Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão

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Manuel Gesser Zagalo
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1 Séries Numéricas Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

2 Séries Numéricas A soma dos termos de uma sequência a n é denominada de série de termo geral e é denotada por S n = a n. Neste caso, a n é denominado de termo geral da série. Definição Quando S n converge, dizemos que a série é convergente. Quando S n diverge, dizemos que a série é divergente. Propriedades Se a n e b n são séries convergentes, então (an + b n ) = a n + b n (λan ) = λ a n a n a n caso a n for convergente. n 0

3 Limite do Termo Geral Séries Numéricas Teorema A série a n converge então lim n a n = 0. Corolário (teste do termo geral) Se lim n a n 0, então a série a n diverge. Avalie a convergência da série Exercício 1 n n + 1. Avalie a convergência da série ( 1) n n 2 (n + 1) 2.

4 Séries Geométricas Séries Numéricas Definição a 0 r n (a 0 0 e r 0) é denominada se série geométrica. n=0 Teorema (séries geométricas) r < 1. Neste caso, Determine o valor de a 0 r n (a 0 0) converge se, e somente se n=0 n=0 n=0 a 0 r n = a 0 1 r 1 2 2n+3.

5 Exercício 2 Determine o valor de n=2 1 e 3n+1. Escreva a dizima 7, utilizando uma fração. Exercício 3 Escreva as dizimas 0, e 0, utilizando frações.

6 Séries Alternadas Séries Numéricas Definição A série ( 1) n a n com a n positivo é denominado de série alternada. Teorema (teste de Leibiniz para série alternada) A série alternada ( 1) n a n com an = 0 e an decrescente (não crescente) é convergente. Além disso, o erro lim n de aproximação do valor da série pela soma parcial S n é no máximo a n+1. Avalie a convergência da série n=0 ( 1) n 2n + 1. Exercício 4 Avalie a convergência das séries n=1 ( 1) n n ln n e ( 1) n (n 10,5). 2 n=0

7 Séries de termos positivos No caso de séries de termos positivo, a soma parcial sempre é crescente. Assim, se ela for limitada superiormente, será convergente. Teorema (teste da integral) A série a n com a n = f (n) onde f é uma função contínua, positiva e decrescente para x grande, então a série converge se, e somente se, a integral A f (x) dx converge para algum A. Além disso, o erro cometido pela aproximação do valor da série S pelo soma parcial S N é no máximo Avalie a convergência das séries n e n2 e 1 n ln n. N f (x) dx.

8 p-séries Séries Numéricas Definição As séries 1 são denominadas de p-séries. np Teorema (p-séries) 1 converge se, e somente se, p > 1. np Avalie a convergência da série 1 n. Exercício 5 Avalie a convergência da série 1 (n + 1) 3.

9 Teorema (teste da comparação) Se as séries a n e b n são de termos positivos com a n b n então: Se a n =, temos que b n = ; Se b n converge, temos que a n também converge. Além disso, a n b n. n=n 0 n=n 0 Avalie a convergência da série Exercício 6 Avalie a convergência da série n=1 n=1 1 n(n + 1). e n n.

10 Teorema (teste de comparação forma limite) Se as séries a n e b n são de a n termos positivos com lim = L. Então temos n b n Se L 0, então as séries a n e b n, ambas convergem ou ambas divergem. Se L = 0 e b n converge, então a n também converge. Se L = 0 e a n diverge, então b n também diverge. Avalie a convergência da série Exercício 7 Avalie a convergência da série n=1 n=1 1 n(n + 1). e n n.

11 Testes da Raiz e da Razão Para verificar a convergência das séries sem características especiais, os testes da raiz e da razão são os mais usados. Teorema (teste da raiz) Se r = lim n a n então temos que Se r < 1 a série a n converge. Se r > 1, então a série a n diverge. Se r = 1, o teste não é conclusivo. Avalie a convergência da série Exercício 8 Avalie a convergência da série n=1 e n n 2. ( n=1 ) n n 1 n. 2

12 Teorema (teste da razão) Se r = lim a n+1 a n Se r < 1 a série a n converge. Se r > 1, então a série a n diverge. Se r = 1, o teste não é conclusivo. Avalie a convergência da série n=1 então temos que n 2 n!.

13 Exercício 9 Deixa-se cair uma bola da altura de a metros. Cada vez que a bola atinge o solo, após cair de uma altura h metros, ela volta a subir 0,75h metros. Determine a distância total percorrida pela bola. Resposta: 7a metros Exercício 10 Expresse a dízima periódica 1, como uma série infinita e expresse sua soma como razão p/q. Resposta:

14 Exercício 12 A figura abaixo mostra os quatro primeiros termos de uma série infinita de quadrados. O quadrado exterior tem uma área de 4m 2 e cada um dos outros é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Encontre a soma das áreas de todos os quadrados. Resposta: 8 m 2

15 Exercício 13 Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta: (a) s n = 5( 1) n n (b) s n = 2 n+1 5 n (c) s n = ln 1 n (d) s n = 1 2 n (e) s n = cos(nπ) 5 n (f) s n = ( n ) n (g) s n = n 3 2 n (h) s n = 1 n + 50 (i) s n = n 2 e n (j) s n = 10 n (k) s n = (n + 3)! 3!n!3 n (l) s n = 1 (ln 2) n

16 (m) s n = n n (n) s n = (2 n)n 3 (o) s n = ( 1) n (2n + 1)! (p) s n = 1 ( n) 3 (q) s n = 8 n + 1 (r) s n = (n + 1)! (n + 3)! (s) s n = 1 n7 n (t) s n = 7( 1) n (u) s n = 8 n 2 n (2n)! (v) s n = 1 n n (x) s n = (n + 1)(n + 2) n! (y) s n = ( ) n n 3n + 1 Respostas: (a) conv.; (b) conv.; (c) div.; (d) conv.; (e) conv.; (f) div.; (g) conv.; (h) div.; (i) conv.; (j) conv.; (k) conv.; (l) div.; (m) conv.; (n) div.; (o) conv.; (p) conv.; (q) div.; (r) conv.; (s) conv.; (t) conv.; (u) conv.; (v) conv.; (x) conv.; (y) conv.

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