CÁLCULO I: VOLUME II MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

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1 CÁLCULO I: VOLUME II MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Deprtmento de Análise - IME UERJ

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3 Copyright by Muricio A. Vilches c Todos os direitos reservdos Proibid reprodução prcil ou totl 3

4 4 PREFÁCIO "Por fvor, poderi me dizer que cminho devo seguir gor? Isso depende bstnte de té onde você quer chegr." Lewis Crrol - Alice no Pís ds Mrvilhs Atrvés dos séculos Mtemátic tem sido mis poderos e efetiv ferrment pr compreensão ds leis que regem Nturez e o Universo. Os tópicos introdutórios que presentmos neste livro originrm-se, inicilmente, dos problems práticos que surgirm no di di e que continurm impulsiondos pel curiosidde humn de entender e explicr os fenônemos que regem nturez. Historicmente, o Cálculo Diferencil e Integrl de um vriável estud dois tipos de problems: os ssocidos à noção de derivd, ntigmente chmdos de tngêncis e os problems de integrção, ntigmente chmdos de qudrturs. Os reltivos à derivção envolvem vrições ou mudnçs, como por exemplo, extensão de um epidemi, os comportmentos econômicos ou propgção de poluentes n tmosfer, dentre outros. Como exemplos de problems relciondos à integrção destcm-se o cálculo d áres de regiões delimitds por curvs, do volume de sólidos e do trblho relizdo por um prtícul. Grnde prte do Cálculo Diferencil e Integrl foi desenvolvid no século XVIII por Isc Newton pr estudr problems de Físic e Astronomi. Aproximdmente n mesm époc, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, tmbém desenvolveu considerável prte do ssunto. Devemos Newton e Leibniz o estbelecimento d estreit relção entre derivd e integrl por meio de um teorem fundmentl. As notções sugerids por Leibniz são s universlmente usds. O principl objetivo do livro foi presentr os primeiros pssos do Cálculo Diferencil e Integrl de um vriável com simplicidde, trvés de exemplos, ms sem descuidr do specto forml d disciplin, dndo ênfse à interpretção geométric e intuitiv dos conteúdos. O livro inclui miori d teori básic, ssim como exemplos plicdos e problems. As provs muito técnics ou os teorems mis sofisticdos que não form provdos no pêndice, form ilustrdos trvés de exemplos, plicções e indicções bibliográfics dequds e estão incluidos como referênci ou leitur dicionl pr os leitores interessdos.

5 Os conceitos centris do Cálculo Diferencil e Integrl de um vriável são reltivmente profundos e não se esper que possm ser ssimildos de um só vez. Neste nível, o importnte é que o leitor desenvolv hbilidde de clculr e dquir compreensão intuitiv dos problems. As expressões do tipo "é fcil ver"ou semelhntes, que precem no texto, não devem ser encrds de form literl e tem o propósito de dr um viso o leitor de que nquele lugr presentção é resumid e os detlhes, perfeitmente cessíveis, deverão ser preenchidos. Espermos que o livro permit o leitor um cesso rápido e grdável o Cálculo Diferencil e Integrl de um vriável. Não podemos deixr de recomendr os lunos utilizção, criterios, dos softwres de Cálculo existente no mercdo, pois eles são um complemento útil o prendizdo d disciplin. Desejmos grdecer os nossos colegs do Deprtmento de Análise e do IME-UERJ que, de lgum modo, nos motivrm e derm condições pr escrever ests nots e à Sr. Soni M. Alves pel digitção. Certmente, todos os erros são exclusivmente de responsbilidde dos utores. 5 Muricio A. Vilches - Mri Luiz Corrê Rio de Jneiro

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7 Conteúdo INTEGRAÇÃO INDEFINIDA. Introdução Tbel Métodos de Integrção Método de Substituição Outros Tipos de Substituições Produtos e Potêncis de Funções Trigonométrics Método de Integrção por Prtes Método de Substituição Trigonométric Cso : u Cso : + u Cso 3: u Método pr Integrção de Funções Rcionis Cso : Q(x) se decompõe em ftores lineres distintos Cso : Q(x) se decompõe em ftores lineres, lguns deles repetidos Cso 3: Q(x) se decompõe em ftores lineres e ftores qudráticos irredutíveis, sendo que os ftores qudráticos não se repetem Cso 4: Q(x) se decompõe em ftores lineres e ftores qudráticos irredutíveis, sendo que lguns dos ftores qudráticos se repetem Mudnç: Tngente do Ângulo Médio Aplicções d Integrl Indefinid Obtenção de Fmílis de Curvs Outrs plicções Exercícios INTEGRAÇÃO DEFINIDA 55. Intodução Integrl Definid Teorem Fundmentl do Cálculo

8 8 CONTEÚDO.4 Construção de Primitivs Integrl Definid e os Métodos de Integrção Funções definids por Integris Funções de Fresnel Função Erro Funções Si e Ci Exercícios APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Acelerção, velocidde e posição Cálculo de Áres Observção Importnte Exemplos Diversos Volume de Sólidos de Revolução Cálculo do Volume dos Sólidos Outros Eixos de Revolução Método ds Arruels Comprimento de Arco Logritmo Nturl Logritmo como Áre Trblho Exercícios INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Introdução Integris Definids em Intervlos Ilimitdos Função Gm Trnsformds Trnsformd de Lplce Trnsformds de Fourier Probbiliddes Distribuição Uniforme Distribuição Exponencil Distribuição Norml ou Gussin Distribuição Gm Distribuição Chi Qudrdo Integris de Funções Descontínus Exercícios

9 CONTEÚDO 9 5 APÊNDICE Limites Funções Deriváveis Interpretção geométric d função uxilir F Funções Integráveis RESPOSTAS Cpítulo Cpítulo Cpítulo Áres Volumes Comprimento de Arco Logrítmos Trblho Cpítulo Bibliogrfi Básic 6

10 CONTEÚDO

11 Cpítulo INTEGRAÇÃO INDEFINIDA. Introdução N primeir prte do cpítulo mostrremos como obter um função conhecendo pens su derivd. Este problem é chmdo de integrção indefinid ou nti-derivd. Definição.. Um função F (x) é chmd um primitiv d função f(x) no intervlo I se pr todo x I, tem-se: F (x) = f(x) Muits vezes não fremos menção o intervlo I, ms primitiv de um função sempre será definid sobre um intervlo. Exemplo.. [] Sej f(x) = x 3, então: F (x) = x4 4 é um primitiv de f em R, pois F (x) = x 3 = f(x). Por outro ldo, F (x) = x é tmbém um primitiv de f em R, pois F (x) = x 3 = f(x). N verdde,: F (x) = x4 4 é primitiv de f pois F (x) = x 3 = f(x). + c, c R

12 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [] Sej f(x) = cos(x), então F (x) = sen(x) + c, pr todo c R é um primitiv de f. De fto, F (x) = cos(x) = f(x). [3] Sej: f(x) = { x [, b] x / [, b]. Não existe função definid em todo R cuj derivd sej igul f(x). Por outro ldo, considere seguinte função: x < F (x) = x x [, b] b x b. F (x) é um função contínu em todo R e F (x) = f(x) se x (, b). Logo, F é um primitiv de f em (, b). Em gerl, um função f dmite um infinidde de primitivs sobre um intervlo. É o que ssegur seguinte proposição: Proposição.. Sej F um primitiv d função f no intervlo I. Então: é tmbém primitiv de f no intervlo I. G(x) = F (x) + c, c R, Observção.. A pergunt nturl que surge, seguir, é: se F e G são primitivs de um função f sobre um intervlo, será que F e G estão relcionds de lgum form? A respost est questão é dd pel seguinte proposição: Proposição.. Se F e G são primitivs de um função f num intervlo I, então existe c R tl que G(x) = F (x) + c, pr todo x I. Prov: Sej H(x) = F (x) G(x); então, pr todo x I, temos que: H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) =. Como consequênci do Teorem do Vlor Médio, pr todo x I, H(x) = c; então, pr todo x I, F (x) G(x) = c.

13 .. INTRODUÇÃO 3 Observção.. Em outrs plvrs, dus primitivs de um função diferem por um constnte. Logo, se conhecemos um primitiv de um função, conhecemos tods s primitivs d função. De fto, bst somr um constnte à primitiv conhecid pr obter s outrs. Exemplo.. [] Sej f(x) = cos(x). Um primitiv dest função é F (x) = sen(x); logo, tod primitiv de f é do tipo G(x) = sen(x) + c, c R Figur.: Gráficos de f e lgums primitivs de cos(x) [] Sej f(x) = e x,. Um primitiv dest função é F (x) = ex ; logo, tod primitiv de f é do tipo G(x) = e x + c, c R. Definição.. Sej F (x) um primitiv d função f(x) no intervlo I. A expressão F (x) + c, c R é chmd integrl indefinid d função f e é denotd por: f(x) = F (x) + c Isto é: f(x) = F (x) + c F (x) = f(x) em prticulr:

14 4 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA f (x) = f(x) + c. Teorem.. (Lineridde d Integrl) Sejm F, G primitivs de f e g, respectivmente, num intervlo e α, β R. Então, α F + β G é um primitiv de α f + β g, e: [α f(x) + β g(x) ] = α f(x) + β g(x) Prov: Se F e G são primitivs de f e g, respectivmente, então α F (x) + β G(x) é primitiv de α f(x) + β g(x); logo: [α f(x) + β g(x) ] = ( α F (x) + β G(x) ) + c = α ( F (x) + c ) + β ( G(x) + c ) = α f(x) + β g(x). Exemplo.3. Clcule s seguintes integris: [] [sec(x) tg(x) + cos(x) ]. [] [3] [ e x + 4 x ]. Soluções: sen (x). [] Usndo o Teorem, podemos decompor integrl em dus outrs integris: [sec(x) ] tg(x) + cos(x) = sec(x) tg(x) + cos(x). Sbemos que [ sec(x) ] = sec(x) tg(x) e (sen(x)) = cos(x), então: [sec(x) tg(x) + cos(x) ] = sec(x) tg(x) + cos(x) = sec(x) + sen(x) + c.

15 .. INTRODUÇÃO 5 [] Usndo o Teorem de lineridde, podemos escrever integrl como: [ e x + 4 x ] = e x + 4 x. Como [ e x] = e x e 4 3 [ 4 x 3 ] = 4 x, então: [ e x + 4 x ] = e x + 4 x = e x x c. [3] Observe que sen (x) = ( cos( x)); logo: sen (x) = ( cos( x)) Observções.. = x sen( x) 4 + c.. Assim o processo de integrr se reduz descobrir um função conhecendo pens su derivd; usndo tbel de derivds do cpítulo nterior, obtemos um list de integris chmds imedits.. Est list pode ser comprovd derivndo cd resultdo d integrl e consultndo tbel de derivd. Por exemplo, n tbel de derivds do cpítulo nterior temos que: (rctg(x)) = + x ; então, = rctg(x) + c. + x 3. No entnto, não incluimos como imedits, por exemplo, integris do tipo: ln(x), pois não é evidente encontrr um função que tem como derivd ln(x). Pr resolver este impsse, estudremos os chmdos métodos de integrção, que nos permitirão clculr integris não imedits.

16 6 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA. Tbel Usremos como vriável independente u.. du = u + c du u = ln( u ) + c u α du = uα+ + c, α R { } α + u du = u + c, >, ( ) ln() e u du = e u + c sen(u) du = cos(u) + c cos(u) du = sen(u) + c sec (u) du = tg(u) + c cosec (u) du = cotg(u) + c sec(u)tg(u) du = sec(u) + c cosec(u)cotg(u) du = cosec(u) + c du u = rcsen(u) + c du + u = rctg(u) + c du u u = rcsec(u) + c senh(u) du = cosh(u) + c

17 .3. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO cosh(u) du = senh(u) + c sech (u) du = tgh(u) + c cosech (u) du = cotgh(u) + c sech(u)tgh(u) du = sech(u) + c cosech(u) cotgh(u)du = cosech(u) + c du + u = rgsenh(u) + c du u = rgcosh(u) + c du u u = rgsech( u ) + c.3 Métodos de Integrção Ns próxims seções presentremos os métodos mis utilizdos que nos permitirão determinr um grnde quntidde de integris não imedits. O primeiro ser estuddo se bsei n regr d cdei..4 Método de Substituição Sejm F um primitiv de f num intervlo I e g um função derivável tl que F g estej definid. Usndo regr d cdei; temos: ( F (g(x)) ) = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x). Logo, F (g(x)) é um primitiv de f(g(x)) g (x), então: f(g(x)) g (x) = F (g(x)) + c; fzendo u = g(x), tem-se du = g (x) ; substituindo n expressão nterior:

18 8 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA f(g(x)) g (x) = f(u) du = F (u) + c. Exemplo.4. Clcule s seguintes integris: x [] + x. Fzendo u = + x, então du = x. Substituindo n integrl: x du + x = u = ln( u ) + c = ln(x + ) + c. [] sen (x) cos(x). Fzendo u = sen(x), então du = cos(x). Substituindo n integrl: sen (x) cos(x) = u du = u3 3 + c = sen3 (x) + c. 3 [3] (3 x + 7). 7 Fzendo u = 3x + 7, então du = 3 ou, equivlentemente, du =. Substituindo n 3 integrl: du (3 x + 7) = 7 3 u = du 7 3 u = 7 8 u + c = 6 8 (3 x + 7) + c. 6 sec ( x) [4]. x Fzendo u = x, então du =. Substituindo n integrl: x sec ( x) = sec (u) du = tg(u) + c = tg( x) + c. x ln(x) [5] x. Fzendo u = ln(x), então du =. Substituindo n integrl: x

19 .4. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 9 [6] tg(α x) ; α R. ln(x) x = u du = u + c = ( ln(x) ) + c. Sej tg(α x) = sen(αx). Se u = cos(αx), então du = α sen(αx) ou, equivlente- cos(αx) mente, du α = sen(αx). Substituindo n integrl: tg(α x) = sen(αx) cos(αx) = du α u = α ln( u ) + c = ln( cos(αx) ) + c. α [7] x + ;. Reescrevemos integrl como: x + = x. + Fzendo u = x, então du =. Substituindo n integrl: x + = du u + = rctg(u) + c = rctg( x) + c. Muits vezes, ntes de efetur um substituição dequd, é necessário fzer lgums mnipulções, como, por exemplo, o completmento de qudrdos. [8] Clcule x + x + 5. Completndo os qudrdos x + x + 5 = (x + ) + ; então, x + x + 5 = (x + ) +. Fzendo u = x +, teremos du =. Substituindo n integrl: du u + = rctg( u) + c = rctg( x + ) + c.

20 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA.5 Outros Tipos de Substituições A seguir presentmos lguns exemplos do método de substituição, onde susbtituição não é imedit. Exemplo.5. Clcule s seguintes integris: x []. x + Fzendo u = x +, então x = u e du = x = x + [] + 3 x. x + ; (u ) du = u3 3 u + c = 3 (x + )3/ x + + c. Fzendo u = + 3 x, então x = (u ) 3 e = 3 (u ) du; 3(u ) + 3 x = du = 3 u (u u + )u / du [3] x + 3 x + 3. = 6 ( u 5/ 5 u3/ + u ) + c 3 = 6 ( ( + 3 x) ( + 3 x) x ) + c. Sej u = 3 (x + 3); então, x = u 3 3 e = 3 u du; x + = u 6 6 u 3 +. [4] x + 3 = 3 (u 6 6u 3 + )u du x + 3 = 3 (u 7 6u 4 + u) du = 3u8 8 8u5 5 = 3 3 (x + 3) (5 x 8 x + ) + c. 4 dy y y u + c

21 .6. PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Fzendo u = y 3, u = y 3 e y 3 = u +. Logo, u du = 3 y dy e y dy = u 3 du. dy y y 3 = y y 3 y 3 dy = du 3 u + = 3 rctg(u)+c = 3 rctg( y 3 )+c..6 Produtos e Potêncis de Funções Trigonométrics Nos seguintes exemplos, são utilizds identiddes trigonométrics elementres. Exemplo.6. Clcule s seguintes integris: [] sen(α x) sen(β x). Se α β, utilizmos : então: sen(α x) sen(β x) = cos( (α β) x) cos ( (α + β) x) ; sen(α x) sen(β x) = (cos ( (α β) x) cos ( (α + β) x) ) = (sen ( (α β) x) α β sen( (α + β) x) ). α + β Se α = β, utilizmos sen cos( α x) (α x) = ; então: sen (α x) = ( ) ( sen( α x) ) cos( α x) = x [] sen (x) cos 5 (x). Como sen (x) cos 5 (x) = sen (x) ( sen (x) ) cos(x), fzendo u = sen(x), temos du = cos(x) e: sen (x) cos 5 (x) = = sen (x) ( sen (x)) cos(x) = (u u 4 + u 6 ) du = u3 3 u5 5 + u7 7 + c = sen3 (x) 3 sen5 (x) 5 + sen7 (x) 7 + c. u ( u ) du

22 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [3] tg 3 (x). Ftorndo tg 3 (x) = tg(x) tg (x) = tg(x) ( sec (x) ) ; (tg(x) tg 3 (x) = sec (x) tg(x) ) = ( tg (x) + ln ( )) cos(x) + c. [4] sec(x). sec(x) = sec(x) ( tg(x) + sec(x) ) sec(x) tg(x) + sec (x) =. tg(x) + sec(x) tg(x) + sec(x) Fzendo u = sec(x) + tg(x), temos du = (sec(x)tg(x) + sec (x)). Substituindo n integrl: sec(x)tg(x) + sec (x) = tg(x) + sec(x) du u = ln( u ) + c = ln( sec(x) + tg(x) ) + c. Observção.3. Estes exemplos nos mostrm que pr determinr primitiv de um integrl que envolve produtos ou potêncis de funções trigonométrics é necessário, em primeiro lugr, trnsformr função integrr por meio de identiddes trigonométrics conhecids, pr depois usr lguns dos métodos..7 Método de Integrção por Prtes Sejm f e g funções deriváveis no intervlo I. Derivndo o produto f g: ( f(x) g(x) ) = f (x) g(x) + f(x) g (x), ou, equivlentemente, f(x) g (x) = (f(x) g(x)) f (x) g(x). Integrndo mbos os ldos: f(x) g (x) = f(x) g(x) f (x) g(x) ; fzendo: u = f(x) e dv = g (x), temos: du = f (x) e v = g(x). Logo: f(x) g (x) = u dv = u v v du

23 .7. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 3 Observção.4. Este método de integrção nos permite trnsformr integrção de u dv n integrção de v du. É importnte sber escolher substituição u e dv n integrl de prtid. Devemos escolher v tl que permit determinr v. As expressões de u e v devem ser mis simples que s de u e v, respectivmente. Exemplo.7. Clcule s seguintes integris: [] ln(x). Fçmos u = ln(x) e dv = ; então, du = e v = x; logo: x ln(x) = u dv = u v v du = x ln(x) = x ln(x) x + c. [] x e x. Fçmos u = x e dv = e x ; então, du = e v = ex ; logo: x e x = u dv = u v v du = x ex e x = xex ex 4 + c. [3] x sen(x). Fçmos u = x e dv = sen(x) ; então, du = x e v = cos(x); logo: x sen(x) = u dv = u v v du = x cos(x) + x cos(x). Clculemos gor x cos(x), novmente por prtes. Fzendo u = x e dv = cos(x), temos du = e v = sen(x); logo: x cos(x) = u dv = u v v du = x sen(x) sen(x) = x sen(x) + cos(x).

24 4 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Então: x sen(x) = x cos(x) + (x sen(x) + cos(x)) + c. [4] e x sen(b x) ;, b. Fçmos u = e x e dv = sen(bx) ; então, du = e x e v = e x sen(b x) = Clculemos u dv = u v v du = ex cos(b x) b + b cos(b x) ; logo: b e x cos(b x). (.) e x cos(b x), novmente integrndo por prtes. Fzendo u = e x e dv = cos(b x), temos du = e x e v = e x cos(b x) = Denotemos por I = u dv = u v sen(b x) ; logo: b v du = ex sen(b x) b b e x sen(b x). Então, de. e., temos: e x sen(b x). (.) I = ex sen(b x) ex cos(b x) b b b I Pois últim integrl é extmente integrl procurd e podemos pssá-l o outro ldo d iguldde: Logo, [5] ( + ) e x sen(b x) I = ex cos(b x) b b b e x sen(bx) = x 3 cos(x ). Aqui usmos os dois métodos: = I = ex + b [ sen(b x) b cos(b x) ]. ex + b [ sen(b x) b cos(b x) ] + c. Substituição: sej t = x ; então, dt = x ou dt = x ;

25 .7. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 x 3 cos(x ) = t cos(t)dt. Integrndo por prtes, fzemos u = t e dv = cos(t) dt; então, du = dt e v = sen(t): x 3 cos(x ) = t cos(t)dt = u dv = ( u v v du ) = (t sen(t) sen(t) dt) = (cos(x ) + x sen(x )) + c. [6] x 3 e x. Aqui usmos, novmente, os dois métodos: Substituição: sej t = x ; então, dt = x ou dt = x ; x 3 e x = t e t dt. Integrndo por prtes: fzemos u = t e dv = e t dt; então, du = dt e v = e t : x 3 e x = t e t dt = u dv = ( u v v du ) = ( t e t e t dt ) [7] = (t et e t ) = ex (x ) + c. x 3 sen(x ). Aqui usmos, novmente, os dois métodos: Substituição: sej t = x ; então, dt = 4x ou dt 4 = x e x = t ; x 3 sen(x ) = t sen(t)dt. 8 Integrndo por prtes: fzemos u = t e dv = sen(t) dt; então, du = dt e v = cos(t): x 3 sen(x ) = 8 t sen(t) dt = 8 u dv = 8 ( u v v du ) = 8 (sen( x ) x cos( x )) + c.

26 6 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA.8 Método de Substituição Trigonométric Este método é usdo qundo expressão integrr envolve lguns dos seguintes tipos de rdicis: u, + u, u, onde >..8. Cso : u Pr π θ π, sej u = sen(θ); então, du = cos(θ) dθ. Logo u = cos(θ). θ u u u = sen(θ) du = cos(θ) dθ u = cos(θ).8. Cso : + u Pr π < θ < π, sej u = tg(θ); então, du = sec (θ) dθ. Logo + u = sec(θ). u θ u u = tg(θ) du = sec (θ) dθ + u = sec(θ).8.3 Cso 3: u Pr θ < π ou π θ < 3π u = tg(θ)., sej u = sec(θ); então, du = sec(θ) tg(θ) dθ. Logo

27 .8. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 7 u θ u u = sec(θ) du = sec(θ) tg(θ) dθ u = tg(θ) Exemplo.8. Clcule s seguintes integris: [] x. Sej x = sen(θ); então, = cos(θ) dθ; ( π θ π ) e x = cos(θ). ( x = cos (θ) dθ = + cos(θ) ) dθ = = ( ) θ + sen(θ)cos(θ). ( sen(θ) ) θ + x = sen(θ) e π θ π ; então, θ = rcsen(x θ ); estmos no cso : onde c = x ; logo, sen(θ) = x e cos(θ) = x. Substituindo no resultdo d integrl: x c ; [] (x + 3) 3. x = ( (x) x rcsen + x ) + c. Sej x = 3 tg(θ); então, = 3 sec (θ) dθ; ( π < θ < π ). Em tl cso (x + 3) 3 = ( 3 sec(θ)) 3 : 3sec (x + 3) = (θ) sec 3 (θ) dθ = 3 dθ sec(θ) = 3 cos(θ) dθ = sen(θ) + c. 3

28 8 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Estmos no cso : d θ x ; onde = 3 e d = x + 3. Logo, sen(θ) = x x + 3. Substituindo: [3] 6 9 x. (x + 3) 3 = x 3 x c. Sej x = 4 3 sen(θ); então, = 4 3 cos(θ) dθ; ( π < θ < π ). Neste cso, 6 9 x = 4 cos(θ): = 6 9 x 3 dθ = θ 3 + c. x θ 6 9 x Estmos no cso : c ; onde c = ; logo, sen(θ) = 3 x 3 4 ; então, θ = rcsen( 3 x 4 ). Substituindo no resultdo d integrl: = 6 9 x 3 rcsen( 3 x) + c. 4 [4] I = 9 x. Reescrevendo integrl: I = 9 (x 9 ). Sej x = 3 sec(θ); então, = 3 sec(θ) tg(θ) dθ; ( < θ < π Neste cso, x 9 = 9 (sec (θ) ) = 9 tg (θ): ) ou (π < θ < 3π ). 9 x = 3 sec(θ) tg(θ) dθ = 3 cosec(θ) dθ = 3 ln( cosec(θ) cotg(θ) ) + c.

29 .8. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 9 x e θ Estmos no cso 3: /3 ; onde e = x 3 x ; logo, cosec(θ) = 9 9 x e cotg(θ) =. Substituindo no resultdo d integrl: 9 x 9 x = 3 ln( cosec(θ) cotg(θ) ) + c = 6 ln( 3 x ) + c. 3 x + [5] x 3 x 6. Sej x = 4 sec(θ); então, = 4 sec(θ) tg(θ) dθ; ( < θ < π ou π < θ < 3π ). Neste cso x 6 = 4 tg(θ) e: x 3 x 6 = 64 dθ sec (θ) = ( ) θ + sen(θ)cos(θ) + c. 8 Estmos no cso 3: x θ 4 e ; onde e = x 6; logo, sen(θ)cos(θ) = 4 x 6 x. Pr clculr θ, devemos ter cuiddo, pois x 6 é definid pr x > 4 e x < 4. Se x > 4, então sec(θ) = x 4 > e θ = rcsec( x) π, onde < θ < 4. Se x < 4, então sec(θ) = x 4 < e θ = rcsec( x 4 ), onde π < θ < π. Ms π < θ < 3π e sec( π θ) = sec(θ); logo, pr x < 4, θ = π rcsec( x 4 π < θ < 3π ; substituindo no resultdo d integrl: ), onde i) Se x > 4, então: x 3 x 6 = 8 ( (x) 4 x 6) rcsec + + c. 4 x ii) Se x < 4, então: onde c = π 64 + c. x 3 x 6 = 8 ( (x) 4 x 6) rcsec + + c, 4 x

30 3 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [6]. (5 4 x x ) 3 Primeirmente completmos os qudrdos: 5 4 x x = 9 (x+) ; fzendo u = x+, temos du =. Substituindo n integrl: (5 4 x x ) 3 = du. (9 u ) 3 Sej u = 3 sen(θ); então du = 3 cos(θ) dθ; ( π < θ < π ) e (9 u ) 3 = 7 cos 3 (θ). = sec (θ) dθ = tg(θ) + c. (5 4 x x ) Estmos no cso : tg(θ) = integrl: [7] x 4 x + 8 x + 5. u = x +. Substituindo no resultdo d 9 u 5 4 x x (5 4 x x ) 3 = x x x + c. Completndo os qudrdos: 4x + 8x + 5 = 4(x + ) + ; fzendo u = x +, temos du =. Substituindo n integrl: x 4 x + 8 x + 5 = (u ) 4 u + du. Sej u = tg(θ) ; então du = sec (θ) dθ e 4 u + = sec(θ): (u ) 4 u + du = 4 (tg(θ) sec(θ) sec(θ) ) dθ = 4 sec(θ) ln( sec(θ) + tg(θ) ) + c. Estmos no cso : tg(θ) = u = (x + ) e sec(θ) = 4 x + 8 x + 5. Substituindo no resultdo d integrl: x 4 x + 8 x + 5 = 4 4 x + 8 x + 5 ln( 4 x + 8 x (x + ) ) + c.

31 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 3.9 Método pr Integrção de Funções Rcionis Um polinômio P (x) de coeficientes reis pode ser sempre expresso como um produto de ftores lineres e/ou qudráticos. Nturlmente est decomposição depende essencilmente do gru de P (x).. P (x) = (x ) (x )...(x n ).. ) P (x) = (x ) r (x b )...(x b s ). 3. P (x) = ( x + bx + c) (x d )...(x d l ). 4. P (x) = ( x + bx + c) r (x d )...(x d l ). Exemplo.9. [] P (x) = x 3x + = (x ) (x ). [] P (x) = x 3 + 4x + 5x + = (x + ) (x + ). [3] P (x) = x 3 x + x = (x + ) (x ). [4] P (x) = x 8 + x 7 9x 6 + 3x 5 33x 4 + 3x 3 35x + x = (x + ) 5 (x 3) (x + 4). Sej um função rcionl: P (x) Q(x). A decomposição de um função rcionl em frções mis simples, depende do modo em que o polinômio Q(x) se decompõe em ftores lineres e/ou qudráticos. Se num função rcionl o gru de P (x) é mior ou igul o gru de Q(x), então podemos dividir os polinômios. De fto, se gru(p (x)) gru(q(x)) então onde gru(r(x)) < gru(q(x)); então: Logo, bst estudr o cso em que: P (x) = Q(x) A(x) + R(x), P (x) Q(x) = A(x) + R(x) Q(x). gru(p (x)) < gru(q(x)), pois, cso contrário efetumos divisão dos polinômios.

32 3 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA.9. Cso : Q(x) se decompõe em ftores lineres distintos. Então: onde i R são distintos dois dois; então Q(x) = (x )(x )...(x n ) f(x) = P (x) Q(x) = A (x ) + A (x ) A n (x n ) onde A, A,...A n são constntes determinr. Clculemos I = P (x) f(x) = Q(x) = A (x ) + A (x i ). Fzendo u = x i ; então, I = (x ) A n du u = ln( u ) + c = ln( x i ) + c; logo: (x n ). f(x) = A ln( x ) + A ln( x ) A n ln( x n ) + c onde A, A,...A n são constntes determinr. Exemplo.. Clcule s seguintes integris: x 3 + 5x x [] I =. x + 3 x Observe que gru(p (x)) > gru(q(x)). Dividindo os polinômios: x 3 + 5x x x + 3 x = (x + ) + 3 x x + 3 x. A seguir, plicmos o método à últim prcel d direit:

33 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 33 Clculemos x 3 + 5x x x + 3 x = (x + ) + = x + x + 3 x x + 3 x 3 x x + 3 x. 3 x x + 3 x. Ftorndo: x + 3 x = (x + 5) (x ); temos: 3 x x + 3 x = A x A x = A (x ) + A (x + 5). x + 3 x Comprndo os numerdores: 3x = A (x ) + A (x + 5). As rízes do polinômio Q(x) são x = e x = 5; gor substituimos cd riz n últim expressão. Se x = teremos 4 = 7 A e A = 4 7. Se x = 5, então 7 = 7 A e A = 7. Logo, podemos decompor frção inicil em: 7 3 x x + 3 x = 7 7 (x + 5) (x ). Então, pelo Cso : A integrl procurd é: x 3 + 5x x x + 3 x 5x 3 6x 68x 6 []. x 3 x 8x 3 x 7 = x + 3 x 7 ln( x + 5 ) + 4 ln( x ). 7 = x + x ln( x + 5 ) + 4 ln( x ) + c. 7 Note que gru(p (x)) = gru(q(x)). Dividindo os polinômios: Então: 5 x 3 6 x 68 x 8 x = 5 (x 3 x 8 x) + (4 x 8 x 6). 5 x 3 6 x 68 x 6 x 3 x 8 x = x 8 x 6 x 3 x 8 x.

34 34 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Logo: 5x 3 6x 68x 6 4 x 8 x 6 = 5 + x 3 x 8x x 3 x 8 x 4 x 8 x 6 = 5 x + x 3 x 8 x. Aplicndo o método à últim prcel d direit, clculemos Primeiro observemos que x 3 x 8 x = x (x 4) (x + ): 4x 8x 6 x 3 x 8x. 4 x 8 x 6 x 3 x 8 x = A x + A x 4 + A 3 x + Comprndo os numerdores: = A (x 4) (x + ) + A x (x + ) + A 3 x (x 4). x 3 x 8 x 4 x 8 x 6 = A (x + ) (x 4) + A x (x + ) + A 3 x (x 4); s rízes do polinômio Q(x) são x =, x = 4 e x = ; gor substituimos cd riz n últim expressão. Se x =, então, A = ; se x = 4 então, A = 8 3 e se x =, então, A 3 = 4 3. A frção inicil pode ser decompost em: 4 x 8 x 6 x 3 x 8 x = x 8 3 (x 4) (x + ). Pelo Cso, temos: 4x 8x 6 x 3 x 8x = ln( x ) 8 4 ln( x 4 ) + ln( x + ) + c. 3 3 A integrl procurd é: 4 x 8 x 6 x 3 x 8 x = 5 x + ln( x ) 8 4 ln( x 4 ) + ln( x + ) + c. 3 3 Nos exemplos nteriores form de determinr os coeficientes é equivlente resolver um sistem de equções. Consideremos o exemplo []:

35 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 35 4 x 8 x 6 = A (x + ) (x 4) + A x (x + ) + A 3 x (x 4). Ordenndo o segundo membro em potêncis de x, temos: 4 x 8 x 6 = (A + A + A 3 ) x + + ( A + A 4 A 3 ) x 8 A. Comprndo os polinômios e sbendo que dois polinômios são iguis se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo gru são iguis, temos que resolver o seguinte sistem: A + A + A 3 = 4 A A + 4 A 3 = 8 8 A = 6, que tem como solução: A =, A = 8 3 e A 3 = 4 3. du [3] u,. gru(p (u)) < gru(q(u)); e u = (u ) (u + ); plicndo o método: u = A u + A u + = A (u + ) + A (u ) u. Comprndo os numerdores: = A (u + ) + A (u ); s rízes do polinômio Q(u) são u = e u = ; gor substituimos cd riz n últim expressão. Se u =, então, A = e se u =, então, A =. A frção inicil pode ser decompost em: u = (u ) (u + ). Pelo Cso, temos: du u = ( ) ln( u ) ln( u + ) + c = ln( u ) + c u + Aplicmos est últim fórmul pr completmento de qudrdos. Exemplo..

36 36 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Clcule s seguintes integris: [] x 4x. Como x 4x = (x ) 4: x 4x = (x ) 4. Fzendo u = x, temos du =. Substituindo: x 4x = du u 4 = 4 ln( u ) + c = u + 4 ln( x 4 ) + c, x onde s últims igulddes são obtids pel fórmul nterior. [] 5 x 4x. Completndo os qudrdos 5 x 4x = 9 (x + ) e fzendo u = x +, temos du =. Substituindo: 5 x 4x = du u 9 = 6 ln( u 3 ) + c = u ln( x ) + c, x + 5 onde s últims igulddes são obtids pel fórmul nterior..9. Cso : Q(x) se decompõe em ftores lineres, lguns deles repetidos. Sej x i o ftor liner de Q(x) de multiplicidde r e r mior potênci d ftorção. Então, cd ftor liner repetido ssocimos um expressão do tipo: B (x i ) + B (x i ) B r (x i ) r onde B, B,...B r são constntes determinr. Em tl cso, integrndo est expressão obtemos: B ln( x i ) B B r x i ( r)(x i ) r Os ftores lineres não repetidos são trtdos como no cso. Exemplo..

37 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 37 Clcule s seguintes integris: 3 x + 4 x + [] x 3 + x + x. Como gru(p (x)) < gru(q(x)) e x 3 + x + x = x (x + ). O ftor (x + ) tem multiplicidde e o ftor x é como no cso. 3 x + 4 x + x 3 + x + x = A x + B x + + B (x + ). Comprndo os numerdores: 3 x +4 x+ = A (x+) +B x (x+)+b x. As rízes do polinômio Q(x) são: x = e x = ; gor, substituimos cd riz n últim expressão. Se x =, então A = e se x =, então B =. Flt determinr B. Pr clculr o vlor d constnte B, formmos o sistem de equções, obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios. 3 x + 4 x + = (A + B ) x + (A + B + B ) x + A ; então: A + B = 3 A + B + B = 4 A = Como sbemos os vlores de A e B obtemos, fcilmente, B = ; então: logo: x x []. x 4 4 x 3 x + 4 x + x 3 + x + x = x + x + (x + ) ; 3 x + 4 x + x 3 + x + x = ln( x 3 + x ) + x + + c. Como gru(p (x)) < gru(q(x)); x 4 4 x = x (x ) (x + ). O ftor x tem multiplicidde e os ftores x, x + são como no cso. Comprndo os numerdores: x 3 + 3x x 4 4x = A x + A x + + B x + B x. x x = A x (x + ) + A x (x ) + B x (x + ) (x ) + B (x ) (x + );

38 38 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA s rízes do polinômio Q(x) são: x =, x = e x =. Agor substituimos cd riz n últim expressão. Se x =, então B = 4 ; se x =, então A = 3 e se x =, 6 então A = 5 6. Flt determinr B. Pr clculr o vlor d constnte B, formmos o sistem de equções obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios. x x = (A + A + B ) x 3 + ( A A + B ) x +...; note que o coeficiente d potênci cúbic nos dá o vlor de B. De fto, sendo A + A + B =, então B = 3 4. logo: x 3 + 3x x 4 4 x = 3 6 (x ) (x + ) 3 4 x + 4 x ; x x x 4 4 x = 3 6 ln( x ) ln( x + ) 3 4 ln( x ) 4 x + c..9.3 Cso 3: Q(x) se decompõe em ftores lineres e ftores qudráticos irredutíveis, sendo que os ftores qudráticos não se repetem A cd ftor qudrático x + bx + c de Q(x) ssocimos um expressão do tipo: Cx + D x + b x + c onde C, D são constntes determinr. Os ftores lineres são trtdos como no cso e. Exemplo.3. Clcule s seguintes integris: 8 x + 3 x + [] Clcule I = x 3 + x + 4 x + 4. Primeirmente observmos que gru(p (x)) < gru(q(x)). Ftorndo x 3 +x +4 x+4 = = (x + ) (x + 4). O único ftor qudrático irredutível é x + 4; o ftor x + é como no cso.

39 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 39 Comprndo os numerdores: 8x + 3x + x 3 + x + 4x + 4 = A x + + Cx + D x x +3 x+ = A (x +4)+(Cx+D) (x+) = (A +C) x +(C +D) x+4 A +D. A riz rel do polinômio Q(x) é x = ; gor substituimos est riz n últim expressão. Se x =, então A = 5. Formmos o sistem de equções, obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios: A + C = 8, logo C = 3 e C + D = 3 implic em D =. Portnto: I = 5 ln( x + ) x + 3 x + x 3 + x + 4 x + 4 = 5 x + + 3x x + 4. x x + 4 = ln( (x + )5 (x + 4) 3 ) + c, onde últim integrl é resolvid usndo substituição simples. x + 5 x + 4 [] Clcule I = x 3 + x + x 3. Primeirmente observmos que gru(p (x)) < gru(q(x)). Ftorndo x 3 +x +x 3 = = (x ) (x + x + 3). O único ftor qudrático irredutível é x + x + 3. O ftor x é como no cso. Comprndo os numerdores: x + 5 x + 4 x 3 + x + x 3 = A x + Cx + D x + x + 3. x +5 x+4 = A (x + x+3)+(cx+d) (x ) = (A +C) x +( A C+D) x+3 A D; riz rel do polinômio Q(x) é x = ; substituindo est riz n últim expressão: Se x =, então A =. Formmos o sistem de equções, obtido d comprção dos 6 coeficientes dos polinômios: A + C = ; logo C = 6 e 3A D = 4; logo D = 3. Então: x + 5 x + 4 x 3 + x + x 3 = 6 (x ) + ( x + 9 ) ; 6 x + x + 3 logo: I = 6 ln( ) x + 6 x + 9 x + x + 3,

40 4 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA onde últim integrl é resolvid usndo substituições; de fto: x + x+3 = (x+) +. Então, considere u = x + ; logo du = e: x + 9 u + 8 x + x + 3 = u + du = u u + du + 8 u + du. A segund integrl é imedit, pois: 8 u + du = 8 rctg ( u ) + c = 8 rctg ( x + ) + c. N primeir integrl fzemos t = u + ; logo dt = u du: u u + du = dt t = ln( t ) + c = ln( x + x + 3 ) + c e: [3] Clcule I = I = 6 ln( x ) + 3 x 3 + x 6 (x + )(x + 4 x + 3). ln( x + x + 3 ) + 3 rctg( x + ) + c. Observemos que gru(p (x)) < gru(q(x)); x + e x +4 x+3 são ftores qudráticos irredutíveis. Temos: Comprndo os numerdores: 3 x 3 + x 6 (x + ) (x + 4x + 3) = C x + D + C x + D x + x + 4 x x 3 + x 6 = (C + C ) x 3 + (4 C + D + D ) x + (3 C + 4 D + C ) x + (3 D + D ). Formndo o sistem de equções, obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios: C + C = 3 4 C + D + D = 3 C + 4 D + C = 3 D + D = 6 Resolvendo o sistem: C =, D =, C = e D = 3; logo:

41 .9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 4 3 x 3 + x 6 (x + ) (x + 4 x + 3) = x x + + x 3 x + 4 x + 3. Integrndo, pós decomposição d função integrnd, obtemos qutro integris, primeir é resolvid por substituição simples, segund é imedit, terceir e qurt são resolvids por completmento de qudrdos. I = ln((x + 4 x + 3) x + ) 7 3 rctg( x + ) rctg(x) + c Cso 4: Q(x) se decompõe em ftores lineres e ftores qudráticos irredutíveis, sendo que lguns dos ftores qudráticos se repetem Se um ftor qudrático x +bx+c de Q(x) tem multiplicidde k, esse ftor qudrático ssocimos um expressão do tipo: C x + D x + b x + c + C x + D ( x + b x + c) C k x + D k ( x + b x + c) k onde C i, D i são constntes determinr, i =,..., k. Os outros ftores são trtdos como nos csos, e 3. Exemplo.4. Clcule s seguintes integris: x 3 + x + [] Clcule x (x + ). Primeirmente observmos que gru(p (x)) < gru(q(x)) e x + é o único ftor qudrático irredutível, de multiplicidde. Comprndo os numerdores: x 3 + x + x (x + ) = A x + C x + D + C x + D x + (x + ). x 3 + x + = (A + C ) x 4 + D x 3 + ( A + C + C ) x + (D + D ) x + A. Formndo e resolvendo o sistem de equções obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios e lembrndo que Q(x) tem um riz rel x =, obtemos, A =, C =, D =, C = e D =.

42 4 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Logo: Clculndo s integris correspondentes: x 3 + x + x (x + ) = x x x + x (x + ). x 3 + x + x (x + ) = ln( x x + ) + rctg(x) + x + + c. [] Clcule I = x 5 + x x x + 8 x + 4 (x + ) 3. Primeirmente observmos que gru(p (x)) < gru(q(x)) e x + é o único ftor qudrático irredutível, de multiplicidáde 3. x 5 + x x x + 8 x + 4 (x + ) 3 = A x + B x + + C x + D (x + ) + E x + F (x + ) 3. Formndo e resolvendo o sistem de equções obtido d comprção dos coeficientes dos polinômios; obtemos, A =, B=, E = 4 e C = D = F =. Logo: e: I = x x + + I = ln( x + ) + x x (x + ) 3, rctg( x ) (x + ) + c.. Mudnç: Tngente do Ângulo Médio Se função integrnd envolve expressões do tipo: + b sen(x), + b cos(x) ou combinções dests, utilizmos mudnç u = tg ( x) ; logo: Por exemplo: sen(x) = u u du, cos(x) = e = + u + u + u.

43 .. APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 43 + b sen(x) = + b cos(x) = du ( + u ) + b u, du ( + u ) + b ( u ). Exemplo.5. [] Clcule. Neste cso = e b = ; logo: + sen(x) + sen(x) = [] Clcule = 3 3 du u + u + = cos(x) + sen(x). Utilizndo s mudnçs: du ( ) 3 u (x) rctg ( 3 ( tg + ) ) + c. 3 = 3 3 rctg ( 3 ( u + ) ) + c 3 cos(x) + sen(x) = du u (u + ) = ( u ) du; logo: u + ( cos(x) + sen(x) = u = ln ( u u + ) du u + ) ( cos(x) + c = ln cos(x) + sen(x). Aplicções d Integrl Indefinid.. Obtenção de Fmílis de Curvs ) + c. Sej y = f(x) um função derivável. O coeficiente ngulr d ret tngente o gráfico de f no ponto (x, f(x)) é f (x). Inversmente, se um coeficiente ngulr é ddo por m = f (x), por integrção determin-se um fmíli de funções: y = f(x) + c, onde c é um constnte rbitrári. Exemplo.6.

44 44 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [] Obtenh equção de um fmíli de curvs, sbendo que o coeficiente ngulr d ret tngente à cd curv, num ponto, é igul menos dus vezes bsciss do ponto. Obtenh equção d curv que pss pelo ponto (, ). Temos y = x; integrndo: y = x = x + c. No ponto (, ), tem-se = y() = + c; então, c = e y = x +. [] Em todos os pontos de um curv y = f(x) tem-se que y = x. Obtenh equção d curv, se est pss pelo ponto (, ) e ret tngente nesse ponto é prlel à ret x + y = 3. Temos y = x ; integrndo: y = (x ) = x3 3 x + c. O coeficiente ngulr d ret: x + y = 3 é e ret tngente à curv no ponto (,) é prlel est ret: = y () = 3 + c; logo, c = 7 e y = x3 3 x + 7. Integrndo novmente: y = x4 x + 7x + c (vermelho). Usndo o fto de que y() = temos c = 5 6 e y = x4 x + 7x (zul). Figur.: Exemplo []

45 .. OUTRAS APLICAÇÕES 45. Outrs plicções Exemplo.7. [] A tx de produção de um min de cobre t nos pós extrção ter começdo foi clculd como R(t) = 5 t e.t mil tonelds por no. Determine produção totl de cobre o finl do no t. Sej P = P (t) produção totl o finl do no t; então, tx de produção é P = P (t); logo, P (t) = R(t) = 5 t e.t ; integrndo: P (t) = 5 t e.t dt + c = 5 e.t (. t ) + c. Ao finl do no zero produção é zero; logo, P () =, donde obtemos c = 5; portnto, produção totl de cobre o finl do no t é dd por: P (t) = 5 e.t (. t ) + 5. [] A tempertur de um líquido é 75 o. Coloc-se o líquido em um depósito cuj tempertur, mntid constnte é igul 5 o. Pssdos 5 minutos tempertur do líquido é 5 o. Sbendo que velocidde de resfrimento é proporcionl à diferenç que existe entre tempertur do líquido e do depósito, qul é tempertur do líquido pós 5 minutos? Sej T = T (t) tempertur do líquido no instnte t, T () = 75 o e T (5) = 5 o. A velocidde de resfrimento é proporcionl à diferenç que existe entre tenpertur do líquido e do depósito. Então, T (t) = k (T (t) 5), k >. Devemos determinr T (t). T (t) T (t) 5 dt = k dt + c. Como dt = T (t) dt, então: T (t) T (t) 5 dt = logo, ln(t (t) 5) = k t + c; então: dt T 5 { ln(t () 5) = ln(5) = c = ln(t (t) 5); ln(t (5) 5) = ln(5) = 5 k + ln(5), donde k = 5 ln(); logo, ln(t (t) 5) = ln(5 t 5 ) e T (t) = t 5 ; então: T (5) = 3 o 5.

46 46 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [3] (Lei de resfrimento de Newton): A tx de vrição d tempertur T = T (t) de um corpo é proporcionl à diferenç entre tempertur mbiente A (constnte) e tempertur T = T (t), isto é: dt dt = k (A T (t)), (k > ). ( ) Pr determinr T, integrmos ( ) em relção t: dt T A = k dt + c; obtendo ln(t A) = k t + c; logo, T (t) = A + C e kt. Se tempertur inicil é T () = T ; então, C = T A e: T (t) = A + (T A) e kt. [4] (Crescimento populcionl inibido): Considere um colôni de coelhos com populção inicil N num ilh sem preddores. Se populção N = N(t) é pequen, el tende crescer um tx proporcionl si mesm; ms, qundo el se torn grnde, há um competição crescente por limento e espço e N cresce um tx menor. Estudos ecológicos mostrm que ilh pode suportr um quntidde máxim de N indivíduos, se tx de crescimento d populção N é conjuntmente proporcionl N e N N; logo: dn dt = k N (N N), (k > ). ( ) Pr determinr N, integrmos ( ) em relção t, plicndo o método de frções prciis: [ ] dn N (N N) = k dn dt + c; logo, N + dn = k t + c; N N e: Como N() = N, c = ln( N N ); então, logo, N N N N = N e Nkt N N donde: N N ln( N N ) = k t N + c. N N ln( N N ) = N k t + ln( ); N N

47 .3. EXERCÍCIOS 47 N(t) = N N N + (N N ) e N kt, que é um função logístic de populção limite N. Figur.3: Gráfico de N = N(t).3 Exercícios. Clcule s seguintes integris usndo tbel e, em seguid, derive seus resultdos pr conferir s resposts: () x(x + 3)(x + ) (h) x + 7 (b) (3x + 5) 3 (i) x + 4 (c) (j) x n 8 x (d) (x 3 + ) (k) tg (x) (e) (f) (g) x(x x + ) (x + )(x ) x 3 (x 3 x ) x (l) (m) (n) x( x) x e x + 4 e x

48 48 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA (o) (p) (q) 5e x (9t t 3 ) dt ( x + x x 3 ) (r) x 3 4 x x (s) x + (x 5 + x ) (t) x 4. Clcule s seguintes integris usndo o método de substituição: x () 5 x (n) x(ln(x)) 3x (b) x + x 3 (o) + x 4 x (c) + 5 (p) x e x3 dy rcsen(y) (d) (q) b y y dy (e) y(b y ) dy e x (r) e x + 6 4x (f) x3 + 8 sen(θ) (s) (5 cos(θ)) dθ 3 6x (g) (5 3x ) x + 3 (t) (x + 6x) (h) (i) dy (b + y) 3 x 3 + bx 4 (u) x ln(x) e rcsen(x) (v) x (j) (k) (l) (m) ln(x) + x sen(x) cos (x) tg( x ) sec ( x ) cos(x) b + sen(x) (w) (x) (y) (z) sen(ln(x)) x cos( x + ) + x x 5 3 x x cos(3 x )

49 .3. EXERCÍCIOS Clcule s seguintes integris, usndo s substituições dds: () x x, use x = x sec(t) (d), use x = sen(t) x (b) (c), use x = ln(t) e x + x x +, use t = x + (e) (f) + x, use z = + x, use z = + 3 x + x 3 4. Clcule s seguintes integris usndo o método de integrção por prtes: () x e x (n) x sec(x) tg(x) (b) x sen(x) (o) x 3 sen(5 x) x e x (c) ( + x) (p) x 4 cos(x) (d) e t cos(πt) dt (q) x 4 e x (e) sen(ln(x)) (r) (x 5 x 3 + x) e x (f) rccos( x) (s) x senh(x) (g) 3 x cos(x) (t) x rgsenh( x) (h) x rctg(x) (u) x 4 e x (i) sec 3 (x) x rcsen(x) (v) x (j) (x ) e x (w) x sec (x) e x (k) x 3 (x) ln 3 (x) x 3 x (l) (y) x ln(x) (m) x cosec (x) (z) x x +

50 5 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 5 Clcule s seguintes integris usndo primeirmente o método de substituição e depois, integrção por prtes: () + x (d) e x (b) x cos(x 4 ) (e) sen( x) (c) cos(ln(x)) (f) x 5 e x 6 Clcule s seguintes integris que envolvem potêncis de funções trigonométrics: sen (x) () cos 4 (x) (f) (cotg (x) + cotg 4 (x)) cos (b) tg 5 (x)sec 3 4 (x) (x) (g) sen 6 (x) (c) sen (x)cos (x) (h) sen 4 (x) sen 5 (x) (d) (i) sen 3 (y) cos 4 (y) dy cos(x) (e) sen(x) tg (x) (j) sen 4 (x) cos 6 (x) 5. Clcule s seguintes integris, usndo substituição trigonométric: 6 x x () (f) x x (b) (c) (d) (e) x x 3 x 9 x 5 x x 7 x 5 x (g) (6 9 x ) 3 x 6 (h) (4x x ) 3 x (i) + (j) ( + x ) x

51 .3. EXERCÍCIOS 5 (k) (l) (m) (n) ( x ) + x x x 4 7x 3 (4x + 9) 3 ( + x + x) (o) (p) (q) e x ex + x + x x x Usndo primeirmente o método de substituição simples, seguido do método de substituição trigonométric, clcule s seguintes integris: sen(x) cos(x) () (b) (c) (5 cos (x)) 3 x((ln(x)) 4) sen (x) 7. Completndo os qudrdos e usndo substituição trigonométric, clcule s seguintes integris: 5 x + 3 () (f) 3 + 8x 4x 4 x + 3 x + x (b) (g) x + 3x 4 x x 3 x (c) (x + 3x + 4) x (h) x x + 3 x (d) (i) x + 3 x + 5 x 3 x + 4 x + (e) (j) x x x + 6 x Clcule s seguintes integris, usndo frções prciis: x () 3 + 3x x 3 (d) + 8 (x + ) (b) 4 x 4 (e) x 4 + x (c) x 5 + 4x 3 (x + ) 3 (f) x 3 + x (x + )

52 5 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA x 4 + 8x 3 x + x + (g) (x + x)(x 3 + ) (h) x 3 (x + ) x + (i) (x + 4x + 5) x 3 + x + (j) x( + x ) x 3 + (k) (x 4x + 5) (l) (x + )(x + x + ) (m) x 8 + x 6 3x + (n) x x + (o) x 4 3x 3 + 3x x x (p) x 4 5x 3 3x + x (q) x 4 + 9x x 5 + 4x 3 + 3x x + (r) x 5 + 4x 3 + 4x x + (s) x(x + x + ) (t) x 3 + 3x + 7x + 5 x 3 x + (u) x x + 5 x 3 x 3 + x + x (v) x 4 9. Clcule s seguintes integris: () cos(x) ln(sen(x)) (b) x 5 x (c) x 5 cos(x 3 ) (d) tg(x) sec 3 (x) (e) cos(3 x) cos(4 x) x (f) (x + 4) 5 (g) (h) (i) x + 4 x + 8 e t 9 e t dt x + x x x + 4 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x 3 (x + x + 4) x 4 + x (x + ) sen(x) cos (x) 5 + cos (x) x (x + ) 3 4 x + x 7 x + 3 x x 3 x 4 x + 5 (x ) (x + ) x 3 3 x + x x +

53 .3. EXERCÍCIOS 53 (s) (t) (u) (x + 9) x + 4 (x ) x + x + sen(x) cos(x)+sen (x) (v) (w) (x) cos ( x ) x + sen(x) tg (x) sec (x) + tg(x) (x + 3) x. Clcule s seguintes integris: () sen(x) cos(x) (b) sen(x) + cos(x) (c) (d) 3 + cos(x) cos(x) sen(x) cos(x). Verifique, utilizndo exemplos, se é verddeiro ou flso que se P = P (x) é um n polinômio de gru n, então: P (x) e x = ( ) i P (i) (x)e x.. Em todos os pontos de um curv y = f(x) tem-se que y = cos( x) sen(x). Obtenh equção d curv, se est pss pelo ponto (, ) e ret tngente nesse ponto é perpendiculr à ret y x =. 3. Em lguns estudos, degrdção mbientl produzid por detritos tóxicos é modeld pel equção de Hldne: ds dt = i= s b + c s + s, onde, b, c >, S = S(t) é concentrção do substrto ( substânci do resíduo n qul s bctéris gem). Determine S = S(t). Qul é probbilidde dos circuitos continurem funcionndo pós 6 hors?

54 54 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

55 Cpítulo INTEGRAÇÃO DEFINIDA. Intodução Neste cpítulo introduziremos noção de integrl definid, cuj origem foi formlizção mtemátic d idéi do cálculo de áres de regiões plns delimitds pelos gráficos de funções. Observemos que somente "sbemos"clculr, efetivmente, áre de regiões limitds por segmentos de rets como retângulos, triângulos ou composições destes. Como motivção, começremos com um motivção geométric. Problem: Sejm f, g : [, b] R funções contínus. Clcule áre d região pln R delimitd pelo gráfico ds funções contínus: y = f(x) e y = g(x), x b. f g b Figur.: A região do problem 55

56 56 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA Solução do Problem: O subconjunto P = {x, x,..., x n } [, b] é chmdo de prtição de ordem n do intervlo [, b] se: = x < x < x <... < x n < x n = b. Subdividmos o intervlo [, b] em n subintervlos, escolhendo os pontos d prtição P. Formemos os seguintes subintervlos: [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ]. Denotemos qulquer destes subintervlos por [x i, x i ], i vrindo de té n. Sej x i = x i x i o comprimento do subintervlo [x i, x i ], i vrindo de té n. Note que estes subintervlos não tem necessrimente o mesmo comprimento. Pr cd i, vrindo de té n, consideremos o retângulo R i limitdo pels rets x = x i, x = x i, y = f(c i ) e y = g(c i ), onde c i [x i, x i ]. Figur.: Subdivisão d região Obtemos ssim n retângulos R i. É intuitivo que som ds áres dos n retângulos é um "proximção"d áre d região R. Se n é muito grnde ou, equivlentemente, se n cresce, então x i ou sej bse do retângulo correspondente é muito pequen e som ds áres dos n retângulos proxim-se cd vez mis d áre d região R.

57 .. INTODUÇÃO 57 Figur.3: Subdivisão d região A áre de cd R i é f(c i ) g(c i ) x i (bse por ltur); som S n ds áres dos n retângulos é: S n = n f(c i ) g(c i ) x i. i= S n é chmd som de Riemnn d função f g. Denotemos por x i o mior dos x i. A áre de um região pln R delimitd pelo gráfico ds funções contínus y = f(x), y = g(x) definids no intervlo [, b] e pels rets x = e x = b é: A(R) = lim x i n f(c i ) g(c i ) x i. i= É possível provr, com rigor mtemático que este limite sempre existe e é igul áre de R; mis ind, este limite não depende d escolh d prtição do intervlo [, b] ou d escolh dos pontos c i. Pr mis detlhes vej bibliogrfi intermediári e vnçd. Exemplo.. [] Clcule áre d região limitd pelo gráfico d função y = f(x) = x, o eixo dos x e pels rets x = e x =.

58 58 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA Figur.4: Áre limitd por y = f(x) = x, x O intervlo de integrção é [, ], f(x) = x e g(x) = ; então: h(x) = f(x) g(x) = x. ) Consideremos seguinte prtição de ordem 4 de [, ]: x = < x = 4 < x = < x 3 = 3 4 < x 4 = ; x i =, pr cd i. Os subintervlos são: 4 [, 4 ], [ 4, ], [, 3 4 ] e [3 4, ]. Se escolhemos c =, c = 4, c 3 = e c 4 = 3 4, então, h(c ) =, h(c ) = 6, h(c 3) = 4, h(c 4 ) = 9 6 ; logo: S 4 = = 7 3. Se escolhemos c = 4, c =, c 3 = 3 4 e c 4 = :

59 .. INTODUÇÃO Figur.5: Prtição d região h(c ) = 6, h(c ) = 4, h(c 3) = 9 6, h(c 4) = ; logo: É intuitivo que S 4 = = A(R) 5 3. b) Consideremos seguinte prtição de ordem n: x = < x = n < x = n < x 3 = 3 n <... < x n = n n =. x i = n. Se escolhemos c = n, c = n, c 3 = 3 n,..., c n = n n : S n = n n + n n + n 3 n n n n = n 3 [ n ] = (n + ) ( n + ) 6 n. Se escolhemos c =, c = n, c 3 = n,..., c n = n n :

60 6 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA S n = n 3 [ (n ) ] = (n ) ( n ) 6 n. Figur.6: Nov prtição d região Então: (n ) ( n ) 6 n A(R) (n + ) ( n + ) 6 n. Por outro ldo: (n ) ( n ) (n + ) ( n + ) lim = lim = n + 6 n n + 6 n 3 ; então: A(R) = 3. [] Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds funções f(x) = x 3, g(x) = 9 x e pels rets x = e x = 3.

61 .. INTODUÇÃO 6 Figur.7: Áre limitd por f(x) = x 3 e g(x) = 9 x O intervlo de integrção é [, 3]; então: h(x) = f(x) g(x) = 9 x x 3, se x [, 3 ]. ) Consideremos seguinte prtição de ordem 6 de [, 3]: x = < x = < x = < x 3 = 3 < x 4 = < x 5 = 5 < x 6 = 3; x i =, pr cd i. Se escolhemos c =, c =, c 3 =, c 4 = 3, c 5 = e c 6 = 5, obtemos: e: h(c ) =, h(c ) = 35 8, h(c 3) = 8, h(c 4 ) = 8 8, h(c 5) = e h(c 6 ) = 55 8 S 6 = [ ] = b) Consideremos seguinte prtição de ordem n: x = < x = 3 n < x = 6 n < x 3 = 9 n <... < x n = 3 n n = 3. x i = 3 n. Sej c i = 3 i, pr todo i =,,...n. Logo: n

62 6 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA h(c ) = 3 3( n ), h(c ) = 3 3( n 3 n 8 ), h(c3 ) = 3 3( 3 n 3 n 7 ), h(c4 ) = 3 3( 4 n 3 n 64 ). n 3 Em gerl: [ ] i h(c i ) = 3 3 n i3, n 3 e: S n = Lembrndo que n h(c i ) x i = i= n i= [ ] i 3 3 n i3 3 n n 3 n = i= ] 3 [i 4 i3. n n n i = i= temos: Então, áre procurd é: n (n + ) e S n = 8 4 n i= [ n ]. i 3 = n (n + ), 4 A(R) = lim S n = n + lim n ( n ) = 8 4.

63 .. INTEGRAL DEFINIDA 63. Integrl Definid Definição.. Sejm f um função definid no intervlo [, b], P um prtição qulquer do intervlo [, b] e c i um ponto qulquer em cd subintervlo definido pel prtição. A integrl definid de f de té b é denotd por: e definid por: b b f(x) = f(x) lim x i n f(c i ) x i i= se o limite existe. Observções... Se o limite d definição existe, é independente ds escolhs feits, como no cso d definição de áre. Portnto, deve ter sempre um único vlor.. Se f é contínu e não negtiv em [, b] definição de integrl definid coincide com definição de áre d região R delimitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = b e pelo eixo dos x (g = ): Figur.8: A região R

64 64 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA Neste cso teremos: R = {(x, y) / x b, y f(x)} A(R) = b f(x) 3. Os números e b são chmdos limites inferior e superior de integrção. Definição.. Um função f definid em [, b] é dit integrável em [, b] se su integrl definid existe. Algums ds provs deste cpítulo serão omitids, pois fogem do objetivo dests nots. Um leitor interessdo pode recorrer à bibliogrfi indicd. Teorem.. Se função f é contínu em [, b], então é integrável em [, b]. Observemos que recíproc deste teorem é fls. Por exemplo, considere função: { se x [, ] f(x) = se x (, ]. Figur.9: Gráfico de f f é descontínu, ms região limitd pelo gráfico de f, possui áre igul no intervlo [, ] e zero no intervlo (, ]; logo, f é integrável.

65 .3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 65 Proposição.. Se f e g são funções integráveis em [, b], então:. Lineridde d Integrl. α f + β g é função integrável em [, b], pr todo α, β R e: b [ ] b α f(x) + β g(x) = α f(x) + β b g(x). Monotonicidde d Integrl. Se f(x) g(x) em [, b]; então, b f(x) b g(x) 3. f é integrável e: b b f(x) f(x) 4. Sejm < c < b e f um função integrável em [, c] e [c, b] respectivmente. Então f é integrável em [, b] e: b f(x) = c f(x) + b c f(x) Pr prov, vej o pêndice. Até gor conhecemos definição e s proprieddes mis importntes d integrl definid. Mostrremos, seguir, como clculá -l..3 Teorem Fundmentl do Cálculo Sej f : [, b] R um função contínu. Definmos função: g(x) = Por exemplo, se f(x) = cos(x), então: x f(t) dt.

66 66 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA g(x) = x cos(t) dt = sen(x); por outro ldo observe que, g (x) = cos(x) = f(x). Este fto pode ser generlizdo. É o que estbelece o seguinte teorem. Teorem.. (Fundmentl do Cálculo). Sej f : [, b] R um função contínu. A função: é derivável em (, b), e: g(x) = x f(t) dt g (x) = f(x), ou, g (x) = d.4 Construção de Primitivs x f(t) dt = f(x) Este resultdo implic que tod função contínu possui um primitiv. Vej o pêndice. Existem funções integráveis que não possuem primitivs (não podem ser contínus). Por exemplo, função definid por: { se x f(x) = se x = ; f não é derivd de nenhum função: g(x) = x f(t) dt =, pr todo x. Corolário.. Se f é um função integrável em [, b] e dmite um primitiv F (x) em [, b], então: b f(x) = F (b) F ()

67 .4. CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS 67 Observção.. O corolário nos diz que pr clculr integrl definid de um função, bst procurr um primitiv d função e vliá-l nos limites de integrção. A integrl definid é um número rel. Notção: F (x) b = F (b) F (). Corolário.. N hipótese do corolário nterior, temos:.. b f(x) = b f(x) =. f(x). Corolário.3. Sej f : I R contínu e α : J R derivável; I e J são intervlos tis que α(j) I. Então: g(x) = α(x) f(t) dt é derivável e: g (x) = f(α(x)) α (x) Exemplo.. [] A primitiv de sen(x 6 ) é: F (x) = x sen(t 6 ) dt. De fto, F (x) = sen(x ).

68 68 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA [] A primitiv de e x é: Figur.: Gráfico de F (x) [3] Clcule [ e x + 4 x ]. F (x) = x e t dt. Usndo lineridde, podemos escrever integrl como: [ e x + 4 x ] = e x + 4 x. Como: F (x) = e x = e x, e F (x) = 4 = x x /4 = 4 ( 4 x 3) 3 Logo, [ e x + 4 x ] = e x + = ( F () F () ) = (e e) ( 4 8 ). 4 = F (x) x ( F () F () ) + F (x)

69 .4. CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS 69 e [4] Clcule ln(x). e Utilizmos integrção por prtes: então: F (x) = u = ln(x) dv = du = x v = x; ln(x) = x ln(x) x; logo: e e ln(x) = F (x) e e = e. [5] Clcule sen(π x). Observmos que sen(π x) se x e sen(π x) se x. cos(π x) sen(π x) = + c. π Logo, F (x) = [6] Clcule cos(π x), então: π sen(π x) = sen(π x) sen(π x) = F (x) = (F () F ()) (F () F ( )) = 4 π. x x + 3. F (x) Se u = x + 3, então du 4 = x. x x + 3 = 4 u u 3 ( du = 6 = x + 3) 3 + c. 6 ( x + 3) Logo, F (x) = 3 ; então, 6 x x + 3 = F () F () =

70 7 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA [7] Sej: b t x dt se x f(x) = ln ( b ) se x =. Verifique se f é contínu em. Clculndo diretmente: t x dt = tx+ x + + c. Logo, F (x) = tx+ x + ; então: b t x dt = F (b) F () = bx+ x+. x + Por outro ldo, plicndo L Hôpitl: logo, f é contínu em. lim f(x) = lim x x (bx+ ln(b) x+ ln()) = f( );.5 Integrl Definid e os Métodos de Integrção Método de Substituição Se u = g(x), então du = g (x) ; logo, b f(g(x)) g (x) = g(b) g() f(u) du

71 .5. INTEGRAL DEFINIDA E OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 7 Integrção por Prtes b f(x) g (x) = f(x) g(x) b b g(x) f (x) Exemplo.3. [] No exemplo [4] d págin nterior, fizemos u = x + 3; logo, du 4 então u = 3; se x =, então u = 5. Assim: [] Clcule x x + 3 = 4 e x e x + 4 e x u 3 u du = = = x. Se: x =, Fzmos u = e x, então e x + 4 e x + 4 = u + 4 u + 4 = (u + ). Se x =, então u = ; se x =, então u = e. Utilizndo frções prciis: e x e e x + 4 e x + 4 = du (u + ) = e u + = e 3 (e + ). [3] Clcule 4 + x. Se u = x +, então x = u e du = u = ; se x = 4, então, u = 3. Assim: [4] Clcule 4 4 ; logo, (u ) du =. Se: x =, então, x 3 + x = (u ) du = ( u ln( u ) ) 3 = 4 ln(3). u x ln(x). Usndo o método de integrção por prtes temos: u = ln(x) e dv = x ; então, du = x e v = x. Assim Logo: x ln(x) = x ln(x) x 4.

72 7 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA [5] Clcule π/ 4 x ln(x) = x ln(x) sen( t) e sen(t) dt. x 4 4 = 6 ln() 5 4. Como sen( t) = sen(t) cos(t), fzemos x = sen(t); logo, = cos(t) dt. Se t =, então x = ; se t = π, então x =. Assim: π/ sen( t) e sen(t) dt = x e x. Integrndo por prtes: u = x e dv = e x, então du = e v = e x ; logo: π/ sen( t) e sen(t) dt = x e x = x e x e x = ( x e x e x) =. [6] Clcule 3 3 x x + 9. Usremos o método de substituição trigonométric. Sej x = 3 tg(θ); observmos que 3 tg(θ) = 3 e 3 tg(θ) = 3, implicm em θ = π 6 e θ = π 4 ; = 3 sec (θ) dθ; então, x x + 9 = cosec(θ) dθ. 3 [7] Verifique que f(x) f(x) + f( x) =, sendo f tl que o integrndo sej defi- nido. Sej I = logo, 3 3 x x + 9 = 3 π 4 π 6 cosec(θ) dθ = 3 ln [ f(x). Fzendo u = x, então du = : f(x) + f( x) I = I = f( u) f( u) + f(u) du = ]. f( x) f( x) + f(x) ; f(x) f(x) + f( x) + f( x) f( x) + f(x) = =.

73 .5. INTEGRAL DEFINIDA E OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 73 [8] Usemos [7] pr clculr x x x + = x x x +. x x 4 x + 4 = x =. x + (x ) Considermos f(x) = x em [5]. [9] Clcule x rctg(x). Integrndo por prtes u = rctg(x), dv = x ; então, du = Agor clculmos: x rctg(x) = x rctg(x) Integrmos função rcionl. Logo, Então: x x + = x [] Clcule d teorem nterior: [] Clcule dy se y = x x +. x + e v = x ; x x +. [ ] = x rctg(x) x + x rctg(x) = x rctg(x) = π 4. ( π ) = (π ). 4 4 (t t + )dt. A função f(t) = t t + é contínu em R, pelo x 3 d x (t t + )dt = x x +. (5t + 7) 5 dt. Como f(t) = (5 t+7) 5 é contínu em R; α(x) = x é derivável em R e Im(α) Dom(f). Pelo corolário nterior: dy = f(α(x)) α (x) = x f(x ) = x (5 x + 7) 5.

74 74 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA [] Clcule y se y = x 3x+ t + dt + t + dt. Como f(t) = t + é contínu em R, α (x) = x e α (x) = 3 x + são funções deriváveis tis que Im(α ), Im(α ) Dom(f), pelo corolário nterior: y = f(α (x)) α (x) + f(α (x)) α (x) = x (3 x + ) +. [3] Sej: F (x) = x dt + t + x dt + t, x. Mostre que F (x) é constnte em (, ) e em (, + ). Clcule tis constntes. i) Sej G(x) = x dt + t ; então, F (x) = G(x) + G( ). x Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo: G (x) = e F (x) = G (x) + x x G ( ) =, x (x ). Logo F (x) = e F (x) = c se x > e F (x) = c se x <. dt ii) c = F () = + t = π ; nlogmente, c = π. [4] Clcule g se g(x) = x e t dt. Denotemos por f(t) = e t e α(x) = x ; então, f(α(x)) = f(x ) = e x4 ; logo: g (x) = x e x4.

75 .5. INTEGRAL DEFINIDA E OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Figur.: Gráfico de ge g [5] Se x sen(π x) = x Derivndo mbos os ldos d iguldde: f(t) dt, onde f é um função contínu, clcule f(4). [ d [ ] d x ] x sen(π x) = f(t) dt ; sen(π x) π x cos(π x) = f(x ) x. Pr x =, temos: sen( π) π cos( π) = 4 f(4), logo π = 4 f(4). Então, f(4) = π. Proposição.. Sej f um função integrável sobre [, ]. Se f é um função pr: ) f(x) = f(x) Se f é um função ímpr: b) f(x) = De fto: f(x) = f(x) + f(x) = f(x) + Fçmos seguinte substituição u = x, então: f(x).

76 76 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA f(x) = f( u) du. Se f é um função pr, segue ) e se f é um função ímpr, segue b). Exemplo.4. [] Clcule π 4 π 4 tg(x). A função é ímpr, logo: x x 4 + π 4 π 4 tg(x) =. x x 4 + Figur.: Gráfico d função f(x) = tg(x) x x + [] Clcule (x + cos(π x) + ). A função f(x) = x + cos(π x) + é pr, logo: (x + cos(π x) + ) = (x + cos(π x) + ) = 8 3.

77 .6. FUNÇÕES DEFINIDAS POR INTEGRAIS 77 Figur.3: Gráfico d função f(x) = x + cos(π x) +.6 Funções definids por Integris Existem muits funções em Mtemátic e Ciêncis Aplicds que são definids por um integrl, neste prágrfo presentmos lguns exemplos dests funções..7 Funções de Fresnel As funções: S(x) = C(x) = x x sen ( π t ) dt cos ( π t ) dt são chmds seno e cosseno de Fresnel e precem no estudo d difrção de onds de luz.

78 78 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA Figur.4: Gráfico de S(x) (zul) e C(x) (vermelho) Exemplo.5. Clcule:. lim x S(x) x 3.. lim x C(x) x.. O limite present um indeterminção do tipo ( ); plicmos o Teorem de L Hôpitl, S (x) = sen ( π x ) ; logo: S(x) lim x x 3 = lim x S (x) 3 x = π 6.. Anlogmente: C(x) lim x x = lim x C (x) =.

79 .8. FUNÇÃO ERRO 79.8 Função Erro A distribuição de probbilidde Gussin é mis importnte ds probbiliddes e é utilizd em Engenhri, Físic, Probbiliddes, etc. A função erro é integrl dest distribuição de probbilidde. Vej o último cpítulo. A função erro é denotd e definid por: erf(x) = π x e t dt Exemplo.6. Clcule derivd de:. x erf(x).. erf( x).. Pel regr do produto:. Figur.5: Gráfico de erf(x) d ( ) d x x erf(x) = erf(x) + x erf(x) = erf(x) + e x. π. f(t) = e t e α(x) = x; então, f(α(x)) = e x e α (x) = x. Logo: d erf(u) = π f(α(x)) α (x) = e x π x.

80 8 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA.9 Funções Si e Ci Ests funções são utilizds em Engenhri pr vlir potênci de irrdição ds ntens. As funções Si e Ci são denotds e definids por: Si(x) = x sen(t) t C(x) = γ + ln(x) + onde γ.577 é constnte de Euler. dt x (cos(t) ) t dt; Figur.6: Gráfico de Si(x) (zul) e Ci(x) (vermelho). Exercícios. Clcule s seguintes integris usndo o método de substituição: () 3 x + 3 (c) π e x + cos(x) e x + sen(x) (b) π 3 π 4 sec (x) tg 3 (x) (d) π 8 sec (x) + tg( x)

81 .. EXERCÍCIOS 8 (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) π 4 π 4 π e 4 sen(x) cos(x) e x e x + sen(x) ln(cos(x)) sec (x) e tg(x) e x x ( x ) x + 3 x ln(x) x x3 + e x sen(e x ) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) (x) π x (3 x x + ) 4 x e x3 x 3 x + rcsen(x) x + x sen( x + ) x + (x ) x x cos(x) 6 5 sen(x) + sen (x) sen(ln(x)) x x x Clcule s seguintes integris usndo o método de integrção por prtes: () (b) (c) (d) (e) (f) π π 4 x e x e x sen(3 x) 3 x cos(x) x 4 e x x ln( x) rctg(x) (g) (h) (i) (j) (k) π π 4 π 3 4 x 3 x x cosec (x) x e x (x + ) x sec(x) tg(x) ln( x)

82 8 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) e π 4 e π 4 π 4 cos(ln(x)) (x ) e x e x ln 3 (x) cos( x) x sec (x) rcsen(x) (s) (t) (u) (v) (w) (x) π 3 π π π sec 3 (x) x cos(x) x ln(x) x rcsen( x) cos 3 (x) x x + 3. Clcule s seguintes integris: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) π π 4 3 π π 3 π ln(3) 3 cos(x) ln(sen(x)) x 5 x x 5 cos(x 3 ) tg(x) sec 3 (x) cos(3 x) cos(4 x) x (x + 4) 5 x + 4 x + 8 e t 9 e t dt (x + x) x x 4 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) π 3 3 (x 3) (x + 4 x + 3) (x 4 + ) x (x + ) (sen(x) cos (x)) 5 + cos (x) x (x + ) 3 4 x + x 7 ( x + 3) x x (3 x 4 x + 5) (x ) (x + ) x 3 3 x + x x +

83 .. EXERCÍCIOS 83 (s) (t) (u) x (x ) x + 3 ( + x ) 3 (v) (w) (x) 4 π ( x + ) (x + ) (x + ) x x + x x 4 cos (x) 4. Clcule s seguintes derivds: () (b) (c) (d) d d d d x x x x (t + ) 3 dt t sen(t) dt t ln(t) dt + t4 dt (e) (f) (g) (h) d d d d e x x x x x 3 + t dt sen(t ) dt ( t + t ) dt t + t 3 dt 5. Sej f um função contínu em [, b] e suponh que x [, b]. Determine f e. x f(t) dt = x, pr todo 6. A seguinte função é utilizd em Engenhri Elétric: Si(x) = x sen(t) t dt; (x > ). Determine os pontos extremos e esboce seu gráfico. 7. O número: µ = b b f(x) é chmdo vlor médio d função f no intervlo [, b]. Clcule o vlor médio ds funções nos intervlos indicdos:

84 84 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA () f(x) = sen (x); [, π] (b) f(x) = 5cos(x); [ π, π] (c) f(x) = ln(x); [, ] (d) f(x) = x ; [, ] + x (e) f(x) = cos(x) sen(x) ; [, π ] (f) f(x) = x e x ; [, ] 8. Dig qul ds integris é mior, sem clculá-ls: () (b) + x ou x e x ou e x. 9. Sej > e suponh que f é um função contínu no intervlo [, ]. Defin g em [, ] por: pr todo x [, ]. g(x) = x f(t) dt + x () Verifique que g (x) =, pr todo x [, ]. f( t) dt, (b) Use prte ) pr verificr que g(x) =, pr todo x [, ]. (c) Conclu que: x f(t) dt = x f( t) dt.. Clcule s seguintes integris sem utilizr métodos de integrção: () [ ] x 5 6 x 9 sen 3 (x) + (x 6 + x 4 + x + ) 4 (b) π π sen( 3 x 7 + x 5 + x 3 ) x 4 + cos(x). Verifique que pr todo n, m Z: () π π sen(m x) cos(n x) =

85 .. EXERCÍCIOS 85 (b) (c) π π π π sen(m x) sen(n x) = cos(m x) cos(n x) =. Clcule π f(x), onde f(x) = π { se n m π se n = m { se n m π se n = m { sen(x) se x cos(x) se x > 3. Sej g(x) = α (x) α (x) f(t) dt, onde f : I R é contínu e α i : J R são funções deriváveis (i =, ); I e J intervlos tis que α i (J) I. Verifique que: 4. Clcule g (x) se g(x) = g (x) = f(α (x)) α (x) f(α (x)) α (x). x +x x + 5. Clcule g ( ) se g(x) = x 3 x t dt. t dt. 6. Sej f : R R contínu. Sbendo que f(5 x). f(t) dt = 4, clcule x e t 7. Sej f(x) = dt. Verifique que f é um função contínu ímpr e que + t f(x) x, pr todo x >. 8. Esboce o gráfico de f(x) = x t e t dt

86 86 CAPÍTULO. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

87 Cpítulo 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 3. Acelerção, velocidde e posição A relção entre celerção, velocidde e posição de um prtícul pode ser obtid utilizndo diretmente o Teorem Fundmentl do Cálculo. Suponhmos que um prtícul move-se o longo do gráfico d função com segund derivd contínu x = x(t) com velocidde v = v(t), de clsse C e celerção, = (t) em cd instnte t. A celerção d prtícul é: (t) = dv. Pelo Teorem: dt então: t t (s) ds = t t () v(t) = dv ds ds = v(t) v(t ); t t (s) ds + v(t ). Logo, conhecendo celerção e velocidde inicil d prtícul, podemos obter velocidde em cd instnte t. A velocidde d prtícul é: v(t) =. Pelo Teorem: dt então: t t v(s) ds = t t ds ds = x(t) x(t ); 87

88 88 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA () x(t) = t t v(s) ds + x(t ). D(t) = x(t) x(t ) é chmdo o deslocmento d prtícul. Logo, conhecendo velocidde e posição inicil d prtícul, podemos obter su posição em cd instnte t. Um dos movimentos mis simples é qundo prtícul tem celerção constnte: (t) =, pr todo t. É comum ns plicções considerr que o tempo inicil sej t =. Denotndo velocidde e posição inicil respectivmente por v() = v e x() = x, obtemos: De (), temos: v(t) = t ds = t + v e de (), temos: x(t) = t v(s) ds + x = t ( t + v ) ds + x Logo, x(t) = t + v t + x. Neste cso, conhecendo velocidde e posição inicil d prtícul obtemos su trjetóri. No deslocmento verticl de um prtícul, escolhemos o eixo dos y do sistem de coordends pr posição. Considermos pr cim prte positiv do eixo dos y. O efeito d grvidde n prtícul é diminuir ltur bem como su velocidde. Desprezndo resistênci do r, celerção é constnte (t) = g, onde g = 9.8 m/seg é celerção grvitcionl n superfície d terr. Então: v(t) = 9.8 t + v x(t) = 4.9 t + v t + x, x(t) medido em metros.

89 3.. ACELERAÇÃO, VELOCIDADE E POSIÇÃO 89 Exemplo 3.. [] A velocidde de um foguete é de km/h pós os primeiros 3 seg de seu lnçmento. Determine distânci percorrid pelo foguete. Primeirmente, fzemos conversão de km/h pr m/seg multiplicndo pel frção, donde obtemos: 36 = 3 36 m/seg = 9.59 m/seg. v = ; logo v(t) = 9.59 t e obtemos: D(3) = = m. O foguete nos primeiros 3 seg percorre um distânci de m. [] Se um bol é jogd diretmente pr cim prtir do chão com velocidde inicil de 96 m/seg. Determine seu deslocmento. Primeirmente, x = e v = 96; logo, v(t) = 9.8 t A bol tinge su ltur máxim qundo v = ; então, ltur máxim é tingid no tempo: t = = 9.79 seg. Logo, x(9.79) = 4.9 (9.79) = 47. m Figur 3.: Exemplo []

90 9 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 3. Cálculo de Áres Como estudmos no inicio do cpítulo, o cálculo d áre de um região pln pode ser feito vi integrl definid. A seguir, estudremos s situções mis comuns de regiões plns. Teorem 3.. Sejm f, g : [, b] R funções contínus. A áre de um região pln R delimitd pelo gráfico ds funções contínus y = f(x), y = g(x) e pels rets x = e x = b é: A(R) = b f(x) g(x) f g b Figur 3.: A região R Corolário 3... Se f(x) e g(x) =, pr todo x [, b], então: A(R) = b f(x) onde: R = {(x, y) / x b, y f(x)}

91 3.. CÁLCULO DE ÁREAS 9 y=f(x) R b Figur 3.3: R = {(x, y) / x b, y f(x)}. Se f(x) e g(x) =, pr todo x [, b], então: A(R) = onde b f(x) R = {(x, y) / x b, f(x) y } b R Figur 3.4: R = {(x, y) / x b, f(x) y } 3. Se f(x) g(x), pr todo x [, b], então:

92 9 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA A(R) = b [ f(x) g(x) ] onde R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)} f R g b Figur 3.5: R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)} 4. Se f(x) g(x), x c e g(x) f(x), c x b; então, R = R R, onde: R = {(x, y) / x c, g(x) y f(x)} e R = {(x, y) / c x b, f(x) y g(x)} A(R) = c [ ] b [ ] f(x) g(x) + g(x) f(x) c

93 3.. CÁLCULO DE ÁREAS 93 f g c b Figur 3.6: R = R R Exemplo 3.. [] Se em 97, form utilizdos.3 bilhões de brris de petróleo no mundo todo e se demnd mundil de petróleo cresce exponencilmente um tx de 9% o no, então demnd A(t) nul de petróleo no tempo t é A(t) =.3 e.9t (t = em 97). Se demnd continu crescendo um tx de 9% o no, qul será quntidde de petróleo consumid entre os nos de 97 e? A quntidde de petróleo utilizd nesse período de tempo é áre sob curv de demnd entre t = e t = e.9t dt = 5.56 e.9t = Logo, form consumidos brris de petróleo.

94 94 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Figur 3.7: A região do exemplo [] [] Clcule áre d região limitd pelo eixo dos x e pelo gráfico de y = 4 x. Neste problem g = e não são ddos clrmente os intervlos de integrção; ms, s interseções com os eixos são os pontos: (, 4), (, ) e (, ) Logo, R = {(x, y) R / x, é pr: A = Figur 3.8: A região do exemplo [] (4 x ) = y 4 x }. Usndo o fto de que função (4 x ) = (4 x x3 3 ) = 3 3 u.. [3] Clcule áre d região limitd pelo eixo dos x e pelo gráfico de y = 4 x 4 5 x +.

95 3.. CÁLCULO DE ÁREAS 95 Determinemos interseção d curv com os eixos coordendos: i) Fzendo x = ; então, y = ; o ponto de interseção é (, ). ii) Fzendo y = ; então, 4 x 4 5 x + =, clrmetente x = e x = são rizes do polinômio; logo, 4 x 4 5 x + = (x ) (x + ) (4 x ); os pontos de interseção são (, ), (, ), (, ) e (, ). 5 É fácil verificr que x = é ponto de máximo locl e x = ± 8 locl de f. Logo, R = R R R 3 onde: são pontos de mínimo R = {(x, y) R / x, 4 x4 5 x + y }; R = {(x, y) R / x, y 4 x4 5 x + } e R 3 = {(x, y) R / x, 4 x4 5 x + y } Figur 3.9: A região R = R R R 3 Logo: A = (4 x 4 5 x + ) + (4 x 4 5 x + ) (4 x 4 5 x + ) A função y é pr. Usndo simetri d região, clculmos áre d região no primeiro e qurto qudrntes e multiplicmos o resultdo por :

96 96 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA [ A = (4 x 4 5 x + ) ] (4 x 4 5 x + ) = u.. [4] Clcule áre d região limitd pelos gráficos de y = x e y = x Figur 3.: A região do exemplo [4] Novmente neste problem não são ddos, clrmente, os intervlos de integrção. i) Clculemos s interseções dos gráficos; em outrs plvrs, resolvmos o seguinte sistem de equções: { y = x + y = x, ou sej, resolvmos x x = ; temos: x = e x =. Os pontos de interseção são (, ) e (, 4). ii) Notemos que x + x se x [, ]; logo: A = (x + x ) = [ x + x x3 3 ] = 9 u.. [5] Clcule áre d região limitd pelos gráficos de y = x x 4 e y = x.

97 3.. CÁLCULO DE ÁREAS Figur 3.: A região do exemplo [5] i) Clculemos s interseções dos gráficos; em outrs plvrs, resolvmos o seguinte sistem de equções: { y = x x 4 y = x, ou sej, resolvmos x 4 = ; temos: x = e x =. Os pontos de interseção são (, ) e (, ). ii) Notemos que x x 4 x se x [, ]; utilizndo simetri d região: A = ( x 4 + ) = ( x 4 + ) = 8 5 u.. [6] Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds seguintes curvs: y = x, y = x, y = x e y = x se >. As curvs são prábols.

98 98 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Figur 3.: A região do exemplo [6] Pel simetri d região, podemos clculr áre d região situd no primeiro qudrnte e multiplicr o resultdo por 4. i) Observemos primeiro que y = x não é função de x. ii) Clculemos interseção ds curvs, resolvendo o sistem: { y = x x = y. Então, x 4 = y ; logo x 4 3 x =, cujs rízes: x = e x = são os limites de integrção.

99 3.. CÁLCULO DE ÁREAS 99 Figur 3.3: Prte d região do exemplo [6] iii) A região no primeiro qudrnte, cuj áre queremos clculr é limitd superiormente pel função y = x e inferiormente por y = x, logo: A = 4 [ ] [ ] x x x = 4 x 3 3 = 4 3 u.. [7] Clcule áre d região limitd pels curvs: y = x x 4 e y = x 3 x. - i) Clculemos s interseções ds curvs: Figur 3.4: A região do exemplo [7] Então, temos os pontos x =, x = e x =. { y = x x 4 y = x 3 x.

100 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ii) Determinmos áre de cd região: R = {(x, y) / x, x x 4 y x 3 x}, R = {(x, y) / x, x 3 x y x x 4 }. Denotemos por: A(R) = A(R ) + A(R ), temos: A(R) = [ x x + x 3 + x 4] [ + x + x x 3 x 4] = u Observção Importnte Muits vezes os problems ficm mis simples de resolver se integrmos em relção y e não em relção x. Podemos repetir o processo de prtição num intervlo que fic no eixo dos y e obtenção ds soms de Riemnn. Sej R região pln limitd pel direit pel função x = M(y), pel esquerd por x = N(y) e pels rets y = c e y = d. N(y) d M(y) c Figur 3.5: A região R Não é difícil provr que se s funções M(y) e N(y) são contínus em [c, d], então: A = d c [ M(y) N(y) ] dy Por isso, pr resolver os problems de áre é sempre indicdo fzer o desenho d região correspondente.

101 3.3. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Exemplo 3.3. [] Clcule áre d região limitd pels curvs y = x e y = x 4. i) As interseções ds curvs são (, ) e (8, 4). ii) Sejm x = M(y) = y + 4 e x = N(y) = y Figur 3.6: A região do exemplo [] Então: A = 4 [ y ] [y y + 4 dy = + 4 y y3 6 ] 4 = 8 u.. Sugerimos o luno fzer este problem integrndo em relção x, pr "sentir"s dificulddes. [] Clcule áre d região limitd pels curvs y = x + 4 e y = x. i) As interseções ds curvs são (4, ) e (4, ). ii) Sejm x = M(y) = y e x = N(y) = y 4.

102 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Então, pel simetri: A = - Figur 3.7: A região do exemplo [] [4 y ] dy = 3.4 Exemplos Diversos [4 y ] dy = 3 3 u.. [] Clcule áre d região limitd pelos gráficos de y = sen(x) e y = sen( x), x π. 3 - Figur 3.8: A região do exemplo [] Resolvendo sen(x) = sen( x) = sen(x) cos(x) pr x [, π], temos que x =, x = π 3

103 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS 3 e x = π. A interseção ds curvs ocorre em (, ), ( π 3 3, ) e (π, ). Dividmos região em dus: R = {(x, y) / x π, sen(x) y sen( x)}, 3 R = {(x, y) / π 3 x π, sen( x) y sen(x)}. Então, A = π 3 [ sen( x) sen(x) ] + π π 3 [ sen(x) sen( x) ] = 5 u.. [] Clcule áre d região limitd pelo gráfico ds curvs: y = x x 4 e y = x x 4..5 Figur 3.9: A região do exemplo [] Determinemos o intervlo de integrção, resolvendo o sistem: { y = x x 4 = x ( x ) y = x x 4 = x ( x 3 ). Logo, x = e x = ; então, o intervlo de integrção é [, ]. A = [ x x 4 ( x x 4)] [ = ] x x = [ x [3] Clcule áre comum x + y 4 x e x + y 4. x3 3 ] = 6 u..

104 4 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Figur 3.: A região do exemplo [3] Determinmos o intervlo de integrção, resolvendo o sistem: { x + y = 4 x + y = 4x. Então, x = e y = ± 3. A equção x + y = 4x corresponde um círculo de rio centrdo em (, ); de fto, completndo os qudrdos obtemos: (x ) + y = 4. Pel simetri d região, clculmos somente áre d região: {(x, y) / y 3, x 4 x } no primeiro qudrnte (em verde) e multiplicmos o resultdo por qutro. Integrndo em relção y: A = 4 3 ( 4 y ) dy = 4 [ y 4 y y ] 3 = [ 8π 3 3 ] u.. [4] Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds curvs: x = y y e y x =. Determinemos o intervlo de integrção, resolvendo o sistem: { x y + y = y x =. Então, y = e y =. A interseção ds curvs ocorre em ( 3, ) e (, ). A = (y y + ) dy = [ y y3 3 + y] = 9 u..

105 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS Figur 3.: A região do exemplo [4] [5] Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds seguintes curvs: y = 7 x 6 x x 3 e y = 4 x. y = 7 x 6 x x 3 = x ( x) (x 6); curv intersect o eixo dos x nos pontos (, ), (, ) e (6, ). Por outro ldo, considerndo y = 7 x 6 x x 3, temos y = 4 x 6 3 x e y = 4 6 x; então, os pontos críticos: e são, respectivmente, de máximo locl e de mínimo locl. Pr obter s interseções ds curvs, resolvemos o sistem: { y = 7 x 6 x x 3 y = 4 x; logo, 7 x x x 3 = x (x ) (x 5) = ; s curvs se intersectm nos pontos de bscisss x =, x = e x = 5.

106 6 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 5 Figur 3.: A região do exemplo [5] A região é subdividid em dus regiões R e R, onde: R = {(x, y) / x, 7 x 6 x x 3 y 4 x}, R = {(x, y) / x 5, 4 x y 7 x 6 x x 3 }. Logo: [ A = ( x 7 x + x 3 ) + 7 x x x 3] 5 = 5 x 7 x3 3 + x4 4 5 x + 7 x3 3 x4 5 4 = = 53 u.. [6] Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds seguintes curvs: y = x 4 x+4 e y = x.

107 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS 7-3 Figur 3.3: A região do exemplo [6] As curvs se intersectm nos pontos de bscisss x = e x = 3; então: A = 3 ( x x + 4x 4) = 3 (6 + 4 x x ) = 64 3 u.. [7] Clcule áre limitd pel curv (y ) = x, pel tngente est curv no ponto de ordend y = 3 e pelo eixo dos x Figur 3.4: A região do exemplo [7] Se y = 3, então x =. A equção d ret tngente no ponto (, 3) é equção d ret tngente é y = y (x ) (x ) + 3; pr obter y, derivmos implicitmente em relção x equção (y ) = x ; temos: (y ) y =. No ponto (, 3), temos: y () = ;

108 8 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA logo, y x 4 =. Integrndo em relção y, teremos: x = M(y) = (y ) +, x = N(y) = y 4 e A = 3 ((y ) + (y 4))dy = 3 [8] Determine áre d região limitd pel curv: (y 6 y + 9) dy = 9 u.., b >. x y + 3 b = ; Figur 3.5: A região do exemplo [8] As interseções com os eixos são (, ), (, ), (, b) e (, b). Como curv é simétric em relção os eixos coordendos, podemos clculr áre d região situd no primeiro qudrnte e multiplicr o resultdo por 4. Então, considermos: y = b 3 ( x ) 3, no primeiro qudrnte. A áre dest região é: A = b ( x ) 3 ; 3 fzendo mudnç de vriáveis: x = sen(t), temos t π e = cos(t) dt: A = b ( x ) 3 = b 3 π cos 4 (t) dt;

109 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS 9 usndo identidde cos 4 (t) = cos(t) A = b A áre pedid é: π cos 4 (t) dt = b π + cos(4t), 8 [ cos(t) + cos(4t) 8 A = 4 S = 3πb 4 u.. ] dt = 3π b 6 u.. [9] Clcule som ds áres limitds pel curv y = x sen ( x) e o eixo dos x, sbendo que x [, n π ], sendo n, N. Figur 3.6: A região do exemplo [9] A = π x sen ( x ) π π x sen ( x) nπ ( ) n+ x sen ( x). (n )π Vemos que A = A A n, onde A k é áre limitd pel curv, o eixo dos x, se k π x (k + ) π e k =,...n, ou sej, A k = (k+)π kπ x sen ( x), considerndo: A k = (k+)π kπ x sen ( x),

110 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA se k é ímpr. Integrndo por prtes temos: A k = (k+)π kπ x sen ( x) = ( k + ) π cos(kπ). Logo, A = π ( ( n )) = n π u.., pois, ( n ) é som de termos de um P.A. [] Clcule áre d região limitd pel stróide 3 x + 3 y = 3, >. As interseções d curv com os eixos coordendos são (, ), (, ), (, ) e (, ). Pel simetri d curv, clculmos áre d região no primeiro qudrnte e multiplicmos o resultdo por 4. Figur 3.7: A região do exemplo [] Sej y = ( 3 3 x ) 3 ; logo, A = 4 [ 3 3 x ] 3. Fzendo mudnç x = sen 3 (t), obtemos y = cos 3 (t), = 3 sen (t) cos(t) dt; então, ( 3 3 x ) 3 = 3 cos 4 (t) sen (t) dt = 3 cos 4 (t) ( cos (t)) dt; logo: A = 3 8 π [ cos(4 t) + cos( t) + cos(6 t) ] dt = 3 8 π u..

111 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS [] Determine áre d região limitd por: y = x, y = x e y = x + 8. A região D qul devemos clculr su áre é: Figur 3.8: A região do exemplo [] Pr clculr áre de D, vmos clculr áre d região D à esquerd e subtrimos áre d região D à direit: 4 Figur 3.9: As regiões A e A do exemplo [] A região D = {(x, y) / x 4, x y x + 8}; logo su áre é: A(D ) = 4 [ x + 8 x ] = 36 u.. A região D = {(x, y) / x, x y x }; logo su áre é:

112 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA A(D ) = [ x ] = [ x ] = 8 3 u.. Finlmente áre pedid é: A(D ) A(D ) = 3 u.. [] Determine áre d região limitd por: y = x, x + y = e x + y = 5. A região D qul devemos clculr su áre é: 3 5 Figur 3.3: A região do exemplo [] Pr clculr áre de D, vmos clculr áre d região D à esquerd e subtrimos áre d região D à direit:

113 3.4. EXEMPLOS DIVERSOS Figur 3.3: As regiões A e A do exemplo [] Pr determinr áre d região D, primeirmente resolvmos o sistem: { x + y = x + y = 5 = y = 3. Escrevendo x = M(y) = 5 y e x = N(y) = y, então áre de D é: A(D ) = 3 [M(y) N(y)] dy = 3 Pr clculr áre de D, resolvmos o sistem: [3 y] dy = 9 u.. { y = x x + y = 5 = { y = x x + y = 5 = y + y 3 = = y =. Escrevendo x = M(y) = 5 y e x = N(y) = y +, então áre d D é: A(D =) [M(y) N(y)] dy = [3 y y ] dy = 5 3 u.. Finlmente, áre pedid é: A = A(D ) A(D ) = 7 6 u..

114 4 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 3.5 Volume de Sólidos de Revolução Se girmos um região pln em torno de um ret, obtemos o que é chmdo um sólido de revolução. A ret em torno d qul região é gird chm-se eixo de revolução. Por exemplo, considere seguinte região no plno: Figur 3.3: A região Girndo região em torno dos eixos dos x e y, obtemos: Figur 3.33: Sólido gerdo pel região Exemplo 3.4. [] Sej R região limitd pels curvs y = x, x = ± e o eixo dos x. Se girmos região R em torno do eixo dos x, obtemos:

115 3.5. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Figur 3.34: A região e o sólido, respectivmente [] Sej R região limitd pels curvs y = x e y =. Se girmos região R em torno do eixo dos y, obtemos: - Figur 3.35: A região e o sólido, respectivmente [3] Sej R região limitd pelo gráfico de y = sen(x) pr x [, π] e o eixo dos x.

116 6 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA π Figur 3.36: A região Se girmos região R em torno do eixo dos x obtemos o sólido do desenho à esquerd e se girmos região R em torno do eixo dos y, obtemos o sólido do desenho à direit: Figur 3.37: os sólidos [4] Sej R região limitd pelos gráficos de y = x, x =, x = e pelo eixo dos x. Se girmos região R em torno do eixo dos x, obtemos:

117 3.6. CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS 7 Figur 3.38: A região e o sólido, respectivmente 3.6 Cálculo do Volume dos Sólidos Sejm f : [, b] R um função contínu tl que f(x) em [, b] e região: R = {(x, y) / x b, y f(x)} Figur 3.39: A região e o sólido, respectivmente Fzendo girr região R o redor dos eixo dos x, obtemos um sólido de revolução S. Considere seguinte prtição do intervlo [, b]: = x < x < x <... < x n = b.

118 8 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Como ntes, x i = x i x i é o comprimento de cd subintervlo [x i, x i ], i vrindo de té n. Em cd subintervlo [x i, x i ], escolh c i, i vrindo de té n. Sej R i o retângulo de ltur f(c i ) e bse x i, i vrindo de té n. f(x) R i x i c i x i b Figur 3.4: Girndo R i em torno do eixo dos x obtemos um cilindro circulr reto C i de volume f(c i ) x i π. R i R j C i C j x i x j Figur 3.4: A som dos volumes dos n cilindros é: V n = π n f(c i ) x i. i=

119 3.6. CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS 9 V n é um proximção do volume do sólido de revolução, qundo x i proxim-se de, ou, equivlentemente, se n cresce. Intuitivmente estmos preenchendo o sólido de revolução por cilindros de ltur pequen, dos quis sbemos efetivmente clculr o volume. Seguindo o mesmo rciocínio utilizdo qundo definimos áre de um região pln, temos: V (S) = n b lim π f(c i ) x i = π f(x), x i i= se o limite existe. É possível demonstrr que este limite sempre existe e é independente ds escolhs feits. Se função f é negtiv em lgum subconjunto de [, b], o sólido de revolução obtido prtir d região limitd pelo gráfico de f, o eixo dos x e s rets x = e x = b coincide com o sólido de revolução obtido prtir d região limitd pelo gráfico de f, o eixo dos x e s rets x = e x = b. O fto de que o integrndo f(x), implic em que sej válid mesm fórmul pr mbos os csos. Figur 3.4: As regiões

120 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Figur 3.43: O sólido de revolução Proposição 3.. Sejm f : [, b] R um função contínu tl que f(x) em [, b] e região: R = {(x, y) / x b, y f(x)} Considere o sólido de revolução S obtido girndo região o redor do eixo dos x. Então o volume V (S) do sólido S é: b V (S) = π f(x) Em gerl, este processo, pode ser feito pr qulquer região limitd pelos gráficos de funções contínus. Sejm f, g : [, b] R funções contínus tis que f(x) g(x) pr todo x [, b] e região: R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)}

121 3.6. CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS f R g b Figur 3.44: A região R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)} O volume do sólido de revolução S obtido girndo R em torno do eixo dos x é: b [ V (S) = π f(x) g(x) ] De form nálog, sejm M, N : [c, d] R funções contínus tis que M(y) N(y) pr todo y [c, d] e região: R = {(x, y) / c y d, N(y) x M(y)} d N(y) R M(y) c Figur 3.45: A região R = {(x, y) / c y d, N(y) x M(y)} O volume do sólido de revolução obtido girndo R o redor dos eixo dos y é:

122 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA d [ V (S) = π M(y) N(y) ] dy c Em prticulr, pr ret x = N(y) =, ou sej, o eixo dos y. d V (S) = π M(y) dy c Exemplo 3.5. [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos x região limitd pel curv y = sen(x), x [, π] e o eixo dos x. π π - Figur 3.46: A região e o sólido, respectivmente Pel simetri do sólido, clculmos o volume d metde do sólido e multiplicmos o resultdo por : V (S) = π π sen (x) = π u.v. [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos x região limitd pel curv y = cosh ( x), x [ b, b] e o eixo dos x, (, b > ).

123 3.6. CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS 3 Figur 3.47: A região e o sólido do exemplo [] Pel simetri do sólido, clculmos o volume d metde do sólido e multiplicmos o resultdo por : V (S) = π = π = π b b [ cosh ( x) [ e x/ + e x/ + b + senh ( b ) ] u.v. ] [3] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos x região limitd pel curv y = x, x e o eixo dos x. V (S) = π [ x ] = 4 π 3 3 u.v. Observe que o volume de revolução é o de um esfer de rio.

124 4 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Figur 3.48: A região e o sólido do exemplo [3] [4] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos x região limitd pelos gráficos de 4 y = 3 x e y = x + 5. Figur 3.49: A região e o sólido do exemplo [4] Os limites de integrção são x = 3 e x =. V (S) = π = π 6 3 ( [ 3 x 3 = 64 π 5 u.v. 4 ] [ x + 5 ] ) [69 3 x + x 4 4 x]

125 3.6. CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS 5 [5] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos y região limitd pelo gráfico de (x b) + y =, < < b. y b Figur 3.5: A região e o sólido do exemplo [5] Sejm M(y) = b+ y e N(y) = b y. Os limites de integrção são y = e y = ; então: V (S) = π [( ) ( ) ] M(y) N(y) dy = 4 b π y dy. Note que y dy é áre d região limitd por um círculo de rio ; logo, V (S) = π b. A superfície de revolução obtid é chmd toro. [6] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos x região limitd pelo gráfico de y = e x, x e o eixo dos x. Figur 3.5: A região e o sólido do exemplo [6]

126 6 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA V (S) = π e x = π (e e ) u.v. 3.7 Outros Eixos de Revolução Sejm f : [, b] R um função contínu tl que f(x), x [, b] e R região limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = b e y = l. Considere o sólido de revolução S obtido girndo região o redor d ret y = l. Então, o volume V (S) do sólido S é: V (S) = π b (f(x) l) Anlogmente, se região R é determind pelo gráfico d função contínu x = N(y), y [c, d] e pels rets y = c, y = d e x = r, então o volume do sólido de revolução obtido girndo R o redor d ret x = r é: Exemplo 3.6. d [ ] V (S) = π N(y) r dy c [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno d ret y = 4, região limitd pel curv y = x, x e pel ret y =. O sólido de revolução é gerdo pel região: Figur 3.5: A região do exemplo []

127 3.7. OUTROS EIXOS DE REVOLUÇÃO 7 Vmos clculr o volume pedido, substrindo o volume do cilindro gerdo pel região à esquerd, o volume do sólido gerdo pel região à direit: 4 Figur 3.53: As regiões D e D, do exemplo [] [ V (S) = π 5 ] (x + ) = π [ 5 9 ] 56 π = 3 3 u.v. [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno d ret x = região limitd pelo gráfico de x = y + e pels rets y = ±. Figur 3.54: Região e o sólido do exemplo []

128 8 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Os limites de integrção são y = ±. V (S) = π [y + ( )] dy = π [y + 4] dy 4 = π [ 4 y + y3 3 + y5 ] = 448 π 5 u.v. [3] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno d ret x = 6 região limitd pelo gráfico de 4 x = y e pel ret x = Os limites de integrção são y = ±4. Figur 3.55: Região e o sólido do exemplo [3] V (S) = π = π = 768 π 5 [ ( 4 y 6) (4 6) ] dy [ y 4 48 y + 5 ] dy 4 u.v.

129 3.8. MÉTODO DAS ARRUELAS 9 [4] Determine o vlor de > tl que se região limitd pels curvs y = + x e x, y = e x =, girr em torno d ret y =, o sólido gerdo tenh volume igul π. Pr obter, devemos resolver equção: π = π x e x ( ). Fzendo u = x, du = 4 x em (*), obtemos: = 4 e u du = e, 4 donde 9 = e e = ln(3). Figur 3.56: A região do exemplo [4] 3.8 Método ds Arruels Sejm f : [, b] R função contínu tl que f(x) em [, b] e região: R = {(x, y) / x b, y f(x)}. Fzendo girr região R o redor dos eixo dos y, obtemos um sólido de revolução S. Se >, o sólido possui um espço vzio internmente.

130 3 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA y y=f(x) R b x Figur 3.57: Como ntes, considere seguinte prtição do intervlo [, b]: = x < x < x <... < x n = b. x i = x i x i é o comprimento de cd subintervlo [x i, x i ], i vrindo de té n. Em cd subintervlo [x i, x i ], escolh: c i = x i + x i, o ponto médio do subintervlo [x i, x i ], i vrindo de té n. Sej R i o retângulo de ltur f(c i ) e bse x i, i vrindo de té n. Fzendo girr R i em torno do eixo dos y obtemos um rruel cilíndric A i de rio médio c i e ltur f(c i ). y R i Figur 3.58:

131 3.8. MÉTODO DAS ARRUELAS 3 O volume de A i é π c i f(c i ) x i. A som dos volumes dos n cilindros é: V n = π n c i f(c i ) x i. i= V n é um proximção do volume do sólido de revolução, qundo x i proxim-se de, ou equivlentemente, se n cresce. Intuitivmente estmos ftindo o sólido de revolução por inúmers rruels de ltur pequen, ds quis sbemos efetivmente clculr o volume. Seguindo o mesmo rciocínio nterior, temos: se o limite existe. n V (S) = lim π c i f(c i ) x i = π x i i= b x f(x), É possível demonstrr que este limite sempre existe e é independente ds escolhs feits. Em gerl, este processo pode ser feito pr qulquer região limitd pelos gráficos de funções contínus. Sejm f, g : [, b] R funções contínus tis que f(x) g(x) pr todo x [, b], e região R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)}. f R g b Figur 3.59: A região R = {(x, y) / x b, g(x) y f(x)} O volume do sólido de revolução S obtido girndo R em torno do eixo dos y é: b V (S) = π x (f(x) g(x))

132 3 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Exemplo 3.7. [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos y região limitd pelo gráfico de y = sen(x), x π e o eixo dos x. π Figur 3.6: Região e o sólido do exemplo [] O volume é: π V = π x sen(x) = π u.v. [] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos y região limitd pel curv y = cos(x); π x 4 π e o eixo dos x. Figur 3.6: Região e o sólido do exemplo []

133 3.8. MÉTODO DAS ARRUELAS 33 O volume é V = π V, onde: 3π V = π x cos(x) + 5π 3π x cos(x) 7π 5π x cos(x) + 4π 7π x cos(x). Como x cos(x) = cos(x) + x sen(x) + c, então: V = π ( + 3 π ) u. v. [3] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos y região limitd pels curvs y = x 6 e y = x 4, x. Figur 3.6: Região e o sólido do exemplo [3] V = π x ( x 6 x 4 ) = 7 π u.v. [4] Clcule o volume do sólido de revolução obtido girndo em torno do eixo dos y região limitd pel curv y = (x ), x e o eixo dos x.