Testes de Convergência

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1 Testes de Convergência Luciana Borges Goecking Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas outubro - 203

2 Teste da Divergência Teorema Se a série a n for convergente, então lim a n = 0. Teste da divergência Se lim a n não existir ou se lim a n 0, então a série divergente. a n é

3 Teste da Divergência Teorema Se a série a n for convergente, então lim a n = 0. Teste da divergência Se lim a n não existir ou se lim a n 0, então a série divergente. a n é

4 Exemplo Mostre que a série 2 Idem para ATENÇÃO: ( ) n+ Se lim a n 0 = n 2 5n diverge. a n diverge. Se lim a n = 0, então nada se pode afirmar. Obs: Podemos sempre adicionar ou retirar um número finito de termos de uma série sem alterar a convergência ou a divergência da série, embora no caso da convergência a soma mude.

5 Exemplo Mostre que a série 2 Idem para ATENÇÃO: ( ) n+ Se lim a n 0 = n 2 5n diverge. a n diverge. Se lim a n = 0, então nada se pode afirmar. Obs: Podemos sempre adicionar ou retirar um número finito de termos de uma série sem alterar a convergência ou a divergência da série, embora no caso da convergência a soma mude.

6 Exemplo Mostre que a série 2 Idem para ATENÇÃO: ( ) n+ Se lim a n 0 = n 2 5n diverge. a n diverge. Se lim a n = 0, então nada se pode afirmar. Obs: Podemos sempre adicionar ou retirar um número finito de termos de uma série sem alterar a convergência ou a divergência da série, embora no caso da convergência a soma mude.

7 Exemplo Mostre que a série 2 Idem para ATENÇÃO: ( ) n+ Se lim a n 0 = n 2 5n diverge. a n diverge. Se lim a n = 0, então nada se pode afirmar. Obs: Podemos sempre adicionar ou retirar um número finito de termos de uma série sem alterar a convergência ou a divergência da série, embora no caso da convergência a soma mude.

8 Teorema Se a n e b n forem séries convergentes, então também o serão as séries ca n, c R, (a n + b n ) e (a n b n ), e: 2 3 ca n = c (a n + b n ) = (a n b n ) = a n a n + a n b n b n

9 Exemplo Calcule a soma da série 2 Idem para 3 n 6 n. ( 3 n(n + ) + 2 n ).

10 Exemplo Calcule a soma da série 2 Idem para 3 n 6 n. ( 3 n(n + ) + 2 n ).

11 Teste da Integral Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [, ) e seja a n = f (n). Então: Se convergente. Se f (x)dx for convergente, então f (x)dx for divergente, então a n é a n é divergente.

12 Observações Não é necessário começar a integral em n =. Não é necessário que f seja sempre decrescente.

13 Exemplos Teste a série n 2 para convergência ou divergência. + 2 Use o teste da integral para determinar se a série convergente ou divergente lnn n é 3 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente 4 Para que valores de p a série n p é convergente? ne n

14 Exemplos Teste a série n 2 para convergência ou divergência. + 2 Use o teste da integral para determinar se a série convergente ou divergente lnn n é 3 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente 4 Para que valores de p a série n p é convergente? ne n

15 Exemplos Teste a série n 2 para convergência ou divergência. + 2 Use o teste da integral para determinar se a série convergente ou divergente lnn n é 3 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente 4 Para que valores de p a série n p é convergente? ne n

16 Exemplos Teste a série n 2 para convergência ou divergência. + 2 Use o teste da integral para determinar se a série convergente ou divergente lnn n é 3 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente 4 Para que valores de p a série n p é convergente? ne n

17 p-série A série é convergente se p > e divergente se p. np Essa série é chamada de p-série. Exemplos: A série p >. é convergente porque é uma p-série com n3 A série p <. n 3 é divergente porque é uma p-série com

18 p-série A série é convergente se p > e divergente se p. np Essa série é chamada de p-série. Exemplos: A série p >. é convergente porque é uma p-série com n3 A série p <. n 3 é divergente porque é uma p-série com

19 Teste de Comparação Suponha que a n e b n sejam séries com termos positivos. Então: Se b n for convergente e a n b n, n N, então também será convergente. 2 Se b n for divergente e b n a n, n N, então também será divergente. a n a n

20 Exemplos Determine se a série diverge. 5 2n 2 converge ou + 4n Teste a série ln n n para convergência ou divergência. 3 Determine se a série n=2 3 n converge ou diverge. 4 Idem para 2 n

21 Exemplos Determine se a série diverge. 5 2n 2 converge ou + 4n Teste a série ln n n para convergência ou divergência. 3 Determine se a série n=2 3 n converge ou diverge. 4 Idem para 2 n

22 Exemplos Determine se a série diverge. 5 2n 2 converge ou + 4n Teste a série ln n n para convergência ou divergência. 3 Determine se a série n=2 3 n converge ou diverge. 4 Idem para 2 n

23 Exemplos Determine se a série diverge. 5 2n 2 converge ou + 4n Teste a série ln n n para convergência ou divergência. 3 Determine se a série n=2 3 n converge ou diverge. 4 Idem para 2 n

24 Os termos da série que está sendo testada devem ser menores que aqueles de uma série convergente ou maiores que aqueles de uma série divergente, caso contrário, o teste de comparação não se aplica.

25 Teste da comparação no limite Suponha que a n > 0 e b n > 0 para todo n N (sendo N um inteiro positivo). a n. Se lim = c, 0 < c <, então tanto a n quanto b n bn convergem ou tanto uma como a outra divergem. 2. Se lim a n b n = 0 e b n converge, então an converge. 3. Se lim a n b n = e b n diverge, então a n diverge.

26 Exemplos Determine se a série 2 Idem para n=2 (lnn) 2. (D) (lnn) 3. (C) n 3 (lnn) 2. (C) n3/2 + n ln n n n 2 + 3n 5 + n 5 converge ou diverge.