1 Conjuntos enumeráveis

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1 Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales de maio de 007. Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, ] Q, são os números racionais em [0, ]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0,,, 3, 3, 4, 4, 3 4, 5, 5, 3 5, 4 5, 6,... O fato de que / esteja repetido como /4, 3/6, 4/8,... não tem importância podemos omitir qualquer número que ja esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, ] seja obtido de uma única forma). Definição. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência permitindo repetições). Teorema. Q é enumerável. A demosntração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração. Se os conjuntos são denotados por S i = {s ij }, i, j, então os términos da seqüência s, s, s, s 3, s, s 3, s 4,... formada ao seguir as frechas no desenho S s, s, s 3, s 4,... S s, s, s 3, s 4,... S 3 s 3, s 3, s 33, s 34,... S 4 s 4, s 4, s 43, s 44,... contam possívelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos S i. Portanto a união i S i é enumerável. Para provar o Teorema, é suficiente tomar S, S, S 3, S 4,..., como os conjuntos formados pelos números racionais nos intervalos [0, ], [, 0], [, ], [, ],... respectivamente. O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento diagonal, é devido a Georg Cantor.

2 Teorema. R não é enumerável. Demonstração. Mostraremos apenas que os números reais em 0, ) não são enumeráveis. Seja {s n } uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto 0, ). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números s n. Observamos que os números s n podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão decimal, por exemplo, o número 4,... pode ser escrito como 4+/0+/0 +/ Em geral qualquer número s R pode ser expressado pela série s = a + a k 0 k = a, a 0a a onde a k {0,,..., }, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0,... em lugar de 0, para /5. Seja s = 0, a a a 3... s = 0, a a a 3... s 3 = 0, a 3 a 3 a Se a nn seja b n = e se a nn = seja b n =. Isto define b n para qualquer n. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b b b 3... converge a um número real b em 0, ) o qual é diferente de qualquer s n, sendo que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {s n } é dada pelos números s = s = s 3 = s 4 = logo a = b = a = 3 b = a 33 = b 3 = a 44 = 5 b 4 = Assim b = 0,... 0, ), o qual poderia levar a pensar que b = s N, para algun N N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de s N no N-ésimo decimal. Concluímos que não é possível dispor numa seqüência todos os números em 0,), isto é, R não é enumerável. Conjuntos nulos A noção de integral esta intimamente ligada ao conceito de área. Alguns dos problemas da integral de Riemann dependem deste fato. Por exemplo, seja Esta prova também é devida a G. Cantor. f = Q )

3 definida para x [0, ]. Esta função é igual a nos números Q [0, ], e zero em [0, ] \ Q. Logo a integral de f em [0, ] devera ser igual ao cumprimento do conjunto Q [0, ]. Mas como poderá ser definido o cumprimento de Q [0, ], ou [0, ] \ Q, sendo estes conjuntos bem diferentes dos intervalos ussuais em R? Resulta portanto necessário extender a noção de cumprimento para conjuntos mais gerais. A função em ) motivo em parte o desenvolvimento da teoria da integral de Lebesgue. Suponhamos que I é um intervalo limitado em R, por exemplo I = [a, b], I = a, b], I = [a, b) ou I = a, b). O cumprimento de qualquer um destes intervalos é definido como li) = b a. Em particular, l{a}) = l[a, a]) = 0, isto é, o conjunto com um elemento é nulo. Seja N um conjunto finito. Mesmo que N não seja um intervalo, temos que ln) = 0, pois o cumprimento de qualquer ponto i N é 0, logo ln) = l i) = li) = 0. Analogamente, se um conjunto pode ser particionado em intervalos disjuntos, então o seu cumprimento é igual a soma dos cumprimentos de cada elemento da partição. Mais geralmente para qualquer conjunto arbitrário) não sempre é possível decompor um conjunto em intervalos. Em lugar disto será considerado um recobrimento enumerável de conjuntos, o qual permite a seguinte generalização da noção de conjunto nulo. Definição. Um conjunto nulo N R é um conjunto que pode ser coberto por uma seqüência de intervalos de cumprimento arbitrariamente pequeno, isto é, para qualquer ε > 0 é possível encontrar uma seqüência {I n : n } de intervalos tais que N I n, e li n ) < ε. Note-se que o recobrimento não precisa ser disjunto. Segue-se da definição que o conjunto { } é nulo. Agora, qualquer conjunto unitário {x} também é nulo. Para verificarmos isto, sejam ε > 0, I = x ε/4, x + ε/4), e I n = [0, 0] para n. Poderiamos ter escolhido I n = 0, 0) =.) Logo li n ) = li ) = ε < ε. Em geral, qualquer conjunto enumerável A = {x, x,...} é nulo. A maneira mais simples de mostrar isto consiste em tomar I n = [x n, x n ] para todo n. Porém, uma breve introdução ao Teorema 3, veja embaixo, fornece um recobrimento de A por conjuntos abertos. Seja ε > 0 e o seguinte recobrimento de A, I = x ε 4, x + ε ) li ) = 4 ε I = x ε 8, x + ε ) li ) = 8 ε I 3 = x 3 ε 6, x 3 + ε ) li ) = 6 ε 3. I n = x n ε n, x n + ε ) n. li ) = ε n 3

4 Dado que n =, então li n ) = ε < ε. n Neste caso temos a seguinte situação: A é a união enumerável de conjuntos com um elemento. Cada um destes conjuntos é nulo, portanto A também é nulo. Em geral é possível enunciar o seguinte Teorema. Teorema 3. Se N k ), k é uma seqüência de conjuntos nulos, então também é nulo. N = Demonstração. Esta prova pode ser estudada numa segunda leitura.) A prova consiste em mostrar que N pode ser coberto por um número enumerável de intervalos, cada um de cumprimento menor que ε. Num primeiro passo fornecemos um recobrimento de cada um dos conjuntos N n utilizando intervalos de cumprimento pequeno. Dado que N é nulo, então existem intervalos Ik, k, tais que lik ) < ε, N Ik. Para N encontramos o sistema de intervalos Ik, k, tais que lik ) < ε 4, N Ik, e em geral para N n consideramos o sistema I n k, k, de cumprimento total ε/n, N k lik n ) < ε n, N n Ik n. A familia enumerável de intervalos {I n k } k,n pode ser disposta numa seqüência J j, j. Por exemplo J = I, J = I, J 3 = I 3,..., de forma que todos os intervalos I n k sejam incluidos. A união destes ùltimos intervalos deve ser igual a união dos I k n, logo N = N n J j. Finalmente calculamos o cumprimento total de todos os conjuntos J j, lj j ) = j= =, = ε. j= li n k ) lik n ) < ε n 4

5 Qualquer conjunto enumerável é portanto nulo. Os conjuntos numeráveis carecem portanto de cumprimento a diferencia dos intervalos comuns de R. Enunciamos agora o seguinte resultado, consequencia dos Teoremas e 3. Teorema 4. Q é nulo. Os conjuntos não enumeráveis também podem ser nulos. surpreendente é apresentado a continuação. Um exemplo deste fato 3 O conjunto ternário) de Cantor Considere o intervalo fechado [0, ] e divida este em três partes iguais. Retire o subintervalo aberto do meio, isto é, retire o intervalo G = /3, /3). O resultado é o intervalo C n = [0, ] \ G = [0, /3] [/3, ]. Divida agora cada um destes intervalos e retire de cada um deles o subintervalo aberto do centro, /, /) e 7/, 8/) respectivamente. Seja G = /, /) 7/, 8/). Neste caso o resultado é o intervalo C = [0, ] \ G G ) = [0, /3 ] [/3, 3/3 ] [6/3, 7/3 ] [8/3, ]. Se continuarmos este processo indefinidamente obtemos o conjunto C = [0, ] \ n G n ) o qual é conhecido como o conjunto de Cantor. conjunto. A figura embaixo apresenta este [0, ] \ G [0, ] \ G G ) S [0, ] \ n Gn Figura : construção do conjunto de Cantor. Observamos que na no n-èsimo passo desta construção C n consiste de n conjuntos fechados disjuntos cada um de cumprimento 3 n. O cumprimento total de C n é portanto /3) n. Para verificarmos que C é nulo, dado ε > 0, escolhemos n o suficentemente grande de tal forma que /3) n < ε. Sendo que C n esta constituido por uma seqüência finita de intervalos cada um de cumprimento menor a ε, da definição de conjunto nulo temos que C n é nulo. Portanto C C n é nulo. Ainda fica por ser demonstrado que C é um conjunto não enumerável. Proposição. C é não enumerável. 5

6 Demonstração. A prova disto segue de perto a demonstração do Teorema, mas agora é considerada a expansão ternária do número x C, isto é, x = 0 + a k 3 k = 0, a a..., onde a k = 0, ou. Analogamente a demostracao do Teorema, por racoes de consistencia escolhemos 0, como a representacao de /3, descartando a outra alternativa 0,.... Observamos que os números com expansão ternária com a = formam o intervalo aberto /3, /3), dado que /3 = e /3 = Isto é, o conjunto C esta formado pelos pontos em [0, ] que apresentam expansão ternária a = 0 ou a =. O mesmo raciocínio pode ser utlizado sobre os intervalos [0, /3], [/3, ] mostrando que C esta formado pelos pontos de [0, ] que apresentam expansão ternária com a e a iguais a 0 ou. Concluímos por indução que o conjunto de Cantor, C, esta formado pelos números de [0, ] com expansão ternária 0, a a a 3... sendo a n = 0 ou para todo n. Suponha agora que s, s, s 3,... é uma seqüência dos números em C. Então em notacao ternária s = 0, a a a 3... s = 0, a a a 3... s 3 = 0, a 3 a 3 a onde cada a ij é 0 ou. Se a nn = 0 então b n = e se a nn = então b n = 0. Desta forma a expansão ternária converge a um elemento b C 0, b b b 3..., mas b é diferente de qualquer s n dado que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. 4 A função de Cantor O conjunto de Cantor pode ser utilizado para definir uma função com propriedades interessantes. Esta função pode ser definida como / se x [ 3, 3 ] /4 se x [ Cx) =, ] 3/4 se x [ 7, 8 ].. Em cada intervalo descartado na construção do conjunto C, a função Cx) é constante. Logo Cx) é diferenciável com derivada 0 nos pontos [0, ] \ C, e dado que C é um conjunto nulo, temos que C x) = 0 em quase todas partes 3 A função de Cantor é apresentada na figura para n =, 3, 4, e formalmente C x) = 0, λ-q.t.p. 6

7 Figura : funções de cantor para n =, 3, 4 e 50. 7