Cálculo diferencial em IR n

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1 Cálculo diferencial em IR n (Limites e Continuidade) Sandra Nunes e Ana Matos DMAT 3 Maio 2001

2 Conteúdo 1 Limites e Continuidade em Campos Escalares NoçãodeLimite LimitesRelativos PropriedadesdosLimites NoçãodeContinuidade ProlongamentoporContinuidade Limite e Continuidade em Campos Vectoriais /Maio/2001

3 1 Limites e Continuidade em Campos Escalares 1.1 Noção de Limite Comecemos por recordar que, sendo f : D IR IR e a um ponto de acumulação de D, diz-se que b éoitedef (x) quando x tende para a, e escreve-se f(x) =b se,paratodooδ>0,existeumε>0 talque,sex D\{a} e x a <ε então f (x) b <δ. Ou seja, f(x) =b δ>0 ε >0:x D\{a} x a <ε f (x) b <δ. Intuitivamente, o facto de b ser o ite de f (x) quando x tende para a, significaqueasimagensdospontosdodomínio,diferentesdea, estão tão próximas quanto quisermos de b, desde que nos aproximemos suficientemente de a. O facto de a ser ponto de acumulação de D permite aproximar-nos de a, por pontos do domínio diferentes dele próprio. Repare-se que faz sentido falar de ite de f num ponto que não pertence ao domínio, desde que seja ponto de acumulação deste. Por exemplo, seja f :IR\{0} IR a função definida por f (x) = sin x. Emboraozeronão pertençaaodomíniodafunçãoépontodeacumulaçãoe,comosabemos, x 0 sin x x =1. Por outro lado, não faz sentido falar de ite duma função em pontos do domínio que não sejam pontos de acumulação. Por exemplo, numa função definida no conjunto [0, 1] {2}, não faz sequer sentido falar de ite no ponto 2. Definição 1 Sejam f : D IR n IR um campo escalar, a um ponto de acumulação de D e b IR. Diz-se que b éoitedef (x) quando x tende para a, e escreve-se f(x) =b, se para todo o δ>0 existe um ε>0 tal que, se x D\{a} e x a <ε, então f (x) b <δ. x 2 3/Maio/2001

4 Ou seja, f(x) =b δ>0 ε >0:x D\{a} x a <ε f (x) b <δ. Tendo presente a definição de bola aberta de centro em a eraioε, tem-se que f(x) =b δ>0 ε >0:x D\{a} B (a,ε) f (x) B (b, δ). Para a norma usualmente considerada em IR n, tem-se ainda que δ > 0 ε >0:x D\{a} f (x) b <δ. f(x) =b se e só se (x 1 a 1 ) 2 + +(x n a n ) 2 <ε Exemplo 1 Consideremos a função definida em IR 2 \{(0, 0)} por f(x, y) = xy 2 2(x 2 + y 2 ). Provemos, por definição, que o seu ite quando (x, y) tende para (0, 0) é nulo. Pretende-se demonstrar que δ >0 ε >0:(x, y) IR 2 \{(0, 0)} x 2 + y 2 <ε xy 2 2(x 2 + y 2 ) <δ. Seja (x, y) um elemento arbitrário de IR 2 \{(0, 0)}. Como xy 2 2(x 2 + y 2 ) = x y2 2(x 2 + y 2 ), x 2 x 2 + y 2 e y 2 x 2 + y 2, 3 3/Maio/2001

5 tem-se que x = x 2 x 2 + y 2 e y = y 2 x 2 + y 2, pelo que xy 2 2(x 2 + y 2 ) x2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2(x 2 + y 2 ) = x2 + y 2. 2 Considerando ε = 2δ, tem-se então que, quando x 2 + y 2 (x, y) (0, 0), xy 2 2(x 2 + y 2 ) x2 + y 2 < ε 2 2 = δ. < ε,com Isto é, fixada uma bola aberta de centro em zero e raio δ, existeumabola aberta de centro em (0, 0) ederaioε (por exemplo, considerando ε =2δ) tal que, para todos os pontos não nulos desta bola aberta, as suas imagens estão na B (0,δ). Seguidamente apresentamos um resultado já conhecido no estudo dos ites das sucessões reais e das funções reais de variável real. Proposição 1 O ite duma função num ponto quando existe é único. 1.2 Limites Relativos No caso das funções reais de variável real, quando pretendíamos estudar o ite da função num ponto, frequentemente estudávamos os ites laterais, à esquerda e à direita, da função nesse ponto. A função teria ite nesse ponto se e só se os dois ites laterais tivessem o mesmo valor, sendo esse o ite da função. No caso dos campos escalares a situação é mais complexa. De facto, aocontráriodoqueacontecianocasoanterior,emquesónospoderíamos aproximar do ponto por valores à esquerda ou à direita, neste podemos aproximar-nos do ponto por muitas maneiras segundo rectas, parábolas ou qualquer outro subconjunto do domínio do qual esse ponto seja ponto de acumulação. Definição 2 Sejam f : D IR n IR, C um subconjunto de D e a um ponto de acumulação de C. 4 3/Maio/2001

6 Diz-se que b éoitedef relativo a C quando x tende para a, e escreve-se f(x) =b, x C se o ite da restrição 1 de f a C quando x tende para a é b. Portanto, f(x) =b se e só se x C δ >0 ε >0:x C\{a} x a <ε f(x) b <δ. Como qualquer que seja o subconjunto C do domínio D, todo o seu elemento é também elemento de D, da definição de ite vem imediatamente que se b é o ite de f quando x tende para a, b étambémoitedef relativo a C quando x tende para a, desdequea seja um ponto de acumulação de C. Ou seja, nestas condições, f(x) =b f(x) =b. x C Noentanto,éclaroquepodeexistiritedef relativo a um certo subconjunto do domínio, sem que exista o ite da função nesse ponto. Como se verifica pelo exemplo que se segue, este facto revela-se particularmente útil para provar que não existe ite de uma determinada função num ponto. Exemplo 2 Consideremos a função definida em D = { (x, y) IR 2 : y x 2} por f (x, y) = x2 y x 2 + y. Vejamos que f não tem ite quando (x, y) tende para (0, 0). De facto, se considerarmos (x, y) atenderpara(0, 0) segundo a direcção do eixo OX, tem-se que y=0 x 2 0 f(x, y) = f(x, 0) = x 0 x 0 x 2 +0 =1. 1 Recorde-se que, sendo f uma função definida em D e C um subconjunto de D, à função definida em C que a cada ponto deste conjunto faz corresponder a mesma imagem que f, chama-se restrição de f a C. 5 3/Maio/2001

7 Considerando (x, y) atenderpara(0, 0) segundo a direcção do eixo OY, tem-se x=0 0 y f(x, y) = f(0,y)= y 0 x 0 0+y = 1. Como, se existisse o ite de f (x, y) quando (x, y) tende para (0, 0), todos os ites relativos de f neste ponto teriam que ser iguais, conclui-se que tal ite não existe. Aos ites relativos a rectas que passem pelo ponto em questão chamamse ites direccionais. Caso se verifique, como aconteceu no exemplo anterior, que existem ites direccionais diferentes, conclui-se imediatamente que não existe ite nesse ponto. No entanto, o facto dos ites direccionais serem todos iguais não nos garante que a função tenha ite nesse ponto, como se pode verificar pelo exemplo que se segue. Exemplo 3 Consideremos a função definida em IR 2 \{(0, 0)} por f (x, y) = xy3 x 2 + y 6. Vejamos que f não tem ite quando (x, y) tende para (0, 0), emboraos ites direccionais sejam todos iguais. Consideremos (x, y) atenderpara(0, 0) segundo a direcção de uma (qualquer) recta não vertical, isto é uma recta com equação y = mx: y=mx x (mx) 3 f(x, y) = f(x, mx) = x 0 x 0 x 2 +(mx) 6 = x 0 mx 2 1+m 6 x 4 =0. Consideremos (x, y) a tender para (0, 0) segundo a recta vertical, cuja equação é x =0: x=0 f(x, y) = f(0,y) = y 0 0+y =0. 6 y 0 0 Vimos, assim, que todos os ites direccionais no ponto (0, 0) são nulos. 6 3/Maio/2001

8 Noentantoafunçãonãotemitenoponto(0, 0), visto que, por exemplo, considerando o ite relativo à curva de equação x = y 3, tem-se que x=y 3 f(x, y) = f(y 3 y 3 y 3,y)= y 0 y 0 y 6 + y = 1 6 2, sendo este valor diferente do valor que tínhamos obtido para os ites direccionais. por No exemplo 1, provámos, por definição, que a função definida em IR 2 \{(0, 0)} f(x, y) = xy 2 2(x 2 + y 2 ) tem ite nulo quando (x, y) tende para (0, 0). No entanto, para aplicarmos a definição, necessitamos de saber que valor o ite, caso exista, terá. Os ites relativos permitem-nos descobri-lo. Por exemplo, calculando o ite direccional segundo a recta de equação x =0, tem-se que x=0 f(x, y) =f(0,y) = y 0 2(0+y 2 ) =0. y 0 0 Portanto o ite no ponto (0, 0),caso exista terá que ser 0. Restaria agora provar que efectivamente se tem f(x, y) = Propriedades dos Limites Proposição 2 Sejam f e g campos escalares de D IR n em IR, a ponto de acumulação de D e b, c IR. Se f (x) =b e g (x) =c tem-se que: 1. λ = λ, para qualquer λ IR; 2. π j = a j ; 7 3/Maio/2001

9 3. [f(x)+g(x)] = b + c; 4. [λf(x)] = λb, para qualquer λ IR; 5. [f(x).g(x)] = b.c; [ 6. f(x) g(x) ] 7. f(x) = b. = b,sec 0e g (x) 0numa vizinhança de a; c Da definição de ite vem imediatamente se f (x) =0então f (x) =0. No entanto este resultado não é válido para valores diferentes de zero. Proposição3(Leidoenquadramento)Sejam f, g e h campos escalares de D IR n em IR, a pontodeacumulaçãoded e b IR tais que g(x) = h(x) =b. Se existe uma vizinhança V de a tal que para qualquer x V D, se tem então f(x) =b. g(x) f(x) h(x), Exemplo 4 Consideremosafunçãodoexemplo1 f(x, y) = xy 2 2(x 2 + y 2 ). Neste exemplo provámos por definição que o seu ite quando (x, y) tende para (0, 0) énulo.vimosque f(x, y (x, y). 2 Pela lei do enquadramento, como 0 f(x, y (x,y) e (x,y) 0 quando (x, y) (0, 0), conclui-se imediatamente que f (x, y) 0 pelo que 2 2 f (x, y) 0. Tal como se faz para as funções reais de variável real, vamos agora definir a noção de continuidade em campos escalares à custa da noção de ite. 8 3/Maio/2001

10 1.4 Noção de Continuidade Definição 3 Seja f : D IR n IR e a D D. Diz-se que f é contínua em a se f (x) =f (a). A condição anterior é equivalente 2 a δ >0 ε >0:x D x a <ε f (x) f (a) <δ. Uma função diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. Das correspondentes propriedades dadas para os ites, resulta imediatamente que: qualquer campo escalar constante é contínuo; qualquer projecção π j é um campo escalar contínuo; a soma de campos escalares contínuos é um campo escalar contínuo; o produto de um escalar por um campo escalar contínuo é um campo escalar contínuo; o produto de campos escalares contínuos é um campo escalar contínuo; o quociente de campos escalares contínuos é um campo escalar contínuo, nos pontos onde o denominador não se anula; o módulo de um campo escalar contínuo é um campo escalar contínuo. O facto das projecções serem funções contínuas enquadra-se numa situação mais geral, pode mesmo provar-se que: qualquer campo escalar que seja uma aplicação linear é contínuo. Vamos agora ver que, tal como se verifica para as funções reais de variável real, a composição de duas funções contínuas é uma função contínua, desde que a composição faça sentido. 2 Note-se que da definição de ite vem apenas que δ >0 ε >0:x D\{a} x a <ε f (x) f (a) <δ. No entanto para x = a a condição é trivialmente verdadeira, visto que f (x) f (a) =0. 9 3/Maio/2001

11 Proposição 4 Sejam f : D IR n IR, g : E IR IR, com f (D) E, f contínua em a e g contínua em f (a). Então g f : D IR n IR é uma função contínua em a. Exemplo 5 1. Seja g :IR 2 IR definida por { xy 2 (x, y) (0, 0) g (x, y) = 2(x 2 +y 2 ) 0 (x, y) =(0, 0). Nos pontos (x, y) (0, 0) a função é contínua, visto que é soma, produto e quociente de funções contínuas (as projecções e a função constantemente igual a 2) em pontos onde o denominador não se anula. Já vimos, no exemplo 1, que g (x, y) =0. Como g (0, 0) = 0, conclui-se que a função também é contínua no ponto (0, 0). EntãoafunçãoécontínuaemIR Seja h :IR 2 IR definida por h (x, y) = { xy 2 2(x 2 +y 2 ) (x, y) (0, 0) 1 (x, y) =(0, 0). Nos pontos (x, y) (0, 0), esta função coincide com a anterior, pelo que é contínua nestes pontos. O seu ite no ponto (0, 0) é igual a zero. No entanto, como h (0, 0) = 1 a função não é contínua neste ponto. 3. Seja f :IR 2 IR definida por f (x, y) = { h (x, y) =0 xy 3 x 2 +y 6 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) =(0, 0). 10 3/Maio/2001

12 Tal como nos casos anteriores, esta função é contínua nos pontos (x, y) (0, 0), visto que é soma, produto e quociente de funções contínuas (as projecções) em pontos onde o denominador não se anula. No entanto, como vimos no exemplo 3 não existe o ite de f (x, y) quando (x, y) tende para (0, 0), pelo que a função não é contínua neste ponto. 1.5 Prolongamento por Continuidade O primeiro dos exemplos anteriores é um caso particular duma situação mais geral. Inicialmente tinha-se considerado a função f definida em IR 2 \{(0, 0)} por f(x, y) = xy2, para a qual se viu que f (x, y) =0. 2(x 2 +y 2 ) Com vista a obter uma função definida no ponto (0, 0) e contínua neste ponto que coincidisse com f nos pontos do seu domínio, construiu-se então a função g atribuindo ao ponto (0, 0) o valor do ite de f neste ponto e aos restantespontosomesmovalorquef. Definição 4 Sendo f : D IR n IR e a D \D diz-se que f éprolongável por continuidade ao ponto a se existe o f (x). Àfunçãog : D {a} IR n IR definida por { f (x) se x D g (x) = f (x) se x = a chama-se o prolongamento por continuidade de f ao ponto a. É condição necessária e suficiente para que uma função seja prolongável por continuidade a um certo ponto, que exista o ite dessa função nesse ponto. No caso da função referida no exemplo 3 não é possível fazer o prolongamento por continuidade ao ponto (0, 0) pois a função não tem ite neste ponto. 2 LimiteeContinuidadeemCamposVectoriais Definição 5 Sejam f : D IR n IR m um campo vectorial, a um ponto de acumulação de D e b =(b 1,..., b m ) IR m. 11 3/Maio/2001

13 Diz-se que b éoitedef(x) quando x tende para a, eescreve-se f(x) =b, se para todo o δ>0 existe um ε>0 tal que, se x D\{a} e x a <ε, então f (x) b <δ. Ou seja, f(x) =b δ>0 ε >0:x D\{a} x a <ε f (x) b <δ. Tal como para os campos escalares, tendo em conta as definições de bola aberta de centro em a eraioε edenormatem-seque eaindaque f(x) = b se e só se δ >0 ε >0:x D\{a} B (a,ε) f (x) B (b,δ) δ >0 ε >0:x D\{a} f(x) =b seesóse (x 1 a 1 ) 2 + +(x n a n ) 2 <ε (f 1 (x) b 1 ) 2 + +(f m (x) b m ) 2 <δ. A complexidade desta definição é aparente já que na prática o estudo dos ites de campos vectoriais se pode reduzir estudo dos ites das suas componentes escalares, aplicando a proposição que se segue. Proposição 5 Sejam f : D IR n IR m um campo vectorial, a um ponto de acumulação de D e b =(b 1,..., b m ) IR m. Então, f(x) =a se e só se f 1(x) =b 1, f 2 (x) =b 2,..., f m (x) =b m. 12 3/Maio/2001

14 Quanto às propriedades dos ites para campos vectoriais, embora algumas das que se verificam para campos escalares se mantenham, outras nem sequer fazem sentido, tendo que ser adaptadas para este contexto (por exemplo, não faz sentido falar de produto de campos vectoriais, sendo esta noção substituída pela de produto interno). Proposição 6 Sejam f e g campos vectoriais de D IR n em IR m, a um ponto de acumulação de D e b, c IR m. Se f(x) =b e g(x) =c tem-se que: 1. [f(x)+g(x)] = b + c; 2. [λf(x)] = λb, paraqualquerλ IR; 3. [f(x) g(x)] = b c ; 4. f(x) = b. Tal como definimos para campos escalares, sendo f : D IR n IR um campo vectorial e a umpontododomínioquesejaseupontodeacumulação, diz-se que f é contínuo em a se f (x) =f (a). Um campo vectorial diz-se contínuo se for contínuo em todos os pontos do seu domínio. Tal como acontece no caso dos ites, o estudo da continuidade de um campo vectorial pode reduzir-se ao estudo das suas componentes escalares. De facto, da proposição 5 resulta imediatamente que um campo vectorial é contínuo num ponto se e só se as suas componentes escalares também o são. Da proposição 6 resulta imediatamente que: a soma de campos vectoriais contínuos é um campo vectorial contínuo; o produto de um escalar por um campo vectorial contínuo é um campo vectorial contínuo; o produto interno de dois campos vectoriais contínuos é um campo escalar contínuo; a norma de um campo vectorial contínuo é um campo escalar contínuo. Tal como se verifica para os campos escalares, tem-se que qualquer aplicação linear de IR n em IR m é uma função contínua. 13 3/Maio/2001

15 Analogamente ao que se definiu para campos escalares, um campo vectorial f : D IR n IR m diz-se prolongável por continuidade a um ponto a D \D se existe f (x). Àfunçãog : D {a} IR n IR m definida por { f (x) se x D g (x) = f (x) se x = a chama-se prolongamento por continuidade de f a a. Exemplo 6 Consideremos o campo vectorial h :IR 2 \{(0, 0)} IR 3 definido por ( ) xy 2 h (x, y) =, cos x, 2x + y. 2(x 2 + y 2 ) As suas componentes escalares são h 1 (x, y) = xy 2 2(x 2 + y 2 ),h 2 (x, y) =cosx, h 3 (x, y) =2x + y. Já vimos num exemplo anterior que h 1 (x, y) é uma função contínua em IR 2 \{(0, 0)}. Como h 2 = cos π 1 e h 3 = 2π 1 + π 2, pelas propriedades das funções contínuas concluímos que estas funções são contínuas em IR 2. Então, como todas as suas componentes escalares são contínuas em IR 2 \{(0, 0)}, ocampovectorialh écontínuoemir 2 \{(0, 0)}. Averiguemos se h é prolongável por continuidade ao ponto (0, 0). xy Já vimos que 2 =0. 2(x 2 +y 2 ) Como as funções h 2 e h 3 são contínuas em IR 2, têm ite em qualquer ponto, e este coincide com o valor da sua imagem. Portanto 2 (x, y) = h 2 (0, 0) = cos 0 = 1 e 3 (x, y) = h 3 (0, 0) = 0. Pela proposição 5, h tem ite no ponto (0, 0) (é o vector (0, 1, 0)), sendo prolongável por continuidade a esse ponto. 14 3/Maio/2001