Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico

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1 Exercícios de Análise Matemática I/II Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico 8 de Março de 3

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3 Índice Números Reais. Sucessões. 5 Séries 7. Séries numéricas elementares Convergência absoluta e critério de Leibniz Séries de potências Funções Reais de Variável Real. Continuidade e Limites. 3 4 Cálculo Diferencial Noção de derivada. Primeiras propriedades Teoremas de Rolle e Lagrange. Corolários Regras de Cauchy. Indeterminações Teorema de Taylor. Estudo de funções Série de Taylor. Desenvolvimentos em séries de potências Primitivação 95 6 Integral de Riemann 7 6. Definição e primeiras propriedades Teorema fundamental. Regra de Barrow Cálculo de áreas, comprimentos de linha e volumes de sólidos de revolução Introdução à Análise em R n Topologia e sucessões Continuidade e limites Diferenciabilidade Teorema da derivação da função composta Teoremas do valor médio e de Taylor Teoremas da função inversa e da função implícita Estudo de extremos

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5 Capítulo Números Reais. Sucessões.. Indique, se existirem, os majorantes, os minorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de cada um dos conjuntos: a) V ɛ (a) (onde a é um real e ɛ um real positivo). b) {x : x R x 4 3x 3 + x }. (Grupo I do o Teste de 4//79). Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x R : x x } +, B = [ 3, 4], C = R \ Q. a) Mostre que A B = [ 3, 4 3 ] {4}. b) Indique, se existirem em R, sup A, min(a B), max(a B), inf(a B C), sup(a B C) e min(a B C). (Pergunta do Grupo I do Exame de a Época de 8//97).3 Considere os seguintes subconjuntos de R: { } A = n : n N, B = R \ Q, C = {x R : log x }. Indique, se existirem em R, o inf A, min(a C), sup(a C), inf(a C), min(b C) e o sup(a B). (Pergunta do Grupo I do Exame de a Época de 7//97).4 Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x : x R \ Q x > }, B = Para cada um dos conjuntos A, B e C: a) Indique o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes. { } x x : x + 3, C = A B. b) Indique o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo, no caso de existirem. (Grupo I do o Teste de 7/4/79) 5

6 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES..5 Considere os conjuntos { A = x R : x } x, B = {x R : log x }. Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. (Pergunta do Grupo I do o Exame de 6//95).6 Considere os conjuntos { } x A = x R : e x (x + ), B = { x R : e x e x}. Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. (Grupo I da a Época de 4//95).7 Considere os conjuntos } A = {x R : ex x, B = {x R : lim x n }, C = A B. Para cada um dos conjuntos A e C, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. (Pergunta do Grupo I do o Exame de 3//95).8 Considere os conjuntos { } } A = x R : log x, B = { ( )n : n N. n Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. (Pergunta do Grupo I do o Exame de 9//94).9 Indique se são majorados, minorados, limitados os seguintes subconjuntos de R: { y A = {x : x 3 = x }, B = y : y < y }. y Indique ainda (se existirem, em R) o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de cada um desses conjuntos. Resolução: A = {x R : x 3 = x } = {x R : x 3 = x } (Grupo Ia da Repetição do o Teste de 9/4/8) = {x R : x 3 = x ou x 3 = x} = { 3, }, { y B = y R : y < y } { y = y R : y y y } < y { = y R : y } y(y ) < = {y R : y < /, y <, y < } {y R : y < /, y >, y > } {y R : y > /, y <, y > } {y R : y > /, y >, y < } = ], [ ]/, [. 6

7 Como A = { 3, } e B = ], [ ]/, [ conclui-se que A é limitado e B é apenas majorado. Portanto sup A =, inf A = 3, sup B =, B não tem ínfimo em R, max A =, min A = 3 e B não tem máximo nem mínimo em R.. Seja A um subconjunto de R, majorado e não vazio e seja m um majorante de A, distinto do supremo deste conjunto. Mostre que existe ɛ > tal que V ɛ (m) A =. (Grupo Ib do Exame Final de 3/4/8). Sendo A um subconjunto majorado e não vazio de R e α = sup A, prove que, para qualquer ɛ >, o conjunto V ɛ (α) A é não vazio. Na hipótese de α não pertencer a A, o conjunto V ɛ (α) A pode ser finito? Justifique a resposta. (Grupo IVa do Exame Final de /5/79). Sendo U e V dois subconjuntos majorados e não vazios de R, tais que sup U < sup V, justifique (de forma precisa e abreviada) as afirmações seguintes:. Se x U, então x < sup V.. Existe pelo menos um y V tal que y > sup U. (Grupo Ib da Repetição do o Teste de 9/4/8).3 Prove que, se X e Y são dois subconjuntos de R tais que sup X > inf Y, existem x X e y Y tais que y < x. (Grupo IVa da Prova de 6/7/78).4 Sejam A e B dois subconjuntos de R.. Prove que, se sup A < inf B, A e B são disjuntos;. Mostre, por meio de exemplos, que se for sup A > inf B sup B > inf A, A e B podem ser ou não ser disjuntos. (Pergunta b do Ponto n o, Exame Final de 7/7/7).5 Sejam A e B dois subconjuntos majorados e não vazios de R e sejam α = sup A, β = sup B. Justifique que o conjunto C = A B tem supremo e, designando-o por γ, prove que γ = max{α, β}. (Grupo IVa do Exame Final de 4/5/79).6 Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x : sen x }, B = {x : x < π}, C = A B.. Para cada um dos conjuntos A, B e C: (a) Indique se o conjunto tem ou não majorantes e minorantes (em R) e, se existirem, quais são. (b) Indique o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo dos mesmos conjuntos, no caso de existirem.. Apenas para o conjunto C: 7

8 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES. (a) Indique o menor intervalo que contém esse conjunto (de forma mais precisa: indique um intervalo I que contenha o conjunto C e esteja contido em qualquer intervalo que contenha C). (b) Dê um exemplo de uma sucessão convergente, cujos termos pertençam a C e cujo limite não pertença ao mesmo conjunto. (Grupo I do o Teste de /3/78).7 Prove que, para todo o número natural n 4, se tem (n!) > n n. (Pergunta do Grupo I do Exame de a Época de 7//97).8 Demonstre pelo princípio da indução matemática as seguintes identidades: a) (n ) = n, n N. b) n(n+) = n n+, n N..9 Demonstre que a) n! (n ), n N. b) 3n n! < 9 n para qualquer número natural n 4.. Demonstre a desigualdade de Bernoulli: Sendo a >, n N, ( + a) n + na.. Demonstre, pelo princípio da indução matemática, o binómio de Newton: (a + b) n = n p= ( ) n a n p b p, n N, a, b R. p Recorde que ( n p) designa, em análise combinatória, as combinações de n elementos p a p, e tem-se ( ) n n! = (.) p p!(n p)! (n! = n(n )(n ) 4 3 ). Uma propriedade importante é a seguinte, ( ) ( ) ( ) n + n n = +, k k k cuja demonstração se reduz ao cálculo destes valores por aplicação da expressão (.).. Calcule os limites das sucessões de termos gerais ( u n = + ) n, v n = [( )n + 3] n. n (n)! (Pergunta do Grupo I do o Exame de 9//94).3 Calcule, se existir, o limite de cada uma das sucessões definidas como se segue: a) v n = n n, 8

9 b) w n = an n, onde a R. (Perguntas bc do Grupo I do Exame A da Época Especial de 7//95).4 Indique, justificando abreviadamente, o conjunto dos sublimites de cada uma das sucessões de termo geral a n = sen nπ nπ + cos, b n = e ( n ) n. (Pergunta 3 do Grupo I do Exame de a Época de 7//97).5 Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: a) Qualquer sucessão crescente de termos em ], [ converge. b) Se (u n ) e (v n ) são sucessões limitadas, o conjunto dos sublimites da sucessão (u n + v n ) é não vazio. c) Se (u n ) é uma sucessão tal que, para todo o n N, u n ], [ e u n+ ], [, então (u n ) é divergente. (Pergunta do Grupo I do o Exame de 6//94).6 Sejam (x n ) e (y n ) sucessões tais que (x n ) é crescente e, para todo o n N, x n y n. Mostre que, se (y n ) é convergente, o mesmo acontece com (x n ) e estabeleça, nesse caso, uma relação entre lim x n e lim y n. (Pergunta do Grupo I do Exame de Época Especial de 7//95).7 Sejam (x n ) e (y n ) duas sucessões reais tais que, para qualquer n N, x n y n. Mostre que se lim x n = + então também lim y n = +. (Pergunta 3 do Grupo I do o Exame de 9//94).8 Considere os conjuntos { A = x R : x } x, B = {x R : log x }. o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. o Indique, justificando, quais das proposições seguintes são verdadeiras e quais são falsas: a) Toda a sucessão monótona de termos em B é convergente. b) O conjunto dos sublimites de uma sucessão de termos em A é não vazio. c) Se (x n ) é sucessão de termos em A, xn n é divergente. d) Se a B, a série + n= an n é convergente. (Grupo I do o Exame de 6//95).9 Considere os seguintes subconjuntos de R: { A = x : x } x, B = 9 { x : n N x n < }.

10 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES.. Indique, justificando, se A e B são majorados, minorados, limitados e se têm máximo, mínimo, supremo ou ínfimo.. Dê um exemplo de uma sucessão cujos termos pertençam ao conjunto B e que não seja limitada. Seria possível dar o exemplo pedido se, em vez de B, se considerasse o conjunto A? Justifique. (Grupo I do o Teste de 6/3/8).3 Seja A um subconjunto de R, com supremo s. Prove que existe uma sucessão x n, de termos em A, convergente para s. Prove ainda que, se A não tem máximo, a sucessão x n pode ser escolhida por forma que seja estritamente crescente. (Grupo IVa do Exame Final de /9/79).3 Considere u n = sen[( ) n ( π n+ )]. Determine o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes do conjunto dos termos da sucessão. Diga se tem ínfimo, supremo, mínimo ou máximo o conjunto dos termos da sucessão. (Grupo Ib do Exame O.S. de //8).3 Considere as sucessões de termos gerais u n = ( )n n, v n = [ + ( ) n ]n, w n = n+ n + e indique, justificando abreviadamente as respostas:. as que são monótonas, as que são limitadas e as que são convergentes;. o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo (se existirem) do conjunto dos termos de cada uma das sucessões consideradas. Resolução: Quanto a (u n ), u n = (Grupo Ia do Exame Final de 3/4/8) ( )n n = n < para qualquer n, logo (u n ) é limitada. (u n ) não é crescente, pois, por exemplo, u 3 < u ; nem é decrescente pois, por exemplo, u > u. (u n ) é convergente para pois u n n e n tende para. Quanto a (v n ), v n = ( + ( ) n )n = + ( ) n n, logo (v n ) não é limitada pois dado M é sempre possível encontrar n tal que v n > M; com efeito, escolhendo n par tal que n > M virá v n = n > M. (v n ) não é decrescente, pois, por exemplo v < v, nem crescente pois v > v 3. (v n ) não é convergente pois se o fosse seria limitada e não o é. Quanto a (w n ), w n = + n o que permite reconhecer que (w n ) é uma sucessão de termos crescente e com todos os termos menores que o seu limite que é e todos os termos maiores ou iguais ao primeiro que vale 4/3..33 Das sucessões de termos gerais a n = ( ) n, b n = 3n3 + 3n + n 3, c n = a n b n, d n = n + 4 n 3 3 n+ indique, justificando as respostas, as que são limitadas e as que são convergentes (indicando neste caso os respectivos limites). (Grupo IIa do o Teste de 7/4/79)

11 .34 Das sucessões de termos gerais u n = ( )n+, v n = nn+ n n n +, w n = u n v n indique, justificando abreviadamente as respostas, as que são limitadas e as que são convergentes..35 Calcule (se existirem) os limites das sucessões de termos gerais: u n = cos(nπ) + cos(nπ), v n = n (Grupo IIa do o Teste de /3/78) (n + )! n!, w n = n n!(n + ) + n. (Grupo IIa da Repetição do o Teste de 9/4/8) Resolução: u n é da forma a n b n onde a n = cos(nπ) + cos(nπ) é limitada (pois a n = cos(nπ) + cos(nπ) cos(nπ) + cos(nπ) + = ) e b n = n. Logo u n. (n + )! n! n!((n + ) ) v n = = = n n!(n + ) n!(n + ) n +. Logo v n. Como w n = n + n < n n e, como n n, também w n..36 Indique, justificando abreviadamente a resposta, o conjunto dos valores reais de a para os quais a sucessão de termo geral x n = an é: +n i) convergente; ii) divergente, mas limitada. (Grupo IIb da Repetição do o Teste de 9/4/8).37 Para cada a R determine, quando existam, os limites das sucessões de termos gerais: a) an an +, b) a n a n +. (Grupo II do o Teste de 4//79) Resolução: a) Se a = vem u n = an an + = e lim u n =. Se a tem-se u n = an an + an an = n. Logo u n. b) Se a > tem-se u n = an a n + an a n = a n e lim u n =. Se a < tem-se u n = an a n + e lim u n =. Se a = vem u n = e lim u n =. Se a = vem u n = e u n+ = 3. Logo u n não tem limite.

12 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES..38 Estude, do ponto de vista da convergência, as sucessões de termos gerais: u n = an n n +, v n = bn n, w n = π arctg(cn) onde a, b e c são constantes; em caso de convergência, determine o limite..39 Considere as sucessões seguintes: (Grupo Ia do Exame Final de 4/5/79) u n = an + n + (a + )n com a R, + 3 v n = an + b n com a, b R, + 3 (sen n)n w n = 3 n. Estude-as quanto à existência de limite, obtendo os respectivos limites quando existirem. Indique quais são as limitadas..4 Estude, quanto à convergência, as sucessões de termos gerais: u n = cos(n!π),.4 Das sucessões de termos gerais u n = v n = n cos(nπ) n +, n( + cos(nπ)) + n( cos(nπ)) w n = + an + a n (a R). ( a + e v n = a (Grupo Ia do Exame Final de /9/79) indique, justificando, as que são limitadas e as que são convergentes (no caso de v n a resposta dependerá naturalmente do valor de a, que deve supor-se real e diferente de ). ) n (Grupo Ia da Prova de 6/7/78).4 Determine os limites das sucessões de termos gerais: ( ) n a (3n)! a) u n =, b) v n = n + a (n!) 3, onde a é um número real. (97) Resolução: a) De a + a = a + a < conclui-se imediatamente que lim u n =. b) Sabe-se que se a n para todo n e lim an+ a n Logo lim n a n = 7. = α então lim n a n = α. Com a n = (3n)! (n!) 3 a n+ (3(n + ))! = a n ((n + )!) 3 (n!)3 (3n + 3)(3n + )(3n + ) = (3n)! (n + ) 3 7n3 n 3 = 7. tem-se Sendo u n e v n duas sucessões de termos não nulos, escreveremos u n v n sse lim(u n/v n) = ; é claro que sendo u n v n, se uma das sucessões tiver o limite α R, a outra tenderá também para α.

13 .43 Prove que a soma de duas sucessões limitadas é uma sucessão limitada. (Grupo IIb do o Teste de 6/3/8).44 Seja a n o termo geral de uma sucessão tal que, para todo o n N, < a n < a n+ <.. Justifique que a sucessão é convergente e indique um intervalo (de comprimento tão pequeno quanto possível) que contenha o limite de qualquer sucessão que satisfaça as condições impostas a a n.. Indique o supremo e o ínfimo do conjunto dos termos da sucessão; este conjunto terá máximo? E mínimo? Justifique abreviadamente as respostas. (Grupo Ia do Exame de a época de 8/9/8).45 Justifique que, se as condições u n > e u n+ u n < são verificadas qualquer que seja n N, u n é convergente. Mostre ainda, recorrendo directamente à definição de limite, que o limite de u n não pode ser um número negativo. (Grupo IIb do o Teste de /3/78).46 Supondo < a < a < < a n < a n < e b n = /a n, justifique que b n é convergente; indique ainda, se existirem, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto de todos os termos b n (n N ). Justifique as respostas. (Grupo IIb da Prova de 6/7/78).47 Sendo x n o termo geral de uma sucessão monótona, y n o termo geral de uma sucessão limitada e supondo verificada a condição n N x n y n < n prove em primeiro lugar que x n é limitada e depois que as duas sucessões são convergentes para o mesmo limite. (Pergunta b do Exame Final (Ponto n o ) de 7/7/7).48. Prove que se A e B são subconjuntos de R tais que A B e se A é não vazio e B majorado, então sup A sup B.. Suponha que, para todo o n N, X n designa um subconjunto majorado e não vazio de R, tal que X n X n+. Mostre que, para que a sucessão de termo geral s n = sup X n seja convergente é necessário e suficiente que exista um conjunto X, majorado em R, tal que X n X, n N. 3. Dê exemplos de conjuntos X n nas condições indicadas no primeiro período da alínea b) e tais que (a) todos os conjuntos X n sejam infinitos e a sucessão de termo geral s n = sup X n seja convergente; 3

14 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES. (b) todos os subconjuntos X n divergente. sejam finitos e a sucessão dos respectivos supremos seja (Pergunta 4 da Prova de 9/9/7).49 Supondo que, para cada n N, X n é um subconjunto não vazio de R e ainda que: (i) n N X n+ X n ; (ii) X é um conjunto limitado. a) Justifique que existem o supremo e o ínfimo de cada um dos conjuntos X n. b) Pondo a n = inf X n, b n = sup X n, mostre que as sucessões a n e b n são convergentes e que lim a n lim b n. (Grupo IV do o Teste de 4//79).5 Seja u n o termo geral de uma sucessão limitada; para cada n N, designe-se por U n o conjunto formado pelos termos da sucessão cuja ordem é maior do que n: U n = {u p : p > n}.. Justifique que U n tem supremo e ínfimo.. Sendo α n = inf U n, β n = sup U n, prove que as sucessões α n e β n convergem e que, designando por α e β os seus limites, se tem α β. 3. Prove que u n tem subsucessões convergentes para β e que nenhuma subsucessão de u n converge para um número maior do que β (portanto, β é o limite máximo de u n ). (Grupo IV do o Teste de 6/3/8) Resolução:. Se (u n ) é limitada, o conjunto U dos seus termos é limitado e U n U também o será; o conjunto U n é não vazio por definição de sucessão; U n, limitado e não vazio tem pois um supremo e um ínfimo, como consequência do axioma do supremo.. Como U n+ U n resulta que a sucessão de termo geral α n = inf U n é crescente e a sucessão de termo geral β n = sup U n é decrescente; mostremos que a primeira sucessão é majorada e a segunda minorada; com efeito, de U n U e de U ser limitado sai que α n = inf U n sup U n sup U e β n = sup U n inf U n inf U; como (α n ) é crescente e limitada superiormente, então (α n ) converge e como β n é decrescente e limitada inferiormente, (β n ) converge; da relação α n β n sai α = lim α n lim β n = β. 3. Começamos por provar que existem subsucessões de (u n ) convergentes para β. Façamo-lo definindo uma subsucessão (u kn ) de (u n ) por indução. Consideramos u k = u e supostos definidos u k,..., u kn escolhemos m N tal que < β m β < /n (graças a lim β m = β) e m > k n (esta última condição destina-se a garantir que estamos de facto a construir uma subsucessão). Por definição de supremo existe u q com q > m tal que < β m u q = sup U m u q < /n. Tomamos u kn+ = u q. Assim u kn+ β u kn+ β m + β m β = (β m u q ) + (β m β) < /n. A sucessão (u kn ) é de facto uma subsucessão de (u n ) e para n N temos u kn β < /n o que garante que o seu limite é β. 4

15 Para provar que nenhuma subsucessão de u n converge para um número maior do que β suponhamos, por absurdo, que existe um sublimite de u n, β, tal que β > β. Tomando < ɛ < β β, tem-se p N n>p u n β < ɛ. Portanto para todo o p N existe u n U p tal que u n > β ɛ. Desta forma, para todo o p N, β p = sup U p > β ɛ. Mas então devíamos ter lim β n β ɛ > β..5 Justifique as afirmações seguintes:. Se u n é uma sucessão limitada, qualquer subsucessão de u n tem subsucessões convergentes.. Se u n não é limitada, existem subsucessões de u n sem qualquer subsucessão convergente. (Grupo IVa da Repetição do o Teste de 9/4/8) Resolução:. Sendo u n limitada, qualquer subsucessão de u n sê-lo-á também e terá, portanto, subsucessões convergentes (teorema de Bolzano-Weierstrass).. A sucessão u n, sendo ilimitada, terá uma subsucessão u pn tal que u pn + (para obter uma tal subsucessão bastará escolher p tal que u p >, depois p > p tal que u p >, etc). Qualquer subsucessão de u pn será ilimitada (visto que em valor absoluto tenderá também para + ) e não poderá portanto ser convergente..5 Seja A = { } x x R : x >.. Diga se o conjunto A é majorado ou minorado e indique (caso existam) o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de A.. Justifique que o conjunto dos sublimites de uma qualquer sucessão de termos em R A é não vazio. 3. Mostre, por meio de exemplos, que o conjunto dos sublimites de uma sucessão de termos em R + A pode ser ou não ser vazio. (R + = ], + [, R = ], [.) 5

16 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. SUCESSÕES. 6

17 Capítulo Séries. Séries numéricas. Séries elementarmente somáveis e séries de termos com sinal fixo. Calcule (se existirem) os limites das sucessões de termos gerais: u n = n+ n +, v n = ( )n n +, w n = Nos casos em que conclua que não existe limite (finito ou infinito), justifique essa conclusão. n k= k. (Grupo IIa do o Teste de 6/3/8). Sendo a, r R considere a sucessão definida por: { x = a, x n = x n + r n. a) Indique o conjunto dos valores de r para os quais a sucessão é convergente, e, para cada r pertencente a esse conjunto, determine o lim x n. [Sugestão: pode ser-lhe útil determinar uma outra expressão para o termo geral x n da sucessão]. b) Justifique que para todo o r a sucessão x n é monótona e, considerando separadamente os casos r < e r, calcule lim arctan x n. (Grupo II do Exame de a época de 4/9/8).3 Calcule a soma da série + n= ( 5) n. (Pergunta do Grupo II do o Exame de 6//94).4 Mostre que a série n= u n com u n = n+ n + n n é convergente e calcule a sua soma. Resolução: A série n= (a n+ a n ) estuda-se a partir de S n = (a a ) + (a 3 a ) + + (a n+ a n ) = a n+ a. (Pergunta da Prova de /3/74) No nosso caso S n = n k= k+ k + k k = n+ n + 7

18 CAPÍTULO. SÉRIES e lim S n = lim( n+ n + ) = lim( m m ) =. Este último resultado deve-se a que se lim(v n+ /v n ) = α (e v n > ) então lim n v n = α. Quer dizer que n= u n converge e tem soma nula..5 Determine a natureza da série n= n +. n! (Pergunta da Prova de /3/74).6 Estude, quanto à convergência, as séries de termos gerais a) n n e b) + a n (a > ). (Grupo Ib do Exame de a época de 8/9/8) Resolução: a) u n = n n > e como lim u n+ (n + ) n = lim u n n+ n = < resulta do critério de d Alembert que u n é convergente. b) Se a a série diverge, visto que então u n não tende para (u n se a <, u n se a = ). Se a > a série converge, visto que se tem nesse caso u n a, sendo n geométrica (de razão a < ) convergente. a n uma série.7 Estude, quanto à convergência, as séries n= n 3 + n! e n= ( ) n. + x Para esta última, depois de determinar o conjunto dos valores de x para os quais a série converge, calcule a respectiva soma num ponto x desse conjunto. (Pergunta a da Prova de 8//73).8 Determine a natureza de cada uma das séries e calcule a soma de uma delas. + n= e e n, + n= n + n + n (Pergunta do Grupo II do o Exame de 6//95) 8

19 .. SÉRIES NUMÉRICAS ELEMENTARES.9 Estude quanto à natureza (convergência absoluta, convergência simples, divergência) cada uma das séries seguintes: + n= ( ) n e n, + n= ( ) ( ) n, n + n= + ( ) n n 3. (Pergunta do Grupo II do Exame de a Época de 8//97). Estude a natureza de cada uma das séries seguintes: + n= n + 3 n+, n= arctg(n 3 ) n + n, + n= cos(n π), + n= n n (n)!. Determine a soma de uma destas séries. (Grupo II do Exame de a Época de 6//96). Determine a natureza de cada uma das séries seguintes: + n= [ + ( ) n ], + n= n 3 + log n + n 4, + n=3 n(n ), + n= n (n)! 3 n (n + )!. (Pergunta do Grupo II do Exame de a Época de 8//96). Determine a natureza de cada uma das séries + n= 4 n + + arctg n, (n!) 3 n (n)!. n= (Pergunta do Grupo II do o Exame de 3//95).3 Determine a natureza de cada uma das séries + n= + ( ) n, n + n= + n!, n! + n= ( ) n n. 3n + (Pergunta do Grupo II do Exame de a Época de 4//95).4 Determine a natureza de cada uma das séries + n= n + n +, + n= e n log n, + n= ( ) n. n (Pergunta do Grupo II do o Exame de 9//94).5 Sendo a n o termo geral de uma sucessão de termos positivos, indique, justificando, a natureza das séries: ( + an ) e n. + a n (Grupo IIIb do o Teste de 6/3/8) 9

20 CAPÍTULO. SÉRIES.6 Sendo a n e b n duas séries de termos positivos, a primeira convergente e a segunda divergente, indique, justificando, a natureza das séries: (an + b n ), an + b n. (Pergunta b da Prova de /8/7).7 Seja (a n ) uma sucessão de termos positivos e (b n ) uma sucessão limitada. a) Mostre que a convergência da série + n= a n implica a convergência da série + n= a nb n. b) Use o resultado da alínea anterior para provar que se a série + n= a n converge então também converge + n= a n. c) Mostre, por meio de um exemplo, que a recíproca da proposição anterior é falsa. (Pergunta 3 do Grupo II do o Exame de 6//94).8 Sendo a n o termo geral de uma sucessão de termos positivos, com limite +, indique qual é a natureza das séries: an e + a n 3 n. + a n Justifique. (Grupo IIIb da Repetição do o Teste de 9/4/8).9 Seja (a n ) uma sucessão de termos positivos tal que lim an+ a n verdadeiras ou falsas as seguintes proposições: a) + n= n a n é uma série convergente. b) + a nn n= é uma série divergente. c) A série + n= (a n a n+ ) é convergente. >. Diga, justificando, se são (Pergunta do Grupo II do o Exame de 9//94). Sendo a n e b n séries convergentes de termos positivos, indique, justificando, quais das séries: a) ( + ), b) ( ), c) a n b n. a n b n a n b n são necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser convergentes ou divergentes consoante as séries a n e b n consideradas. Resolução: (Pergunta 3b da Prova de 4/9/7) a) A série diverge pois se a n e b n convergem tem-se a n e b n e como a n > e b n > tem-se a n + e b n + e portanto a n + b n +. Ora se a série fosse convergente o seu termo geral teria de tender para. b) A série pode ser convergente ou divergente: por exemplo, se for a n = b n é claro que ( ) a n b n converge, mas se for b n a n b n, ou seja, se for a n b n virá ( ) a n b n divergente, pois a série de termos positivos b n o é, já que b n.

21 sendo v = K > e v n+ = v n sen π n para n. (Pergunta n o 5 da Prova de /3/74).. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CRITÉRIO DE LEIBNIZ c) a n b n é necessariamente convergente. Com efeito, convergindo b n deverá ter-se b n e portanto, a partir de certa ordem n, b n ; multiplicando ambos os membros desta desigualdade por a n (positivo por hipótese) conclui-se que, para n > n, se terá a n b n a n. A convergência de a n b n resulta então da de a n, pelo critério de comparação.. Sendo a n e b n duas séries convergentes, de termos positivos, indique quais das séries: ( a n, ) an, a n b n + b n são necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser convergentes ou divergentes consoante as séries a n e b n consideradas. (Pergunta 3b do Ponto n o 6 de 5//7). Seja u n o termo geral da sucessão de Fibonacci,,, 3, 5, 8,... definida por u n+ = u n + u n para n, e u = u =. Estude a natureza da série n= u n 3 n. (Grupo IIa da Prova de 7/74).3 Estude a natureza da série arctan v n n=. Séries numéricas. Convergência absoluta e critério de Leibniz.4 Dê exemplos de sucessões a n de termos não nulos e para as quais a série a) converge simplesmente; b) converge absolutamente. + n= ( ) n a n + na n (Pergunta do Grupo II do Exame de a Época de 7//97).5 Prove que são necessariamente verdadeiras ou mostre, por meio de exemplos, que podem ser falsas, as afirmações correspondentes às alíneas a), b) e c) seguintes. Sendo a n uma série convergente de termos positivos, a série a) ( ) n a n, b) n a n, c) a n+. é necessariamente convergente. (Pergunta 3b do Ponto n o 3 de //7)

22 CAPÍTULO. SÉRIES.6 Seja u n o termo geral de uma sucessão convergente e tal que u n u n+ < n N a) Indique, justificando, qual é o limite de u n. b) Prove que, se for ainda verificada a condição u n+ u n n N a série n= u n será convergente, estando a sua soma compreendida entre u e u + u. (Pergunta do Exame Final de //7) Resolução: a) Sendo (u n ) convergente, seja u o seu limite. De u n u n+ < sai u ; ora como um quadrado é sempre maior ou igual a, só pode ser u =. b) A condição u n u n+ < implica que a série n= u n é alternada e, sem perda de generalidade, podemos supor que u n = ( ) n+ a n = a a + a 3 a 4 + n= n= com a n > (isto é, que u > ). Ora sabe-se que a n+ = u n+ u n = a n, por hipótese. Logo (a n ) é decrescente. Como se viu que u n, também a n ; logo, pelo critério de Leibniz, a série n= ( )n+ a n converge. É fácil ver que serão também convergentes e com a mesma soma, s as séries: (a a ) + (a 3 a 4 ) + (a 5 a 6 ) + e a (a a 3 ) (a 4 a 5 ). Assim, se designarmos por s e s, respectivamente, as somas das séries (a 3 a 4 ) + (a 5 a 6 ) + e (a a 3 ) + (a 4 a 5 ) + cujos termos são todos não negativos (por a n ser decrescente), ter-se-á evidentemente s, s e também isto é, u + u s u. s = (a a ) + s = u + u + s u + u, s = a s = u s u, É claro que, se em lugar de u > tivéssemos suposto u <, concluiríamos de modo análogo, não só a convergência da série, como a relação u s u + u..7 Indique, justificando, se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as séries ( ) n n n +, ( + a ) n (a R). n= Calcule a soma das que forem convergentes. n= (Pergunta 3a da Prova de /8/7)

23 .. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CRITÉRIO DE LEIBNIZ.8 Diga, justificando, se é simplesmente convergente, absolutamente convergente ou divergente, cada uma das séries seguintes: + n= ( n + n), + n= + (n + )(n + ), n= ( π) n. n (Pergunta do Grupo II do o Exame de 6//94).9 Indique o limite de cada uma das seguintes sucessões u n = ( ) n n n +, v n = 3n n!, w n = cos n. e estude, quanto à convergência, as séries de termos gerais u n, v n e w n. (Grupo I do Exame de a época de 4/9/8).3 Analise a natureza das séries cos π n, n= n= ( ) n n(n + ), n= n log n. (Pergunta do Grupo II do Exame de Época Especial de 7//95).3 Determine a natureza das séries log n n, ( ) n n n +, n 3 e n ; nos casos de convergência, indique se é simples ou absoluta. (Grupo IIa do Exame Final de 3/4/8).3 Determine para que valores de α são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as séries de termos gerais ( + sen α) n, ( ) n n n α +. (Pergunta 3a da Prova de 4/9/7) Resolução: a) Trata-se de uma série geométrica de razão +sen α logo haverá convergência sse +sen α <, isto é, sse < sen α < ou ainda sse sen α <, ou enfim, sse α ](k )π, kπ[ com k Z. É claro que para esses valores de α a série será absolutamente convergente. b) Ponha-se u n = ( ) n n n α +. Se α, u n não tende para e portanto, u n é divergente. Se α >, consideremos a sucessão (v n ) definida por v n = u n = n n α + n α. 3

24 CAPÍTULO. SÉRIES Como a série n é convergente sse α > 3, pode concluir-se que u α n é absolutamente convergente sse α > 3. Para estudar se a série é simplesmente convergente para α ], 3] notamos que v n e, excluídos termos iniciais em número finito dependente de α, a sucessão (v n ) é decrescente (para o reconhecer pode observar-se que, sendo α >, a derivada da função definida em ], + [ pela fórmula ϕ(x) = x x α +, ϕ (x) = é negativa para x > (/( α)) /α ). x (x α + ) [ + ( α)xα ], O critério de Leibniz permite então concluir que u n converge simplesmente para α ], 3]..33 Seja I o conjunto de todos os pontos x R para os quais a série ( ) n ( 4x) n n= n(n + ) é convergente. Mostre que I é um intervalo. Indique, justificando, a natureza da série em cada um dos extremos daquele intervalo e, em caso de convergência, calcule a soma da série correspondente. Resolução: A série de potências ( ) n n(n + ) yn n= é absolutamente convergente para y < R onde (Grupo IIIa da Prova de 8//74) R = lim n n(n+) = lim n n(n + ) = lim (n + )(n + 3) n(n + ) =. A série obtida é ainda absolutamente convergente para y =. Logo, os pontos x R para os quais a série do enunciado é convergente, são os pontos tais que 4x, ou seja, 4x, isto é, x. Tem-se pois I = [, /]. Já vimos que a série dada converge se x = e x =. No primeiro caso a série é: ( ) n n(n + ) = ( ( ) n n ). n + n= n= Designando por (S n ) n N a sucessão de somas parciais da série podemos repetir o raciocínio para obter a soma de uma série de Mengoli: ( S n = ) ( + 3 ) ( 4 3 ) ( ) 6 ( + ( ) n n ) ( + ( ) n n + n ) n + = + + ( )n ( n + ) + ( ) n ( n + ). Assim lim S n = 4 ; logo 4 é a soma da série dada quando x =. 4

25 .. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CRITÉRIO DE LEIBNIZ Se x = a série é procedemos de forma análoga para obter ( ) n ( )n n(n + ) = n(n + ) = n= n= n= ( n ), n + ( S n = 3 + ) ( + ) 4 ( n n + = + n + n +. ( + ) + ) ( + ) 3 5 ( n n + e lim S n = 3 4 ; logo 3 4 é a soma da série dada quando x =. 4 6 ) +.34 Determine para que valores reais de x são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes e divergentes as séries ( ) n x nx n e x + n +. n= n= (Pergunta 3a da Prova de a época de 8//7).35 Determine o conjunto dos pontos em que é absolutamente convergente e o conjunto dos pontos em que é simplesmente convergente a série: ( ) n x. n x n= n= (Pergunta 3a do Ponto n o 3 de //7).36 Determine o conjunto dos pontos em que é absolutamente convergente e o conjunto dos pontos em que é simplesmente convergente a série: ( ) n n x n. + x Seja I o conjunto de todos os pontos x R para os quais a série n ( 6x + 4 3x + 5 é convergente. Mostre que I é um intervalo e determine os seus extremos..38 Mostre que a série n= ) n n (n!) (x x) n (n)! (Pergunta 3a do Ponto n o 4 de //7) (Pergunta 4 da Prova de //74) converge em todos os pontos x de um intervalo e determine os extremos desse intervalo (não se preocupe em verificar se a série converge ou não nos referidos extremos). (Pergunta 3a do Ponto n o 6 de 5//7) 5

26 CAPÍTULO. SÉRIES.39 a) Determine o conjunto dos valores reais de k para os quais são convergentes e o conjunto dos valores de k para os quais são limitadas as sucessões de termos gerais: u n = kn + k n, v n = ( ) n nk + n k. b) Quais são os valores de k que tornam absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente cada uma das séries u n e v n?.4 (Pergunta 3 do Ponto n o 5, Exame integrado de 5//7) Sendo a n o termo geral de uma sucessão de termos reais e, para cada n N, b n = a n, b n = a n, considere a série n= b n. Prove que b n é convergente se e só se lim a n = e que bn é absolutamente convergente se e só se a n o for. (Pergunta 4 de uma Prova de Análise Matemática II).4 Sejam n= a n e n= b n séries numéricas absolutamente convergentes. a) Mostre que, para todo x R, a série é convergente. (a n cos(nx) + b n sen(nx)) n= b) Sendo f : R R a função definida por mostre que f(x) = (a n cos(nx) + b n sen(nx)) n= i) f é periódica. ii) Se f for par f(x) = n= a n cos(nx) e se f for ímpar f(x) = n= b n sen(nx). (Grupo III do Exame de a época de 4/9/8) Resolução: a) Tem-se a n cos(nx) + b n sen(nx) a n cos(nx) + b n sen(nx) a n + b n. Ora, a n e b n convergem, logo ( a n + b n ) converge e n= (a n cos nx + b n sin nx) é absolutamente convergente e portanto, convergente. b) i) Como cos(nx) = cos(nx + nπ) = cos(n(x + π)) e sen(nx) = sen(nx + nπ) = sen(n(x + π)) resulta que f(x) é periódica. ii) f(x) = (a n cos(nx) + b n sen(nx)) = a n cos(nx) + b n sen(nx) n= f( x) = (a n cos( nx) + b n sen( nx)) = a n cos(nx) b n sen(nx) n= 6 n= n= n= n=

27 .3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Se f é par de f(x) = f( x) sai n= b n sen(nx) =. Logo n= b n sen(nx) = e f(x) = n= a n cos(nx). Se f é ímpar de f(x) = f( x) sai n= a n cos(nx) =. Logo n= a n cos(nx) = e f(x) = n= b n sen(nx)..4 Seja f uma aplicação de R em si mesmo e g a função definida pela igualdade: g(x) = ( ) n+ f(nx) n= no conjunto de todos os pontos x para os quais é convergente a série que figura no o membro. a) Indique (referindo-se ao valor de f num ponto conveniente) uma condição necessária e suficiente para que pertença ao domínio de g. b) Prove que, se f for diferenciável em R e verificar as condições f (x) < x R e lim x + f(x) = o domínio de g é um intervalo. Indique esse intervalo. c) Prove que, na hipóteses da alínea b), as relações f(x) f(x) < g(x) < f(x) são verificadas em todos os pontos do domínio de g. (Pergunta 4 da Prova de /7/7).3 Séries de potências.43 Determine o raio de convergência da série de potências: n= (x 3) n n + e indique, justificando, os valores reais de x para os quais a série é absolutamente convergente e aqueles para que é simplesmente convergente..44 Determine todos os valores de x para os quais é convergente a série n (x )n + 8n Para quais desses valores pode garantir que a convergência é absoluta? Porquê? (Grupo IIIa do o Teste de 6/3/8) (Pergunta 3a de uma Prova de Análise Matemática II).45 Sendo k um número natural, determine o intervalo de convergência da série n= (x ) n n(n + k) e calcule a soma da série no extremo superior do seu intervalo de convergência. (Grupo Ic do Exame de a época de 8/9/8) 7

28 CAPÍTULO. SÉRIES.46 Estude quanto à natureza (convergência absoluta, convergência simples, divergência) cada uma das séries seguintes, onde x designa um parâmetro real: + n= n ( n n + ), + n= (nx) n + (n + ) n, n /n (x + ) n. n= (Pergunta do Grupo II do Exame de a Época de 7//97).47 Considere a série de potências de x: c n+ n + xn onde c é um número real positivo.. Determine o raio de convergência da série.. Estude a natureza da série nos extremos do seu intervalo de convergência. 3. Justifique que existe um único valor de c para o qual a série é simplesmente convergente no ponto x = 3 e determine-o. (Grupo IIIa da Repetição do o Teste de 9/4/8).48 Determine o intervalo de convergência da série ( ) n + p x n. p n= Estude a natureza da série nos extremos desse intervalo. (Grupo IIb da Prova de 7/74).49 Suponha que a série a n x n é simplesmente convergente em certo ponto c <. Indique, justificando, o raio de convergência da série e esclareça, para os valores reais de K para os quais seja possível fazê-lo com a informação de que dispõe, a natureza da série a n K n, indicando, nos casos de convergência, se é simples ou absoluta. (Pergunta 4a da Prova de 8//73).5 Suponha que a série de potências de x an x n é convergente no ponto 3 e divergente no ponto 3:. indique, justificando, se a convergência da série no ponto 3 é simples ou absoluta.. indique o conjunto dos valores de x para os quais a série é absolutamente convergente e o conjunto dos valores de x para os quais é divergente. 3. dê um exemplo de uma série que verifique as condições requeridas no enunciado. (Grupo IIIa do Exame de a época de 8/9/8) 8

29 .3. SÉRIES DE POTÊNCIAS.5 Prove que, se o raio de convergência da série a n x n é maior do que, então lim a n =. Mostre que, se o raio de convergência da série for igual a, a sucessão a n pode tender para qualquer limite (finito ou infinito) ou não ter limite. Prove ainda que, na hipótese de o raio de convergência ser menor do que, a sucessão a n não é limitada. (Grupo IVb da Repetição do o Teste de 9/4/8).5 a) Prove que, sendo P (x) um polinómio em x (de qualquer grau, mas não identicamente nulo): P (x + ) lim =. x + P (x) b) Supondo que P (x) é um polinómio nas condições da alínea a) e que Q(x) é também um polinómio tal que x N Q(x) utilize o resultado da alínea a) para determinar o raio de convergência da série de potências n= P (n) Q(n) xn. c) Obtenha uma condição (fazendo intervir os graus dos polinómios P e Q) necessária e suficiente para que a série seja absolutamente convergente nos extremos do seu intervalo de convergência. Justifique..53 Designando por r e r os raios de convergência das séries (Pergunta 4 da Prova de 9/7/7) an x n e bn x n indique, justificando, o raio de convergência da série (a n + b n )x n em cada uma das hipóteses seguintes:. r = r = + ;. r R, r = + ; 3. r, r R e r < r. O que pode afirmar sobre o raio de convergência de (a n + b n )x n se for r = r R? Justifique e dê exemplos que ilustrem as hipóteses que podem verificar-se. (Pergunta 4b da Prova de 3//73) 9

30 CAPÍTULO. SÉRIES 3

31 Capítulo 3 Funções Reais de Variável Real. Continuidade e Limites. 3. Considere os conjuntos { } x A = x R : e x (x + ), B = {x R : e x e x }. o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. o Indique, justificando, quais das proposições seguintes são verdadeiras e quais são falsas: a) Se f é uma função definida e limitada em B e (x n ) é sucessão de termos em B, (f(x n )) tem subsucessões convergentes. Nas alíneas seguintes, suponha que (a n ) é uma sucessão decrescente de termos em A. b) A sucessão ( ) n a n é convergente. c) A sucessão an a n é convergente. d) A série + n= (a n a n+ ) é convergente. (Grupo I da a Época de 4//95) 3. Considere os conjuntos { } } A = x R : log x, B = { ( )n : n N. n a) Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. b) Indique, justificando, quais das proposições seguintes são verdadeiras e quais são falsas: i) Toda a sucessão de termos em A tem subsucessões convergentes. ii) Toda a sucessão monótona de termos em B é convergente e o seu limite está em B. iii) Toda a função contínua em A tem máximo (em A). (Pergunta do Grupo I do o Exame de 9//94) 3.3 Seja f uma função contínua em R e designe por K o conjunto dos zeros de f. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das proposições seguintes : 3

32 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. CONTINUIDADE E LIMITES. a) Se K= então f > ou f <. b) Se K= Z então f é limitada. c) Se { n : n N } K então K. d) Se Q K então K = R. *Nota: Sempre que afirme que uma proposição é falsa dê um exemplo que o comprove. Sempre que afirme que uma proposição é verdadeira justifique, abreviadamente, porque chegou a tal conclusão. (Pergunta do Grupo I do Exame de a Época de 8//97) 3.4 Seja f uma função contínua em R. Indique, justificando, a natureza da série + n= f(cos n) n. (Pergunta do Grupo IV do o Exame de 6//95) 3.5 Seja φ : [a, b] R (a, b R, a < b) uma função contínua e suponha que existe uma sucessão (x n ), de termos em [a, b], tal que lim φ(x n ) =. Prove que φ tem, pelo menos, um zero em [a, b]. (Pergunta do Grupo IV do Exame de a Época de 8//96) 3.6 Seja f : [, + [ R uma função contínua e sejam, para cada n N, Suponha ainda que M n = max{f(x) : x [n, n + ]}, m n = min{f(x) : x [n, n + ]}. M n m n n, M n M n n para todo o n N. a) Prove que, para todo o n N, se tem b) Prove que existe, em R, lim M n. M n M + c) Sendo b = lim M n, prove que lim x + f(x) = b. n k= k. (Grupo IV do Exame de a Época de 7//97) 3.7 Seja f uma função contínua em R para a qual existem (em R) os limites lim x + f(x) e lim x f(x). Seja ainda A o subconjunto de R definido por A = {x : x = f(x)}. Nestas condições, prove que: a) A é não vazio. [Pode ser-lhe útil considerar a função g(x) = x f(x) com x R.] b) A é limitado. c) A tem máximo e mínimo. (Grupo IV do o Exame de 3//95) 3

33 3.8 Justifique que, se f é uma função limitada em R, para qualquer sucessão de termos reais, x n, a sucessão f(x n ) tem subsucessões convergentes. (Grupo Ib do Exame final de 4/5/79) 3.9 Considere os subconjuntos A e B de R, definidos pelas fórmulas: A = {x : x < }, B = {x : x > }.. Determine a reunião e a intersecção dos conjuntos A e B.. Sendo f a aplicação de A em B definida por f(x) = x, indique, justificando, se f é bijectiva. (Pergunta a e c da Prova de /9/7) 3. Seja g a função definida no intervalo ], e ] pela fórmula ( g(x) = log + x + x ).. Esboce o gráfico de g.. Mostre que g é crescente mas não estritamente crescente no seu domínio e indique o maior intervalo em que g é estritamente crescente (isto é, um intervalo I no qual g seja estritamente crescente sem que o mesmo se passe em qualquer intervalo J que contenha I e seja distinto de I). 3. Indique, justificando, se g é ou não limitada e se tem máximo e mínimo. (Grupo Ib do o Teste de /4/8) Resolução:. O gráfico de g está representado na figura 3.. Para esboçar o gráfico basta observar que {, se x, g(x) = log( + x), se x e. e que portanto a função é constante se x e se x e o gráfico é uma translação de para a esquerda do gráfico do logaritmo.. Relembrando que o logaritmo é uma função estritamente crescente e a expressão que obtivemos para g na alínea anterior facilmente se conclui que g é crescente, não é estritamente crescente pois é constante em ], ] e o maior intervalo onde é estritamente crescente é [, e ]. 3. Sendo g constante em ], ] e crescente em [, e ] temos = g() g(x) g(e ) = para todo o x no seu domínio. Portanto a função é g limitada, o seu máximo é e o seu mínimo ocorrendo respectivamente em e e em ], ]. O gráfico que se apresenta foi gerado numericamente. Obviamente o que se pretende neste e noutros gráficos é uma representação aproximada das características mais importantes que se esboçam com facilidade. Por vezes, como neste caso, a escala dos dois eixos não é a mesma. 33

34 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. CONTINUIDADE E LIMITES. y PSfrag replacements y = log( + x+ x ) e x Figura 3.: O gráfico de g(x) = log( + x+ x ) no exercício Seja f uma função definida em R e tal que f f = I R onde I R designa a aplicação idêntica de R em si mesmo (I R (x) = x, x R ).. Recorrendo directamente às definições de aplicação injectiva e sobrejectiva, prove que f é necessariamente bijectiva.. Mostre, por meio de exemplos, que uma função f nas condições acima indicadas pode ser: (a) contínua em todos os pontos de R; (b) contínua num único ponto de R; (c) descontínua em todos os pontos de R. (Pergunta 4 do Exame Final (Ponto n o ) de 7/7/7) 3. Seja f : R R uma função contínua no ponto e x n o termo geral de uma sucessão convergente; indique (expresso em função de um dos valores assumidos por f) o limite da sucessão f(x 3n x n ). Justifique abreviadamente a resposta. (Grupo IIa do Exame de a época de 8/9/8) 3.3 Sendo a n o termo geral de uma sucessão convergente tal que, qualquer que seja n N, a n > e a n+ <, indique, justificando, qual é o limite de a n. Existirá alguma função f, contínua no ponto e tal que, para todo o n, verifique a igualdade: Justifique a resposta. f( n ) = ( )n a n? (Grupo Ib do Exame Final de /9/79) 34

35 Resolução: O limite de a n tem de ser pois se (a n ) converge para um certo α R, qualquer sua subsucessão tem o mesmo limite e a partir de a n > e a n+ < obtém-se α = lim a n e α = lim a n+ ou seja α =. Se f é contínua em tem-se para qualquer sucessão x n, que lim f(x n ) = f(lim x n ) = f(). Em particular ter-se-ia ( ) f() = lim f = lim( ) n a n = lim a n = n e também f() = lim f ( ) = lim( ) n+ a n+ = lim( a n+ ) = n + e viria =, o que é absurdo. Logo não pode existir uma tal função. 3.4 Sendo g : [, ] R uma função contínua, justifique que:. não existe qualquer sucessão x n (de termos em [, ]) tal que g(x n ) = n ( n N ). se existe uma sucessão x n (de termos em [, ]) tal que g(x n ) = n ( n N), então existe c [, ] tal que g(c) =. (Grupo IIb da Repetição do o Teste de 9/4/8) 3.5 Sendo f : R R uma função contínua no ponto, em que ponto(s) será necessariamente contínua a função g(x) = f(sen x)? Justifique. (Grupo Ic da Repetição do o Teste de 9/4/8) 3.6 Seja ϕ uma função definida em R e verificando as condições seguintes:. Para qualquer x R, ϕ(x) é um número inteiro.. ϕ(x) tende para um limite finito, c, quando x +. Recorrendo directamente à definição de limite, justifique que c é um número inteiro e que existe α R tal que ϕ(x) = c sempre que x > α. (Grupo Ib do Exame Final de /5/79) 3.7 Mostre que se u n é uma sucessão monótona, arctg u n é uma sucessão convergente. 3.8 Suponha que, para todo o n N, a função f verifica a condição ( f ) ( ) = f. n n (Grupo IIb do o Teste de 7/4/79) Se existirem os limites laterais f( ) e f( + ) quanto valerá a sua soma? Se existir lim x f(x) qual será o seu valor? Justifique abreviadamente as respostas. 3.9 Seja f : R R uma função com limite finito quando x e tal que Indique, justificando, o valor de lim x f(x). f(x) x > x. (Grupo IVa do Exame Final de 3/4/8) (Grupo Ic do o Teste de /4/8)) 35

36 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. CONTINUIDADE E LIMITES. Resolução: Tem de ter-se lim x f(x) = pois se fosse lim x f(x) = α com, por exemplo, α >, resultaria que, para x suficientemente próximo de mas menor que, f(x)/x <. Caso fosse α <, ter-se-ia para x suficientemente próximo de mas maior que, f(x)/x <. Concretamente, no caso α >, escolha-se ɛ > tal que < α ɛ; como lim x f(x) = α existirá δ > tal que se x ] δ, δ[ então f(x) ]α ɛ, α + ɛ[. Logo para x ] δ, δ[ virá f(x) > e em particular se δ < x < virá f(x)/x <. 3. Calcule lim x x x x 3x +, lim x tg 5x x arccos x. (Grupo I3 do Exame de a época de 4/9/8) 3. Calcule os limites x cos e x lim x + x +, lim x sen x x sen 3x. (Grupo IIb do Exame de a época de 8/9/8) Resolução: O primeiro dos limites pedidos é. De facto, tem-se x cos(e x ) x + x x + ; x como x + tende para quando x +, também x cos(ex ) x + tende para quando x +. Quanto ao segundo limite, quando x, quer o numerador quer o denominador da fracção tendem para. No entanto: sen(x ) x sen(3x) = sen(x ) x x sen(3x) = 3 sen(x ) x 3x sen(3x) e como lim u sen u u = resulta que a expressão do lado direito tende para Considere a função f, definida no intervalo ], [ pela fórmula. Calcule lim x f(x) e lim x f(x). f(x) = x x +.. Mostre que f é estritamente crescente e indique, justificando, se é majorada ou minorada e se tem máximo ou mínimo (em ], [). 3. Se x n for uma sucessão convergente para, com termos em ], [, qual será o limite de f(x n )? Justifique. 4. Dê um exemplo de uma sucessão y n, de termos em ], [, tal que a sucessão f(y n ) não seja limitada. (Grupo Ia do a Teste de /4/8) 3.3 Considere as funções ϕ(x) = log( + e x ), ψ(x) = arctg(x) sen(x ).. Indique, justificando, se ϕ e ψ são majoradas, minoradas, limitadas (em R). 36

37 . A função ψ tem máximo (em R)? Qual é o seu supremo? Justifique. 3. Existe o lim x (ϕ(x)ψ(x))? E o lim x + (ϕ(x)ψ(x))? Justifique. (Grupo III do Exame Final de /9/79) Resolução:. Para qualquer x R tem-se e x >, logo + e x > e portanto, ϕ(x) = log( + e x ) > é minorada; como lim x + ϕ(x) = +, ϕ(x) não é majorada e portanto não é limitada. Quanto a ψ(x) tem-se ψ(x) = arctg x sen x < π = π. Logo ψ(x) é limitada.. ψ não tem máximo embora o supremo de ψ seja π. Para ver que π = sup x R ψ(x) basta observar que π é um majorante de ψ(x) para todo x R, como se viu e que dado ɛ > π existe x R tal que: ɛ < ψ(x). Para este efeito observe-se que, pondo x n = nπ + π, se tem ψ(x n ) = arctg x n π ; assim, escolhendo n suficientemente grande, ter-se-á decerto ψ(x n ) > π ɛ. Mostrámos que sup x R ψ(x) = π e como não existe ξ R tal que ψ(ξ) = π conclui-se que ψ não tem máximo. ( ) 3. Tem-se lim ϕ(x) = lim log( + x x ex ) = log lim ( + x ex ) = log =. Viu-se que ψ(x) é limitada pois ψ(x) < π, x R. Logo lim x ϕ(x)ψ(x) =. Mas lim ϕ(x) = lim log( + x + x + ex ) = +. Mostremos que lim x + ϕ(x)ψ(x) não existe. Basta encontrar duas sucessões (x n ) e (y n ) tais que lim ϕ(x n)ψ(x n ) = α, lim ϕ(y n)ψ(y n ) = β e α β. n n Por exemplo, com x n = nπ + π, y n = nπ tem-se ( ( lim ϕ(x n )ψ(x n ) = lim ϕ(x n ) arctg x n sen nπ + π )) = lim(ϕ(x n ) arctg x n ) = +, lim ϕ(y n )ψ(y n ) = lim(ϕ(y n ) arctg y n sen(nπ)) = Para cada x R, calcule x n lim n + x n. (Considere separadamente os casos x <, x = e x >.). Estude do ponto de vista da continuidade uma das funções seguintes (à sua escolha): ou ϕ(x) = (x x n ) lim n + x n ψ(x) = { x, se x, x, se x >. 37