Cálculo Diferencial e Integral I Fichas 6 e 7 de Exercícios LEGM/MEC 1 o semestre 2014/15

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Fichas 6 e 7 de Exercícios LEGM/MEC o semestre 204/5 Miguel Abreu, Manuel Ricou Secção de Álgebra e Análise Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico 9 de Novembro de 204

2 DMIST - 204

3 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise 6 a Ficha de Exercícios I. Primitivação por Partes. Determine primitivas para as seguintes funções: 57 ) xsenx 2) xcosx 3) xe x 4) xlogx 5) (logx) 2 6) x 2 senx 7) x 2 cosx 8) x 2 e x 9) x 2 log(+x) 0) sen 2 (x) ) cos 2 (x) 2) sen 3 (x) 3) cos 3 (x)sen 2 (x) 4) x 3 e x2 5) e ax sen(bx) 6) cos(logx) 7) arcsenx 8) arctanx 9) xarctanx 20) xarctan(/ x) 2) xarctan( x) 22) x 3 +x 2 23) x 5 +x 3 24) (logx) 3 25) log(logx) x 28) logx x 26) xlogx 27) x(logx) 2 29) log(+x) +x 30) cos(x)log(+cosx) 3) sen(x)log(+senx) 32) cosh(x)cos(x) 33) x 2 senhx 34) x 2 coshx 35) senh 2 (x) 36) cosh 2 (x)

4 58 II. Primitivas de Funções Racionais. Determine uma primitiva para cada uma das seguintes funções, usando uma decomposição apropriada em fracções parciais. ) (x+)(x 2) x 4) x ) x+4 x 2 + 0) 3) 6) 9) 22) 25) 28) x 2 + (x 2 )(x+) 3x (x 2 )(x+) x 2 +3x 2 (x+) 2 (x 3) 2) x 2 5) x 2 +x+ 2x 8) (x 2 )(x+) ) 3x+ x 3 x 4) 7) x+0 (x 2 4)(x+2) x 4 3) x x 6) x 2 +x+ 6+x 9) (4 x 2 )(x+2) 2) 5) x 2 4x+6 (x+2)(x ) 2 8) 2x 2 +x+ (x+3)(x ) 2 20) +x x 4 2) x 2 (+x 2 )(x+3) x 2 3x+4 (x 2)(x 2 2x+2) 2x 2 +7x x 3 +x 2 x 23) 26) 29) x+2 (4 x 2 )(+x 2 ) x 2 x (x 2)(x 2 2x+2) 2x+ x 3 3x 2 +3x 24) 27) 30) x+ x(x 2) 2 +x 2 x 3 2x 2 +x 3x 2 +3x+2 (x )(x 2 +2x+) (x+)(x 2 +) x 2 +x (+x 2 )(x+3) 2x 2 +4x+3 (+x)(x 2 +2x+2) 3x 2 +3x+ x 3 +2x 2 +2x+

5 59 III. Primitivação por Substituição (2). Usando a substituição indicada, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. 5 x ) 2(x+)( x+2), x = t2 2), x = t 2 x 3) (2 x) x, x = t2 4) (2+x), x+3 = t2 x+3 5) (x+3) x+2, x+2 = t2 6) +, x+ = t2 x+ 7) x +2x, +2x = t2 8) 3 3 x(+ x 4 ), x = t3 9) x+ 3 x, x = t6 ) x x 2 x+, t2 = x x+ 3) 5) 0) x 2 x x+2, t2 = x x+2 2) +e x, t2 = +e x 4) e 4x e 2x +, t = e2x 6) +e x, t = ex e 2x (e 2x )(+e x ), t = ex x(+log 2 (x)), t = logx logx 7) x(log(x) ) 2, t = logx 8) xlogx( logx), t = logx cosx 9) 4+sen 2 (x), t = senx 20) cosx +sen 2 (x), t = senx senx 2) 4+cos 2 (x), t = cosx 22) senx +cos 2 (x), t = cosx cosx senx 23) +senx cos 2, t = senx 24) (x) +cosx sen 2 (x), t = cosx sen(2x) sen(2x) 25) ( senx)cos 2, t = senx 26) (x) cosx(+cos 2 (x)), t = cosx

6 60 27) cosx, t = sen(x) 28) senx, t = cos(x) 29) cosx( senx), t = sen(x) 30) senx(+cosx), t = cos(x) 3) coshx, t = senh(x) 32) senhx, t = cosh(x) 33) 2+tanx, t = tanx tanx 34) +tanx, t = tanx 35) +x 2, x = tant 36) +x 2, x = senht 37) x 2, x = 38) x cost 2, x = cosht 39) x 2, x = sent 40) x x, x = sent 2 4) x x, 2 t2 = x 2 42) x +x, 2 t2 = +x 2 43) x +x, x = tant 44) 2 x +x, x = senht 2 45) x x 2, t2 = x 2 46) x x 2, x = cost 47) x x 2, x = cosht 48), x = sen 2 (t) x( x)

7 6 IV. Exercícios Complementares. Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. ) e x (+e x ) 2) 4) 7) x x 2 x(+ x) 8) e x e 2x +2e x + 3) 5) +x +x 2 6) x(+x) 9) x + x+ 2x x 2 4x+3 2x x 2 0) x+ 4 x 2 ) x 3 x 2 2) x x 2 2x+2 3) x3 +7x 2 5x+5 (x ) 2 (x+) 3 4) 6) log(cosx)tanx 7) sen3 (x) cos 2 (x) 9) xtan 2 (x) 20) cos 3 (x) 22) arctanx x 2 (x 2 +) 2 5) x 3 +x+2 x 4 +2x 2 + tanx 8) cos 3 (x) 2) sen 3 (x) 23) arctanx +x 2 24) xarctan(+x) 25) x 2 arctanx 26) xarctanx (+x 2 ) 3 27) arctan( x) 28) log( +x 2 ) 29) xlog( +x 2 ) 30) log(a 2 +x 2 ) 3) arcsen(/x) 32) xarcsen(/x) 33) arcsen( x) 34) e x 35) log(x+ x) 36) (arcsenx) 2 logx 37) (+x) 2 38) e x log(+e 2x x+ ) 39) x 5 +4x 3 40) (x 2 +) 3 4) x 4 42) tanx + 2x 3x 43) (x 2 +x+) 2 44) (x 2 +x+) 3 45) x ) e x (+e x ) 47) e 2x +2e x + 49) 50) +senx senx+cosx e x 48) 5) x + x+ senx senx+cosx

8 62 V. Definição de Integral e Critérios de Integrabilidade. ) Sejam a,b,c,d R, com a < b < c < d, e f : [a,d] R uma função integrável em [a,d]. Prove que f é integrável em [b,c]. 2) Seja f : [a,b] R uma função integrável, c [a,b] e g : [a,b] R uma função tal que g(x) = f(x), para x c. Mostre que g é integrável em [a,b] e b a g = b a f. 3) Seja f : [a,b] R, c ]a,b[ e suponha que f é integrável em [a,c] e em [c,d]. Mostre que f é integrável em [a,b]. 5) Seja f : [a,b] R uma função contínua e não-negativa. Mostre que se b a f = 0 então f é identicamente nula. 6) Seja f : [a,b] R uma função contínua e não-negativa (i.e. f(x) 0, x [a,b]). Mostre que se existe c [a,b] tal que f(c) > 0 então b a f > 0. 7) Considere a função h : [0,] R definida por Mostre que h(x) = 0 { 0, se x Q h = x, se x R\Q. 0 x dx = 2. O que pode dizer quanto à integrabilidade de h em [0,]? 8) Seja F : [a,b] R uma função definida por F(x) = x a f(t) dt, onde f é uma função limitada e integrável no intervalo [a,b]. Mostre que existe uma constante K > 0 tal que F(x) F(y) K x y, x,y [a,b]. 9) Sejaf : [a,b] Rumafunçãointegrável talquem f(x) M, x [a,b]. Mostre que b a f(x) dx = (b a)µ, para algum µ R tal que m µ M.

9 63 0) Seja f : [a,b] R uma função contínua. Mostre que para algum ξ [a,b]. b a f(x) dx = (b a)f(ξ), ) Mostre quesef : [a,b] Réumafunçãointegrável então f : [a,b] R também é integrável. 2) Seja f : [a,b] R uma função limitada. Mostre que se f é integrável em [a,x] para todo o x [a,b[, então f é integrável em [a,b] e b a f = lim x b x a f.

10 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise 64 7 a Ficha de Exercícios I. Sucessões. ) Determine, se existirem, os limites das seguintes sucessões. a) x n = 2n+ 3n d) x n = n+cos(n) 2n g) x n = n j) x n = n2 3n 4 +3 n n+2 h) x n = b) x n = 2n+3 3n+( ) n e) x n = n2 2 5n 2 n 4 n 2 +3 n+ k) x n = 2n+ c) x n = n n2 n+2 f) x n = n n 2 + i) x n = ( ) n n +n 2 l) x n = n n+ n+ n m) x n = n+ n n) x n = n(n+) n o) x n = 2n + 2 n+ p) x n = 2n +( ) n 2 n+ +( ) n+ q) x n = na n, com a < r) x n = 22n +6n 3 n 4 n+2 s) x n = 22n 3 n 2 n 3 2n t) x n = (3n ) 2 +7 n 2) Sendo (u n ) e (v n ) sucessões de termos positivos tais que u n v n + n para todo o n N, proveque(u n )convergesse(v n )converge. Mostretambémque,quando existem, os seus limites são iguais. 3) Prove que se lim n x n = 0 então lim n x 2 n = 0. 4) Considere a sucessão (x n ) definida por x = e x n+ = 2x n +3 4 para todo o n N. (a) Prove que (x n ) é estritamente crescente e que x n < 3/2 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 5) Considere a sucessão (x n ) definida por x = 3 e x n+ = 2x n + para todo o n N.

11 65 (a) Prove que (x n ) é estritamente decrescente e que x n > 2 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 6) Considere a sucessão (x n ) definida por x = 2 e x n+ = 2x n + para todo o n N. (a) Prove que (x n ) é estritamente crescente e que x n < 3 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 7) Considere a sucessão (x n ) definida por x = e x n+ = 3+x 2 n 2 para todo o n N. (a) Prove que (x n ) é estritamente crescente e que x n < 2 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 8) Considere a sucessão (x n ) definida por x = 2 e x n+ = 3 x n para todo o n N. (a) Prove que (x n ) é estritamente crescente e que x n < 3 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 9) Considere a sucessão (x n ) definida por x = 3 e x n+ = 3 x n para todo o n N. (a) Prove que (x n ) é estritamente decrescente e que x n > 2 para todo o n N. (b) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. 0) Considere as expressões x = e x n+ = x n x n para todo o n N. (a) Verifique que definem, por recorrência, uma sucessão (x n ), i.e. verifique que x n > 0 para todo o n N, por forma a que a segunda expressão faça sentido.

12 66 (b) Prove que x n 2 e x n+ x n, para todo o n N com n 2. (c) Mostre que (x n ) é convergente e calcule o seu limite. ) Mostre que as expressões x = e x n+ = 2x n +2x n para todo o n N definem por recorrência uma sucessão (x n ) que é convergente. Calcule o seu limite. 2) Determine, se existirem, os limites das seguintes sucessões. a) x n = d) x n = g) x n = ( + n) n+7 ( b) x n = + n) 2 3n ( c) x n = + ) n 2 n ( + ) n ( ) n 2 2n+3 ( n n 2 e) x n = f) x n = n+2 ( ) 3n+2 n/2 ( ) 2n 2n h) x n = i) x n = 3n 2n+ ) n n+2 ( 2n n+ ) n 3) Determine, se existirem, os limites das seguintes sucessões. a) x n = n n b) x n = n + n c) x n = n n 2 +n d) x n = n 2 n + e) x n = n 2 n +n 2 f) x n = n 3 n +2 2n ( ) 2 ( n n g) x n = 2n 2 h) x n = n ) ( n 2 n i) x n = + n+ n+ ) 2n II. Séries Numéricas. ) Mostre que cada uma das seguintes séries é convergente com soma igual ao valor indicado. a) d) n= n=0 2 3 n = 3 b) 2 n+ 5 n = 50 3 e) n= 2 n +3 n 6 n = ( ) n n= 2 n = 5 3 c) n= 3 n+ 2 2n = 9

13 67 2) Determine a natureza das seguintes séries. a) n 2 3n+ b) n n+ c) n n 2 +2 d) n(n+) e) n+ n 3 + f) n n 2 (n+) g) n! (n+2)! h) n 2 n 3 + i) 3 n 2 + j) 5 n 4 n + k) 2 n 3 n + l) 2 2n 3 n + 3) Determine a natureza das seguintes séries. a) n 000 (,00) n b) 2 n n e n c) n 3 3 n d) n 2 n! e) (000) n n! f) n! (2n)! i) 2 n n! n n j) 3 n n! n n 4) Determine a natureza das seguintes séries. g) (n!) 2 (2n)! h) n! n n a) logn n b) logn c) nlogn ( ) n e) n 2 logn f) (logn) n g) sen d) n(logn) 2 h) ( ) sen n 2 5) Seja (a n ) uma sucessão de termos positivos tal que limna n = +. Mostre que a série a n é divergente. 6) Seja (a n ) uma sucessão de termos positivos tal que limn 2 a n = 0. Mostre que a série a n é convergente. 7) Determine se são absolutamente covergentes, simplesmente convergentes ou divergentes, as seguintes séries. a) ( ) n 2n+ d) ( ) n 2n 2 g) ( ) nlogn n b) ( ) n n c) ( ) n n 2 + e) ( 3) n f) ( ) n n h) ( ) n sen ( ) n n+ i) ( ) nsen(nθ) n 2 8) Mostre que se a n converge então a 2 n também converge. Dê um exemplo em que a 2 n converge mas a n diverge.

14 68 III. Séries de Potências. ) Para cada uma das seguintes séries de potências, determine o conjunto dos pontos x R onde a série é (i) absolutamente convergente, (ii) simplesmente convergente e (iii) divergente. a) x n 2 n b) x n (n+)2 n d) (x ) n 3 n + g) ( ) n n+ (x ) n j) n n 4 + ( x)n k) (5x+) n n 2 + m) ( ) n 2 2n x n 2n 2) Determine a R de modo a que a série c) (x+3) n (n+)2 n e) n n+ (x+)n f) (x 2) n n 2 + h) 2n n 2 + (x+)n i) ( ) n (x+) n n 2 + l) ( 3x) 2n 4 n (n+) n) n! n nxn o) (n!) 2 (2n)! xn a n+ n+ xn seja convergente no ponto x = 3 e divergente no ponto x = 3. 3) Seja g a função definida pela fórmula n= x 2n 3 n+ no conjunto de todos os pontos em que a série é convergente. Determine o domínio da função g e calcule o seu valor no ponto x =. 4) Seja g a função definida pela fórmula n= (x ) n 2 n no conjunto de todos os pontos em que a série é convergente. Determine o domínio da função g e calcule o seu valor no ponto x = 0. 5) Seja g a função definida pela fórmula n= (2x) n 4 n+ no conjunto de todos os pontos em que a série é convergente. Determine o domínio da função g e calcule o seu valor no ponto x =.

15 69 IV. Séries de Taylor. ) Desenvolva a função logx em série de potências de (x ). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 2) Desenvolva a função xlogx em série de potências de (x ). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 3) Desenvolva a função log(x 2 +2x+2) em série de potências de (x+). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 4) Desenvolva a função /x em série de potências de (x ). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 5) Desenvolva a função /x 2 em série de potências de (x ). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 6) Desenvolva a função /(x+2) em série de potências de (x+). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 7) Desenvolva a função /(x + 2) em série de potências de x. Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 8) Desenvolva a função /(x+) em série de potências de (x 2). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 9) Desenvolva a função /x em série de potências de (x 2). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 0) Desenvolva a função /x 2 em série de potências de (x 2). Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? ) Desenvolva a função x 0 sen(t2 ) dt em série de potências de x. Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 2) Desenvolva a função x 0 cos(t2 ) dt em série de potências de x. Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? 3) Desenvolva a função x 0 et2 dt em série de potências de x. Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função?

16 70 4) Desenvolva a função ϕ(x) = x 2 0 log(+t 2 ) dt em série de potências de x. Qual é o maior intervalo aberto em que a série representa a função? A função ϕ tem um extremo no ponto zero? Justifique com base na série que obteve para ϕ.