Primitivas. Noção de primitiva. A primitivação é a operação inversa da derivação.

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1 Primitivs Noção de primitiv A primitivção é operção invers d derivção. Definição: Sej f um função definid num intervlo I. Qulquer função F definid e diferenciável em I tl que F x fx, pr todo o x I, diz-se um primitiv de f em I. Diz-se que f é primitivável em I se f dmitir um primitiv em I. Nturlmente, se F for um primitiv de f, tmém F C (em que C é um constnte rel) é um primitiv de f. Mis, num intervlo, tods s primitivs de um dd função diferem de um constnte: Proposição: Se F e G são dus primitivs de f no intervlo I, então F e G diferem de um constnte, isto é, existe C tl que Fx Gx C, pr todo o x I. Notção: P x fx, Pfx e fxdx representm (em gerl) tods s primitivs de f. Questões: P x fx? P x f x? An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 1

2 Proprieddes ds Primitivs Proposição: Sej f um função diferenciável no intervlo,. Então, no intervlo,, P x f x fx C. Proposição: Sejm f e g funções primitiváveis no intervlo I e R. Então, nesse intervlo, tem-se que: 1. Pfx gx Pfx Pgx; 2. Pfx Pfx. Atenção: primitiv do produto não é o produto ds primitivs!!! Proposição: Se f é um função contínu num intervlo, então f é primitivável nesse intervlo. Mis: Proposição: Se f é um função contínu no intervlo I, pr cd x 0 I e y 0, existe um e um só primitiv F de f em I tl que Fx 0 y 0. Fx 0 y 0 condição inicil do prolem A est questão, de determinr (únic!) primitiv que verific um cert condição inicil, chm-se Prolem de vlores iniciis ou Prolem de Cuchy. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 2

3 Algums primitivs imedits Função sen x cosx Primitiv cosx C sen x C x x, 1, x 0 1 C 1 1 x ln x C 1 1x 2 1 1x 2 rctgx C rcsen x C Um tel de primitivs ásics é um tel de derivds presentd o contrário! Not: Pel regr de derivção d função compost, Fx xf x. Portnto, se F é um primitiv de f, então Fx é um primitiv de xfx. Assim, temos um versão mis gerl d tel nterior: Função x senx x cosx xx, 1,x 0 x x x 1x 2 x 1x 2 Primitiv cosx C senx C x 1 1 C ln x C rctgx C rcsenx C An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 3

4 Primitivs imedits FUNDAMENTAIS: Sendo u função derivável e : Pu u u1 C se 1; 1 Pu e u e u C; Pu u u C, c/ 0; ln P ln u C; u u Pu sen u cosu C; Pu cosu sen u C; P P u rctg u C; 1u 2 u rcsen u C; 1u 2 Pu sec 2 u tgu C; Pu cosec 2 u cotg u C. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 4

5 Técnics de Primitivção Primitivção por prtes Proposição: Sejm f e g são funções com derivd contínu no intervlo,. Então, neste mesmo intervlo, P f xgx fxgx Pfxg x. Primitivção por mudnç de vriável (ou sustituição) Notção: pr representr fgt us-se tmém notção: fgt fx xgt. Proposição: Sej f um função contínu no intervlo I e : J I um plicção cuj derivd é contínu e não se nul em J. Então, P x fx P t ft t t 1 x. Oservção 1: prov-se que um função definid num intervlo com derivd não nul é invertível. Oservção 2: existem versões d primitivção por sustituição com hipóteses ligeirmente diferentes, por ex.- f um função primitivável no intervlo I e : J I um plicção ijectiv com derivd contínu. A principl dificuldde n primitivção por sustituição reside n escolh d mudnç de vriável dequd! An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 5

6 Algums sustituições conselhds Sej f um função rcionl dos rgumentos indicdos: Primitiv Pfe x Sustituição x lnt Pf x,x p q,x r s,... x t m, m m.m.c.q,s,... Pf x,x p q,x r s,... x t m, m m.m.c.q, s,... P 1 2 x 2 x 1 sen t função rcionl de sen x e cosx sustituição: t tg x 2 então: x 2 rctg t sen x 2t 1t 2 cosx 1t2 1t 2 tgx 2t 1t 2. Not: Há csos prticulres em que funcionm melhor outrs sustituições. Por exemplo: com funções rc. de sen 2 x, cos 2 x e tg x, sustituição t tg x normlmente funcion melhor. Neste cso: x rctgt cos 2 x 1 1t 2 sen 2 x t2 1t 2. com funções rc. de sen x e cosx, em que se pode colocr em evidênci sen x, pode ser útil sustituição t cos x. (nlogmente, qundo se pode colocr em evidênci cosx). An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 6

7 Primitivção de funções rcionis Definição: Chm-se função rcionl qulquer função que se poss escrever n form Px, com P e Q polinómios de Qx coeficientes reis. A função rcionl diz-se própri se grpx grqx e diz-se imprópri cso contrário. Ao primitivr trlhr-se sempre com funções rcionis própris! Psso 1: Ver se função rcionl é própri; cso não sej, escre- ve-se como som de um polinómio e um f. rcionl própri. Qulquer função rcionl imprópri Px Qx n form pode escrever-se polinómiof. rc. própri. Bst fzer divisão de Px por Qx. Proposição (Regr d divisão): Sendo Px um polinómio e Qx um polinómio de gru 1, existem sempre polinómios Cx e Rx, univocmente determindos, tis que Px Qx. Então Cx Rx, com grrx grqx. cociente Resto d div. Px Qx Cx Rx Qx poli. f. rc. própri An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 7

8 Rest-nos ver como primitivr funções rcionis própris. Sej Px Qx um função rcionl própri. Psso 2: Decompõem-se Qx tnto qunto possível como produto de prcels mis simples, isto é, de: - constntes, - prcels d form x r l, c/ l prcels corresp. às rízes reis - prc. d form x 2 x c k, c/ k sem rízes reis prcels corresp. pres de rízes compl. conjugds glomerndo s prcels correspondentes às mesms rízes. l é multiplicidde d ríz rel r e k multiplicidde ds rízes complexs de x 2 x c (2 complexos conjugdos). Então Qx fic escrito n form Qx constnte x r 1 l 1 prcels corresp. às rízes reis x 2 k 1 x c 1 1 prcels corresp. pres de rízes compl. conjugds An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 8

9 Psso 3: Pr cd fctor x r l, determin-se um expressão d form A 1 x r A 2 x r 2 A l x r l nº de prcels l multipl. d ríz rel r Pr cd fctor x 2 x c k, determin-se expressão d form D 1 E 1 x x 2 x c D 2 E 2 x x 2 x c 2 D k E k x x 2 x c k nº de prc. k multip. ds rízes complexs ssocids x 2 x c de tl modo que Px Qx sej som dests prcels. Chmm-se frcções elementres (ou frcções simples) às funções rcionis d form A x r n ou D Ex x 2 x c m. sem rízes reis Proposição: Tod f. rc. própri pode ser decompost num som de frcções elementres ns condições cim indicds. A decomposição pode ser feit pelo método dos coeficientes indetermindos. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 9

10 Psso 4 (e último!): Determinm-se s primitivs ds frcções elementres. A ln x r C, se k 1 P A xr k P Ax r k A xrk1 k1 C, se k 1 com C constnte rel. Prcels d form DEx : x 2 xc Um polinómio x 2 x c, sem zeros reis, pode sempre escrever-se n form x p 2 q 2, A decomposição pode fzer-se: - formndo directmente o qudrdo; com p e q reis. - prtir dos zeros do polinómio - são iguis p qi. Fzendo directmente s conts (que dão sempre situções de logritmo e/ou rcotngente), ou com mudnç de vriável conclui-se que x p qt, P DEx E ln x xp 2 q 2 2 p2 q 2 DEp q rctg xp q C Not: Se E 0 otém-se um função rctg; se E 0, otém-se um função logritmo ou um som de um logritmo e um rctg. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 10

11 Prcels d form DEx x 2 xc k, c/ k 1: Decompondo o polinómio como no cso nterior, e com mesm mudnç de vriável, reduz-se est situção o cálculo de um primitiv imedit e d seguinte primitiv: P 1 1t 2 k. Est primitiv (c/ k 1 determin-se por prtes, fzendo 1 1t 2 k 1t2 t 2 1 t 2 k 1 1t 2 k1 t 2 1 t 2 k 1 1 t 2 k1 1 2 t. f 2t 1t 2 k e ixndo sucessivmente o gru do denomindor. Assim, por exemplo: g P 1 1 t 2 2 P 1 1t P t. f 2t 1 t 2 2 g pois P 1 1 1t 2 2 t 1 1 t P 1 2 1t 2 g1t P 1 1t t 1 t rctgt 1 2 t 1 t 2 An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 11

12 O Integrl de Riemnn Prtições de intervlos Definições: Sej, um intervlo, com. Chm-se prtição (ou decomposição) de, qulquer conjunto P x 0, x 1,,x n, de nºs reis, tl que x 0 x 1 x 2 x n. Chm-se norm (ou diâmetro) d prtição P P mx 1jn x j x j1. Um refinmento d prtição P é um prtição Q de, tl que P Q. Nest situção, diz-se que Q é um prtição mis fin do que P. Proposição: Sendo P e Q prtições de, tis que P Q, então P Q. Oservção: Ddo um intervlo,, é sempre possível definir sucessões de prtições do intervlo cujs norms tendm pr 0 (por exemplo, considerndo, convenientemente, prtições sucessivmente mis fins, ou considerndo, pr cd n, prtição formd pelos pontos que dividem o intervlo em n suintervlos do mesmo tmnho). An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 12

13 Som de Riemnn e Integrl de Riemmn O integrl de Riemnn em, de um função positiv pode interpretr-se geometricmente como áre d região do plno limitd pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx e pels rects x e x. Definição: Sejm, um intervlo fechdo e limitdo, f :, um função limitd, P x 0,x 1,,x n um prtição de, e t 1,, t n um sequênci de nºs reis tis que t j x j1, x j, pr qulquer 1 j n. Chm-se som de Riemnn de f reltivmente à prtição P (e à escolh de nºs reis nos suintervlos) n Sf,P j1 ft j x j x j1. Definição: Sej, um intervlo, com. Diz-se que um função f :,, limitd em,, é integrável à Riemnn em, se existe I tl que lim Sf, P I. P0 Notção: I fxdx integrl definido de f entre e An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 13

14 Terminologi: ffunção integrnd, intervlo de integrção e limites de integrção x vriável de integrção dx créscimo infinitésiml símolo de integrl Not: Se nd for dito em contrário, por função integrável deverá entender-se função integrável à Riemnn. No entnto, há outrs noções de integrilidde, nem sempre equivlentes est. A definição nterior, rigorosmente, é dd por: Definição: Sej f :, um função limitd. Diz-se que f é integrável à Riemnn em,, se existe um nº rel I pr o qul se verific que: pr todo 0, existe 0 tl que Sf, P I pr tod prtição P de,, comp, e qulquer que sej escolh de pontos nos suintervlos d prtição. Nests condições, diz-se que s soms de Riemnn de f em, convergem pr I, qundo o diâmetro d prtição tende pr 0, e escreve-se lim Sf, P I. P0 An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 14

15 Oservção: Por definição, se f é integrável à Riemnn em,, então f é limitd em,. No entnto, firmção recíproc não é verddeir. Proposição: Um função contínu num intervlo fechdo e limitdo, é integrável à Riemnn. Oservção: No entnto, há funções que são integráveis à Riemnn num intervlo e não são contínus nesse intervlo. Por exemplo, pode provr-se que: Qulquer função seccionlmente contínu em, (intervlo fechdo e limitdo) é integrável à Riemnn. Definição: Diz-se que um função f, definid em,, é seccionlmente contínu em,, se f é contínu em,, excepto num número finito de pontos, e nesses pontos de descontinuidde mos os limites lteris de f existem e são finitos. Até este momento, fxdx só está definido no cso. A definição que se segue triui-lhe significdo nos csos em que e. Definição: Se f é integrável em,, com, então: c c fxdx 0, pr todo o c,; fxdx fxdx. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 15

16 Proprieddes elementres do Integrl de Riemmn Proposição (Propriedde ditiv do integrl): Se f é integrável num intervlo I que contenh, e c, então fxdx c fxdx c fxdx. Proposição: Um função constnte em, é integrável em, e, sendo k ess constnte, k dx k. Proposição: Sejm f e g funções integráveis em, e. Então tem-se que: 1. fgéintegrável em, e fx gxdx fxdx gxdx; 2. f é integrável em, e fxdx fxdx; 3. se, pr todo x,, fx 0, então fxdx 0; 4. se, pr todo x,, fx gx, então fxdx gxdx. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 16

17 Oservções e dvertêncis: 1. Se f é integrável em, e m fx M, pr todo o x,, então m fxdx M. 2. Se f é integrável num intervlo,, então fx é integrável em, e fxdx fx dx. No entnto, não é verdde que fx integrável em, fx integrável em,. 3. Pode-se provr que, sendo f e g integráveis em,, então fg é integrável em,. Ms não é verdde que o integrl do produto sej o produto dos integris. 4. As proprieddes do integrl reltivmente à som e o produto por um esclr tmém são válids se. Ms s proprieddes dds que envolvem desigulddes (línes 3. e 4. d proposição e oservções 1. e 2. ) não são válids no cso. Nest situção, desiguldde entre os integris é trocd. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 17

18 Teorems Fundmentis Vlor médio e Teorem d Médi Ddo um número finito de vlores, médi desses vlores otem-se dividindo su som pelo número de vlores em cus. A definição que se segue, generliz noção de médi o cso em que temos infinitos vlores, vrir continumente num intervlo, ou sej, permite oter médi dos vlores de um função num intervlo, (com ). Definição: Sej f um função integrável no intervlo, (com ). O vlor médio d função f no intervlo, é ddo por fxdx f VM,. Proposição (Teorem d Médi pr funções contínus): Sej f um função contínu em,. Então existe c, tl que fxdx fc. Ou sej, se f é contínu em,, existe c, tl que fc f VM,. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 18

19 Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl Definição: Sej f um função integrável em,. À função definid em, por Fx x ftdt, chm-se integrl indefinido de f com origem no ponto. Oservção: É óvio que, se f é não negtiv, F é crescente. Proposição: Sej f um função integrável no intervlo,. Então função integrl indefinido de f, é contínu em,. Fx x ftdt, Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl Teorem Fundmentl do Cálculo: Sej f um função contínu no intervlo,. Então função integrl indefinido de f, x Fx ftdt, tem derivd em, e d dx x ftdt F x fx. Fórmul de Brrow: Se f é contínu em, e F é um primitiv de f em,, então ftdt Fx F F. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 19

20 Corolário (do T.F.C.I.): Qulquer função f, contínu num intervlo I, é primitivável nesse intevlo. Mis, sendo I, Fx x ftdt é primitiv de f que se nul pr x. Oservções: Sejm f um função contínu em,, g e h funções diferenciáveis em,. 1. Do T.F.C.I. e d derivção d função compost, conclui-se que função Hx gx ftdt é diferenciável e Hx fgxg x. 2. Do cso nterior, conclui-se que função hx Lx ftdt hx ftdt é diferenciável e otém-se su derivd. 3. Cso mos os extremos de integrção vriem, st ter em cont os csos nteriores e que, pr qulquer c,, gx c gx ftdt hx hx ftdt ftdt. c Oservção: Um integrl indefinido de um função integrável f, F, é sempre um função um pouco mis em comportd do que f: - se f é integrável, F é contínu; - se f é contínu, F é diferenciável; - se f é diferenciável, F tem derivd contínu ; etc... An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 20

21 Integrção por prtes Proposição: Sejm f e g funções com derivd contínu em,. Então f xgxdx fxgx fxg xdx. Integrção por mudnç de vriável (ou sustituição) Proposição: Sejm I e J intervlos, f um função contínu em I e um função com derivd contínu em J, tl que J I e,elementos de J tis que e. Então fxdx ft tdt. Not: A mudnç de vriável efectud é x t. Oservção: Tl como pr primitivção, existem versões d integrção por sustituição com hipóteses diferentes. D integrção por sustituição, result que: Proposição: Sej f um função integrável no intervlo,. Então: se f for um função ímpr, fxdx 0; se f for um função pr, fxdx 20 fxdx. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 21

22 Algums plicções do integrl definido Cálculo de áres Sejm f e g funções integráveis em, e A áre d região pln limitd pelos gráficos de f e g e pels rects verticis x e x. Então A fx gx dx. Cálculo de volumes de sólidos de revolução Sejm f e g funções integráveis em, e V o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eixo dos xx d região limitd pelos gráficos de f e g e pels rects verticis x e x. Então V f 2 x g 2 x dx. Cálculo do comprimento de linh Sej f um função com derivd contínu em, e l o comprimento d linh ssocid o gráfico d função f entre x e x (isto é, entre os pontos, f e, f). Então l 1f x 2 dx. An Mtos - Mtemátic I 2015/16 Prim. e Int. - 22

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