Limites - Aula 08. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 14 de Março de 2014

Transcrição

1 Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 14 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Limite - Noção Intuitiva Vamos estudar o comportamento de uma função f(x) para valores de x próximos de um ponto p. Consideremos, por exemplo, a função f(x) = x +1 para x 1 e f(1) = 3. Para valores de x próximos de 1, f(x) assume os seguintes valores: x f(x) x f(x) 1,5 2,5 0,5 1,5 1,1 2,1 0,9 1,9 1,01 2,01 0,99 1,99 1,001 2,001 0,999 1,

3 f(x) tende a 2 2 f(x) = x +1 o 1 quando x tende a 1 x

4 Da tabela vemos que quando x estiver próximo de 1 (de qualquer lado de 1) f(x) estará próximo de 2. De fato, podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 2 quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de 1. Expressamos isso dizendo que o limite da função f(x) quando x tende a 1 é igual a 2. Definição (Intuitiva) Escrevemos lim f(x) = L e dizemos o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L se f(x) fica arbitrariamente próximo de L para x suficientemente próximo de p, mas distinto de p.

5 Observação: Ao procurar o limite quando x tende a p não consideramos x = p. Estamos interessados no que acontece próximo de p e a função f(x) nem precisa estar definida para x = p. Consideremos o seguinte exemplo.

6 Exemplo Encontre lim x 1 x 2 1 x 1. Observe que f(x) = x2 1 não está definida quando x = 1. x 1 Temos que para x 1, x 2 1 x 1 = (x 1)(x +1) x 1 = x +1. Como os valores das duas funções são iguais para x 1, então os seus limites quando x tende a 1 também. Portanto, x 2 1 lim x 1 x 1 = 2.

7 Exemplo x 2 1 Seja f(x) = se x 1 x 1 0 se x = 1. tende a 1. Determine o limite quando x Observe que para x 1 a função f(x) é igual à função do exemplo anterior, logo lim x 1 f(x) = 2, o qual não é o valor da função para x = 1. Ou seja, o gráfico desta função apresenta uma quebra em x = 1, neste caso dizemos que a função não é contínua.

8 Nesta seção vamos a dar a definição precisa de limite. Consideremos a seguinte função { 2x 1 se x 3 f(x) = 6 se x = 3. Intuitivamente vemos que lim x 3 f(x) = 5. Quão próximo de 3 deverá estar x para que f(x) difira de 5 por menos do que 0,1? A distância de x a 3 é x 3 e a distância de f(x) a 5 é f(x) 5, logo nosso problema é achar um número δ tal que se x 3 < δ, mas x 3 = f(x) 5 < 0,1.

9 Se x 3 > 0 então x 3. Logo uma formulação equivalente é achar um número δ tal que se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < 0,1. Note que se 0 < x 3 < 0,1 2, então f(x) 5 = (2x 1) 5 = 2x 6 = 2 x 3 < 0,1. Assim a resposta será δ = 0,1 2 = 0,05.

10 Se mudarmos o número 0,1 no problema para um número menor 0,01, então o valor de δ mudará para δ = 0,01. Em geral, se 2 usarmos um valor positivo arbitrário ε, então o problema será achar um δ tal que se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < ε. E podemos ver que, neste caso, δ pode ser escolhido como sendo ε. Esta é uma maneira de dizer que f(x) está próximo de 5 2 quando x está próximo de 3. Também podemos escrever 5 ε < f(x) < 5+ε sempre que 3 δ < x < 3+δ, x 3, ou seja, tomando os valores de x 3 no intervalo (3 δ,3+δ), podemos obter os valores de f(x) dentro do intervalo (5 ε,5+ε).

11 f(x) está aqui 5+ε 5 5 ε { 2x 1 se x 3 f(x)= 6 se x=3. x 3 3 δ 3+δ }{{} se x está aqui e x 3

12 Definição (Limite) Seja f : D f R uma função e p um ponto de acumulação de D f. Diremos que o limite de f(x) quando x tende p é L e escrevemos lim f(x) = L se, dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que x D f e 0 < x p < δ, = f(x) L < ε.

13 Interpretação geométrica do limite. L + ε L L ε f f(p) L+ε L L ε f p δ p p + δ x p δ p p + δ x lim f(x) = L lim f(x) = L f(p)

14 f f L + ε L L ε f(p) p δ p p + δ x p x lim f(x) = L = f(p) Não existe o limite de f em p

15 Exemplo Prove que lim x 2 (3x 2) = 4. Devemos fazer uma análise preliminar para conjeturar o valor de δ. Dado ε > 0, o problema é determinar δ tal que se 0 < x 2 < δ = (3x 2) 4 < ε. Mas (3x 2) 4 = 3x 6 = 3(x 2) = 3 x 2. Portanto, queremos 3 x 2 < ε sempre que 0 < x 2 < δ. Isto sugere que podemos escolher δ = ε 3.

16 Provemos que a escolha de δ funciona. Dado ε > 0, escolha δ = ε. Se 0 < x 2 < δ, então 3 (3x 2) 4 = 3x 6 = 3(x 2) = 3 x 2 < 3δ = 3 ε 3 = ε. Assim, (3x 2) 4 < ε sempre que 0 < x 2 < δ logo, pela definição, lim x 2 (3x 2) = 4.

17 Teorema Se Seja f : A R uma função e p um ponto de acumulação de A. O limite lim f(x) = L, caso exista, é único.

18 Exemplo Prove que lim x 2 = p 2.

19 Definição (Continuidade) Seja f : D f R uma função e p D f. Diremos que f(x) é contínua em p se, dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que x D f e x p < δ, = f(x) f(p) < ε. Observação Note que, se p é um ponto de acumulação de D f, então f é contínua em p se, e somente se, lim f(x) = f(p) e se p é um ponto isolado de D f então f é contínua em p.

20 Exemplo (a) A função f(x) = x +1 é contínua em x = p para cada p R. (a) A função f(x) = x 2 é contínua em x = p para cada p R. x 2 1 (b) A função f(x) = se x 1 x 1 não é contínua em 0 se x = 1 x = 1 pois lim f(x) = 2 0 = f(1). x 1

21 Sejam f : D f R e g : D g R duas funções. Suponha que p seja um ponto de acumulação de D f D g e que lim f(x) = L 1 e lim g(x) = L 2. Então: lim ( f(x)+g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = L 1 +L 2. lim k f(x) = kl 1 onde k = constante. lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) = L 1 L 2. lim f(x) f(x) lim g(x) = lim g(x) = L 1, se L 2 0. L 2

22 Utilizando a propriedade do produto repetidamente obtemos: [ ] n lim [f(x)]n = lim f(x) = L n 1, onde n é um inteiro positivo. Para aplicar essas propriedades vamos usar os limites: lim x = p e lim k = k, k constante. Exemplo lim xn = p n, onde n é um inteiro positivo.

23 Exemplo Calcule lim x 2 (5x 3 8), [R : 32]. Exemplo x 3 +1 Calcule lim x 1 x 2,[R : 1/4]. +4x +3 Exemplo (3+h) 2 9 Calcule lim, [R : 6]. h 0 h

24 Os próximos três teoremas são propriedades adicionais de limites. Teorema (Teste da Comparação) Se f(x) g(x) quando x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e os limites de f e g existem quando x tende a p, então lim f(x) lim g(x).

25 Teorema As funções trigonométricas são contínuas. Prova: Para qualquer p, temos que ( x p ) ( x +p ) senx senp = 2sen cos 2 2 ( x p ) x p 2 sen 2 = x p. 2 2 Como lim(x p) = 0, pelo Teorema do Confronto temos que lim senx senp = 0, ou seja, lim senx = senp. Logo a função seno é contínua para todo p.

26 A prova da continuidade do cosseno é feita de ( maneira similar x +p ) ( x p ) utilizando a igualdade cosx cosp = 2sen sen. 2 2 A continuidade das outras funções trigonométricas seguem das propriedades das funções contínuas.