Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I

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1 Apêndice B Os números naturais Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I Axiomática de Peano Axioma 1 : 1 N. Axioma 2 : Se N, então + 1 N. Axioma 3 : 1 não é sucessor de nenhum N. Axioma 4 : Se + 1 = + 1, então =. Axioma 5 : Se N for tal que 1 e + 1 sempre que, então = N. (Princípio da indução) Tema 1 Números, sucessões e séries 1.1. Números racionais Sistema algébrico : sucessão finita,,, constituída por um conjunto e operações,, em. Operação : aplicação de em, isto é, um processo que permite fazer corresponder a cada par ordenado, de elementos de um e só um elemento de, notado. Grupo : par, constituído por um conjunto e uma operação satisfazendo as propriedades: 1. A operação é associativa ; 2. Existe em um só elemento neutro à esquerda, isto é, existe um único tal que para qualquer, = ; 3. Todos os elementos de têm inversos esquerdos, isto é, dado, existe tal que =, sendo o elemento neutro referido em 2 Grupo abeliano (comutativo): grupo, onde a operação é comutativa. (Ex.: Z, +) Anel : triplo, +, constituído por um conjunto e duas operações notadas + e satisfazendo as propriedades: 1., + é grupo abeliano ; 2. A operação é associativa ; 3. são válidas as duas leis distributivas : + = + (distributiva equerda) + = + (distributiva direita) para quaisquer,,. Anel abeliano (comutativo): anel, +, onde a operação é comutativa. (Ex.: Z, +, ) Anel de divisão : triplo, +, que verifica : 1., +, é um anel ; 2. \0, é um grupo Corpo : anel de divisão, +, onde a operação é comutativa. (Ex.: Q, +, ) Corpo ordenado : quadrúplo, +,, elementos chamam-se elementos positivos de Quando, +, é um corpo e verifica : 1. Se, então + e ; 2. Para qualquer ume e uma só das 3 alternativas ocorre : = 0, ou ; Num corpo ordenado : é limitado superiormente em quando existe tal que para qualquer qualquer elemento diz-se majorante de caso exista, o menor de todos os majorantes, chama-se supremo de () quando, diz-se o máximo de () é limitado inferiormente em quando existe tal que para qualquer qualquer elemento diz-se minorante de caso exista, o maior de todos os minorantes, chama-se ínfimo de () quando, diz-se o mínimo de () Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 1/12 João Marques

2 Propriedade arquimediana : Para quaisquer, > 0 em, existe N tal que >. (Ex.: Q é um corpo arquimediano) Densidade : Dados dois elementos, com <, existe tal que < < qualquer corpo ordenado é infinito qualquer corpo ordenado é denso Sucessão (em ) : Qualquer aplicação N que a cada natural N associa um elemento. Seja uma sucessão em. diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos, isto é, o conjunto N, for limitado superiormente em. diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos, isto é, o conjunto N, for limitado inferiormente em. 0 Módulo (valor absoluto) : = < 0 Limite de uma sucessão : Seja um corpo ordenado, e uma sucessão de elementos em. Diz-se que tende ou converge para, quando para qualquer > 0 em, se pode determinar um número N tal que para qualquer se tenha <. Escreve-se ou lim = ou lim =. O limite de uma sucessão num corpo ordenado, quando existe, é único. Em notação : lim = < = > > 0 N = > < Característica : maior inteiro não superior a notação : Teorema das sucessões enquadradas (1.1.1): Se,, são três sucessões num corpo ordenado tais que para e lim = lim =, então lim = Teorema (1.1.2) : Seja um corpo ordenado. Se, são sucessões em tais que, e <, então existe uma ordem a partir da qual se tem <. Teorema (Passagem ao limite de uma desigualdade) (1.1.3) : Seja um corpo ordenado. Se, em e a partir de certa ordem, então. Abreviadamente : = > lim lim 1.2. Números reais Princípio do encaixe (1.2.1) : Dada uma sucessão infinita de intervalos fechados não vazios em R, =,, com para qualquer N, existe pelo menos um número real tal que para qualquer N,. Princípio do encaixe (2ª forma) (1.2.2) : Dada uma sucessão infinita de intervalos não vazios em R, =,, com para qualquer N e 0, existe um e um só real tal que, para qualquer N,. Além disso, tem-se e. Teorema (1.2.3): Seja Z, N um número racional na forma irredutível raíz da equação = 0 onde os coeficientes Z e 0. Então é divisor de e é divisor de. Corolário (1.2.4) : Toda a raíz racional da equação = 0, onde Z, é necessáriamente um número inteiro, isto é, toda a raíz real é inteira ou irracional. Princípio do supremo (1.2.5): Qualquer parte de R não vazia e majorada tem supremo. Conjunto numerável : Um conjunto diz-se numerável se existe uma bijecção N. Teorema (1.2.6): Q é numerável. Cardinalidade : Dois conjuntos e têm o mesmo número de elementos ou o mesmo número cardinal se existir uma bijecção. Teorema (1.2.7): R não é numerável. Teorema (1.2.8): R\Q não é numerável. Dízima finita : Expressão da forma, onde Z, N e,, 0,1,2,,9. Por definição, atribuímos a esta expressão o seguinte significado:, Dízima infinita : Expressão da forma, onde Z e para cada N, e 0,1,2,,9. Assim, podemos identificar uma dízima infinita com um par, constituído por um inteiro e uma sucessão em 0,1,2,,9. Racionais em dízima : dízima infinita periódica Irracionais em dízima : dízima infinita não periódica Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 2/12 João Marques

3 1.3. Topologia e sucessões em R Vizinhança : Seja R. Chamamos vizinhança de raio > 0 do ponto ao intervalo, + que designaremos por. A qualquer conjunto que contenha uma vizinhança de raio > 0 do ponto chama-se uma vizinhança de. Noções topológicas : Todas as noções que se podem exprimir na noção de vizinhança de um ponto. Seja R e R : Diz-se que é interior a se existe uma vizinhança Diz-se que é exterior a se for interior a R\, o que é equivalente a dizer que existe uma vizinhança de que não intersecta. O ponto diz-se fronteiro a se não for interior nem exterior a. Assim, R é fronteiro a se e só se toda a vizinhança de intersecta e R\. O ponto diz-se aderente a se qualquer vizinhança de intersecta. Consequências destas definições: 1) = R\, = R\ 2) = R\ 3) = R, sendo estes 3 conjuntos disjuntos 2 a 2 4) = = Ponto de acumulação : Seja R. O ponto diz-se um ponto de acumulação do conjunto R se qualquer vizinhança de contém pelo menos um ponto de distinto de. \ Derivado : Ao conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto chama-se o derivado de e representa-se por Ponto isolado : diz-se um ponto isolado de se e. Conjunto aberto : Um conjunto diz-se aberto se =. Conjunto fechado : Um conjunto diz-se fechado se =, ou então, se contém os seus pontos de acumulação. Máximo/Mínimo : Se R é não vazio limitado e fechado, então tem máximo e mínimo. Teorema de Bolzano-Weierstrass (1.3.5) : Todo o conjunto R infinito e limitado admite pelo menos um ponto de acumulação em R. Subsucessão (1.3.6) : Seja N R uma sucessão real. Chamamos subsucessão ou sucessão extraída de a qualquer sucessão N R onde N N é uma sucessão de naturais estritamente crescente. Uma subsucessão resume-se a uma sucessão extraída da sucessão original, escolhendo certos índices por ordem crescente. Corolário do Teorema de Bolzano-Weierstrass (1.3.7) : Toda a sucessão limitada admite uma subsucessão convergente. Teorema (1.3.8): Se é uma sucessão convergente, todas as suas subsucessões são convergentes. Teorema (1.3.9): Toda a sucessão convergente é limitada. Monotonia de uma sucessão : é crescente quando para qualquer N é decrescente quando para qualquer N é monótona quando for crescente ou decrescente Teorema (1.3.10): Toda a sucessão monótona limitada é convergente. Teorema (1.3.11): Se e, então: a) + + b) c) se 0 e não se anular Teorema (1.3.12) : Se é limitada e 0, então 0 Teorema (1.3.13) : a) Se > 0, então lim = 0 b) Se > 1 e é um real qualquer, então lim = 0 (A exponencial de base > 1 cresce mais rapidamente que qualquer potência, quando.) c) Se < 1, então lim = 0. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 3/12 João Marques

4 d) Se lim =, então lim =. (Se uma sucessão converge para, então a média aritmética dos seus primeiros termos converge também para ). e) Se > 0 e lim =, então lim =. (Se uma sucessão converge para, então a média geométrica dos seus primeiros termos converge também para ). f) Se > 0 e lim =, então lim =. g) Se > 0, então lim = 1. h) lim = 1. Propriedade : Se R é contínua no ponto e com então. Convergência no sentido de Cesàro : A sucessão converge para no sentido de Cesàro se a média dos primeiros termos, isto é, a sucessão, convergir no sentido ordinário para. Convergência no sentido de Holder : A sucessão no sentido de Holder 1 se no sentido de Cesàro. A sucessão no sentido de Holder 2 se a média das primeiras médias convergir para. e assim sucessivamente. Sucessão de Cauchy : Uma sucessão em R diz-se sucessão de Cauchy em R se para cada > 0 é possível encontrar um número N tal que < para qualquer e qualquer. Uma sucessão de Cauchy é portanto uma sucessão onde, para cada > 0, existe uma ordem a partir da qual a distância entre dois termos quaisquer é inferior a. Proposição (1.3.14) : Se é sucessão de Cauchy em R, então para qualquer > 0 inteiro tem-se 0 quando. (Não é válida a recíproca desta proposição) Teorema (1.3.15): Toda a sucessão convergente em R é de Cauchy em R. Teorema (1.3.16): Toda a sucessão de Cauchy em R é convergente em R. Critério de convergência de Cauchy-Bolzano : É condição necessária e suficiente para que a sucessão convirja em R que para qualquer real > 0, exista N tal que < para qualquer > 0 e qualquer. Em símbolos : > 0 N > 0 < Limites infinitos : Seja uma sucessão em R. Diz-se que tende para + quando tende para infinito, e escreve-se + ou lim = +, quando para cada real > 0 se pode fazer corresponder um número N tal que > para qualquer. Dito de outra maneira, + se, a partir de certa ordem, for superior a qualquer número positivo previamente fixo. Teorema (1.3.18): Sejam e sucessões reais. Tem-se: a) Se + ou, então ; b) Se > 1, então + ; c) Se 0, então ; d) Se, então 0 ; e) Se para e +, então + ; f) Se + e é limitada inferiormente então + + ; g) Se e é limitada superiormente então + ; h) Se e é limitada, então + ; i) Se e existe um N tal que o conjunto R tem um minorante positivo ou um majorante negativo, então ; Teorema (1.3.19) : Seja R, +,. Se e é uma sucessão de inteiros tais que + então. Característica de um número real : maior inteiro não superior a notação : Teorema (1.3.20) : Sejam, R tais que > 1 e > 0. Então +, isto é, o logaritmo de base > 1 tende para infinito menos rapidamente que qualquer potência com > 0. Teorema (1.3.21) : Se, tem-se 1 + Teorema (1.3.22) : Se R, então 1 + Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 4/12 João Marques

5 Teorema (1.3.23) : Vale a igualdade lim = lim desde que seja estritamente crescente para + e exista o limite do lado direito da igualdade (finito, + ou ). Sucessões assimptoticamente iguais : Quando duas sucessões, estão relacionadas de tal modo que 1 quando, diz-se que são assimptoticamente iguais e escreve-se. Intuitivamente significa que é praticamente igual a para muito grande ou, como se diz também, são iguais no infinito. Tema 2 Séries de números reais (1.4) Definição e generalidades Sucessão das somas parciais : Seja uma sucessão de números reais. Podemos associar a esta sucessão uma outra sucessão = + + +, a que chamaremos sucessão das somas parciais de. Série : Chama-se série à sucessão de pares ordenados,, e representa-se por. Série convergente : Diz-se que a série é convergente se existir em R, lim = e escrevemos = ou =. O número real diz-se a soma da série. Série divergente : Diz-se que a série é divergente se não existir em R, lim =. Convergência da série geométrica : =, 0 Se < 1 então = (convergente) Se > 1 então = (divergente) Se = 1 então = + 1 (divergente) Se = 1 então é divergente Séries de Mengoli : Dada uma série, se existir uma sucessão e um número inteiro 1 tal que =, então é convergente e tem-se: = Série harmónica : Teorema (6): A série converge se e só se existe N tal que converge. Teorema (7): a) Se R e 0, então converge se e só se convergir, e tem-se =. b) Se e são duas séries convergentes, então a série + é convergente e tem-se + = +. Teorema (8): Se é convergente, então 0. Critério de convergência de Cunha (9) : A série é convergente se e só se para cada > 0 existe N tal que < para qualquer e qualquer N. Em símbolos: > 0 N, N < Menos rigorosamente, poderíamos dizer que uma série é convergente se e só se existir uma ordem a partir da qual o valor absoluto de qualquer soma finita de termos consecutivos é tão pequena quanto se queira. (usualmente referido por critério de Cauchy-Bolzano) Critério de comparação (10) (um dos mais importantes critérios de convergência) : Sejam 0, 0 e a partir de uma certa ordem. Então: a) Se converge, converge ; b) Se diverge, diverge. Série absolutamente convergente : Uma série diz-se absolutamente convergente quando for convergente. Teorema (14): Toda a série absolutamente convergente é convergente. Série simplesmente convergente : Uma série diz-se simplesmente convergente quando for convergente, mas não absolutamente convergente. Teorema de Dirichlet (16) : Se é uma série (não necessáriamente convergente) com a sucessão das somas parciais = + + limitada e é uma sucessão decrescente com limite zero, então é convergente. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 5/12 João Marques

6 Teorema de Abel (17) : Se é uma série convergente e 0 é uma sucessão decrescente (não necessáriamente com limite zero), então é convergente. Teorema de Leibniz (18): Se é uma sucessão decrescente e com limite zero, então 1 é convergente. (condição suficiente de convergência para séries alternadas) Séries de termos não negativos Teorema (1) (corolário do critério de comparação) : Se 0, > 0 para qualquer N e lim = com 0 < < +, então as séries e têm a mesma natureza. Teorema da comparação de razões (2) : Sejam, > 0 e. Então: a) Se converge, converge ; b) Se diverge, diverge. Critério da razão (3): a) Se > 0 e existe um número tal que 0 < < 1 e então é convergente. b) Se > 0 e 1 para qualquer, então diverge. Critério de D Alembert (4): Se > 0 e tem limite finito ou + então: a partir de certa ordem, a partir de certa ordem, a) Se < 1, é convergente ; b) Se > 1, é divergente. Nota: Este critério não é conclusivo no caso = 1. Critério da raíz (5): Seja 0 para qualquer N. Então: a) Se com < 1 a partir de certa ordem, converge ; b) Se 1 para uma infinidade de valores de, é divergente. Critério da raíz de Cauchy (6): Seja 0 para qualquer N e suponhamos que tem limite finito ou +. Então: a) Se < 1, converge ; b) Se > 1, diverge. Nota: Este critério não é conclusivo no caso = 1. Critério da condensação de Cauchy (7): Seja 0. Então, converge se e só se 2 = convergir. Séries de Dirichlet : séries do tipo As séries e o cálculo aproximado Resto de ordem : Dada uma série, chama-se série resto de ordem ou resto de ordem à série = = + +. Assim, se aproximarmos a soma de uma série convergente pela soma dos seus termos até ao índice, cometemos um erro exactamente igual a visto que = No cálculo aproximado interessa conhecer majorantes dos erros cometidos nas aproximações feitas. Teorema (1) (majoração do resto nas séries de termos positivos) : Se N, > 0 para qualquer N e existir um número tal que < 1 para + 1, então. Teorema (2) : O número é irracional. Teorema (3) (outra majoração do resto em séries de termos positivos) : Se 0 para qualquer N e existe um número tal que < 1 para + 1, então. Teorema (4) (majoração do resto em séries alternadas) : Seja uma sucessão decrescente com limite zero e seja a série resto de ordem da série 1. Então, isto é, em valor absoluto, o erro é inferior ao primeiro termo que se despreza. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 6/12 João Marques

7 Mais extensões da noção de soma Convergência de séries no sentido de Cesàro : Diz-se que converge ou é somável no sentido de Cesàro quando a sucessão das somas parciais = + + convergir no sentido de Cesàro para um número. Convergência de séries no sentido de Holder : Substituindo a convergência de Cesàro pela convergência de Holder 2,3,, podem obter-se outras noções de convergência sucessivamente mais fracas Breves notas sobre o produto de séries Produto de Cauchy (1) : Sejam e duas séries. Chamamos série produto no sentido de Cauchy à série onde = Teorema (Cesàro) (2) : Se e são séries convergentes no sentido ordinário com somas e, respectivamente, então a série produto de Cauchy, com = + + converge no sentido de Cesàro para o produto. Teorema (Abel) (3) : Se as três séries, e a série produto de Cauchy são convergentes no sentido ordinário, com somas, e, respectivamente, então =. Teorema (Mertens) (4) : Dadas duas séries convergentes no sentido ordinário e com somas e, se pelo menos uma delas for absolutamente convergente, então a série produto de Cauchy converge para no sentido ordinário. Tema 3 Funções (Continuidade) 2.1. Funções contínuas Limite de uma função num ponto : Sejam R, R uma função real definida em e R um ponto de acumulação de. Dizemos que R é limite da função no ponto, e escrevemos quando ou lim =, quando > 0 > 0 0 < < < Intuitivamente, dizer que lim = significa que está arbitráriamente próximo de para valores de suficientemente próximos de, mas em nada informa sobre o comportamento de no ponto =. De resto, mesmo no caso em que, pode ter-se lim =. Restrição de uma função a um conjunto : função que de define como R tal que = para qualquer. Limite restrito : Sejam e. Define-se limite de no ponto relativo ao conjunto ou restrito ao conjunto, como o limite em da restrição. Em notação: lim = lim Deste modo, um limite lateral é um caso particular da noção de limite restrito. Teorema (2.1.1) : Sejam R, R, e R. Então lim = se e só se para todas as sucessões \ tais que. + quando : Seja R, R e R. Diz-se que tende para + quando, e escreve-se lim = +, quando para qualquer > 0 existe > 0 tal que se, + \ se tem >. Em símbolos: > 0 > 0 0 < < > quando : Nas mesmas condições, diz-se que lim = quando lim = + quando : Nas mesmas condições, diz-se que lim = quando lim = + quando + : Sejam uma parte não majorada de R, R e R.. Diz-se que é o limite de quando tende para +, e escreve-se lim =, quando para qualquer > 0 existe R tal que se e > se tem <. quando : Se for uma parte não minorada de R, pode-se definir lim =, quando lim = Em símbolos: > 0 R > <. + quando + : Diz-se que lim = + quando > 0 R > > Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 7/12 João Marques

8 Função contínua num ponto : Sejam R, R e. Dizemos que é contínua em quando > 0 > 0 < < Função contínua num conjunto : Sejam R, R e. Diz-se que é contínua em quando é contínua em todos o pontos de. Em particular, quando é contínua em = diz-se que é contínua em ou apenas que é contínua. Teorema (2.1.2) : Seja R. A função R é contínua no ponto se e só se para qualquer sucessão tal que. A respeito deste teorema, diz-se muitas vezes que o operador limite permuta com as funções contínuas, no sentido lim = lim. Teorema de Bolzano (2.1.3) : Se, R é contínua, então, para qualquer no intervalo fechado de extremos e, existe pelo menos um, tal que =. Corolário (2.1.4) : Se, R é contínua, com e de sinais contrários então tem pelo menos um zero em,, isto é, existe pelo menos um, tal que = 0. Teorema (2.1.5) : Se é contínua num conjunto R limitado e fechado, então é limitado e fechado. Teorema de Weierstrass (2.1.6) : Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado tem máximo e mínimo nesse conjunto Funções uniformemente contínuas Função uniformemente contínua num conjunto : Seja R, R diz-se uniformemente contínua em quando > 0 > 0, < < Teorema de Cantor (2.2.1) : Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado é uniformemente contínua nesse conjunto Funções monótonas Função crescente : Se R, a função R diz-se crescente em (resp. estritamente crescente em ) quando (resp. > ) sempre que >. Função decrescente : Se R, a função R diz-se decrescente em (resp. estritamente decrescente em ) quando (resp. < ) sempre que >. Teorema (2.3.1) : Se R não é majorado e R é crescente e limitada superiormente, então existe lim em R. Teorema (2.3.2) : Se é uma parte não majorada de R e R é monótona limitada, então existe lim em R. (extensão do teorema ) Teorema (2.3.3) : Sejam R tal que R é ponto de acumulação de, e R uma função crescente e limitada superiormente. Então existe lim em R. Teorema (2.3.4) : Se R é tal que R é ponto de acumulação de, e R é uma função monótona limitada, então existe lim em R Assímptotas Assímptotas não verticais (Teorema 2.4.1) : A recta = + é assímptota para a direita ao gráfico de, suposta definida para >, se e só se = lim e = lim Claro que existe também um resultado análogo para a esquerda. Assímptotas verticais : Se R R e é ponto de acumulação de diz-se também que a recta de equação = é uma assímptota vertical ao gráfico de, quando se verifica pelo menos uma das quatro igualdades: lim = + lim = lim = + lim = Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 8/12 João Marques

9 Tema 4 Cálculo Diferencial e Aplicações Derivada de uma função num ponto : Seja um intervalo de R com mais de um ponto. Diz-se que R é diferenciável ou tem derivada no ponto quando existir e for finito o limite lim. Derivadas laterais de uma função num ponto : Quando existir e for finito, = diz-se que tem derivada à direita no ponto, e o seu valor representa-se por. Analogamente à esquerda. Uma função diferenciável num ponto interior de tem derivadas direita e esquerda nesse ponto e estas são iguais. Velocidade média : Velocidade instantânea : = lim = Derivada de Carathéodory : Como na definição clássica, seja um intervalo de R com mais de um ponto. Diz-se que R é diferenciável ou tem derivada no ponto, quando existir uma função R contínua no ponto tal que = para qualquer. Consequência imediata : Se é diferenciável no ponto então é contínua em. (A recíproca não é válida) Derivadas de funções usuais : = = 3.2. As regras usuais de derivação Teorema (3.2.1) : (Derivação da soma e do produto) Sejam um intervalo de R com mais de um ponto,, R duas diferenciáveis em e R. Então as funções, + e são diferenciáveis em e tem-se : a) = b) + = + c) = + Derivadas de funções usuais : = 0, R + = Teorema (3.2.2) : (Derivação da inversa aritmética) Se é um intervalo de R com mais de um ponto, R é diferenciável em e 0, então a função é diferenciável em, e temse : =. Teorema (3.2.3) : (Derivação do quociente) Se é um intervalo de R com mais de um ponto,, R são diferenciáveis em e 0, então a função é diferenciável em, e temse : =. Teorema (3.2.4) : (Derivação da função composta) Sejam, dois intervalos de R com mais de um ponto, R e R duas funções com. Então, se é diferenciável em e é diferenciável em =, R é diferenciável em, e tem-se : =. Teorema (3.2.5) : (Derivação da função inversa) Sejam e dois intervalos em R com mais de um ponto, uma bijecção diferenciável em e 0. Então é diferenciável em =, e tem-se : =. Teorema (3.2.6) : (Regra de l Hôpital) Sejam um intervalo de R com mais de um ponto com 0 e 0 em \. Então, se = = 0 tem-se lim =. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 9/12 João Marques

10 3.3. Teoremas fundamentais do cálculo diferencial Máximo local num ponto : Seja uma parte não vazia de R. Diz-se que R tem um máximo local ou relativo no ponto, quando existe > 0 tal que para qualquer, +, se tem. Mínimo local num ponto : Analogamente, tem um mínimo local ou relativo no ponto, quando existe > 0 tal que para qualquer, +, se tem. Extremo local : Diz-se que tem um extremo local ou relativo no ponto, quando tiver um máximo local ou um mínimo local no ponto. Teorema de Fermat (3.3.1) : Se é um intervalo de R com mais de um ponto, R é diferenciável no ponto interior a e tem um extremo local em, então = 0. Teorema de Rolle (3.3.2) : Sejam <, contínua em, e diferenciável em,. Então se =, existe, tal que = 0. Dada uma função R diferenciável, entre dois zeros consecutivos de, não pode haver mais que um zero de. Não pode haver mais que um zero de maior que todos os zeros de. Teorema de Lagrange (3.3.3) : Se <, é contínua em, e diferenciável em,, existe, tal que =. Teorema (3.3.4) : Se é um intervalo de R com mais de um ponto e tem derivada nula em todos os pontos de então é constante em. Teorema (3.3.5) : Sejam um intervalo de R com mais de um ponto, contínua em e diferenciável no interior de. Então, se 0 no interior de, é crescente em. Teorema do valor médio de Cauchy (3.3.6) : Se <, e são funções contínuas em, e diferenciáveis em, com 0 em,, então existe, tal que =. Nota: ; Se =, temos o Teorema de Lagrange. Interpretação física : Interpretando e como dois movimentos independentes na recta real e, como um intervalo de tempo, existe um instante, onde o quociente das velocidades instantâneas iguala o quociente das velocidades médias no intervalo,. Teorema (3.3.7) : (Regra de Cauchy para ) Sejam > 0,, duas funções diferenciáveis em, + com 0 em, + e suponhamos lim = lim = 0. Então lim = lim, desde que exista o limite do segundo membro. Nota 1 : O teorema continua válido para. Nota 2 : O teorema continua válido para lim = lim = ±. Nota 3 : O teorema continua válido para ou + ou. Nota 4 : As indeterminações do tipo 0 ou + reduzem-se a indeterminações do tipo ou, utilizando as igualdades = = = Nota 5 : Quando, ao tentar aplicar a Regra de Cauchy (3.3.7), não existe lim, nada se pode inferir. Teorema de Darboux (3.3.8) : Seja, R, < e é diferenciável em,, então para qualquer no intervalo fechado de extremos e, existe, tal que =. Observação : Deve notar-se que a derivada de uma função diferenciável pode não ser contínua. No caso de ser contínua, este teorema não é mais que o teorema de Bolzano aplicado à função derivada no intervalo,. Teorema do limite da derivada (3.3.9) : Sejam um intervalo de R com mais de um ponto, interior a e R derivável em \, contínua em e tal que existe lim =. Então, existe = e portanto é contínua em. Dem : lim = lim = Nota : Claro que se podem formular teoremas análogos com derivada direita, derivada esquerda e até derivada infinita (no caso de lim = +, por exemplo). Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 10/12 João Marques

11 Capítulo 5 Primitivação 4.1. Definição, existência e principais propriedades Primitiva : Sejam um intervalo de R que contenha mais de um ponto e R. Chama-se primitiva de em a qualquer função R tal que = para qualquer. Diz-se que é primitivável em quando possui pelo menos uma primitiva em As primitivas imediatas ; = ln, se 0 =, R\ 1 ; =, R\ A primitivação por partes Teorema (4.3.1): Se e são funções diferenciáveis em, o produto é primitivável em se e só se o produto o for, e tem-se : = cos = sen cos + cos em = R 4.4. A primitivação por substituição Teorema (4.4.1) : Sejam e dois intervalos de R, R primitivável em e uma bijecção diferenciável. Nestas condições a função é primitivável em e designado por uma sua primitiva, é uma primitiva de em, isto é, = em = em. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 11/12 João Marques

12 Tabelas de Derivadas e Primitivas Função Derivada ln log sen cos tan cot sec csc arcsen 2 ln ln cos sen 1 + tan sec 1 cot csc tan sec cot csc 1 arccos 1 Regras de Derivação Operação Soma Produto Inversa aritmética Quociente Função Composta Função inversa Função Cálculo da Derivada + = + = + 1 = 1 = = = 1 Primitiva + 1 ln arctan 1 + arccot 1 + Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I 12/12 João Marques

Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio

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