Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral
|
|
- Matilde Soares Antas
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral Objetivos da Aula Contextualizar o cálculo integral, dando ênfase em sua definição como sendo a operação inversa da diferenciação e estudar algumas propriedades fundamentais. Antiderivada Definição Uma unção F é chamada uma antiderivada de f sobre um intervalo I se F (x) = f (x) para todo x em I. Por exemplo, seja. Não é difícil descobrir uma antiderivada de f se mantivermos a Regra da Potência em mente. De fato, se, então F (x) = = f (x). Mas a função G (x) =1/ também satisfaz G (x) =. Conseqüentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H (x) = 1/3 + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f. A questão que se levanta é: Há outras? Para responder a esta questão, lembre-se de que usamos o Teorema de Valor Médio para provar que se duas funções têm derivadas idênticas em um intervalo, então elas devem ser diferentes por uma constante. Faculdade On-line UVB 1
2 Assim, se F e G são duas antiderivadas quaisquer de f, então F (x) = f (x) = G (x) logo G (x) - F (x) = C, onde C é uma constante. Podemos escrever isso como G (x) = F (x) + C. Temos então o seguinte resultado. Teorema [ 1 ] Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f em I é F (x) + C onde C é uma constante arbitrária. Voltando à função f (x) =, vemos que a antiderivada geral de f é 1/3 + C. Atribuindo valores específicos para a constante C obtemos uma família de funções cujos gráficos são verticais transladados de um outro (veja a figura ao lado). Faculdade On-line UVB 2
3 Exemplo 1: Encontre uma derivada mais geral de cada uma das seguintes funções. a) Lembre -se de que Logo, em um intervalo (0, ), a antiderivada de 1/x é ln x + C. Também sabemos que para todo x 0. O Teorema [ 1 ] ao nos diz que a antiderivada geral de f (x) = 1/x é ln x + C em qualquer intervalo que não contém zero. Em particular, isso é verdadeiro em cada um dos intervalos (-, 0) e (0, ). Logo a antiderivada de f é b) Usamos a Regra da Potência para descobrir uma antiderivada de x n. de fato, se n -1, então Assim, a antiderivada de Isso é válido para todo n 0, uma vez que f (x) = x está definida em um intervalo. Se n for negativo (mas n -1), é válido em qualquer intervalo que não contenha zero. Faculdade On-line UVB 3
4 Como no exemplo 1, toda a fórmula de diferenciação, quando lida da direita para a esquerda, dá origem a uma fórmula de antidiferenciação. Na tabela abaixo listamos algumas antiderivadas particulares. Cada fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna direita aparece na coluna da esquerda. Em particular, a primeira fórmula diz que a antiderivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a antiderivada da função. A segunda fórmula estabelece que a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. Usamos a notação F = f, G = g. Faculdade On-line UVB 4
5 Exemplo 2: Encontre todas funções de g tal que Queremos achar uma antiderivada de Usando a fórmula da tabela acima junto com o Teorema [ 1 ] obtemos Nas aplicações do cálculo, é muito comum situações como a do exemplo 2, onde é requerido achar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equação que envolva as derivadas de uma função é chamada equação diferencial. A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante arbitrária (ou constantes), como no exemplo 2. Contudo, podem ser dadas condições extras que irão determinar as constantes e assim especificar univocamente a solução. Integral Indefinida Regras Básicas de Integração Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas uma da outra, descobrimos muitas das regras de integração tentando inicialmente adivinhar a antiderivada F da função f a ser integrada. Tal resultado é então verificado demonstrando-se que F = f. A Integral Indefinida de uma Constante Faculdade On-line UVB 5
6 Para provar este resultado, observe que Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Cada um dos integrandos tem a forma f (x) = k, onde k é uma constante. Aplicando a regra citada acima em cada caso teremos Em seguida, a partir da regra de integração obtemos a seguinte regra de integração. Regra da Potência Uma antiderivada de uma função potência é uma outra função potência obtida do integrando aumentando-se seu expoente de 1 e dividindo-se a expressão resultante pelo novo expoente. Observe: Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Faculdade On-line UVB 6
7 Cada integrando é uma função potência com expoente n -1. Aplicando a regra da potência em cada caso, obtemos o seguinte resultado: Os resultados acima podem ser verificados diferenciando-se cada uma das antiderivadas mostrando que os resultados são iguais aos correspondentes integrandos. Integral Indefinida de um Múltiplo Constante de uma Função A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral indefinida da função. Faculdade On-line UVB 7
8 Atenção: Apenas uma constante pode ser passada para fora do sinal da integral. Por exemplo, seria incorreto escrever Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Cada integrando tem a forma cf (x), onde c é a constante. Aplicando a regra da integral indefinida de um múltiplo constante, iremos obter: onde C = 2K. Deste ponto em diante, denotaremos a constante de integração por C, uma vez que um múltiplo não nulo de uma constante arbitrária é uma constante arbitrária. Regra da Soma e da Diferença A integral indefinida de uma soma ou de uma diferença de duas funções integráveis é igual à soma ou diferença de suas integrais indefinidas. Faculdade On-line UVB 8
9 Exemplo: Encontre a integral indefinida. Aplicando a regra da soma ou diferença de duas funções obteremos: Note que ao combinarmos as três constantes de integração, que surgiram durante os cálculos das três integrais indefinidas, obtivemos apenas uma única constante C. Afinal, a soma de três constantes arbitrárias é também uma constante arbitrária. Regra da Integral Indefinida da Função Exponencial A integral indefinida da função exponencial com base e é igual à própria função (exceto pela constante de integração). Faculdade On-line UVB 9
10 Exemplo: Encontre a integral indefinida. Aplicando a regra da integral indefinida da função exponencial teremos: Regra da Integral Indefinida da Função f (x) = x -1 Esta regra cobre a integração da função f (x) =. Lembre-se de que esta função constitui o único caso excepcional na integração da função potência f (x) = Exemplo: Encontre a integral indefinida. Faculdade On-line UVB 10
11 Abaixo citaremos uma tabela com diversas integrais indefinidas. Tabela de Integrais Indefinidas Faculdade On-line UVB 11
12 Referências Bibliográficas TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol Ed. São Paulo: Atlas, LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, Faculdade On-line UVB 12
Antiderivadas e Integrais Indefinidas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Antiderivadas e Integrais
Leia maisCapítulo 5 Integral. Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: ( )= ( ), para todo I.
Capítulo 5 Integral 1. Integral Indefinida Em estudos anteriores resolvemos o problema: Dada uma função, determinar a função derivada. Desejamos agora estudar o problema inverso: Dada uma função, determinar
Leia mais5 AULA. em Séries de Potências LIVRO. META Apresentar os principais métodos de representação de funções em séries de potências.
LIVRO Métodos de Representação de Funções em Séries de AULA META Apresentar os principais métodos de representação de funções em séries de potências. OBJETIVOS Representar funções em séries de potências.
Leia maisAntiderivadas e Integrais Indefinidas. Antiderivadas e Integrais Indefinidas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Antiderivadas e Integrais
Leia maisSequências e Séries Infinitas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
11 Sequências e Séries Infinitas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Começaremos supondo
Leia maisAlgumas Regras para Diferenciação
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Algumas Regras para
Leia maisUNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
PLANO DE ENSINO Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I C. H. 90 Créditos 6.0.0.0.0 Professor: Rogério Dias Dalla Riva Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Semestre: 1 Período Letivo: 2015/1 1 EMENTA:
Leia maisÁrea e Teorema Fundamental do Cálculo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Área e Teorema Fundamental
Leia maisCapítulo 5 Integrais Múltiplas
Capítulo 5 Integrais Múltiplas 1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida Definição: Uma função será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função num intervalo I se
Leia maisIntegração por Partes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes
Leia maisMatemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade.
1 Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1 Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Funções Trigonométricas Inicialmente, observe pela gura que para ângulos 0
Leia maisPara temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de.
MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo,
Leia maisPLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA
1 PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA Curso: Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações Nome da disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Código: TEL015 Carga horária: 83 horas
Leia maisIntegrais. Parte I I. Integrais Indefinidos [ELL] Definição
Parte I I. Indefinidos [ELL] A taxa de crescimento da população Estafilococos é dada por 21, em milhares de indivíduos por minuto, onde representa o tempo, em minutos. Qual a função que devolve o número
Leia mais(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos
LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS PROGRAMA DE ENSINO DE DISCIPLINA
Curso: Biotecnologia (13) Ano: 2014 Semestre: 1 Período: 1 Disciplina / Unid. Curricular / Módulo: Cálculo Diferencial e Integral I Código: DCE32 (Differential and Integral Calculus I) Carga Horária Total:
Leia maisDa figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo
CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL AULA 09: INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO Como foi visto no tópico 2 da aula 4 a derivada de uma função f representa
Leia maisSéries Potências II. por Abílio Lemos. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT
Séries Potências II por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2018 26 e 28 de setembro de 2018 Se a série de potências c n (x a) n tiver um raio de convergência
Leia mais1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes
Leia maisIntegração por Substituição
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Substituição
Leia maisAula 13 Técnicas de Integração
Aula 13 Técnicas de Integração Objetivos da Aula Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA
Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva
Leia maisMais Sobre Valores Extremos
Mais Sobre Valores Extremos Aula 15 5950253 Plano da Aula Valores Extremos de Funções Teorema de Rolle Funções Crescentes e Decrescentes Teste de Primeira Derivada Exercícios Referências James Stewart
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisLIMITES E CONTINUIDADE
LIMITES E CONTINUIDADE 1 LIMITE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br Definição 1.1 O limite
Leia maisIntegrais. ( e 12/ )
Integrais (21-04-2009 e 12/19-05-2009) Já estudámos a determinação da derivada de uma função. Revertamos agora o processo de derivação, isto é, suponhamos que nos é dada uma função F e que pretendemos
Leia maisConceitos Básicos. Capítulo 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Capítulo 1 Conceitos Básicos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplo 1.1 Algumas equações diferenciais envolvendo a função
Leia maisA Regra Geral da Potência
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A Regra Geral da Potência
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DE ENGENHARIAS
PLANO DE ENSINO 1. IDENTIFICAÇÃO Professor Responsável: Silvana Da Dalt Unidade: Centro de Engenharias Disciplina: Cálculo 2 Código: 1640024 Créditos: 4 Ano: 2015 Carga horária: 68h/aula Semestre letivo:
Leia mais3. Limites e Continuidade
3. Limites e Continuidade 1 Conceitos No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Em outras palavras,
Leia maisDeterminação de uma tangente para o gráfico de uma função. O coeficiente angular da reta tangente em P é
Revisão Determinação de uma tangente para o gráfico de uma função f '( x 0) = O coeficiente angular da reta tangente em P é Taxas de variação: derivada em um ponto A expressão abaixo é chamada de quociente
Leia maisLaboratório de Simulação Matemática. Parte 3 2
Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 3 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2017 2 [Cap. 4] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago
Leia maisFunções e Limites - Aula 08
Funções e Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Março de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma 2013104 - Engenharia de Computação Definição
Leia maisSequências e Séries Infinitas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
11 Sequências e Séries Infinitas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. O Teste
Leia maisCURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS Autorizado pela Portaria no de 04/07/01 DOU de 09/07/01 Componente Curricular: MATEMÁTICA PLANO DE CURSO
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS Autorizado pela Portaria no 1.393 de 04/07/01 DOU de 09/07/01 Componente Curricular: MATEMÁTICA Código: CTB - 120 Pré-requisito: ---------- Período Letivo: 2016.1 Professor:
Leia maisVamos revisar alguns fatos básicos a respeito de séries de potências
Seção 4 Revisão sobre séries de potências Vamos revisar alguns fatos básicos a respeito de séries de potências a n (x x ) n, que serão úteis no estudo de suas aplicações à resolução de equações diferenciais
Leia maisCálculo diferencial de Funções de mais de uma variável
MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 Cálculo diferencial de Funções de mais de uma variável 1. Funções de mais de uma variável 2. Limites de funções de mais de uma variável 3. Continuidade
Leia maisAT4-1 - Unidade 4. Integrais 1. Cálculo Diferencial e Integral. UAB - UFSCar. Bacharelado em Sistemas de Informação. 1 Versão com 14 páginas
AT4-1 - Unidade 4 1 Cálculo Diferencial e Integral Bacharelado em Sistemas de Informação UAB - UFSCar 1 Versão com 14 páginas 1 / 14 Tópicos de AT4-1 1 2 / 14 Tópicos de AT4-1 1 3 / 14 Relação entre funções
Leia maisAula 12 Funções Contínuas
Analise Matemática 1 Aula 12 Funções Contínuas Ano académico 2017 Bibliografia Básica Autor Título Editorial Data Stewart, James Cálculo, Volume 1 Zuma Medeiros, Valéria Demana, Franklin... (et al.) Larson,
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia maisSubstituição Simples.
MÓDULO - AULA 17 Aula 17 Técnicas de Integração Substituição Simples. Objetivo Mostrar como usar a técnica de integração chamada substituição simples. Motivação - O Teorema Fundamental, mais uma vez...
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem
Leia maisIntegração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração Usando
Leia maisUniversidade Federal do Paraná - UFPR Centro Politécnico. Departamento de Matemática Plano de curso
Universidade Federal do Paraná - UFPR Centro Politécnico Departamento de Matemática Plano de curso Disciplina: Cálculo I Código: CM041 Turma: Honours Semestre letivo: 2017/1 Professor: Roberto Ribeiro
Leia mais13 Fórmula de Taylor
13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =
Leia maisFrações Parciais e Crescimento Logístico
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Frações Parciais e
Leia maisApostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral
Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Sumário 1 Integral 5 1.1 Antidiferenciação......................... 5 1.1.1 Exercícios.........................
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares
MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes
Leia maisFEUP - MIEEC - Análise Matemática 1
FEUP - MIEEC - Análise Matemática Resolução da a Chamada - de Janeiro de 9 Respostas a perguntas diferentes em folhas diferentes Justifique cuidadosamente todas as respostas. Não é permitida a utilização
Leia maisDerivadas e suas Aplicações
Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisEstratégias de Integração. Estratégias de Integração
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Estratégias de Integração
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisPLANO DE ENSINO. Anual. Romário Tomilhero Frias Especialista 10 meses
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ Credenciada pelo Decreto Estadual nº 9.538, de 05/12/2013 www.unespar.edu.br PLANO DE ENSINO 1. IDENTIFICAÇÃO ANO LETIVO: 2019 CAMPUS: Apucarana CURSO: Administração GRAU:
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Generalidades Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de: produtos; funções trigonométricas;
Leia maisUniversidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Cálculo III Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia
Leia maisDefinição: Uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão que representa uma soma de números de uma sequência infinita, da forma:
MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES INFINITAS A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas.
Leia mais12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.
1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS
Leia maisTensores (Parte 1) 15 de abril de Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1
Tensores (Parte 1) 15 de abril de 2019 Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1 Introdução Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores introduzindo esse novo conceito que
Leia maisMatemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +
Leia maist 2 se t 0 Determine a expansão em série de potências para a função F (x) = ( 1) n y2n (2n)!, ( 1) n t4n (2n)! (2n)! ( 1) n t4n 2 dt = ( 1) n t 4n 2 )
MAT456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia Escola Politecnica - a. Prova - 8// Turma A a Questão (,) a) Seja cos (t ) f(t) = t se t se t = Determine a expansão em série de potências para
Leia maisDerivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.
Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a
Leia mais1. Estabelecer os conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral para funções de uma variável real.
PLANO DE ENSINO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Semestre Período Disciplina Carga horária 2011 2 Cálculo I Teórica 60 Professor(a) POLYANE ALVES SANTOS Objetivos Prática Total 60 1. Estabelecer os conceitos
Leia maisPolinômios de Legendre
Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Leia maisMAT Cálculo para funções de uma variável II. Revisitando a Função Logaritmo
MAT 1352 - Cálculo para funções de uma variável II Profa. Martha Salerno Monteiro IME-USP - Novembro de 2004 Revisitando a Função Logaritmo Considere a curva y = 1 t, t > 0. Para cada x > 1 defina a função
Leia maisSe f(x) é função derivada da função F(x), então F(x) é a função primitiva de f(x), isto é, F(x) é primitiva de f(x) se: F (x) =f(x)
Material Didático de Apoio INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS. INTRODUÇÃO A partir do estudo de integrais será possível obter informações como: a variação total da produção em um intervalo a partir da
Leia maisUnidade 6 Aplicações do estudo das derivadas
Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Máximos e mínimos de uma função Definição 6.. Dada a função f : I, um ponto x I é chamado de (i) ponto de máximo relativo (ou local) da função quando f ( x)
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia maisDerivadas Parciais Capítulo 14
Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o
Leia maisQuantização do Campo Escalar por Path Integrals
Teoria Quântica de Campos I 91 Quantização do Campo Escalar por Path Integrals (Nastase 9, Peskin 9.2, Ryder 6.1 a 6.5, Ramond 3.1 e 3.2) Usaremos as idéias das últimas 20 página para quantizar o campo
Leia mais13 AULA. Regra da Cadeia e Derivação Implícita LIVRO. META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente.
1 LIVRO Regra da Cadeia e Derivação Implícita 13 AULA META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente. OBJETIVOS Estender os conceitos da regra da cadeia e da derivação implícita de funções
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
Plano de Ensino MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PLANO DE ENSINO Ano Semestre Letivo 2016 1º 1. Identificação Código 1.1 Disciplina: 1.2 Unidade: 1.3 Departamento
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança
Leia maisLIMITES E CONTINUIDADE
LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Leia maisCapítulo 3 Equações Diferenciais. O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, )
Capítulo 3 Equações Diferenciais O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, 1776 1853) Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação
Leia maisFunções. Kuruvilla Joseph Abraham Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Aula 1
Funções Disciplina 590253 Cálculo Diferencial e Integral I Aula 1 Plano da Aula Esboço da Disciplina Introdução Domínio e Imagem Definição de uma Função Intervalos e Exemplos Gráficos Exercícios Referências
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. mai/0 São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto
Leia maisMétodos Matemáticos I. Primitivas. Nos capítulos anteriores interessámos-nos por problemas do tipo:dada uma função, determinar a sua derivada.
Métodos Matemáticos I Capítulo 3 Primitivas 2006/2007 Nos capítulos anteriores interessámos-nos por problemas do tipo:dada uma função, determinar a sua derivada. Ao longo deste capítulo daremos ênfase
Leia maisUNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO PROGRAMA DE DISCIPLINA. Ano letivo: 2017 Semestre: 1
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO PROGRAMA DE DISCIPLINA Ano letivo: 2017 Semestre: 1 DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO CÓDIGO:
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 09 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
. Logaritmos Definição: O logaritmo de um número real x na base n, denotado por log n x, é definido como o expoente ao qual devemos elevar o número n para obtermos como resultado o número x, ou seja log
Leia maisDefinição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas.
Capítulo 6 Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo aberto.
Leia maisFundamentos de Arquiteturas de Computadores
Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Cristina Boeres Instituto de Computação (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas Material de Fernanda Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 1 / 42
Leia maisAula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.
Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Integração Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 1 Introdução Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia,
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV E FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ( Seja f a função definida
Leia mais14.5 A Regra da Cadeia. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
14.5 A Regra da Cadeia Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A Regra da Cadeia Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava uma regra para derivar
Leia maisTEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:
Leia maisExercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da. 3x xy + y 2 + 2x 2 3y = 0
Motivação Exercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da equação 3x 2 + 2 3xy + y 2 + 2x 2 3y = 0 Motivação Exercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da equação 3x 2 +
Leia maisO Teorema do Valor Médio
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 O Teorema do Valor Médio Começamos este texto enunciando um importante resultado sobre derivadas: Teorema do Valor Médio. Suponha que f é uma
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTES DE RECUPERAÇÃO A - 6 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Teste Apresente e justifique
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/30 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)
Leia maisCurso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2
Curso: Engenharia Ambiental Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2 11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2º ORDEM y (x) = f (x,y,y
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA SEGUNDA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações sobre a concavidade do gráfico desta função.
Leia maisBIE Ecologia de Populações
- Ecologia de Populações Roberto André Kraenkel http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Apontamentos de Cálculo e Integral Parte III Sumário 1 Sumário 1 2 Sumário 1 2 3 Sumário 1 2 3 4 Sumário 1 2 3 4 5
Leia maisCaso zero de carregamento: No caso zero de carregamento, aplicamos à isostática o carregamento da hiperestática.
Módulo 4 - Resolução de estruturas uma vez hiperestáticas externamente e com todas as suas barras solicitadas por momento fletor, sem a presença de torção, através do Processo dos Esforços. O Processo
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Função Exponencial. Equações Exponenciais. Primeiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo de Função Exponencial Equações Exponenciais Primeiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 3 de novembro de 018 No material da aula
Leia maisAula 10 Regiões e inequações no plano
MÓDULO 1 - AULA 10 Aula 10 Regiões e inequações no plano Objetivos Resolver inequações do segundo grau. Analisar sistemas envolvendo inequações do primeiro e segundo graus. Resolver inequações modulares
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Complementos ao texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Julho 24 Introdução O texto apresentado tem por objectivo ser um complemento ao texto de apoio ao
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia mais