Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

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1 Seqüências Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 12 de Abril de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma Engenharia de Computação

2 Seqüências Consideraremos agora um caso particular de funções que são as seqüências. Definição Uma seqüência é uma função definida no conjunto dos números naturais e com valores reais, ou seja, f : N R. Note que cada número natural é levado em um único número real N f R 1 f (1) 2 f (2) 3 f (3)..

3 Se denotamos f (n) por x n, então a seqüência f estará unicamente determinada pela lista de números {x 1, x 2, x 3,...} ou, abreviadamente, por {x n }. Desta forma, adotaremos a notação {x n } ou {x 1, x 2, x 3,...} para representar uma seqüência. O número x n é chamado elemento de uma seqüência e o conjunto imagem de f, Im(f ), é chamado conjunto dos valores de uma seqüência. Como as seqüências são um tipo particular de função, então estão definidas as operações de soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de seqüências. Exercício: Escreva as definições de soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de seqüências.

4 Exemplo Temos (a) f : N R dada por f (n) = n ou {n} ou {0, 1, 2, 3,...} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é N. (b) f : N R dada por f (n) = 1 { } 1 n + 1 ou ou n + 1 {1, 12, 13, 14 },... é uma seqüência cujo conjunto dos valores é {1, 12, 13, 14 },.... (c) f : N R dada por f (n) = ( 1) n ou {( 1) n } ou {1, 1, 1, 1,...} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é {1, 1}. (d) f : N R dada por f (n) = r n ou {r n } ou {1, r, r 2, r 3,...} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é {1, r, r 2, r 3,...} (progressão geométrica).

5 Note que a seqüência { } n n + 1 tem a propriedade de que quanto maior for n, mais próximo o seu valor em n fica de 1. Neste caso, diremos que o limite da seqüência é 1 e a seqüência é dita convergente com limite 1. É preciso dar uma definição mais precisa da noção de limite de uma seqüência. Definição Uma seqüência {x n } será dita convergente com limite l se, dado ε > 0, existir um natural N = N(ε) tal que x n l < ε, n N. Neste caso, escreveremos lim n x n = l e leremos o limite de x n quando n tende para infinito é l.

6 Exemplo (Propriedade Arquimediana dos Racionais) Se x 0, {nx : n N} é ilimitado. Exemplo Mostre que a seqüência { } 1 é convergente com limite 0. n Exemplo Entre dois números reais distintos quaisquer existem infinitos números racionais.

7 Exemplo Se {x n } for uma seqüência convergente com limite l então, a seqüência {cos x n } será convergente com limite cos l. O próximo resultado diz que, se uma seqüência for convergente, então o limite será único. Proposição Seja {x n } uma seqüência convergente. Se então l 1 = l 2. lim x n = l 1 e lim x n = l 2, n n

8 Definição Uma seqüência será dita divergente, se ela não for convergente. Definição Se h : N N for uma função estritamente crescente e f : N R for uma seqüência, então a função f h : N R será dita uma subseqüência de f.

9 Exemplo (a) Sejam h(n) = 2n e {x n } uma seqüência. Então {x 2n } é uma subseqüência de {x n } chamada subseqüência dos pares. (b) Seja h(n) = 2n + 1 e {x n } uma seqüência. Então {x 2n+1 } é uma subseqüência de {x n } chamada subseqüência dos ímpares. (c) Seja h(n) = n + p, p N, e {x n } uma seqüência. Então {x n+p } é uma subseqüência de {x n }. (d) A subseqüência dos pares (ímpares) da seqüência {( 1) n } é a seqüência constante {1} (resp. { 1}).

10 Proposição Se {x n } for uma seqüência convergente com limite l, então toda subseqüência de {x n } será convergente com limite l. A Proposição 2 é importante pois implica no seguinte critério negativo de convergência que é bastante utilizado. Proposição Se uma seqüência possuir duas subseqüências convergentes com limites distintos, então a seqüência será divergente. Exemplo A seqüência {( 1) n } é divergente.

11 Definição Uma seqüência será dita limitada se o seu conjunto de valores for limitado. Caso contrário, a seqüência será dita ilimitada. Exemplo { } n (a) A seqüência é limitada. n + 1 (b) A seqüência {( 1) n é limitada. { (c) A seqüência cos 1 } é limitada. n (d) A seqüência {n} é ilimitada. Proposição Toda seqüência convergente é limitada.

12 Observação: Note que, apesar de toda seqüência convergente ser limitada, nem toda seqüência limitada é convergente (por exemplo, {( 1) n } é limitada, mas não é convergente). Proposição Seja {x n } uma seqüência. Então {x n } será convergente com limite 0 se, e somente se, { x n } for convergente com limite 0. Observação: Mostraremos mais tarde que se {x n } é convergente com limite l então { x n } é convergente com limite l mas não é verdade que se { x n } é convergente então {x n } é convergente (basta ver o que ocorre com a seqüência {( 1)} n ).

13 Exemplo Considere a seqüência {r n }. Temos (a) {r n } é convergente com limite 0, se r < 1; (b) {r n } é convergente com limite 1, se r = 1; (c) {r n } é divergente, se r = 1 ou r > 1. Sugestão: Mostre que se r > 1, então { r n } será ilimitada. Proposição Se {x n } for convergente com limite 0 e {y n } for limitada, então {x n y n } será convergente com limite 0.

14 Exemplo A seqüência { } 1 n cos n é convergente com limite 0. Proposição Toda seqüência {x n } crescente (respectivamente decrescente) e limitada é convergente com limite sup{x n : n N} (resp. inf{x n : n N}).

15 Proposição (Propriedades) Sejam {x n } e {y n } seqüências convergentes com limites l 1 e l 2 respectivamente e seja c R. Então (a) {cx n + y n } é convergente com limite cl 1 + l 2 (b) {x n y n } é convergente com limite l 1 l 2 (c) {x n /y n } é convergente com limite l 1 /l 2, sempre que l 2 0. Proposição Sejam B R e b R um ponto de acumulação de B. Então existe uma seqüência {b n } com b n B, b n b e lim n b n = b.

16 Proposição Se {x n } for uma seqüência convergente e x n 0, para todo n N, então lim x n 0. n Prova: Suponha que lim x n = l. Então dado ε > 0, existe N N n tal que l ε < x n < l + ε, n N. Mas x n 0 por hipótese. Portanto l ε < x n 0, n N, ou seja, l < ε. Segue da arbitrariedade de ε que l 0 e a prova está concluída.

17 Corolário (Teste da comparação) Se {x n } e {y n } forem seqüências convergentes e x n y n para todo n N, então lim x n lim y n. n n Proposição (Teorema do Confronto) Sejam {x n } e {y n } duas seqüências convergentes com mesmo limite l. Se {z n } é um seqüência tal que x n z n y n, n N, então {z n } é convergente com limite l.

18 Vamos considerar três tipos de as seqüências divergentes: aquelas que divergem para +, aquelas que divergem para, aquelas que são limitadas mas não são convergentes.

19 Definição Diremos que uma seqüência {x n } diverge para + se, dado R > 0, existir N N tal que x n > R, para todo n N. Neste caso, escrevemos lim n x n = +. Diremos que uma seqüência {x n } diverge para se, dado R > 0 existir N N tal que x n < R, para todo n N. Neste caso, escrevemos lim n x n =. Diremos que uma seqüência {x n } oscila, se ela não for convergente e não divergir para + ou para.

20 Exemplo (a) {2 n } diverge para +, ou seja, lim n 2n = +. (b) { n} diverge para, ou seja, lim n = n (c) {1 + sen n} e {( 2) n } oscilam.