3 AULA. Séries de Números Reais LIVRO. META Representar funções como somas de séries infinitas. OBJETIVOS Calcular somas de infinitos números reais.

Transcrição

1 LIVRO Séries de Números Reais META Representar funções como somas de séries infinitas. OBJETIVOS Calcular somas de infinitos números reais. PRÉ-REQUISITOS Seqüências (Aula 02).

2 Séries de Números Reais. Introdução Estudaremos nesta aula, uma exemplo especial de seqüência. Seja (x n ) n N uma seqüência, a seqüência cujo termo geral é a soma dos n primeiros termos da seqüência x n, é denominada série de números reais (numérica). O principal objetivo dessa aula, é estudar propriedades e a convergência dessas séries. Veremos que quando uma série convergir, digamos para S então S é a soma de infinitos números reais..2 Séries Numéricas Definição.8. Considere uma seqüência (x n ) n N. Para cada n N definimos S n = x i = x + x x n. i= A seqüência (S n ) n N denomina-se série numérica associada a seqüência (x n ) n N. Os números x n,n, são denominados termos da série; x n é o termo geral da série. Referir-nos-emos a S n = i= x i como soma parcial de ordem n da série. O ite da série, quando existe (finito ou infinito), denominase soma da série e é indicada por n= x n = n= x n. Assim x i. i= 8

3 Livro de Cálculo II Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma for infinita (+ ou ) ou se o ite não existir, diremos que a série é divergente. absolutamente se a série O símbolo n= Finalmente, dizemos que a série converge n= x n for convergente. x n foi indicado para indicar a soma da série. Por um abuso de notação, tal símbolo será utilizado ainda para representar a própria série. Falaremos, então, da série n= i= entendendo-se que se trata da série cuja soma parcial de ordem n é S n = x i. Escreveremos com freqüência x n para representar a série n= x n. Exemplo.2.. Considere a Série Geométrica x n, ar n,onder é razão da série e a R é uma constante denominada termo inicial da série. Vamos estudar a convergência desta série em função dos valores de r. Temos que S n = a + ar + ar 2 + ar ar n + ar n. Se r =, então é imediato que S n = na. Segue que (S n ) n N diverge e, portanto ar n = a diverge. Suponhamos que r. Multiplicando S n por r, obtemos rs n = ar + ar 2 + ar + ar ar n + ar n+. Agora S n rs n = a ar n+ e daí S n = a rn+ r. Assim, ar n converge se, e somente se, r < e, neste caso, ar n = a r. 9

4 Séries de Números Reais Exemplo.2.2. Considere a série k= x k e suponha que x k = y k y k+,k. (Uma tal série denomina-se série telescópica). a) Verifique que S n = x k = y y n+. k= b) Conclua que se y n = y, com b real, então a soma da série será finita e igual a y y. Solução: a) x k =(y y 2 )+(y 2 y )+...+(y n y n+ )=y y n+ b) k= k= x k = k= x k = (y y n+ )=y y. Exemplo.2.. Calcule a soma k(k +). k= Solução: Note que k(k +) = k + k +. Trata-se então de uma série telescópica. Segue do exemplo anterior que k(k +) = n +. Logo, k= k= =, pois k(k +) n + =0. Proposição 2. Sejam x n e y n suas séries convergentes e c R. Temos que (i) (x n + y n ) é convergente para x n + y n ; (ii) (c x n ) é convergente para c x n. Demonstração: A demonstração é trivial: basta aplicar as propriedades de ite da soma e da multiplicação por um escalar. Observamos que, em geral, (x n y n ) x n y n. 40

5 Livro de Cálculo II Passamos ao estudo da natureza de séries, isto é, estamos interessados em critérios que determinam se uma série é convergente ou divergente. Teorema.5. (i) x n converge se, e somente se, ɛ >0, N N tal que n m N = x i <ɛ. i=m (ii) Se x n converge, então x n 0, quando n +. (iii) Toda série absolutamente convergente é convergente. Demonstração: (i) Suponhamos que x n converge, isto é, a seqüência de termo geral S n = x i é convergente, digamos que i= para S. Logo, dado ɛ>0, existe N N tal que se n N, então S n S < ɛ 2. Portanto, se n m N, temos x i = S n S m S n S + S S m < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. i=m Reciprocamente, um argumento análogo ao da demonstração do Teorema 2.2 mostra que (S n ) n N é itada (verifique). Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (S n ) n N tem subseqüência (S nk ) k N convergente para o ite S. Mostremos que S n S. Seja ɛ>0, temos que existe N N tal que n m N = S n S m <ɛ. (.) Como S nk S, existe k N tal que n k N e S nk S < ɛ 2. Daí e de (.) segue que, se n N, então S n S S n S nk + S nk S < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. (ii) Segue de (i), tomando n = m. (iii)observamos que para todo m, n N temos x i x i = x i. i=m i=m i=m 4

6 Séries de Números Reais Portanto, por (i), a convergência de x n implica a de x n. Devemos ressaltar que a recíproca do item (iii) do teorema anterior, não é verdadeira, ou seja, existem séries que são convergentes mas não são absolutamente convergentes, as séries deste tipo são denominadas séries condicionalmente convergente. exemplo posteriormente. Veremos um Exemplo.2.4. Pelo item (ii), a condição x n 0 é necessária para a convergência da série x n porém ela não é suficiente. A Série Harmonica é o contra exemplo mais famoso. De fato, n temos S 2 = + 2, S 4 = S >S =+2 2, S 8 = S > =+ 2,. Portanto, S 2 n > +n/2. Daí, segue que S 2n =+. Con- cluímos que a série diverge. Vamos tratar agora de alguns critérios de convergência para séries de termos positivos. Claramente, todos os critérios aqui expostos podem ser adaptados para séries de termos negativos. Com efeito, se x n é uma série de termos negativos, então ( x n ) é uma série de termos positivos e, além disso, a primeira converge se, e somente se, a segunda converge. Eventualmente, podemos usar também critérios sobre séries de termos positivos para uma série x n que tenha termos de sinais variáveis, tais séries são denominadas séries alternadas. Ora, se ao aplicarmos algum destes critérios para a série x n concluirmos 42

7 Livro de Cálculo II que ela é convergente, então, como toda série absolutamente convergente é convergente, concluiremos que x n converge. Por outro lado, se o critério nada disser, ou mesmo se ele nos informar que x n é divergente, em geral, nada poderemos afirmar sobre a convergência da série x n. Neste caso, temos o seguinte critério de convergência para Séries Alternadas: Teorema.6. (Critério de convergência para séries alternadas) Seja a série ( ) n x n, onde x n > 0, n N (Séries Alternadas). Se a seqüência (x n ) n N for decrescente e se a série alternada ( ) n x n será convergente. x n =0, então Não faremos a demonstração deste Critério, pois é baseada em propriedades dos Intervalos Encaixantes não vistos neste curso. O leitor interessado pode encontra tal demonstração no Livro "Um Curso de Cálculo, Vol. 4"de Hamilton Luiz Guidorizzi. Antes de seguir para o estudo dos critérios de convergência para séries de termos positivos, observamos também o seguinte fato, já mencionado no caso de seqüência. Os primeiros termos de uma série nada influem na sua natureza. De fato, a série x n converge se, e somente se, a série x n+2008 converge. De maneira geral, fixando p N a série x n é convergente se, e somente se, a série x n+p é convergente. Desta forma, todos os critérios que determinam a natureza de uma série através de algumas propriedades verificada por todos os seus termos continuam válidos se a tal propriedade é verificada à partir de algum termo (por exemplo, 2008). Por outro lado, não podemos desprezar nenhum termo de uma série convergente quando estamos interessados em determinar o valor de sua soma infinita. 4

8 Séries de Números Reais Proposição. Uma série de termos positivos é convergente se, e somente se, a seqüência de suas somas parciais é itada superiormente. Demonstração: Por definição x n é convergente se, e somente se, a seqüências de suas somas parciais (S n ) n N é convergente. Como x n 0, temos imediatamente que (S n ) n N é crescente. Logo, (S n ) n N é convergente se, e somente se, ela é itada superiormente. Teorema.7. (Critério da Integral) Consideremos a série e suponhamos que exista p N e uma função f :[p, + [ R contínua, decrescente e positiva tal que f(k) =x k para todo k p. Nestas condições, tem-se: (i) (ii) + p + p f(x)dx convergente = f(x)dx divergente = Demonstração: Para n>p, x k convergente; k=0 x k divergente. k=0 x k = k=0 p está fixo, segue dessa relação que a série x k for convergente (ou di- (ou divergente) se, e somente se, vergente). (i) Temos que (Veja Figura.7) n x k f(x)dx k=p+ p k=p+ + p k=0 x k p x k + x k. Como k=0 k=p+ x k será convergente k=0 f(x)dx. Segue que a seqüência x k é crescente e itada superiormente por + p k=p+ f(x)dx. Logo a série k=p+ x k é convergente e, 44

9 Livro de Cálculo II Figura.7: Soma Inferior portanto, k=0 x k também é convergente. (ii) A demonstração deste item é análoga a do item (i), por isso deixamos para o leitor. Exemplo.2.5. Seja α>0, com α, um real dado. Estude a série com relação a convergência ou divergência. k(ln k) α k=2 Solução: Se α =estudaremos a convergência da série através do Critério da Integral, utilizando a função f(x) =,x 2. x ln x k=2 k ln k Tal função é positiva, contínua e decrescente em [2, + [ como se verifica facilmente. Temos t 2 x ln x dx = [ln(ln x)]t 2 = ln(ln t) ln(ln 2). + Como ln(ln t)dt =+, resulta dx =+. Pelo t 2 x ln x critério da integral a série é divergente. Suponhamos agora que α>0 e α. Vamos aplicar, novamente, o critério da integral com a função f(x) =. Está função x(ln x) α é claramente positiva, contínua e decrescente no intervalo [2, + [. 45

10 Séries de Números Reais Temos t x(ln x) α dx = 2 [ ( α)(ln x) α e, portanto, t x(ln x) α dx = α 2 [ ] t 2 = ln(ln t) ln(ln 2) ] (ln t) α (ln 2) α. Para α>= =0 t (ln t) α e, para 0 <α<= =+ t (ln t) α. Pelo critério da integral, a série é convergente para α>e divergente para 0 <α<. Teorema.8. (Critério da Comparação) Sejam as séries e k=0 y k. Suponhamos que exista p N tal que, para todo k k=0 p, 0 x k y k. Nestas condições, tem-se: (i) y k convergente = x k convergente; (ii) x k divergente = Demonstração: y k divergente. (i) Basta provamos que Como, para todo k p, y k 0, a seqüência t n = y k,n p, é crescente. Daí e pelo fato da série para todo n p, y k k=p k=p x k x k é convergente. k=p y k ser convergente resulta, k=p y k. 46

11 Livro de Cálculo II Como, para todo k p, 0 x k y k, resulta que a seqüência s n = x k,n p, (.2) k=p é crescente e, para todo n p, x k k=p k=p y k. Segue que a seqüência.2 é convergente, ou seja, a série convergente. (ii) Fica a cargo do leitor. k=p Exemplo.2.6. Vamos estudar a natureza da série n p x k é segundo os valores de p. É claro que se p 0, então ela diverge pois neste caso x n 0. Suponhamos 0 p. Temos n n p para todo n N. Portanto, por comparação com a série harmonica, concluímos que a série diverge. Finalmente, consideramos o caso p>. Mostraremos que a série converge através do Critério da Integral, utilizando a função f(x) =,p>. Tal função é positiva, contínua e decrescente em [, + [ como se verifica xp facilmente. Temos t [ x p dx = ( p)x p Como dt =0, resulta t ( p)tp critério da integral a série é convergente. Exemplo.2.7. A série Justifique. k= Solução: Para todo k, ] t = ( p)t p p. + x p dx = p. Pelo k sen é convergente ou divergente? k 0 k sen k k k. 47

12 Séries de Números Reais Como k= é convergente (basta usar o exemplo.2.6 com p =2), k2 segue do Teorema da Comparação que Exemplo.2.8. A série é convergente ou divergente? Justifique. Solução: Para todo k, k= e, portanto, para todo k, k= k k 2 +2k + k k 2 +2k + = k + 2 k +. k k + k k + 4. k 2 Segue que, para todo k, Como k= 4k +2k + 4k. é divergente resulta que k sen k é convergente. diverge. k= k k 2 +2k + Teorema.9. (Critério do Limite) Sejam x n e y n duas séries de termos positivos. Suponhamos que Então: x n = L. n y n a) se L>0, Lreal, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes; 48

13 Livro de Cálculo II b) se L =+ ese y n for divergente, x n também será divergente; c) se L =0ese y n for convergente, x n também será convergente. Demonstração: x k a) De = L, L > 0 e real, segue que tomando ɛ = L n y 2, existe k N N tal que ou seja n>n= L L 2 < x n y n <L+ L 2 n>n= L 2 y n <x n < L 2 y n. Segue do critério da comparação que ambas são convergentes ou ambas são divergentes. x k b) De =+, segue que tomando-se ɛ =, existe N N n y k tal que n>n= x n > y n e, portanto, n>n= x n >y n. Segue do critério da comparação que se y n for divergente, então xn também será. x k c) De =0, segue que tomando-se ɛ =, existe N N tal n y k que n>n= x n < y n e, portanto, n>n= x n <y n. Segue do critério da comparação que se y n for convergente, então xn também será. 49

14 Séries de Números Reais Exemplo.2.9. A série e n é convergente ou divergente? Justifique. Solução: A série n= n= série geométrica de razão r = e 2. Façamos e n 2 é convergente, pois trata-se de uma x n = ne n e y n = e n 2. Temos x n = n y n n n e n 2 =0. Pelo critério do ite, a série dada é convergente. Observação.. O sucesso na utilização do critério do ite está exatamente na escolha adequada da série y n de comparação. Em muitos casos, as séries harmonicas ou as séries geométricas desempenham muito bem este papel. Exemplo.2.0. A série Justifique. Solução: Vamos tomar como série de comparação a série har- ln k. Temos monica Então, k= n= ln k é convergente ou divergente? x k = k + y k x k = ln k e y k = k. k + k ln k =+. Pelo Critério do Limite a série dada é divergente. Observe, no exemplo anterior, que se tivéssemos tomado como séria de comparação a harmonica convergente k 2, teríamos, n= 50

15 Livro de Cálculo II também, x k = k + y k k + k 2 ln k =+. Entretanto, neste caso, o critério do ite não nos fornecerá informações alguma sobre a convergência ou divergência da série dada. Os próximos dois critérios de convergências valem também para séries com termos negativos. Teorema.0. (Teste da Razão, ou de d Alembert) Seja (x n ) n N uma seqüência não nula. Suponhamos que x n+ x n exista, finito ou infinito. Seja x n+ x n = L. Nesta condições, tem-se: (i) Se L<, a série x n será convergente; (ii) Se L> ou L =+, a série x n será divergente; (iii) Se L =, o critério nada revela. Demonstração: (i) A idéia é comparar a série dada com uma série geométrica convergente. Como L <, existe r R tal que x n+ x n <r<. Segue da definição de ite, que existe N N tal que x n+ x n <rpara todo n N. Temos então: x N+ <r x N ; x N+2 <r x N+ <r 2 x N ; x N+ <r x N+2 <r x N ;. De maneira geral, x n <r n N x N, para todo n N. Tomando y n = r n N x N (para todo n N) temos que x n <y n para todo 5

16 Séries de Números Reais n N. Como y n é uma Série Geométrica de razão r (0, ), ela é convergente. O critério da comparação nos garante que x n converge absolutamente e, portanto, é convergente. (ii) Como x n+ x n > ou x n+ x n =+, existe N N tal que, se n N então x n+ x n >. Isso significa que x n+ > x n quando n N, e assim x n 0. n Portanto, x n diverge pelo teste da divergência. A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se x n+ x n =, o Teste da Razão não dá nenhuma informação. Por exemplo, para a série convergente n 2, temos x n+ x n = (n+) 2 n 2 (n +) 2 = ( ) + 2 quando n = n 2 enquanto para a série divergente n, obtemos x n+ x n = n+ = n n + = quando n. n + n Portanto, se x n+ x n = a série x n pode convergir ou divergir. Neste caso, o Teste da Razão falha e devemos usar algum outro teste. Exemplo.2.. A série = n= n! n x n+ x n = n! (n + )! = é convergente, pois (n+)! n! =0<. n + 52

17 Livro de Cálculo II Exemplo.2.2. A série n= x n+ x n = ( ) n n é convergente. De fato, n = = = ( ) n+ (n+) n+ ( ) n n n (n +) n+ n n ( ) n + n ( + n ) = <. Exemplo.2.. A série n= n n n! x n+ x n = = = é divergente. Com efeito, (n +) n+ n! (n + )! n n (n + )(n +) n (n +)n! ( ) n + n n! n n n ( = + n = e>. n) O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando as potências de n ocorrem. Sua prova é similar à do Teste da Razão e fica por conta do leitor. Teorema.. (Teste da Raiz) n (i) Se xn = L<, então a série n convergente e, portanto, convergente; n (ii) Se xn = L>, então a série (iii) Se n n n= x n é absolutamente x n é divergente; n= n xn =, então o Teste da Raiz não é conclusivo. O Teste da Raiz é mais eficiente que o da Razão. Mais precisamente, em todos os casos nos quais o Teste da Razão permite 5

18 Séries de Números Reais concluir (seja por convergência ou por divergência) o Teste da Raiz também será concludente. geral, mais fácil de ser aplicado. Entretanto, o Teste da Razão é, em Exemplo.2.4. Teste a convergência da série Solução: e n Considere n xn = x n = ( ) 2n + n n +2 2n + n n +2 = 2+ n n + 2 n Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz. n= ( ) 2n + n. n +2 = 2 <. Resumo Considere uma seqüência (x n ) n N. Para cada n N definimos S n = x i = x + x x n. i= A seqüência (S n ) n N denomina-se série numérica associada a seqüência (x n ) n N. O termo geral da (S n ) n N, S n = i= x i é denominado soma parcial de ordem n da série. O ite da série, quando existe (finito ou infinito), denominase soma da série e é indicada por n= x n = n= x n. Assim x i. i= 54

19 Livro de Cálculo II Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma for infinita (+ ou ) ou se o ite não existir, diremos que a série é divergente. Nosso objetivo com essa aula era que você (aluno) aprendesse a testar a convergência de séries. Para tanto, foi apresentado os principais critérios de convergências de séries. (Ver os Critérios e os Testes de convergências) Os conceitos e os critérios de convergência de séries serão essenciais no estudo de séries de potências que faremos na próxima aula..4 Atividades 0. (a) Qual a diferença entre uma seqüência e uma série? (b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente? 02. Seja x n = n n +. (a) Determine se (x n ) n N é convergente. (b) Determine se x n é convergente. n= 0. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. a) (b) (c) (e) (g) n=2 n= ( ) n (d) 2 ( 2 ) n 2 2 n (f) (h) ( ) 2 n ( n +2 n ) n= n= 6 n (4n + )(4n +5) 55

20 Séries de Números Reais 04. Mostre que a série dada é convergente. a) ( ) n 2 n n+ ln n (b) ( ) n. n= n= 05. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência. (a) (c) (e) (g) (i) n= n= n= ( ) n n (b) ( ) n n ln n n 2 + ne n2 (d) (f) 5 2+ n (h) ( 0) n n! 06. (a) Mostre que (b) Deduza que n x n n! x n n! =0. (j) n=2 n= n ln n n ln n ln(ln n) 4+ n n= 2 n e n n! n= converge para todo x..5 Comentário das Atividades Se você (aluno) conseguiu resolver as Atividades 0. e 02., então entendeu a grande diferença de seqüências e séries de números reais. Entender essa diferença é muito importante. Na Atividade 0. você utilizou (ou utilizará) as propriedades de ites (vistas no Cálculo I) para testar a convergência das séries dadas. Na Atividade 04. é dada duas séries alternadas e é pedido que 56

21 Livro de Cálculo II você (aluno) teste a convergência das mesmas. Nesta atividade podemos usar o critério de convergência para séries alternadas ou lançarmos mão da convergência absoluta. A Atividade 05. você utilizou (ou deve utilizar) os critérios de convergência vistos nesta Aula, para estudar a convergência das séries dadas. O Teste da Razão deverá ser usado na resolução da Atividade 06.. Nesta atividade estamos interessados em encontrar o conjunto dos x tais que a série numérica converge. Conseguiu resolver todas as Atividade? Sabe usar os critérios de convergência (Critério da Razão dentre outros) dados? Ótimo!!! Você esta com todos os requisitos necessários para compreensão da próxima aula. Lembrem-se sempre que há tutores a distância e presenciais para ajudá-los na resolução dessas atividades. Estudar em grupo com seus colegas, pode tornar a resolução dessas atividades mais fácil e interessante..6 Referências GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. e 4). Rio de Janeiro: LTC Editora, STEWART, J., Cálculo (vol. e 2). São Paulo: Pioneira Thomson Learning, THOMAS, G. B., Cálculo (vol. e 2). São Paulo: Addison Wesley,