Definição: Uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão que representa uma soma de números de uma sequência infinita, da forma:

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1 MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES INFINITAS A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Definição: Uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão que representa uma soma de números de uma sequência infinita, da forma: ou onde: - cada número é um termo da série ( ); - é o n-ésimo termo ou termo geral da série. Sequência de somas parciais de uma série: Definição: (i) A k-ésima soma parcial da série é: (ii) A sequência de somas parciais da série é: Logo: Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: n-ésima soma parcial: Exemplo 1: Série infinita: = Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: Sequência de somas parciais 1

2 Exemplo 2: Série infinita: Os cinco primeiros termos da série infinita: são os seguintes: Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: Quinta soma parcial: A sequência de somas parciais parece se aproximar de 2 como um limite; por exemplo, a 25 o soma parcial é:. Não é difícil verificar que a sequência de somas parciais realmente converte para o limite 2. Parece natural definir a "soma" da série como sendo 2 e escrever: Série convergente: Definição: Uma série converge: é convergente (ou converge) se a sua sequência de somas parciais para algum número real S O limite S é a soma da série : Série divergente: Definição: Uma série é divergente (ou diverge) se a sua sequência de somas parciais diverge. Uma série divergente não tem soma. Exemplo 3: Dada a série: a) Ache 2

3 b) Ache Obs: A série é chamada de Série Telescópica. Por meio de frações parciais: A n-ésima soma parcial da série: Reagrupando, vemos que todos os termos, exceto o primeiro e o último, cancelam-se. Logo, c) Mostre que a série converge e ache a sua soma: Assim, a série converge e tem por soma 1. De acordo com a definição anterior de convergência: Exemplo 4: Dada a série: a) Ache b) Ache c) Mostre que a série diverge Como a sequência de somas parciais oscila entre 1 e 0, segue-se que NÃO EXISTE, logo, a série diverge. 3

4 Série Harmônica Definição: A série harmônica é a série divergente: Demonstração: Similarmente: Em geral, Isso mostra que quando e assim é divergente. Logo, a série harmônica diverge. Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica Definição: seja a série geométrica (i) Converge e tem por soma: se. (ii) Diverge se. Demonstração: Se,. A série diverge pois não existe. Se, A sequência de somas parciais oscila entre a e 0 e a série diverge. Se, (1) e (2) Subtraindo (1) e (2), temos Dividindo por, Consequentemente, = De acordo com a propriedade (8) dos limites (vide material de sequências), (i) se. Assim, e a série converge. (ii) se não existe, consequentemente, não existe e a série diverge. 4

5 Exemplo 3: Dada a série geométrica: Prove que a série converge e ache a sua soma. Solução: Da série geométrica:. Do teorema da série geométrica, como a série converge e tem por soma: Assim, Isso justifica a notação decimal periódica Exemplo 4: Prove que a série geométrica converge e ache a sua soma: A série geométrica converge com e, pois Do Teorema 1:. Teorema 2 - Termo de ordem Se uma série é convergente, seu termo de ordem,, tem por limite 0 quando tende a infinito: Demonstração: n-ésimo termo da série: Se é a soma da série então sabemos que e também. Assim, MAS se, a série NÃO NECESSARIAMENTE converge! (Exemplo, a série harmônica). Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente. Exemplo 5: Série Teste do n-ésimo termo: Exemplo 6: Série Teste do n-ésimo termo: A série Diverge. A série Converge ou Diverge? Verificar! 5

6 Exemplo 7: Série Teste do n-ésimo termo: A série Converge ou Diverge? Verificar! Exemplo 8: Série Teste do n-ésimo termo: A série Diverge. Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo, onde é um inteiro positivo, então ambas as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo, as séries: e São ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de suprimindo-se os primeiros termos. Exemplo 9: Mostre que a série abaixo converge: Solução: Observa-se que esta série é obtida pela supressão dos dois primeiros termos da série telescópica (do Exemplo 3) que é convergente. De acordo com o Teorema 5, a série dada converge! Para verificar, usar frações parciais: logo, e Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma ca, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo. 6

7 Exemplo 10: Mostre que a série abaixo converge e ache a sua soma. Solução: já vimos que a série telescópica converge e ter por soma 1. De acordo com o Teorema 6 (ii), e A série. Converge. A série geométrica converge com soma com e, com r <1 Assim, de acordo com o Teorema 6, a série converge com soma. Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente. Exemplo 11: Estabeleça a convergência ou divergência da série: Solução: série geométrica convergente. série harmônica divergente. Assim, é divergente. 7

8 Lista de Exercícios: 1- Use o método do Exemplo 3 para encontrar: a) b) c) A soma da série, se for convergente (obs: ) Respostas: 1. a) b) c) Converge para. 2. a) b) c) Converge para 1/2. 3. a) b) c) Diverge. 2- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para determinar se a série converge ou diverge; se convergir, ache a sua soma Respostas: 1. Converge para Converge para 3. Converge para. 4. Diverge. 5. Diverge. 3- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para encontrar todos os valores de para os quais a série é convergente e ache a soma da série Respostas:

9 4- Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa. Obs.: a barra indica que os algarismos se repetem indefinidamente Respostas: De acordo com os Teoremas 6 e 7, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Se convergir, ache a sua soma. 1. (Converge) 2. (Converge) (Diverge) 4. (Diverge) 6. Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional. a. b. c. d. 7. Use séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série converge (determinar a sua soma) ou diverge. a. Converge para b. Converge para c. Converge para d. Converge para 9

10 Séries Infinitas de termos positivos Se todos os termos de uma série infinita são positivos, então a sequência de somas parciais deve ser crescente (monótona). Assim, a série infinita é convergente se a sequência de somas parciais tiver limitante superior, já que possui limitante inferior e é monótona. Existem teoremas específicos para este tipo de série. Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos,, e se existe um número (limitante superior) tal que:, a série converge e tem uma soma. Caso contrário, a série diverge. Para saber se a série de termos positivos converge ou não, determinar se a sequência de somas parciais é cotada: se para algum, a série converge e se, a série diverge. Série Hiperharmônica (ou série-p): onde é um número real positivo. Se, temos a série harmônica. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas A série-p (i) Converge se ; (ii) Diverge se. Exemplos: série-p Valor de p Conclusão Converge (i) Diverge (ii) Converge (i) Teste da Integral O teste da integral é um dos teoremas mais importantes para verificar a convergência ou divergência de séries infinitas de termos positivos. O teorema está baseado na teoria de integrais impróprias. O teorema geralmente é muito eficiente desde que as hipóteses exigidas pelo teorema sejam cumpridas. Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por. 10

11 Se é positiva, contínua e decrescente para todo real, A série (i) Converge se (ii) Diverge se converge; diverge. Obs: fazer. Deve-se integrar e tomar um limite. Exemplo 1: Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge. Solução: Substituindo por :. Como é positiva e contínua, provar que também é decrescente para poder aplicar o teste da integral. a) Verificar se a série é decrescente: b) Aplicar o teste da integral: Logo, pelo Teste da Integral (ii), a série Diverge. Exemplo 2: Determine se a série infinita converge ou diverge. se, f é positiva e contínua, mas será que é decrescente? a) Verificar se a série é decrescente:. f é decrescente em. b) Aplicar o teste da integral: Obs: Regra da substituição. Fazer, Assim, Logo, a Série converge (Teste da Integral (i)) quem é S? O número é o VALOR da integral imprópria e NÃO A SOMA DA SÉRIE! Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo, então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo, então diverge. 11

12 Obs: para se usar o Teste da Comparação, é preciso escolher primeiramente uma série adequada e depois provar que ou que. As séries mais usadas para comparação são as séries: harmônica, hiperharmônica e geométrica. Exemplo: Determine se cada série converge ou diverge pelo Teste da comparação. a., Como é convergente. é uma série geométrica convergente, pelo teste de comparação, a série dada também b. Como a série diverge (série-p, com ), a série dada também diverge (desprezando-se o primeiro termo). Se, --> De acordo com o teste de comparação, a série diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos. Se, ambas as séries convergem ou divergem. Obs: Se o limite é ou, ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Dado um como proceder na escolha de? - Conservar os termos de maior magnitude e substituir as constantes por 1: Exemplos (para se escolher o : --> --> --> --> --> --> 12

13 Exemplo: Determine se as séries convergem ou divergem: a. (termo de ordem n de uma série-p divergente, com ). Teste do limite de comparação:. Como e diverge, também diverge. b. Desprezando-se os termos de menor magnitude no numerador e no denominador:, ( Série geométrica convergente). Teste do limite de comparação: Como e converge, também converge. c. Verificamos que ( série-p convergente, com ) Teste do limite de comparação: verificamos que. Como e converge, também converge. Exercícios: 1- (a) Mostrar que a função f determinada pelo n-ésimo termo da série verifica a hipótese do teste da integral (função f deve ser positiva, contínua e decrescente). (b) Usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge (é dado o valor da integral imprópria, quando existe). a. R: (a) Função decrescente (b) A série converge. Valor da integral imprópria:. (obs: aplicar a Regra da substituição na resolução da integral, fazendo e ) 13

14 b. R: (a) Função decrescente. (b) A série diverge. c. R: (a) Função decrescente. (b) A série converge. Valor da integral imprópria:. (obs: aplicar a Regra da substituição na resolução da integral, fazendo e ). d. R: (a) Função decrescente. (b) A série diverge. 2- Usar o teste da Comparação para ver se a série converge ou diverge. a. R: Converge b. R: Converge c. R: Converge 3- Usar o teste da comparação com limite para ver se a série converge ou diverge. a. R: Diverge b. R: Converge c. R: Converge d. R: Converge e. R: Diverge 4- Determine se a série converge ou diverge (usar o teste da comparação ou o teste da comparação com limite). a. R: Diverge b. R: Converge c. R: Diverge d. R: Diverge 14

15 e. R: Diverge f. R: Converge g. R: Converge Observações sobre o teste da Integral Para se efetuar o teste da Integral, os termos devem ser decrescentes e devemos saber integrar. E o que aplicar para resolver séries fatoriais e outras expressões complicadas? Vejamos agora os testes da razão e da raiz. Teorema 13 - Teste da razão Seja uma série de termos positivos e supor. (i) Se, a série é convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da razão. a. R:. Como, a série é convergente (i). b. R:. Como, a série é divergente (ii). c. R: *. Como, a série é divergente. Obs: Definição da série exponencial natural:. Exemplos para quando =1 d. Sugestão: determinar a convergência pelo teste limite da comparação com (série p). 15

16 e. Sugestão: determinar a divergência pelo teste limite da comparação com (série p). f. Sugestão: determinar a divergência pelo teste da integral. Exercícios. Determinar se o teste é inconclusivo. e use o teste da razão para verificar se a série converge, diverge ou a. b. c. d. e. f. Respostas: a.1/2 (Converge). b. Diverge. c.0 (Converge) d.inconclusivo. e.diverge. f.2/7 (Converge). Teorema 14 - Teste da raiz Seja uma série de termos positivos e supor. (i) Se, a série é convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da raiz. a.. Como, a série converge. b.. Como, a série converge. Exercícios. Determinar se o teste é inconclusivo. a. b. c. e use o teste da raiz para verificar se a série converge, diverge ou Respostas: a. Diverge. b. (Converge) c. (Converge) Séries alternadas Definição: Séries infinitas cujos termos trocam de sinal. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) e (ii). 16

17 Exemplo: Determine se a série alternada converge ou diverge: R: Para demonstrar (i): mostrar que é decrescente para.. Assim,, ou seja,. Outra forma para demonstrar: para todo positivo,, Para demonstrar (ii):. Logo, a série alternada converge. Exercícios: Aplique o teorema das séries alternadas para determinar se a série alternada converge ou diverge (verifique as duas condições). a. b. c. R: a. Diverge (ii) b.converge c. Diverge. Séries Absolutamente Convergentes Definição: uma série é absolutamente convergente se a série:... é convergente. Exemplo: prove que a série alternada é absolutamente convergente: Solução: Tomar o valor absoluto de cada termo: Verifica-se que é uma série-p convergente, logo, a série alternada dada é absolutamente convergente. Exemplo: prove que a série harmônica alternada NÃO é absolutamente convergente. Série harmônica alternada: Mostre que a série é: (a) Convergente (b) NÃO absolutamente convergente. (a) Teorema das séries alternadas: (i). (ii). (b) Série harmônica divergente: 17

18 Série Condicionalmente convergente: Definição: Uma série é condicionalmente convergente se se é convergente mas é divergente. Exemplo: série harmônica alternada. Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. A convergência absoluta implica em convergência MAS a convergência não implica em convergência absoluta! Exemplo: Seja a série: onde os sinais dos termos variam de dois em dois e. Determine se a série converge ou diverge. Solução: a série não é alternada e nem geométrica, e também não é uma série de termos positivos!!! Assim, não dá para aplicar nenhum dos testes vistos. MAS se formos verificar a série de valores absolutos, temos: que configura uma série geométrica com.. Convergente. Logo, como a série é absolutamente convergente, ela também é uma série convergente (Teorema 16). Uma série arbitrária pode ser classificada em apenas um dos tipos: (i) Absolutamente convergente (ii) Condicionalmente convergente (iii) Divergente Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta: Seja uma série de termos não-nulos, e supor:. (i) Se, a série é absolutamente convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente. Exercício: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. a) Solução pelo Teste da Razão: (i) Série absolutamente convergente. b) Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação) 18

19 c) Série absolutamente convergente (ex: Teste da comparação) d) Série divergente (ex: Teste das séries alternadas) e) Série condicionalmente convergente (ex: Teste de comparação) f) Série absolutamente convergente (ex: Teste limite de comparação) g) Série absolutamente convergente (ex: Teste da razão) h) Série divergente (ex: Teste das séries alternadas) i) Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação). 19

20 Apêndice - Resumo dos teoremas: Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica Definição: seja a série geométrica (i) Converge e tem por soma: se. (ii) Diverge se. Teorema 2 - Termo de ordem Se uma série é convergente, seu termo de ordem,, tem por limite 0 quando tende a infinito: Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente. Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo, onde é um inteiro positivo, então ambas as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo, as séries: e são ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de suprimindo-se os primeiros termos. Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma ca, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo. Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente. Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos,, e se existe um número (limitante superior) tal que:, a série converge e tem uma soma. Caso contrário, a série diverge. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas A série-p (i) Converge se ; (ii) Diverge se. Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por. Se é positiva, contínua e decrescente para todo real, A série (i) Converge se converge; (ii) Diverge se diverge. 20

21 Obs: fazer. Deve-se integrar e tomar um limite. Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo, então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo, então diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos. Se, ambas as séries convergem ou divergem. Obs: Se o limite é ou, ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Teorema 13 - Teste da razão Seja uma série de termos positivos e supor. (i) Se, a série é convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Teorema 14 - Teste da raiz Seja uma série de termos positivos e supor. (i) Se, a série é convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) (ii). Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta: Seja uma série de termos não-nulos, e supor:. (i) Se, a série é absolutamente convergente. (ii) Se ou, a série é divergente. (iii) Se, verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente. 21

22 Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart. 22