Cálculo II Sucessões de números reais revisões

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1 Cálculo II Sucessões de números reais revisões Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica António Bento Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2012/2013 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

2 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 1 Definição e exemplos Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural n faz corresponder um e um só número real. Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja, uma sucessão é uma função u: N R. Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação u n em vez de un). António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

3 1 Definição e exemplos Aos valores u 1, u 2,..., u n,... chamamos termos da sucessão e ao valor u 1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo da sucessão; ao valor u 2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo da sucessão; ao valor u 3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo da sucessão; etc À expressão u n chamamos termo geral da sucessão. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 1 Definição e exemplos Escreveremos ou ou simplesmente u 1, u 2,..., u n,...), u n ) n N, u n ) para indicar a sucessão u. O conjunto un) = {u n : n N} designa-se por conjunto dos termos da sucessão u n ) n N. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

4 1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões a) Façamos u n = 1 para todo o n N, isto é, 1, 1,..., 1,...) é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c R e fazendo v n = c para qualquer n N, temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso vn) = {c}. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões continuação) b) Consideremos a sucessão de termo geral u n = 1) n. O primeiro termo desta sucessão é u 1 = 1) 1 = 1. O segundo termo desta sucessão é u 2 = 1) 2 = 1. O terceiro termo desta sucessão é u 3 = 1) 3 = 1. O quarto termo desta sucessão é u 4 = 1) 4 = 1. E assim sucessivamente. Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 e que os termos de ordem ímpar são todos iguais a 1. Assim, a lista que se segue dá-nos todos os termos da sucessão 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... e o conjunto dos termos desta sucessão é un) = { 1, 1}. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

5 1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões continuação) c) Seja u a sucessão definida por u n = n. Então un) = N. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões continuação) d) Seja u n = 1 para todo o n N. n Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas: 1, 1 2, 1 3, 1 4,..., 1 ) n,..., ou ) 1, n n N ou ) 1. n { } 1 Neste exemplo temos un) = n : n N. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

6 1 Definição e exemplos Observação O exemplo a) mostra que e u n ) n N un) são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem ser confundidas. Neste exemplo tem-se u n ) = 1, 1, 1,..., 1,...), enquanto que un) = {1}. Algo de semelhante acontece no exemplo b). António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

7 2 Sucessões limitadas Uma sucessão u n ) n N diz-se limitada se existirem números reais a e b tais que a u n b para todo o n N; ou ainda, se existirem números reais a e b tais que u n [a, b] para todo o n N. Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma [ c, c], para algum c R, uma sucessão u n ) é limitada se existir um número real c > 0 tal que u n [ c, c] para todo o n N, o que é equivalente a existe c > 0 tal que u n c para todo o n N. As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 2 Sucessões limitadas Exemplos a) A sucessão de termo geral u n = 4 + 1) n = { 3 se n é ímpar; 5 se n é par; é limitada pois 3 u n 5 para qualquer número natural n. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

8 2 Sucessões limitadas Exemplos continuação) b) Consideremos a sucessão de termo geral u n = n + 2 n. Como podemos concluir que n + 2 n = n n + 2 n = n 1 u n 3 para cada número natural n. Assim, esta sucessão é limitada. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 2 Sucessões limitadas Exemplos continuação) c) A sucessão u n = n 2 não é limitada. De facto, u 1 = 1; u 2 = 4; u 3 = 9; u 4 = 16;... pelo que a sucessão não é limitada superiormente. d) A sucessão de termo geral v n = n também não é limitada pois v 1 = 1; v 2 = 2; v 3 = 3;... ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

9 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 3 Sucessões monótonas Uma sucessão u n ) n N diz-se crescente se u n+1 u n para todo o n N e diz-se decrescente se u n+1 u n para todo o n N. Equivalentemente, u n ) n N é crescente se u n+1 u n 0 para todo o n N e é decrescente se u n+1 u n 0 para todo o n N. Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

10 3 Sucessões monótonas Exemplos de sucessões monótonas a) Consideremos a sucessão de termo geral u n = 2n 1 n + 1. Como u n+1 u n = 2n + 1) 1 n + 1) + 1 2n 1 n + 1 = 2n + 1 n + 2 2n 1 n + 1 = 2n + 1)n + 1) 2n 1)n + 2) n + 1)n + 2) = 2n2 + 2n + n + 1 2n 2 + 4n n 2) n + 1)n + 2) = 2n2 + 3n + 1 2n 2 3n + 2 n + 1)n + 2) = 3 n + 1)n + 2) 0 para qualquer número natural n, a sucessão é crescente. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 3 Sucessões monótonas Exemplos de sucessões monótonas continuação) b) Para a sucessão de termo geral u n = 2n + 1, temos n u n+1 u n = 2n + 1) + 1 n + 1 = 2n + 3 n + 1 2n + 1 n = 2n + 1 n 2n + 3)n 2n + 1)n + 1) nn + 1) = 2n2 + 3n 2n 2 + 2n + n + 1) nn + 1) = 2n2 + 3n 2n 2 3n 1 nn + 1) = 1 nn + 1) 0 para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

11 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 4 Sucessões convergentes Dados uma sucessão u n ) n N e um número real a, dizemos que u n ) converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N N tal que u n a < ε para todo o número natural n > N. A condição é equivalente às condições u n a < ε ε < u n a < ε, a ε < u n < a + ε e u n ]a ε, a + ε[. Assim, uma sucessão u n ) converge ou tende para um número real a se para qualquer ε > 0, existe N N tal que a ε < u n < a + ε para cada número natural n > N; ou se para qualquer ε > 0, existe N N tal que u n ]a ε, a + ε[ para cada número natural n > N. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

12 4 Sucessões convergentes Geometricamente, uma sucessão u n tende para a se dado ε > 0 todos os termos da sucessão estão na faixa limitada pela rectas y = a ε e y = a + ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra esse facto. a + ε a a ε N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4 Interpretação geométrica do limite de uma sucessão António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 4 Sucessões convergentes Qualquer uma das notações lim u n = a, n lim n u n = a, lim n u n = a, lim u n = a, u n a é usada para exprimir o facto de que a sucessão u n ) converge para a. Uma sucessão u n ) n N diz-se convergente se existe um número real a tal que u n a. As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

13 4 Sucessões convergentes As sucessões constantes são convergentes. Se u n = c para qualquer número natural n, temos u n c =0 para cada n N, pelo que, dado ε > 0, tomando N = 1 vem Logo u n ) converge para c. u n c < ε para qualquer n > N. A sucessão de termo geral u n = 1 converge para zero. De facto, dado n ε > 0, basta escolher um número natural N tal que Nε > 1 e, por conseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N, temos o que prova que u n 0. u n 0 = 1/n < 1/N < ε, António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 4 Sucessões convergentes Unicidade do limite Sejam u n ) uma sucessão e a e b dois números reais. Se u n a e u n b, então a = b. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

14 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites Dadas duas sucessões u = u n ) n N e v = v n ) n N de números reais, define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujo termo de ordem n é u n + v n, isto é, u + v) n = u n + v n. De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente de u e v este último apenas na hipótese de se ter v n 0 para todo o n N): u v) n = u n v n, uv) n = u n v n e, na hipótese de v n 0 para todo o n N, u v ) n = u n v n. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

15 5 Operações com limites Assim, se u e v são as sucessões dadas por ) 1, 4, 9,..., n 2,... e 1, 12, 13,..., 1n ),..., respectivamente, então u + v é a sucessão dada por 1 + 1, , ,..., n2 + 1 ) n,... = 2, 9 2, 28 ) 3,..., n3 + 1 n,... e a diferença de u e v, u v, é a sucessão 1 1, 4 1 2, 9 1 3,..., n2 1 n,... ) = 0, 7 2, 26 ) 3,..., n3 1 n,.... António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites Continuando a usar as sucessões u e v dadas por ) 1, 4, 9,..., n 2,... e 1, 1 2, 1 3,..., 1 ) n,..., o produto uv é a sucessão 1.1, 4. 12, 9.13,..., n2. 1n,... ) = 1, 2, 3,..., n,...) e o quociente u v é a sucessão 1 1, 4 1/2, 9 1/3,..., n 2 ) ) 1/n,... = 1, 8, 27,..., n 3,.... António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

16 5 Operações com limites As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos. O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo. Exemplo Para todo o x R, temos lim n sennx) n sennx) n = 1 n sennx) = 0. De facto, é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto, converge para zero. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites Álgebra dos limites Sejam u n ) e v n ) sucessões tais que lim u n = a e lim v n = b. Então a) u n + v n ) n N é convergente e b) u n v n ) n N é convergente e c) u n. v n ) n N é convergente e limu n + v n ) = lim u n + lim v n = a + b; limu n v n ) = lim u n lim v n = a b; limu n. v n ) = lim u n. lim v n = a. b; ) un d) se b 0 e v n 0 para todo o n N, é convergente e lim un v n ) v n n N = lim u n lim v n = a b. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

17 5 Operações com limites Suponhamos que u n a e que todos os termos u n pertencem ao domínio de uma função f. Se f é contínua em a, então fu n ) fa). Como consequência imediata temos a seguinte propriedade. Seja u n ) uma sucessão convergente para a R e p > 0. Então a) se u n a, então u n ) p a p ; b) se u n 0 para todo o n N e u n a, então p u n p a. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos números naturais. Se lim fx) = a, x + então lim fn) = a. Exemplo Como temos lim x = e, x + x) lim n = e. n) António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

18 5 Operações com limites Teorema da sucessão enquadrada Sejam u n ), v n ) e w n ) sucessões e suponha-se que existe uma ordem p N tal que u n v n w n para todo o número natural n > p. Se u n a e w n a, então v n a. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada Vejamos que n 2 2. Como n n + 1 n) 2 = n) 2 = n e n 2, pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter n 2 2. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

19 5 Operações com limites Toda a sucessão convergente é limitada. Observação O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral u n = 1) n é limitada, mas não é convergente. Todas as sucessões ilimitadas são divergentes. Exemplo Já vimos que a sucessão de termo geral u n = n 2 não é limitada. Logo não é convergente. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 5 Operações com limites As sucessões monótonas e limitadas são convergentes. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

20 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 6 Subsucessões Se u n ) é uma sucessão e n k ) é uma sucessão de números naturais estritamente crescente, isto é, a sucessão diz-se uma subsucessão de u n ). n 1 < n 2 <... < n k < n k+1 <..., u nk ) = u n1, u n2,..., u nk,...) António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

21 6 Subsucessões As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para o mesmo limite da sucessão. Exemplo A sucessão de termo geral u n = 1) n é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valores diferentes. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 6 Subsucessões Teorema de Bolzano-Weierstrass Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

22 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam, merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamente grandes. Diz-se que uma sucessão u n ) tende para mais infinito ou que é um infinitamente grande positivo, e escreve-se u n +, ou lim u n = +, se para cada L > 0, existe N N tal que u n > L para qualquer natural n > N. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

23 7 Infinitamente grandes Se u n + diz-se que u n ) tende para menos infinito ou que a sucessão u n ) é um infinitamente grande negativo e escreve-se u n, ou lim u n =. Diz-se ainda que u n ) tende para infinito ou que u n ) é um infinitamente grande se u n + e escreve-se u n ou lim u n =. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Exemplos A sucessão de termo geral u n = n tende para mais infinito, a sucessão de termo geral v n = n tende para menos infinito e a sucessão de termo geral w n = 1) n n tende para infinito. A sucessão w n ) é um exemplo de um infinitamente grande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem um infinitamente grande negativo. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

24 7 Infinitamente grandes Observações a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandes negativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral w n = 1) n n mostra que o contrário nem sempre se verifica. b) Resulta imediatamente da definição que se u n +, então u n ) é limitada inferiormente. c) Da definição resulta imediatamente que se u n ) e v n ) são duas sucessões tais que u n v n a partir de certa ordem e u n +, então v n +. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Sejam u n ) e v n ) duas sucessões de números reais. a) Se u n + e v n ) tende para a R ou para +, então u n + v n ) +. b) Se u n e v n ) tende para a R ou para, então u n + v n ). c) Se u n e v n ) tende para a R, então u n + v n ). António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

25 7 Infinitamente grandes Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que se adoptem as convenções + ) + a = + = a + + ) ) + a = = a + ) + a = = a + + ) + + ) = + ) + ) = onde a é um número real qualquer. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Observação Se u n + e v n, então nada se pode dizer sobre u n + v n ) pois em alguns casos u n + v n ) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemos nenhuma convenção para o símbolo + ) + ); este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo de semelhante acontece com. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

26 7 Infinitamente grandes Sejam u n ) e v n ) duas sucessões de números reais. a) Se u n + e se v n ) tende para a > 0 ou tende para +, então u n.v n +. b) Se u n + e se v n ) tende para a < 0 ou tende para, então u n.v n. c) Se u n e se v n ) tende para a > 0 ou tende para +, então u n.v n. d) Se u n e se v n ) tende para a < 0 ou tende para, então u n.v n +. e) Se u n e v n ) tende para a R \ {0} ou tende para, então u n.v n. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar a regra do limite do produto: + ) a = + = a + ) onde a R + ) a = = a ) onde a R + + ) a = = a + ) onde a R ) a = + = a ) onde a R a = = a onde a R \ {0} + ) + ) = + = ) ) + ) ) = = ) + ) = António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

27 7 Infinitamente grandes Observação Não se faz nenhuma convenção para os símbolos 0 + ), 0 ) e 0, pois são símbolos de indeterminação. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Seja u n ) uma sucessão de termos não nulos. a) Se u n, então 1 0. u n b) Se u n 0, então 1. u n c) Se u n 0 e u n > 0 a partir de certa ordem, então 1 u n +. d) Se u n 0 e u n < 0 a partir de certa ordem, então 1 u n. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

28 7 Infinitamente grandes A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem as seguintes convenções onde 0 + significa que 1 = = = = e 0 significa que u n 0 e u n > 0 a partir de certa ordem u n 0 e u n < 0 a partir de certa ordem. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 7 Infinitamente grandes Observação Os símbolos e são símbolos de indeterminação. 0 0 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

29 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 8 A sucessão de termo geral a n Dado a R, consideremos a sucessão de termo geral u n = a n. Se a > 1, então temos a n +. Quando a = 1, então u n = 1 n = 1 pelo que a sucessão tende para 1. Se a < 1, então a n. Para a = 1 obtemos a sucessão 1) n que já vimos anteriormente. Esta sucessão é divergente. Se 1 < a < 1, então a n 0. António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

30 8 A sucessão de termo geral a n Assim, lim a n = + se a > 1 1 se a = 1 0 se 1 < a < 1 não existe se a = 1 se a < 1 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 8 A sucessão de termo geral a n Exemplos a) Calculemos lim 3 n 2 n ). Como lim 3 n = + e lim 2 n = +, temos uma indeterminação do tipo. No entanto, pondo em evidência 3 n temos )] lim 3 n 2 n ) = lim [3 1 n 2n 3 n 2 n )] = lim [3 n 1 3) = + 1 0) = + 1 = + António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

31 8 A sucessão de termo geral a n Exemplos continuação) b) Calculemos lim 2n + 5 n+1 2 n+1. Temos uma indeterminação pois + 5n lim 2n + 5 n ) 2 n+1 = + 5n ) = + +. Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma lim 2n + 5 n+1 2 n n = lim 2n + 5 n 5 2 n n = lim ) 2 n n 5 n + 5n 5 5 n 2 n 2 5 n + 5n 5 n = lim ) n = = 5 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 Índice 1 Definição e exemplos 2 Sucessões limitadas 3 Sucessões monótonas 4 Sucessões convergentes 5 Operações com limites 6 Subsucessões 7 Infinitamente grandes 8 A sucessão de termo geral a n 9 Exercícios António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

32 9 Exercícios 1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral a) u n = 2 3n 2 b) u n = 1) n n n + 1 c) u n = 2 + 1)n n n d) u n = 2) n u 1 = 1 e) u n+1 = 1 + u n 10 f) u n = n.2 n António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 2) Determine o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeiros termos a seguir listados a) 8, 16, 24, 32,... b) 2, 2, 2, 2, 2, 2,... c) 2, 2, 2, 2, 2, 2,... d) 4, 6, 8, 10, 12, 14,... e) 3, 5, 7, 9, 11, 13,... f) 2, 5, 8, 11, 14,... g) 4, 16, 64, 256, 1024,... António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

33 9 Exercícios 3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões definidas por recorrência: a) b) c) { u1 = 4 u n+1 = 2u n u 1 = 1 1 n u n+1 = u n + 2) u 1 = 1 u 2 = 1 u n+2 = u n + u n+1 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 4) Defina, por recorrência, as sucessões sugeridas pelos primeiros termos listados a seguir a) 1, 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... b) 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

34 9 Exercícios 5) Mostre que são limitadas as sucessões: a) a n = n b) b n = 5 c) c n = 1) n 1 n d) e n = e) f n = 2 5 n 2 f) g n = 3n + 10 n g) h n = 4n n + 3 h) d n = 1 n n 1 se n é par se n é ímpar António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 6) Estude, quanto à monotonia, as sucessões cujos termos gerais são: a) u n = n 2 n b) u n = 2n + 1) n c) u n = 1) n n d) u n = 1) n + 1) n 1 e) u n = 1 2n 1) n f) u n = 1 n + 1 2n g) u n = n + 1 n 2 h) u + 3 n = n n n { u1 = 1 2) j) i) u n = u n! n+1 = n1 + u n ) { u1 = 1 2n 1 se n 15 k) u n+1 = 5 l) u n = u n 5 1 se n > 15 2n António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

35 9 Exercícios 7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral a) a n = 1 n b) b n = n 3 c) c n = n + 1 d) d n = 3n + 2 e) e n = 1 n 1 n f) a n = 2 n n ) 3 n 1 g) d n = h) a n = 6 + 1)n i) a n = 2 2n 7n n + 1 j) a n = 2n + 3 4n m) a n = 7n2 n 3 1 n k) u n = 2n2 + 1 n 2 l) v n = ) n + 1 n) a n = n + 1) 2 + n 3 o) a n = n 2 n 3 ; p) c n = n 3 n 2 q) d n = n 2 n 3 r) e n = n 3 + n se n é par + 1 se n é par s) a n = n 2n 2 + n t) b n = n n 2 se n é ímpar 2 1 se n é ímpar n ) 2 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 8) Calcule a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim 2 n 4 n+1 b) lim 2 n n+1 d) lim 2 n n f) lim n+1 2 n) h) lim [ 1 ) 3 n ] 2 6 n 4 n+1 3 n n 1 2 n 3 n 6 n [ ) n ] António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

36 9 Exercícios 9) Calcule a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim k) lim n) n 1 b) lim n) 8n d) lim n) 3n f) lim 1 1 2n ) n h) lim ) n 1 n j) lim n + 2 ) 5n 2 3n l) lim 5n n n + 3 3n n n n n ) n/2 ) n ) n ) n 2 ) n ) 2 n +1 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 10) Dê exemplos de sucessões a n ) e b n ) tais que a n +, b n + e a) a n b n ) b) a n b n ) + c) a n b n ) 0 d) a n b n ) 3 e) a n b n ) não tem limite f) a n b n 0 g) a n b n + h) a n b n 5 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74

37 9 Exercícios 11) Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes. a) 800 n + 1)n b) )n n c) ) n n d) n 2 [ 1) n + 1] e) 3n + 1) n f) 3 + 1)n n 2 António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74 9 Exercícios 12) Calcule cada um dos seguintes limites: a) lim c) lim 1) n n 2 b) lim n) 2 n 2 d) lim n n n + 2 n 5 n e) lim g) lim i) lim 3 n n 4 f) lim n 2 + n + 3 h) lim n ) n n n 2 j) lim ) n n n 2 n 2n 8n + 1 ) 2n k) lim n n António Bento UBI) Cálculo II 2012/ / 74