8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
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- Maria das Graças Vieira Ribeiro
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1 Cpítulo 8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 8. Introdução N definição de integrl definid, considermos função integrnd contínu num intervlo fechdo e limitdo. Agor, estenderemos est definição pr os seguintes csos: Funçõesdefinidsemintervlosdotipo [,+ ), (,]ou (,+ ),ousejprtodo x ou x ouprtodo x R,respectivmente. Afunçãointegrndédescontínuemumponto ctlque c [,]. As integris dests funções são chmds integris imprópris. As integris imprópris são de grnde utilidde em diversos rmos d Mtemátic como por exemplo, n solução de equções diferenciis ordináris vi trnsformds de Lplce e no estudo ds proiliddes, em Esttístic. 8. Integris Definids em Intervlos Ilimitdos Antes de enuncir s definições estudemos o seguinte prolem: Clculr áre d região R determindpelográficode y = x, x eoeixodos x. Primeirmentenotequeregião Réilimitdenãoéclroosignificdode"áre"deumtl região. Figur8.:Gráficode y = x, x. Sej R regiãodetermindpelográficode y = xe x,cimdoeixodos x. 39
2 3 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Aárede R é: Figur8.:Gráficode y = x, x. A(R ) = x = x =. Éintuitivoqueprvloresde muitogrndesregiãolimitd R éumoproximção d região ilimitd R. Isto nos induz escrever: qundo o limite existe. Neste cso: É comum denotr A(R) por: A(R) = lim A(R ) = lim A(R) = lim A(R ), x = lim ( ) = u.. Est integrl é um exemplo de integrl imprópri com limite de integrção infinito. Motivdos pelo rciocínio nterior temos s seguintes definições: Definição 8...Se féumfunçãointegrávelem [,+ ),então: x. f(x) = lim f(x).se féumfunçãointegrávelem (,],então: f(x) = lim f(x) 3.Se féumfunçãointegrávelem R = (,+ ),então: f(x) = lim f(x) + lim f(x)
3 8.. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 3 Se ns definições nteriores os limites existirem, s integris imprópris são dits convergentes; cso contrário são dits divergentes. Exemplo 8.. Clcule s seguintes integris imprópris: [] [] [3] [4] + x. e x. e x. + x = lim + x = lim rctg(x) e x = lim e x = lim e x = lim ( e x ) e x + lim x (x + ).Sej u = x + ;logo du = x: x (x + ) = = lim rctg() = π. = lim ( e + ) =. e x = lim ( e x ) du u = u = (x + ). + = +. Então, x (x + ) = lim x (x + ) + lim x (x + ) =. [5]Clculeáredregião,noprimeiroqudrnte,determindpelográficode y = x,o eixodos xeàdireitdoeixodos y. A(R) = [6]Sej p R.Clcule ] x = lim [ x = lim x = ln() ln() u.. x p. x p = p ( p ), p )Se p > temos: lim p = ;logo, x p = p.
4 3 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS )Se p < temos: lim p = ;logo, c)se p =,temos: x p =. x = lim x = lim ln() =.Emgerl: x p = { se p p se p >. Portnto,integrlconvergepr p > edivergepr p. 4 4 Figur8.3:Gráficosde y = x e y = x,pr x >,são,respectivmente. [7]Clculeáredregiãolimitdpor f(x) = x eoeixodos x. + Figur8.4:Gráficode f(x) = x +. A = = lim x + = x + + x + + lim x +. = lim ( rctg()) + lim rctg() = π + π = π u.. x + Muits vezes não é possível clculr o vlor exto de um integrl imprópri, ms, podemos indgr se um integrl imprópri converge ou diverge.
5 8.. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 33 Proposição8.. Sejm fe gfunçõesintegráveisem [,+ )tisque f(x) g(x) > prtodo x.. Se. Se f(x)converge,então g(x) converge. g(x) diverge, então f(x)diverge. Aprov,seguediretmentedsdefinições.Sej f(x),prtodo x.prmostrrconvergêncidintegrlde f,éprecisoque fsejmenorqueumfunçãocujintegrlconverge. Prmostrrdivergêncidintegrlde f,éprecisoque fsejmiorqueumfunçãocuj integrl diverge. Exemplo 8.. [] Anlise convergênci d integrl: Considere seguinte desiguldde: sen(x) +. x x = + x sen(x) + x. Por outro ldo: diverge. [] Anlise convergênci d integrl x diverge;logo,pelproposição,prte,temosqueintegrldd e x. Figur8.5:Gráficode e x emzulede e x emvermelho,respectivmente. Clrmente e x ex,prtodo x ;então,como temos que integrl dd converge. e x = lim ( e + e ) = e,
6 34 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 8.. Aplicção Um função positiv integrável em R é chmd densidde de proilidde se: f(x) = Assimdenotmosedefinimosproiliddedeumnúmero xestrcomprendidoentre e ( < );por: P( < x < ) = f(x) Anlogmente definimos s outrs possiiliddes. Tmém podemos definir o vlor esperdo donúmero x,como E(x) = Exemplo 8.3. xf(x). Sej α >,função f(x) = { α e αx se x se x <, é de densidde de proilidde. De fto: f(x) = α e αx = α lim e αx = lim ( e α ) =. Por outro ldo, e P( < x < ) = α E(x) = α e αx = e α xe αx = α. 8.3 Integris de Funções Descontínus Prolem:Clculráredregião Rdetermindpelográficode y = x, x 9eoeixodos x.notmosqueregião Réilimitdpoisfunção fnemédefinidnoponto x =.Sej R regiãodetermindpelográficode y = x e x 9, > pequeno.
7 8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 35 9 Aárede R é: A(R ) = Figur8.6:Aregião R. 9 = x x 9 = ( 6 ) u.. Éintuitivoqueprvloresde muitopequenosregiãolimitd R éumoproximção d região ilimitd R. Isto nos induz escrever: 9 A(R) = lim + A(R ) = lim + 9 ( ) = lim 6 = 6u.. x + x éumexemplodeintegrlimprópricomintegrndoilimitdo.motivdospelorciocínio nterior, temos s seguintes definições: Definição 8... Se féumfunçãointegrávelem (,],então: f(x) = lim +. Se féumfunçãointegrávelem [,),então: f(x) = lim f(x) f(x) y=f(x) + - Figur 8.7:
8 36 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 3.Se féumfunçãointegrávelem [,]excetoem ctlque < c <,então: f(x) = c f(x) + c f(x) = lim c f(x) + lim c + f(x) Se ns definições nteriores os limites existirem, s integris imprópris são dits convergentes; cso contrário, são dits divergentes. Exemplo 8.4. Clcule s seguintes integris imprópris: π cos(x) sen(x). [] Fzendo u = sen(x) temos: [] [3] 4 π 4 x. cos(x) sen(x) = lim cos(x) du = = sen(x).logo, sen(x) u sen(x) + = lim = lim rcsen(x 4 x 4 x ) 3 x +. Oservequefunçãointegrndnãoédefinidem [ 4,]. 4 π = lim +( sen()) =. = lim (rcsen( )) = π. 3 = lim x lim 4 x x + = 3 lim (x + ) lim 4 +(x + ) 3 = 3 [ 3 lim ( ] 3 ) + lim +( 9 3 ) = 3 ( ). [4]Clculeocomprimentodstróide 3 x + 3 y = 3, >. Figur 8.8: A stróide.
9 8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 37 A curv não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordendos; pel simetri, clculremos o comprimento d curv no primeiro qudrnte e multiplicremos o resultdo por4.derivndoimplicitmenteequçãodstróide 3 x + 3 y = 3 emrelçãox: y = 3 y 3 x ; então, + (y ) = 3 3 x. Núltimigulddeusmosoftodeque 3 x + 3 y = 3 ;logo, L = = 4 3 lim x + 3 = 4 3 [3( 3 3) lim x + ] = 6u.c. [5]Clculeárelimitdpor f(x) = x,epelsrets x = ex=5. > Figur8.9:Gráficode f(x) = x. A = 5 5 = lim = lim x x + x + 5 = 3 u.. Num integrl imprópri com limite superior infinito e cuj função integrnd não é definid nolimiteinferior,procedemosssim:se féintegrávelem (,+ )então f(x) = lim + onde < c;nlogmentenosoutroscsos. Exemplo 8.5. [] x x 4. c f(x) + lim c f(x) 3 x x 4 = lim + x x 4 + lim 3 x x 4 = lim rcsec(x + ) 3 + lim rcsec(x ) 3 = [ lim rccos( + x ) 3 + lim rccos( x ) ] = π 4. 3
10 38 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS []Clculeáredregiãolimitdpelográficode y = x(x + ) eoeixodos x Como x(x + ) = rctg( x),então: Figur8.:Gráficode f(x) = x (x+). = lim + lim x(x + ) + x(x + ) = lim rctg( x) + lim + [ = = π u.. x(x + ) rctg( x) π 4rctg( ) lim + lim + 4 4rctg( ) π 4 ] 8.4 Exercícios. Clcule s seguintes integris imprópris, cso sejm convergentes: () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) 3 x x x + 9 (x + )(x + ) xe x x e x xln(x) cosh(x) + senh(x) x5 x (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) xcosh(x) ln(x) x x + sen(t π)e t dt (x 3) x x + x + x + 5 x 3 + x
11 8.4. EXERCÍCIOS 39 (q) (r) (s) (t) e e x sen(x) x (x + ) x 3 + x 4 xln 3 (x) (u) (v) (w) (x) xsen(x) x + 3 x xln (x). Clcule áre ds regiões determinds por: () y = (e x + e x ) () y = x, y = e x e x (c) y = x 4 +eoeixodos x. 3. Clcule s seguintes integris imprópris, cso sejm convergentes: () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) π π 5 4 x cos(x 3) x 3 6 x e x x x 7 (ln(x)) x 3 cos(x) x x 5 (5 x) x 4 x x (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) 3 π 3 π (x ) cos(x) 4x x 3 3x + 3 x x x xln (x) x ln(x) + x x x sen( x ) ( x 3 ) x 3 ln(x) 4. Determine o vlor de s tl que s seguintes integris imprópris sejm convergentes:
12 33 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS () () (c) (d) e st dt e st sen(t)dt e st e t dt t e st dt (e) (f) (g) (h) π π e st senh(t)dt e st cosh(t) dt cos(x) x s (sen(x)) s 5.Sej Γ(x) = t x e t dt, x > ;estfunçãoéchmdfunçãogm.verifique: () Γ(x + ) = xγ(x), x >. ()Se n N, Γ(n + ) = n! { x se x 3 6.Sej f(x) =.Determine demodoque fsejfunçãodedensidde se x > 3 de proilidde. 7.Determine kprque f(t) = e k t sejfunçãodedensiddedeproilidde. 8. Verifique que e x x n+ = n! ; n N. 9.Se féfunçãodedensiddedeproilidde,definproiliddedeumnúmero xser miorque,sermenorque.. Num fáric de circuitos impressos, vid útil desses circuitos tem um distriuição descritpeldensiddedeproilidde f(x) =.e.x se x,onde xémedido em hors. () Qul é proilidde dos circuitos funcionrem em menos de 6 hors? () Qul é proilidde dos circuitos continurem funcionndo pós 6 hors?
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