Aula 16: Derivadas e Aplicações

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1 Aula 6: Derivadas e Aplicações Vamos agora ver alguns exemplos de aplicação do teorema de Lagrange. Exemplo. Aplicando o teorema de Lagrange à função f(x) = e x no intervalo [0,x] vemos que existe um c ]0,x[ tal que e x e 0 x 0 = f (c) = e c Como e c > para c > 0 concluimos que (e x )/x > logo e x > x + para x > 0. Podemos usar o teorema de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximar uma função pela sua recta tangente: Exemplo 2. A aproximação linear diz-nos que, para x, lnx ln+(ln) ()(x ) = x Por exemplo, para x =. temos ln. 0.. Podemos estimar o erro cometido aplicando o teorema de Lagrange à função f(x) = lnx no intervalo [,.]. O teorema diz-nos que existe um c ],.[ tal que Como < c <., Assim, ln. ln. = f (c) = c. < c <. < ln. 0. < donde concluimos que < ln. < 0. Portanto a aproximação ln. 0. é por excesso e o erro é inferior a Propriedades da derivada Recorde que f d (a) é a derivada de f à direita em a e f (a + ) é o ite à direita de f : f d(a) f(x) f(a) = e f (a + ) = (x) x a + x a x a +f f d (a) e f (a + ) estão estreitamente relacionadas: Teorema : Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[ e vamos supor que existe o ite f (x) = f (a + ) x a + Então a derivada de f à direita em a existe e é igual a f (a + ). Analogamente, se f (b ) existir, f tem derivada à esquerda f e(b) = f (b ).

2 2 Demonstração. Seja x > a. Pelo teorema de Lagrange aplicado ao intervalo [a,x] existe um c x [a,x] tal que f(x) f(a) = f (c x ) x a Agora, como a < c x < x, se x a então também c x a. Assim, substituindo u = c x, f(x) f(a) = (c x a + x a x a +f x ) = (u) = f (a + ) u a +f A demonstração para os ites à esquerda é completamente análoga. Exemplo 3. Consideremos a função x 3 +2x 2 +x x 0 f(x) = sen 2 x x < 0 f é contínua em x = 0 pois f(0 + ) = f(0 ) = f(0) = 0. Para x 0 f é diferenciável com derivada 3x f 2 +4x+ x > 0 (x) = 2senxcosx x < 0 Então f tem derivadas laterais em x = 0 dadas por f d (0) = f (0 + ) = e f e(0) = f (0 ) = 0. Como as derivadas laterais são diferentes, f não é diferenciável em x = 0. É importante realçar que as derivadas laterais de f podem existir mesmo quando os ites x a ± f (x) não existem! Exemplo 4. Seja f(x) = x 2 sen ( ) x x > 0 x 2 x 0 Vamos ver que f é diferenciável em todos os pontos. Para x < 0, f (x) = 2x. Assim f e(0) = f (0 ) = 0. Para x > 0, f (x) = 2xsen ( x) +x 2 ( ) ( x cos ( x) = 2xsen ( x) cos ) 2 x O ite (x) não existe pois cos ( x) não converge. Mas a derivada à direita x 0 +f existe! ( f d(0) f(x) f(0) x 2 sen ) x 0 = = = x 0 + x 0 x 0 + x x 0 +xsen( x) = 0 Como as derivadas laterais existem e são iguais, f é diferenciável em x = 0 com derivada f (0) = f d (0) = f e(0) = 0. Assim 2xsen ( ( x) cos ) f x x 0 (x) = 0 x = 0 2x x < 0 Mas f não é contínua em x = 0 pois como vimos o ite x 0 + f (x) não existe.

3 Aula 6: Derivadas e Aplicações 3 Como acabámos de ver, a função derivada f pode não ser uma função contínua. As funções com derivada contínua dizem-se de classe C : Definição 2: Dizemos que uma função f é de classe C num conjunto A R se a derivada f existir e for contínua em A. Escrevemos então f C (A). Exemplo 5. As funções senx, cosx e e x são de classe C em R. As funções lnx e x são de classe C em ]0,+ [. 2. Derivadas de ordem superior Como já referimos, o cálculo da derivada duma função f : D R produz uma nova função f, a derivada de f, cujo domínio é o conjunto dos pontos em que f é diferenciável. Nada nos impede então de aplicar novamente a operação de diferenciação, para obter a derivada de f, que dizemos ser a segunda derivada de f. Existem várias notações para a segunda derivada de f. As mais comuns são f (x) e d dx df dx = d2 f dx 2 Podemos derivar de novo, obtendo a terceira derivada, e assim sucessivamente. Mais precisamente, a derivada de ordem n da função f, representada por f (n), define-se por recorrência: A derivada de ordem 0 de f é a própria função: f (0) = f A derivada de ordem n+ de f é a função f (n+) = ( f (n)). É costume representar as derivadas de ordem, 2 e 3 por f, f e f respectivamente. Outra notação frequente, a chamada notação de Leibnitz, é f (n) (x) = dn f dx n Exemplo 6. Seja f(x) = +x+2x 2 +3x 3 +4x 4. Então f (x) = +4x+9x 2 +6x 3 f (x) = 4+8x+48x 2 f (x) = 8+96x f (4) (x) = 96 f (5) (x) = 0 e f (n) (x) = 0 para qualquer n 5. Exemplo 7. Se f(x) = e x, então a derivada f (n) existe para qualquer n N, e temos sempre f (n) (x) = f(x) = e x.

4 4 Exemplo 8. Se f(x) = senx, então f (x) = cosx pelo que f (x) = (cosx) = sen x. Obtemos sucessivamente f (3) (x) = cosx, f (4) (x) = senx, f (5) (x) = cosx,... A definição de funções de classe C pode ser facilmente generalizada: Definição 3: Seja f : D R uma função, I D um intervalo aberto. Dizemos que f é uma função de classe C n em I, e escrevemos f C n (I), se f (n) existir e for contínua em todo o intervalo I. Dizemos que f é uma função de classe C em I se f C n (I) para qualquer n N. Repare que f C 0 (I) significa simplesmente que f é contínua em I. Observação: Se f (n) existe então todas as derivadas f (k) até à ordem n são contínuas pois para k < n, f (k) é diferenciável. Ilustramos estas noções com alguns exemplos: Exemplo 9. Consideremos a função f : R R definida por 0, se x < 0; f(x) = x 2, se x 0. Então f (x) = 0 para x < 0 e f (x) = 2x para x > 0. Logo f (0 + ) = f (0 ) = 0 pelo que f é diferenciável em zero com derivada f (0) = 0. Ou seja, 0, se x < 0; f (x) = 2x, se x 0. Estaderivadaf écontínuaemtodoorportantof C (R). Calculandoasegunda derivada obtemos para x 0 0, se x < 0; f (x) = 2, se x > 0. No entanto, f não é diferencivel em x = 0, porque f e(0) = f (0 ) = 0 e f d (0) = f (0 + ) = 2. Assim, f / C 2 (R). Exemplo 0. A função exponencial f : R R, dada por f(x) = e x, é uma função de classe C (R). Para qualquer n N, a n-ésima derivada de f existe e é contínua em todo o R: f (n) : R R, dada por f (n) (x) = e x 3. Monotonia e pontos críticos Vamos agora ver como o sinal da derivada duma função afecta a forma do seu gráfico. Uma função crescente tem taxa de variação f x positiva em qualquer intervalo, e em particular, df dx 0. Analogamente, df dx 0 para qualquer função f

5 Aula 6: Derivadas e Aplicações 5 decrescente. Vamos agora ver que o recíproco também é verdade, desde que f esteja definida num intervalo: Teorema 4: Dada uma função f contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[ temos: (a) Se f = 0 em ]a,b[ então f é constante em [a,b]; (b) Se f > 0 em ]a,b[ então f é crescente em [a,b]; (c) Se f < 0 em ]a,b[ então é decrescente em [a,b]. Demonstração. Pelo teorema de Lagrange, dados quaisquer x,x 2 [a,b] com x < x 2, existe um c ]x,x 2 [ tal que ou, escrito doutro modo, f(x 2 ) f(x ) x 2 x = f (c) f(x 2 ) f(x ) = f (c)(x 2 x ) Assim, f = f(x 2 ) f(x ) tem o mesmo sinal de f (c): (a) Se f = 0 em ]a,b[ então f (c) = 0 logo f(x ) = f(x 2 ) para quaisquer x,x 2 [a,b]. Portanto f é constante. (b) Se f > 0 em ]a,b[ então f (c) > 0 logo f(x 2 ) > f(x ). Concluimos que f é crescente. (c) Se f < 0 em ]a,b[ então f (c) < 0 logo f(x 2 ) < f(x ) portanto f é decrescente. Exemplo. Consideremos a função f : [,2] R definida por f(x) = x 3 x. A derivada f (x) = 3x 2 é uma parábola com zeros em x = ±/ 3. Assim: f (x) > 0 em ], / 3[ e em ]/ 3,2[ logo f é crescente em [,/ 3] e em [/ 3,2] (mas não na união!); f (x) < 0 em ] / 3,/ 3[ logo f é decrescente em [ / 3,/ 3]. É costume representar o comportamento de f e f numa tabela: / 3 / 3 f f ր ց ր É claro observando a tabela que o ponto x = / 3 é um máximo local e o ponto x = / 3 é um mínimo local de f. No exemplo vimos que o sinal da derivada não só nos permite estudar a monotonia da função mas também nos permite detectar máximos e mínimos locais, que ocorrem em pontos onde a derivada se anula. Teorema 5: Dados a,b,c R tais que a < c < b temos:

6 6 Se f é crescente em [a,c] e decrescente em [c,b] então c é um máximo local de f. Se f é decrescente em [a,c] e crescente em [c,b] então c é um mínimo local de f. Deixamos a demonstração como exercício. Definição 6: Um ponto c onde f (c) = 0 chama-se um ponto crítico de f. Máximos e mínimos locais são pontos críticos mas há pontos críticos que não são nem máximos nem mínimos. O estudo do sinal da derivada permite-nos distinguir estas situações: Exemplo 2. Seja f(x) = 3x 4 4x 3. Então f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ). f anula-se em 0, e o seu sinal é o sinal de x : 0 f f ց ց min. ր Assim, f é decrescente para x e crescente para x, tendo um mínimo absoluto em x =. x = 0 é um ponto crítico mas não é um extremo de f. 4. Concavidade Dizemos que uma parábola ax 2 +bx+c tem a concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0. Podemos generalizar esta noção a outras funções diferenciáveis: Definição 7 (Concavidade): Seja f : D R uma função diferenciável, A D. Dizemos que (a) f é convexa em A, ou f tem a concavidade voltada para cima em A, se o gráfico de f estiver por cima de todas as suas rectas tangentes, ou seja, se para quaisquer a,x A. f(x) f(a)+f (a)(x a) (b) f é côncava em A, ou f tem a concavidade voltada para baixo em A, se o gráfico de f estiver por baixo de todas as suas rectas tangentes, ou seja, se para quaisquer a,x A. f(x) f(a)+f (a)(x a)

7 Aula 6: Derivadas e Aplicações 7 Figura. Função convexa (à esquerda) e côncava (à direita). Exemplo 3. Seja f(x) = cx 2. A recta tangente ao gráfico de f num ponto a é Comparando com f(x) temos y = f(a)+f (a)(x a) = ca 2 +2ca(x a) f(x) ( f(a)+f (a)(x a) ) = cx 2 ca 2 2cax+2ca 2 = c ( x 2 2ax+a 2) = c(x a) 2 Assim, o gráfico de f está por cima da recta tangente para c > 0 e por baixo da recta tangente para c < 0. Portanto o sinal de c determina a concavidade da parábola, como era de esperar. Observando a figura vemos que, se f tem a concavidade voltada para cima, o declivedarectatangenteaumentaàmedidaquexaumenta, portantof écrescente. Assim, a sua derivada (f ) = f 0 é positiva. Analogamente, se a concavidade estiver voltada para baixo, f é decrescente pelo que f 0. Reciprocamente temos o Teorema 8: Seja f uma função duas vezes diferenciável num intervalo aberto I =]a,b[. () Se f (x) > 0 em I, então f tem a concavidade voltada para cima em I. (2) Se f (x) < 0 em I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I. Demonstração. Provaremos apenas () pois a demonstração de (2) é completamente análoga. Queremos mostrar que para quaisquer x,a I, f(x) f(a)+f (a)(x a) Para x = a não há nada a demonstrar. Vamos assumir que x > a deixando o caso x < a como exercício. Pelo teorema de Lagrange existe um c ]a,x[ tal que f(x) f(a) = f (c) x a Como f (x) > 0, f é crescente. Assim, como c > a, f (c) > f (a): f (c) = f(x) f(a) x a > f (a)

8 8 Como x > a, podemos multiplicar por x a sem alterar o sentido da desigualdade: Assim, f é convexa em I. f(x) f(a) > f (a)(x a) Exemplo 4. Voltamos ao exemplo em que f(x) = x 3 x. Como f (x) = 6x, temos que: f (x) < 0 para x < 0 e f (x) > 0 para x > 0. Assim o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em ],0[ e a concavidade voltada para cima em ]0,2[. Juntando esta informação com a informação obtida no exemplo podemos construir a tabela: / 3 0 / 3 f f f ր max. ց ց min. ր Podemos agora esboçar o gráfico de f. GRAFICO No exemplo 4 o ponto x = 0 é um ponto em que a concavidade muda de sentido: a função é côncava à esquerda de zero e convexa à direita. Chamamos a x = 0 um ponto de inflexão: Definição 9 (Ponto de inflexão): Dizemos que f tem um ponto de inflexão em c se existir um δ > 0 tal que f é convexa num dos intervalos ]c δ,c[ ou ]c,c+δ[ e côncava no outro. Exemplo 5. Voltamos ao exemplo 2 em que f(x) = 3x 4 4x 3. Então f (x) = 36x 2 2x. A segunda derivada é uma parábola com zeros em x = 0 e x = 3. Assim f (x) < 0 para 0 < x < 3 logo f tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ] 0, 3[ ; f (x) > 0 para x < 0 e x > 3 logo f tem a concavidade voltada para cima nos intervalos ],0[ e ] 3,+ [ ; Assim, os pontos 0 e 3 são pontos de inflexão. Juntando esta informação com a informação obtida no exemplo 2 podemos construir a tabela: 0 /3 f f f ց infl. ց infl. ց min. ր

9 Aula 6: Derivadas e Aplicações 9 Podemos agora esboçar o gráfico de f, tendo em conta que f (0) = 0 logo a tangente ao gráfico é horizontal nesse ponto. GRAFICO Se c é um ponto crítico de f (isto é, f (c) = 0) então a recta tangente ao gráfico de f em c é horizontal. Se f for convexa numa vizinhança V de c então o gráfico está por cima da sua recta tangente: f(x) f(a)+f (a)(x a) = f(a) para x V Portanto a função tem um mínimo em c. Esta observação leva-nos ao Teorema 0: Seja f uma função diferenciável no intervalo I =]a,b[ e c I um ponto crítico de f. Então (a) Se f (c) > 0, a função f tem um mínimo local em c; (b) Se f (c) < 0, a função f tem um máximo local em c. Demonstração. Vamos apenas provar(a) pois a demonstração para(b) é completamente análoga. Se assumirmos que f é contínua então, como f (c) > 0, f > 0 numa vizinhança de c logo f é convexa numa vizinhança de c. Pelas obervações acima, f tem um mínimo local em c. Sem assumir que f é contínua a demonstração é um pouco mais complicada. Queremos mostrar que existe uma vizinhança de c na qual f(x) f(c). Se f (c) > 0, f (c) = f d(c) f (x) f (c) f (x) = = x c + x c x c + x c > 0 Assim, para x > c suficientemente próximo de c podemos garantir que f (x) > 0. x c Como x > c, concluimos que f (x) > 0. Mais precisamente, existe um δ > 0 tal que c < x < c+δ = f (x) > 0 Mas então f é crescente no intervalo [c,c+δ [ pelo que f(x) f(c) nesse intervalo. Analogamente, usando o facto que f e (c) > 0 concluimos que existe um δ 2 tal que c+δ 2 < x < c = f (x) x c > 0 logo f (x) < 0 pois x < c Masentãof édecrescentenointervalo ]c δ 2,c]peloquef(x) f(c)nesseintervalo. Assim f(x) f(c) no intervalo ]c δ 2,c+δ [. Agora basta tomar δ = min{δ,δ 2}. Então f(x) f(c) em V δ (c) ]c δ 2,c+δ [ logo c é um mínimo local de f. Exemplo 6. Voltamos de novo à função f(x) = x 3 x. Os pontos críticos de f são x = ± 3. Como f (x) = 6x, temos que: Å f ã = 6 Å ã 3 < 0 e f = 6 > logo x = / 3 é um máximo local e x = / 3 é um mínimo local. Esta mesma informação tinha sido obtida anteriormente analisando directamente o sinal da primeira derivada.

10 0 Exemplo 7. Voltamos de novo à função f(x) = 3x 4 4x 3. Os pontos críticos de f são x = 0 e x =. Como f (x) = 36x 2 2x, temos que f (0) = 0 e f () = 24 > 0 logo x = é um mínimo local, como aliás já sabíamos. Como f (0) = 0 a segunda derivada não nos diz nada sobre o ponto x = 0. Como vimos anteriormente, este ponto não é nem máximo nem mínimo local. Exemplo 8. Sabendo apenas que f (c) = 0 nada podemos concluir sobre a natureza do ponto crítico c. Por exemplo, qualquer uma das funções u(x) = x 3, v(x) = x 4 e w(x) = x 4 tem um ponto crítico em x = 0, e u (0) = v (0) = w (0). Deve ser óbvio que u não tem extremo em 0, v tem mínimo, e w tem máximo.

11 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 5. Limites no infinito e assímptotas horizontais Para traçar o gráfico duma função, para além de determinar os intervalos de monotonia e estudar a concavidade, é necessário perceber também o chamado comportamento assimptótico da função, isto é, entender o que acontece para valores de x arbitrariamente grandes (positivos ou negativos). Se f se aproximar arbitrariamente dum valor L R dizemos que f tende para L quando x tende para infinito. Mais precisamente: Definição : Dizemos que f(x) = L se dado qualquer ε > 0 existir um N > 0 tal que x > N f(x) L < ε (x D) Analogamente, dizemos que f(x) = L se dado qualquer ε > 0 existir um x N > 0 tal que x < N f(x) L < ε (x D) Por palavras, f(x) = L se pudermos tornar f(x) arbitrariamente próximo de L escolhendo para tal qualquer x suficientemente grande e positivo. Como f(x) L < ε é equivalente a L ε < f(x) < L+ε, podemos interpretar o ite em termos do gráfico de f do seguinte modo: para x > N o gráfico de f permanece entre as duas rectas horizontais y = L ε e y = L+ε. FIGURA Portanto o gráfico de f vai estar arbitrariamente próximo da recta y = L para x suficientemente grande e positivo. Chamamos a esta recta uma assímptota horizontal: Definição 2: Dizemos que a recta y = L é uma assímptota horizontal à direita do gráfico de f se f(x) = L. Dizemos que a recta y = L é uma assímptota horizontal à esquerda do gráfico de f se f(x) = L. x Exemplo 9. Vamos ver que arctanx = π 2. Dado um ε > 0 queremos encontrar um N > 0 tal que Como arctanx < π/2, x > N arctanx π/2 < ε arctanx π/2 < ε π/2 arctanx < ε arctanx > π/2 ε x > tan(π/2 ε) pois arctan é crescente Naturalmente só faz sentido falar em ites em ± se o domínio de f não for itado.

12 2 Assim, basta tomar N = tan(π/2 ε). De maneira análoga podemos verificar que arctanx = x π 2. N ε Figura 2. Limite quando x + do arco-tangente Exemplo 20. Vamos mostrar que x ex = 0. Dado ε > 0 queremos encontrar um N > 0 tal que x < N e x 0 < ε Como e x > 0 para todo o x temos e x 0 < ε e x < ε Assim, basta tomar N = lnε. x < lnε pois e x é crescente Podemos aproveitar o cálculo de ites para esboçar os gráficos das funções: Exemplo 2. A função f(x) = e x tem uma assímptota horizontal à esquerda: y = 0. Assim, o seu gráfico vai estar arbitrariamente próximo da recta y = 0 para valores de x suficientemente grandes e negativos. f (x) = f (x) = e x > 0 logo f é crescente e tem sempre a concavidade voltada para cima. Com esta informação podemos esboçar o gráfico de f. GRAFICO Exemplo 22. A função f(x) = arctanx tem duas assímptotas horizontais: y = π 2 à direita e y = π 2 à esquerda. Assim, o gráfico de arctan vai estar arbitrariamente próximo de y = π 2 para x 0 e de y = π 2 para x 0. f (x) = +x > 0 logo f é 2 crescente, como aliás já sabíamos. A segunda derivada é f 2x (x) = (+x 2 ) 2

13 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 3 Assim f (x) 0 para x 0 e f (x) 0 para x 0 portanto f tem a concavidade voltada para cima em R e voltada para baixo em R +, sendo x = 0 um ponto de inflexão. Podemos agora esboçar o gráfico de arctan x. Π Π 2 Figura 3. Gráfico do arco-tangente 6. Limites infinitos e substituições Podemos também definir ites infinitos. A definição é análoga à definição de ite infinito num ponto a R. Definição 3: Dizemos que f(x) = + se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que x > N f(x) > M (x D) f(x) = se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que x > N f(x) < M (x D) f(x) = + se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que x x < N f(x) > M (x D) f(x) = se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que x x < N f(x) < M (x D) Exemplo 23. Vamos ver que ex = +. Dado M > 0 queremos encontrar um N > 0 tal que x > N e x > M Mas e x > M é equivalente a x > lnm logo podemos tomar N = lnm. Exemplo 24. x = + : podemossimplesmentenadefiniçãodeitetomar N = M. Os teoremas sobre ites quando x a, a R, são também válidos para ites quando x ± sendo a demonstração praticamente idêntica.

14 4 Exemplo 25. Já vimos que x = +. Podemos concluir de imediato que xn = + para qualquer n N; /x = / = 0; (x+x2 +3) = = +. O teorema sobre o ite duma composição de funções pode ser extendido ao caso de ites quando x ±. Recorde que R = R {,+ }. Temos então Teorema 4: Seja a R. Se () x a g(x) = b R, (2) u b f(u) = c R e (3) g(x) b para x a, Então f(g(x)) = f(u) = c x a u b Exemplo 26. Queremos calcular e x2. Seja u = x 2. Então u quando x + logo = e x2 u eu = 0 A substituição u = /x é frequentemente útil pois transforma um ite quando x num ite quando u 0: Exemplo 27. Queremos calcular xsen( ) x Escrevendo u = x vemos que xsen( ) x = u senu. Quando x +, u 0 logo xsen( senu x) = = u 0 u Exemplo 28. Queremos calcular lnx. Seja u = x. Então u 0+ quando x +, logo lnx = u 0 +ln u = +lnu = + O conhecimento dos ites em 0 + e em + ajuda-nos a traçar o gráfico do logaritmo. Como (lnx) = x > 0 e (lnx) = x < 0, lnx é uma função crescente com 2 concavidade voltada para baixo. Podemos agora traçar o gráfico do logaritmo que, como seria de esperar, é a reflexão na recta y = x do gráfico da exponencial. u 0

15 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy Figura 4. Gráfico da função logaritmo natural 7. Assímptotas oblíquas Comecemos por estudar um exemplo: Exemplo 29. Vamos estudar a função f(x) = x2 x+. O domínio de f é R\{ }. x +f(x) = + e x f(x) = Portanto f tem uma assímptota vertical em x =. Para calcular os ites no infinito observamos que x 2 x+ = x +/x logo f(x) = ± x ± Para melhor compreender o comportamento da função vamos dividir os polinómios: x 2 x+ x 2 x x x x+ Assim, x 2 x+ = x + x+ Agora observemos que = 0. Portanto, para valores grandes de x, x ± x+ f(x) x. Mais concretamente, x ± ( f(x) (x ) ) = 0

16 6 Dizemos que a recta y = x é uma assímptota oblíqua do gráfico de f. Para terminar o estudo da função vamos determinar a sua monotonia e concavidade. Derivando obtemos f (x) = (x+) 2 = x2 +2x (x+) 2 f anula-se nos pontos 2,0 e o seu sinal é o sinal da parábola x 2 +2x: Calculando a segunda derivada obtemos 2 0 f + 0 s.s. 0 + f ր max. ց s.s. ց min. ր f (x) = 2 (x+) 3 Assim o sinal de f é o sinal de x +. Portanto f tem a concavidade voltada para cima em ],+ [ e tem a concavidade voltada para baixo em ], [. Juntando toda a informação obtemos a tabela 2 0 f + 0 s.s. 0 + f s.s f ր max. ց s.s. ց min. ր Podemos agora traçar o gráfico de f Figura 5. Gráfico de x2 x+ Generalizando o último exemplo, temos a

17 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 7 Definição 5 (Assímptotas oblíquas): Seja f : I R uma função definida num intervalo I. Dizemos que A recta y = mx+b é uma assímptota oblíqua à esquerda ao gráfico de f se (f(x) (m x+b)) = 0. x A recta y = mx + b é uma assímptota oblíqua à direita ao gráfico de f se (f(x) (m x+b)) = 0. Exemplo 30. Como x ex = 0, a função f(x) = e x x tem a recta y = x ( ) como assímptota oblíqua à esquerda pois f(x) ( x) = 0. x Só em casos simples como no exemplo 30 é fácil adivinhar directamente quais as assímptotas duma função. Em geral, para determinar as assímptotas duma função usamos o Teorema 6: Sejaf umafunçãodefinidanumintervalodaforma],a[(a R). Então a recta y = mx+b é uma assímptota oblíqua à esquerda do gráfico de f se e só se f(x) m = x x e b = x (f(x) mx) Analogamente, se f é uma função definida num intervalo da forma ]a,+ [, a recta y = mx+b é uma assímptota oblíqua à direita do gráfico de f se e só se f(x) m = x e b = (f(x) mx) Demonstração. Veremos apenas o caso das assímptotas à esquerda. Se y = mx + b for uma assímptota oblíqua à esquerda, dividindo f(x) (mx + b) por x temos que f(x) (mx+b) 0 = = x x x Å f(x) x m b ã f(x) = x x x m Assim, m = f(x)/x. Uma vez calculado m, b é fácil de calcular: x Como f(x) (mx+b) 0, então f(x) mx b Reciprocamente, os ites existirem, f(x) m = x x Como b = (f(x) mx) segue que x e b = x (f(x) mx) ( ) f(x) (mx+b) = 0 x portanto y = mx+b é uma assímptota oblíqua à esquerda. A demonstração para assímptotas à direita é completamente análoga.

18 8 Exemplo 3. Seja f(x) = +x 2. Então, como x = ± x 2, {» f(x) +x x = 2 +x 2 = x x > 0» 2 x +x 2 x x < 0 2 Assim, f(x) x x = x f(x) x = +x 2 x 2 = + x x 2 = +x 2 = + x 2 = x 2 Consideremos primeiro a assímptota à esquerda. Vimos que m =. Para calcular b tomamos o ite ( ) ( f(x) mx = +x2 +x ) x x ( +x2 +x )( +x 2 x ) = x = x = x +x 2 x 2 +x2 x +x2 x +x2 x = 0 Assim b = 0 logo a recta y = x é a assímptota à esquerda de f. Para a assímptota à direita, m = e de forma análoga vemos que ( ) ( f(x) mx = +x2 x ) = 0 Portanto y = x é a assímptota à direita de f. 4 y = +x 2 2 y = x y = x Figura 6. Gráfico de +x 2 Resumindo, o problema do traçado do gráfico de uma função f passa por determinar simetrias, se as houver (a função é ímpar? é par? é periódica?)

19 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 9 o domínio da função e eventuais assímptotas verticais monotonia, máximos e mínimos locais concavidade e pontos de inflexão assímptotas horizontais ou oblíquas Exemplo 32. Vamos estudar a função f(x) = x e /x e esboçar o seu gráfico. Domínio e assímptotas verticais: O domínio de f é o conjunto D = R\{0}. f é contínua logo o único ponto onde f pode ter uma assímptota vertical é o ponto zero. Temos que x 0 f(x) = x e/x = 0 e = 0, x 0 Precisamos também de calcular o ite f(x) = x e /x x 0 + x 0 + Este ite é difícil de calcular directamente (ver os exercícios no fim da secção). Voltaremos a este ite na secção 8 onde vamos ver como calcular facilmente este tipo de ites. Para já usamos o resultado sem o demonstrar: x e /x = + x 0 + A recta vertical x = 0 é por isso uma assímptota vertical ao gráfico de f. Intervalos de monotonia e extremos: A função f é diferenciável em D = R\{0}, com derivada f : D R dada por Å f (x) = e /x ã. x Como a exponencial é sempre positiva, a determinação do sinal algébrico de f não tem quaisquer dificuldades: > 0, se x ],0[ ],+ [; f (x) = = 0, se x = ; < 0, se x ]0,[; logo concluímos que f é crescente nos intervalos ],0[ e ],+ [ (mas não necessariamente na união!) e decrescente em ]0, [. f tem apenas um ponto crítico, em x =, que é obviamente um mínimo local. A origem x = 0 não pertence ao domínio da função. 0 f + s.s. 0 + f ր s.s. ց min. ր Concavidade e Inflexões: A derivada f é também diferenciável em D, com derivada f : R\{0} R dada por f (x) = e/x x 3.

20 20 O sinal de f é o sinal de /x 3 logo f tem a concavidade voltada para baixo em ],0[ e a concavidade voltada para cima em ]0,+ [. f não tem pontos de inflexão (x = 0 não é um ponto de inflexão, porque não pertence ao domínio de f). 0 f + s.s. 0 + f s.s f ր s.s. ց min. ր Assímptotas horizontais e oblíquas: Como f ± quando x ±, f não tem assímptotas horizontais. Como f(x) x ± x = x ± e/x = e 0 = as assímptotas oblíquas, se existirem, têm declive m =. Passamos a calcular e /x e y (f(x) x) = x ± x ± (x e/x x) = = = x ± /x y 0 ± y (onde se fez a substituição y = /x). Concluímos que a recta de equação y = x+ é uma assímptota ao gráfico de f, tanto à direita como à esquerda. A figura 7 apresenta o gráfico de f Figura 7. Esboço do gráfico de f(x) = xe x 8. Indeterminações e o teorema de Cauchy O estudo do comportamento assimptótico de funções conduz-nos frequentemente a ites difíceis de calcular. Foi esse o caso no exemplo 32 da secção 7 onde nos deparámos com o ite x 0 +xexp Å ã x

21 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 2 Limites complicados podem também aparecer ao calcular a derivada de certas funções. A função do próximo exemplo tem propriedades importantes. Voltaremos a encontrá-la. Exemplo 33. Seja f o prolongamento por continuidade de e /x2 a R: e /x 2 x 0 f(x) = 0 x = 0 Verifica-se facilmente que f é contínua mas para calcular a sua derivada na origem deparamo-nos com o ite e /x2 0 2 = x 0 x x 0 x e /x Para o cálculo deste ite ver o exemplo 39. Vamos agora estudar uma técnica poderosa para calcular este tipo de ites. 9. A regra de Cauchy Recorde que, sempre que no cálculo de ites nos depararmos com uma das expressões ± ± ± dizemos que o cálculo nos conduz a uma indeterminação. Para o cálculo deste tipo de ites é de grande utilidade a chamada Regra de Cauchy: Teorema 7 (Regra de Cauchy): Seja I =]a,b[ com a,b R e sejam f,g funções diferenciáveis para x a, com g (x) 0 para x a. Se uma das seguintes condições se verificar () x a + f(x) = x a + g(x) = 0 (indeterminação 0 0 ) ou (2) x a + f(x) = ± e x a + g(x) = ± (indeterminação ) e o ite do quociente f (x) g (x) existir em R então f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x) Um resultado análogo é válido para ites quando x b. A regra de Cauchy não se aplica só a ites laterais. É também útil enunciar uma versão da regra de Cauchy aplicável a ites do tipo x a: Teorema 8: Seja I um intervalo aberto e a I. Se f e g são funções definidas e diferenciáveis para x a, com g (x) 0 para x a, e os ites f(x) e x a

22 22 f (x) g(x) são ambos nulos, ou ambos infinitos, e se o ite x a x a g (x) então f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) existir em R Demonstração. É uma consequência imediata da equivalência h(x) = L x a x a +h(x) = x a h(x) = L Demonstraremos a regra de Cauchy na secção mas deixamos aqui algumas considerações: Se f e g forem diferenciáveis em a R então podemos aproximar os seus valores pela recta tangente: f(x) f(a)+f (a)(x a) g(x) g(a)+g (a)(x a) Se f(a) = x a f(x) = 0 e g(a) = x a g(x) = 0, então f(x) g(x) f (a)(x a) g (a)(x a) = f (a) g (a) para x a A regra de Cauchy diz-nos que Por exemplo, os ites notáveis f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) = f (a) g (a) senx e x =, x 0 x x 0 x, x lnx x podem ser facilmente entendidos deste modo: a aproximação pela recta tangente diz-nos que senx x e e x +x para x 0 e de facto senx x = x 0 x x 0 x =, Temos também lnx x para x e x e x +x = = x 0 x x 0 x lnx x = x x x = Se y = mx+b é uma assímptota diagonal à direita ao gráfico de f e o ite f (x) existir, intuitivamente deveremos ter f (x) m.

23 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 23 f(x) mx+b Figura 8. Se o ite f (x) existir é igual a m. A regra de Cauchy confirma a nossa intuição: f(x) m = x = f (x) = f (x) Vamos agora supor que f(x) = g(x) = +. Assumindo que f e g têm assímptotas diagonais y = m x+b e y = m 2 x+b 2 respectivamente, temos Então, f(x) m x+b e g(x) m 2 x+b 2 para x 0 f(x) g(x) m x+b m 2 x+b 2 e m x+b = m +b /x m 2 x+b 2 m 2 +b 2 /x m m 2 Efectivamente, se os ites f (x) e g (x) existirem, a regra de Cauchy diz-nos que f(x) g(x) = f (x) g (x) = m m 2 Vamos agora ver alguns exemplos de aplicação da regra de Cauchy: Exemplo 34. Queremos calcular arctan x x 0 senx Trata-se de uma indeterminação do tipo 0 0. Aplicando a regra de Cauchy obtemos arctan x x 0 senx = (arctanx) x 0 (senx) = x 0 +x 2 cosx = Exemplo 35. Consideremos o ite cosx + 2 x2 x 0 x 4 Como temos uma indeterminação do tipo 0 0 cosx + 2 x2 senx+x x 0 x 4 = x 0 4x 3 podemos aplicar a regra de Cauchy

24 24 Continuamos com uma indeterminação portanto podemos continuar a aplicar a regra de Cauchy. Obtemos sucessivamente senx+x cosx+ x 0 4x 3 = x 0 2x 2 = x 0 senx 24x = 24 Exemplo 36. Queremos calcular o ite senx+x x regra de Cauchy regra de Cauchy ite notável Trata-se duma indeterminação do tipo. Aplicando a regra de Cauchy temos ( ) senx+x ( ) (x) = cosx+ Este ite não existe! A regra de Cauchy só se aplica se o ite do quociente f g existir portanto não podemos concluir nada. Temos que calcular o ite de outra forma: senx+x ( senx ) = x x + Como senx, senx x x. Como x 0, concluimos que senx x 0 logo ( senx x + ) = 0+ =. Podemos combinar a regra de Cauchy com outras técnicas de cálculo de ite: Exemplo 37. Queremos calcular Com a substituição u = x obtemos Aplicando a regra de Cauchy obtemos x 0 + xe x xe x = x 0 + u + u eu e u u + u = (e u ) e u u + (u) = u + = + A regra de Cauchy é apenas válida para quocientes. Para aplicar a regra de Cauchy a uma indeterminação do tipo 0 temos primeiro que transformar o produto num quociente: Exemplo 38. Queremos calcular xlnx x 0 +

25 Aula 7: Assmptotas, regra de Cauchy 25 Há duas formas de transformar este produto num quociente: Escolhemos a mais conveniente: lnx x 0 +xlnx = x 0 + /x xlnx = x /lnx = lnx /x /x = x 0 + /x 2 (pela regra de Cauchy) = x 0 +( x) = 0 Exemplo 39. Queremos calcular 2 x 0 x e /x que é uma indeterminação 0 0. Para fazermos a substituição u = x, consideramos primeiro o ite à direita: quando x 0 +, u + pelo que 2 x 0 + x e /x = u + ue u2 que é uma indeterminação 0. Para aplicar a regra de Cauchy começamos por escrever o ite como um quociente: u = u + ue u2 u + e u2 = (regra de Cauchy) u + 2ue u2 = 0 De maneira inteiramente análoga provamos que 2 x 0 x e /x ites à direita e à esquerda são zero logo o ite é zero. = 0. Ambos os Para aplicar a regra de Cauchy a uma indeterminação da forma temos que a transformar primeiro num quociente: Exemplo 40. Queremos calcular Para tal escrevemos Aplicando a regra de Cauchy temos ( ) secx tanx x π 2 secx tanx = cosx senx cosx = senx cosx senx cosx = x π 2 cosx x π 2 senx = 0

26 26 Exemplo 4. Queremos calcular (» /x+»/x ) x 0 + Para tal escrevemos +x +x x+ x = x x = x Aplicando a regra de Cauchy temos +x x 0 + x = x x 2 x x = = 0 x 0 + +x

27 Aula 8: Regra de Cauchy 27 Aula 8: Regra de Cauchy 0. Limites de potências Nesta secção vamos estudar funções da forma f(x) g(x). Recorde que f(x) g(x) = exp ( g(x)lnf(x) ) Se soubermos que f(x) = b e g(x) c, e se b ]0,+ [, a continuidade x a x a das funções exp e ln mostra que x a f(x)g(x) = exp ( g(x)lnf(x) ) x a ( ( )) = exp g(x)ln f(x) x a x a = e clnb = b c Exemplo 42. Como x + arccosx = π e x + arcsenx = π/2, x + ( arccosx ) arcsenx = π π/2 = / π π Tal como fizemos com a soma, produto e quociente, podemos extender este resultado à recta acabada R = R {,+ }. Para tal convém começar por extender a operação b c. Usando a relação b c = exp(clnb) chegamos à Definição 9 (Potências na recta acabada): Seja c R, c > 0. Então (+ ) c = + (+ ) c = (+ ) c = 0 Å ã c (0 + ) c = = 0 (0 + ) c = + (0 + ) c = + Seja agora b R, b > 0. Então + b > b + = 0 + b < Não estão definidos: e b = (/b) + = (+ ) b > + b < Exemplo 43. n x = +, confirmando a fórmula (+ ) /n = +. Exemplo 44. 2x = +, confirmando a fórmula 2 + = +. Podemos então provar o Teorema 20: Sejam f e g funções tais que os ites b = x a f(x) e c = x a g(x)

28 28 existem em R e, ou b > 0 ou b = 0 +. Então, sempre que a expressão b c é válida de acordo com as convenções da definição 9 temos x a f(x)g(x) = b c Demonstração. Basta escrever f g = exp(glnf) e aplicar as regras usuais dos ites. Exemplo 45. x 0 +xlnx = (0 + ) = + Chamamos os casos (+ ) 0, 0 0 e de indeterminações. De facto estas indeterminações derivam da indeterminação 0: b c = exp(clnb) é uma indeterminação se e só se clnb for uma indeterminação. Se c = ± e lnb = 0 então b = e 0 = e temos a indeterminação. Se c = 0 e lnb = + então b = e + = + e temos a indeterminação 0 Se c = 0 e lnb = então b = e = 0 e temos a indeterminação 0 0 Exemplo 46. Já encontrámos o ite Trata-se duma indeterminação. u 0 (+u) u = e Exemplo 47. Queremos calcular. Trata-se duma indeterminação 0 0. x 0 +xx x x = exp ( xlnx ) = exp ( xlnx ) x 0 + x 0 + x 0 + e já vimos que Portanto x 0 +xlnx = 0 x x = exp ( xlnx ) = e 0 = x 0 + x 0 + Exemplo 48. Queremos calcular (cosx) x 0 sen 2 x Trata-se de uma indeterminação do tipo. Temos Å ã x 0 (cosx) sen 2 x = exp x 0 sen 2 x ln(cosx) Aplicando a regra de Cauchy temos senx ln(cosx) x 0 sen 2 x = cosx x 0 2senxcosx = x 0 2cos 2 x = 2

29 Aula 8: Regra de Cauchy 29 Assim, Å ã (cosx) sen 2 x = exp x 0 x 0 sen 2 x ln(cosx) = e 2 Exemplo 49. Para calcular = x 0 +xsen(x) x 0 +exp( sen(x)ln(x) ), basta-nos determinar ln(x) x 0 +sen(x)ln(x) = x 0 + /sen(x). Esta é uma indeterminação do tipo /, e portanto aplicamos a regra de Cauchy: x 0 + Temos assim que ln(x) /sen(x) = x 0 +. O teorema de Cauchy x cos(x) sen 2 (x) = x 0 + sen 2 (x) x cos(x) sen(x) = sen(x) x 0 + x cos(x) = 0 = 0 x sen(x) = e sen(x)ln(x) = e 0 =. x 0 + x 0 + Nesta secção vamos demonstrar a regra de Cauchy. Primeiro precisamos do teorema de Cauchy, uma generalização dos Teoremas de Rolle e de Lagrange de utilidade em muitas outras situações: Teorema 2 (Cauchy): Sejam f,g funções contínuas em [a,b], e diferenciáveis em ]a,b[. Então, se g (x) 0 para qualquer x ]a,b[ existe pelo menos um c [a,b] tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Demonstração. Seja K = f(b) f(a) g(b) g(a) Então f(b) f(a) = K ( g(b) g(a) ) que podemos escrever como f(b) Kg(b) = f(a) Kg(a) Assim, a função f(x) Kg(x) toma os mesmos valores em x = a e x = b logo pelo teorema de Rolle existe um ponto c tal que f (c) Kg (c) = 0, ou seja, f (c) g (c) = K. Podemos agora demonstrar a regra de Cauchy. Começamos por provar o caso das indeterminações 0/0:

30 30 Demonstração. Dividimos a demonstração em dois casos: () Consideramos primeiro o caso em x a + com a R. Assumimos que x a +f(x) = x a +g(x) = 0. Então as funções F,G : [a,b[ R definidas por f(x) x a g(x) x a F(x) = e G(x) = 0 x = a 0 x = a são contínuas em a. Pelo teorema de Cauchy, para cada x ]a,b[, existe um c x ]a,x[ tal que F(x) G(x) = F(x) F(a) G(x) G(a) = F (c x ) G (c x ) Agora fazemos a substituição u = c x. Como a < c x < x, quando x a + temos u a + logo F(x) x a + G(x) = F (c x ) x a + G (c x ) = F (u) u a + G (u). Basta agora observar que para x a, f(x) = F(x) e g(x) = G(x). Concluimos que f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x) (2) Vamos agora considerar o caso em que x +. Seja t = x. Então t 0+. Se f g conduz a uma indeterminação da forma 0 f 0 e o ite g existir então ( f(x) g(x) = f t) t 0 + g ( ) t ( f )( ) t t = 2 t 0 + g ( )( ) t (regra de Cauchy) t ( 2 t) = t 0 + f = g ( t ) f (x) g (x) Os casos em que x b e x demonstram-se de forma completamente análoga. O caso das indeterminações / é mais complicado: Demonstração: Vamos apenas fazer o caso em que x a + com a R. O caso x + pode então ser demonstrado exactamente como foi feito para indeterminações 0/0. Vamos assumir que = + (o caso em que g(x) é completamente x a +g(x) análogo). 2 f (x) f(x) Seja a R, = L R. Queremos mostrar que x a + g (x) x a + g(x) 2 O leitor pode verificar que não é necessário assumir nada sobre o ite de f(x)!

31 Aula 8: Regra de Cauchy 3 L, ou seja, que dado qualquer ε > 0, L ε < f(x) g(x) < L+ε para qualquer x > a suficientemente próximo de a. Como f (x) g (x) tal que L ε < f (x) 2 g (x) < L+ ε 2 para qualquer x ]a,b[. Pelo teorema de Cauchy, logo f(x) f(b) g(x) g(b) = f (c) g (c) com x < c < b L ε 2 < f (c) g (c) = f(x) f(b) g(x) g(b) < L+ ε 2 L, existe um b Agora multiplicamos tudo por g(x) g(b) = g(b) g(b). Como g(x) +, > 0 g(x) g(x) g(x) para x suficientemente próximo de a logo o sentido da desigualdade é conservado: ( L ε 2 )( g(b) g(x) Daqui deduz-se facilmente que ( )( L ε 2 g(b) g(x) ) < f(x) f(b) g(x) < ( L+ ε 2 ) + f(b) g(x) < f(x) g(x) < ( L+ ε 2 Agora, como g(x) + quando x a temos ( )( ) L ε 2 g(b) g(x) + f(b) L ε e g(x) 2 ( L+ ε 2 )( g(b) g(x) ) )( ) g(b) g(x) + f(b) g(x) )( ) g(b) g(x) + f(b) L+ ε g(x) 2 Assim, para x suficientemente próximo de a, podemos garantir que L ε < ( )( ) ( )( ) L ε 2 g(b) g(x) + f(b) e g(x) L+ ε 2 g(b) g(x) + f(b) < L+ε g(x) portanto L ε < ( L ε 2 )( ) g(b) g(x) + f(b) < f(x) < ( )( ) L+ ε g(x) g(x) 2 g(b) g(x) + f(b) < L+ε g(x) o que termina a demonstração. 2. Limites de sucessões Recorde que uma sucessão é uma regra que associa a cada número natural n N um real x n R. Assim, podemos pensar numa sucessão como uma função com domínio N. Aplicando a noção de ite duma função em + a sucessões obtemos a noção de ite duma sucessão. Definição 22: Seja (x n ) uma sucessão. Dizemos que n + x n = L se dado qualquer ε > 0 existir um N > 0 tal que n > N x n L < ε n + x n = + se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que n > N x n > M

32 32 n + x n = se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que n > N x n < M Os resultados sobre ites de funções são também válidos para sucessões. O próximo resultado é um exemplo disso: Teorema 23: Seja f : D R uma função contínua em a D, e seja (x n ) uma sucessão com ite x n = a. Então f(x n) = f(a). n n Demonstração. f(x n ) é a composição n x n f f(xn ) Como f é contínua em a, f(x n) = f ( x ) n = f(a) n n Uma função f cujo domínio contem os números naturais pode ser restringida a N dando origem a uma sucessão x n = f(n). Exemplo 50. Seja f(x) = ex O domínio de f é R\{ }. Restringindo f a N obtemos a sucessão x n = enx+. n+ cujos primeiros termos são x = e 2, x 2 = e2 3, x 3 = e3 4, x 4 = e4 5,... Os ites de funções em + que estudámos têm a sua contrapartida como ites de sucessões: Teorema 24: Seja f : D R uma função tal que N D e seja x n = f(n), n N. Então, se o ite f(x) existir em R, o ite da sucessão (x n ) também existe e tem o mesmo valor: x n = f(x) n + Deixamos a demonstração ao cuidado do leitor. Exemplo 5. Voltemosaconsiderarafunçãof(x) = ex x+. Sabemosque f(x) = + logo n + e n n+ = +. O recíproco do teorema 24 pode ser falso como mostra o exemplo seguinte: Exemplo 52. Seja f(x) = sen(πx) e seja x n = f(n). Então x n = 0 para todo o n N logo x n 0 mas o ite f(x) não existe.

33 Aula 8: Regra de Cauchy 33 O teorema 24 permite-nos aplicar a regra de Cauchy ao cálculo de ites de sucessões: Exemplo 53. Queremos calcular o ite da sucessão x n = ( n+ n. n+2) Para tal definimos a função f(x) = ( x+ x x+2) e calculamos Å x+ x+2 A derivada de ln Ä x+ x+2 Concluimos que ã x Å = exp xln ä é (x+)(x+2) Å ã x+ xln = x+2 3. Ordem de magnitude Å x+ x+2 x ãã Å = exp Å x+ xln x+2 ãã logo, aplicando a regra de Cauchy temos ln Ä ä x+ x+2 = = x n = f(x) = e n + (x+)(x+2) x 2 Em muitos casos em que x n + e y n +, é útil comparar a respectiva velocidade de crescimento calculando o ite da razão xn y n. As mesmas considerações se aplicam a funções f e g com ite infinito. Teorema 25: Para quaisquer a > e b > 0, ln(x) x b x b = 0 e a x = 0 De maneira pouco precisa, é comum dizer que ln(x) cresce mais devagar do que qualquer potência positiva de x e qualquer exponencial a x (a > ) cresce mais depressa do que qualquer potência positiva de x. Demonstração. Pela regra de Cauchy, ln(x) Para a exponencial temos x b x b a x = Å = = Ç = ( x a x/b ) b x a x/b /x = bxb ã b lna b ax/b å b bx b = 0 (regra de Cauchy) = 0 Usando substituições apropriadas podemos facilmente calcular ites análogos em pontos a R:

34 34 Exemplo 54. Para calcular xe /x2 fazemos a substituição u = x 0 x. Quando 2 x 0, u + logo x 0 xe/x2 = u + e u ±u /2 = 0 Exemplo 55. Para calcular x 0 + xln(x) fazemos a substituição u = x. Quando x 0 +, u + logo ln(/u) ln(u) xln(x) = = = 0 x 0 + u + u u + u Naturalmente, o teorema 25 também se aplica às sucessões lnn, n b e a n. Exemplo 56. Para calcular o ite n + n3 2 n notamos que n + n3 2 n n 3 = n + 2 n = 0 Teorema 26: Seja a >. Então a n n + n! = 0 e n! n + n n = 0 Demonstração. Para provar que n! n n = 0 basta observar que: 3 0 < n! n n = n 2 n 3 n n n n n < n c e aplicar o teorema dos ites enquadrados. Para mostrar que n n + n! = 0 começamos por fixar um inteiro N > c. Então c n < para qualquer n > N logo Assim, n! = c c 2 c c }{{ N } N + =c N /N! c n c n } {{ } < c n < cn N! c n 0 cn n! cn N! c n Tomando o ite quando n, obtemos cn n! 0 pelo teorema dos ites enquadrados. O próximo exemplo ilustra como estes resultados podem ser usados para calcular ites mais complicados: Exemplo 57. Vamos calcular o ite da sucessão x n = n!+2n 2 n +lnn. Este ite dá origemaumaindeterminaçãodaforma. Paralevantaraindeterminaçãonotamos que n!+2n 2 n +lnn = n! ( ) + 2n n! 2 n( ) + lnn = n! + 2n n! 2 n 2 + lnn n 2 n 3 a demonstração rigorosa desta desigualdade, por indução, fica a cargo do leitor

35 Aula 8: Regra de Cauchy 35 Agora sabemos que 2n n! 0, lnn 2 n 0 e n! 2 n + Concluimos que Ç å n! + 2n n! x n = 2 n + lnn 2 n = (+ ) = + No exemplo 57 usámos a seguinte ideia: escrevemos x n como um produto x n = n! + 2n n! 2 n + lnn e portanto x n = n!/2 n = +. 2 n em que + 2n n! + lnn 2 n Definição 27: Dizemos que duas sucessões a n e b n têm a mesma ordem de magnitude, e escrevemos a n b n, se a n = b n c n em que c n. Seb n 0, estacondiçãoéequivalenteaa n /b n poispodemostomarc n = a n /b n. Exemplo 58. Como vimos no exemplo 57, n!+2n 2 n +lnn n! 2 n Este conjunto de ideias é particularmente útil quando aplicado a somas. A ideia é pôr em evidência o termo com maior velocidade de crescimento: Exemplo 59. lnn+5n!+3 n 2n 2 5n! pois Å lnn lnn+5n!+3 n 2n 2 = 5n! 5n! ã 3n ++ 5n! 2n2 5n! e lnn 3n 5n! ++ 5n! 2n2 5n!. Exemplo 60. n 2 +2n 2 n n n n2 n n pois ( ) n 2 +2n 2 n n n = n2 + 2n n 2 n nä 2 n n + ä = n2 n n n + 2n n 2 2 n n n + Este procedimento nem sempre funciona: Exemplo 6. 3 n!+n não tem a mesma ordem de magnitude que 3 n! pois 3 n!+n 3 n! = 3 n O próximo exemplo ilustra a aplicação ao cálculo de ites:

36 36 Exemplo 62. Vamos calcular o ite da sucessão x n = 4 n +n 4 3 n +. Começamos por observar que 4 n +n 4 4 n = 2 n pois 4n +n 4 = 4 n Å + n4 4 n ã = 4 n + n4 4 n = 2n Por outro lado 3 n + 3 n pois 3 n + = 3 n( ) + 3. Assim, n» 4n +n x n = 4 3 n = 2n + n4 4 n + 3 n + 3 n Concluimos que x n 2n 3 n logo + n4 4 n x n = 2n 3 n = 0 Observação: Se a n b n então a n = b n se os ites existirem, mas o recíproco não é verdadeiro: lnn = n = 2 n = n! = + mas todas estas sucessões tem ordens de magnitude diferentes!

37 Aula 9: Primitivas 37 Aula 9: Primitivas Um problema frequentemente encontrado é o de determinar o valor duma certa quantidade sabendo a sua taxa de variação em cada ponto. Por exemplo, podemos saber a velocidade duma partícula e querer calcular a sua posição. Neste tipo de problemas queremos encontrar uma função F cuja derivada seja igual a uma função f que conhecemos. Chamamos então a F uma primitiva de f: Definição 28: Dizemos que uma função F é uma primitiva de f se F (x) = f(x). Exemplo 63. A função F(x) = x 2 é uma primitiva de f(x) = 2x pois F (x) = f(x). A função G(x) = x 2 + é também uma primitiva de f(x) pois G (x) = 2x = f(x). Este exemplo mostra que há mais que uma primitiva da função f(x) = 2x. Para qualquer constante C, x 2 +C é uma primitiva de f. De facto, todas as primitivas são desta forma: Teorema 29: Seja F uma primitiva de f num intervalo I. Então qualquer primitiva de f é da forma F(x)+C para alguma constante C. Demonstração. Se G é outra primitiva de f então (G F) = G F = f f = 0 logo G F é uma função constante. Chamando C ao valor dessa constante, G(x) = F(x)+C. Representamos por P(f) o conjunto das primitivas de f. O teorema 29 diz-nos que, se f está definida num intervalo e F (x) = f(x) então P(f) = {F(x)+C : C R}. É comum no entanto escrever simplesmente notação que usaremos no seguimento. P(f) = F(x)+C Exemplo 64. Vamos encontrar todas as primitivas de f(x) = senx. Como a derivada de cosx é senx, F(x) = cosx é uma primitiva de senx. Assim, P(senx) = cosx+c Exemplo 65. Vamos encontrar todas as primitivas de f(x) = x. Uma das 2 primitivas de f é F(x) = x mas o domínio de x não é um intervalo. O teorema 29 só se aplica a cada intervalo ], 0[ e ]0, + [ separadamente. Em cada um destes intervalos vamos ter P(f) = /x+c mas a constante C pode ser diferente em intervalos diferentes. Assim, a forma geral duma primitiva de f(x) = x é 2 P(f) = x +C x > 0 x +C 2 x < 0

38 38 As fórmulas de derivação dão origem a fórmulas de primitivação. Assim, à fórmula (x a ) = ax a corresponde a fórmula P(x a ) = xa+ a+ +C, válida para a. Para a = temos Teorema 30: A função ln x é uma primitiva de x em R\{0} Demonstração. Para x > 0, ln x = lnx logo (ln x ) = x. Para x < 0 (ln x ) = (ln( x)) = x = x É útil agrupar as primitivas numa tabela: P() = x+c P(x a ) = xa+ +C (a ) a+ Å ã P = ln x +C P(e x ) = e x +C x P(senx) = cosx+c P(cosx) = senx+c P(sec 2 x) = tanx+c P(secx tanx) = secx+c P ( ) ( +x = arctanx+c P 2 x 2) = arcsenx+c Exemplo 66. Para calcular P( x) notamos que x = x2. Tomando a = /2 temos P ( ) x x = 2 + +C = 2 3 x3 2 +C Podemos também calcular outras primitivas mais complicadas: Exemplo 67. QueremoscalcularP ( x+senx ). Vimosnoexemplo66queP( x) = 2 3 x3 2 +C e consultando a tabela vemos que P(senx) = cosx+c. Assim, ( 2 ) 3 x3 2 = x e ( cosx) = senx Mas estas fórmulas dizem-nos que ( 2 3 x3 2 cosx ) = x+senx Encontrámos uma primitiva de x+senx logo Generalizando este último exemplo temos o P( x+senx) = 2 3 x3 2 cosx+c Teorema 3: Se F é uma primitiva de f e G é uma primitiva de g então P(f(x)+ g(x)) = F(x)+G(x)+C e P(af(x)) = af(x)+c. É usual escrever: P(f +g) = P(f)+P(g) P(af) = ap(f)

39 Aula 9: Primitivas 39 Demonstração. É uma consequência imediata das fórmulas (F +G) = F +G e (a F) = a F. Exemplo 68. Vamos calcular as primitivas de f(x) = e x +3senx+x. P(e x +3senx+x) = P(e x )+3P(senx)+P(x) = e x +3( cosx)+ x2 2 +C = e x 3cosx+ 2 x2 +C Exemplo 69. Ç å Ç å ( t+) 2 t+2 t P = P t t = P ( ) +2t 2 = P()+2P(t 2 ) = t+4 t+c Sabendo a primitiva duma função f podemos calcular a primitiva de f(ax+b) com a, b constantes: Exemplo 70. Vamos encontrar as primitivas de f(x) = cos(2x). f é da forma cos(u) com u = 2x e sabemos que P(cosu) = senu. A derivada de sen(2x) é 2cos(2x), e portanto a derivada de 2 sen(2x) é cos(2x) e assim P ( cos(2x) ) = 2 sen(2x)+c Exemplo 7. Vamos encontrar as primitivas de f(x) = 3x. f é da forma /u com u = 3x e uma primitiva de /u é ln u. A derivada de ln 3x é 3 3x logo a derivada de 3 ln 3x é 3x e assim, Å ã P = 3x 3 ln 3x +C A constante C pode ser determinada se possuirmos informação extra sobre a função F(x). Em aplicações é frequentemente conhecermos, além da derivada F (x) = f(x), o valor da função F num ponto. Exemplo 72. Uma partícula desloca-se com velocidade dada por v(t) = 5 +t. 2 Sabemos também que a partícula se encontra em x = 2 quando t =. Queremos calcular a trajectória da partícula. x (t) = v(t) logo x(t) é uma primitiva de v(t): Å ã Å ã 5 P +t 2 = 5P +t 2 = 5arctant+C Portanto x(t) = 5arctant+C. Para calcular C, usamos a condição x() = 2: x() = 5arctan+C = 5π 4 +C = 2 logo C = 2 5π 4

40 40 Concluimos que x(t) = arctant+2 5π 4 Exemplo 73. Vamos calcular f sabendo que f (x) = x, f() = 0 e f( ) = 3. 2 Uma primitiva de x é 2 x. No entanto o domínio de x, R \ {0}, não é um intervalo. Em cada intervalo do domínio vamos ter f(x) = x +C, mas a constante C pode ser diferente em intervalos diferentes. Assim, No intervalo ]0,+ [, f(x) = x +C. Como f() = 0, f() = +C = 0 logo C = No intervalo ],0[, f(x) = x +C 2. Como f( ) = 3, f( ) = +C 2 = 3 logo C 2 = 2 Portanto f(x) = x + x > 0 x +2 x < 0 4. Primitivação por partes Primitivando a fórmula para a derivada do produto (u(x)v(x)) = u (x)v(x)+u(x)v (x) obtemos uv = P(u v)+p(uv ) que normalmente se escreve na forma: Teorema 32 (Primitivação por Partes): Se u e v são funções diferenciáveis, então P(u (x)v(x)) = u(x)v(x) P(u(x)v (x)) Esta fórmula transforma o problema do cálculo da primitiva dum produto P(u v) no problema do cálculo de outra primitiva P(uv ) obtida da primeira primitivando um dos factores e derivando o outro. Uma situação frequente é aquela em que v(x) = x e portanto v (x) = : Exemplo 74. Queremos primitivar a função x cos x. Se derivarmos x e primitivarmos cos x o resultado é bastante mais simples. Assim, tomamos v(x) = x e u (x) = cosx donde u(x) = senx Aplicando a regra de primitivação por partes chegamos a ( ) ( ) P xcosx = xsenx P senx = xsenx+cosx v u v u v u

41 Aula 9: Primitivas 4 Exemplo 75. Pode ser necessário aplicar repetidamente o método de primitivação por partes até atingir a primitiva pretendida. Para calcular uma primitiva de x 2 e x, tomamos v(x) = x 2 e u (x) = e x donde u(x) = e x A regra de primitivação por partes conduz a: ( ) ( (i) P x 2 v ex = x 2 u v ex P 2x u Para calcular uma primitiva de xe x, tomamos v(x) = x e u (x) = e x v ex u ). donde u(x) = e x A regra de primitivação por partes conduz a: ( ) ) (ii) P xe x = xe ( x P v u v u v ex = xe x e x. u Substituindo o resultado em (ii) na identidade (i), obtemos então P ( x 2 e x) = x 2 e x 2P(xe x ) = x 2 e x 2(xe x e x ). Quando temos uma função da forma 2x 2 f(x 2 ) é por vezes possível primitivar por partes tomando u (x) = 2xf(x 2 ) e v(x) = x Exemplo 76. Queremos calcular Å x 2 ã P (x 2 +) 2 Tomamos u (x) = Å x = P 2 ã 2x (x 2 +) 2 2x (x 2 +) 2 e v(x) = x 2 Para calcular u(x) fazemos a substituição y = x 2 : Å ã Å ã 2x u(x) = P (x 2 +) 2 = P (y +) 2 = y + = x 2 + Então Å x 2 P (x 2 +) 2 ã = Å x x P ã x = x 2x arctanx Primitivação por partes é muito útil com funções como lnx e arctanx cujas derivadas são funções racionais. Exemplo 77. Para calcular uma primitiva de x ln x, tomamos v(x) = lnx e u (x) = x donde u(x) = x 2 /2