0 dx = lim dx = lim +x2 t t +x2 rctg x t +x 2 dx = π 2 + π 2 = π. t 0 = π 2. 0 t = π 2. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

20 Testes de Convergênci Testes de Convergênci Algums vezes não é possível encontrr um vlor exto pr um integrl imprópri, ms podemos sber se el é convergente ou divergente usndo outrs integris conhecids. Teorem (Teste d Comprção) Sejm f e g funções contínus stisfzendo f(x) g(x) 0 pr todo x. Então, (i) Se (ii) Se convergente. divergente. f(x)dx é convergente, então g(x)dx é divergente, então g(x)dx tmbém é f(x)dx tmbém é Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

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